1.4 角平分线 第1课时 课件(共17张PPT) 2023-2024学年初中数学北师大版八年级下册

(共17张PPT)
第一章 三角形的证明
1.4 角平分线
第1课时
1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理（重点）
2.会应用角平分线定理解决简单问题（难点）
一、学习目标
要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处500米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
S
Ｏ
公路
铁路
二、新课导入
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
我们先来回顾一下角平分线的概念，
O
B
C
A
1
2
三、概念剖析
如图∠1=∠2，OC是∠AOB的角平分线.
你知道如何得到
角平分线吗？
可以折纸或尺规作图等
三、概念剖析
思考：利用折纸的方法可以得到角平分线，用尺规作图也可以作出角平分线，那你知道角平分线上的点有什么性质吗
写出已知、求证，然后再写出具体的证明过程.
如图，PE=PF
如何证明这个结论？
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知），
∴∠PDO=∠PEO=90°（垂直的定义）.
D
P
E
A
O
B
C
∠PDO=∠PEO，
∠AOC=∠BOC，
OP=OP，
∴△PDO≌△PEO（AAS），
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）.
三、概念剖析
命题：角平分线上的点到角两边的距离相等
在△PDO和△PEO中，
求证：PD=PE.
角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等.
归纳：
定理应用所具备的条件：
（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.
定理的作用：证明两条线段相等.
应用格式：∵OP是∠AOB的平分线，
PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE
D
P
E
A
O
B
C
三、概念剖析
讨论：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
逆
命
题
思考：如何证明这个结论？
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
P
A
O
B
C
D
E
三、概念剖析
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.
求证：点P在∠AOB的角平分线上.
证明：作射线OP，
∵PD⊥OA，PE⊥OB.
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
OP=OP（公共边），
PD=PE（已知 ），
∴Rt△PDO ≌ Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP.
B
A
D
O
P
E
三、概念剖析
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∴点P在∠AOB角的平分线上.
定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部，垂直距离（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
归纳：
P
A
O
B
C
D
E
应用格式：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.
∴点P在∠AOB的平分线上.
三、概念剖析
四、典型例题
例1：我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”.如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD.对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F.求证:OE=OF.
证明:在△ABD和△CBD中，AB=CB，AD=CD，BD=BD
∴△ABD≌△CBD(SSS)，
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠ABC.
又∵OE⊥AB，OF⊥CB， ∴OE=OF.
分析：欲证明OE=OF，只需推知BD平分∠ABC，所以通过全等三角形△ABD≌△CBD（SSS）的对应角相等得到∠ABD=∠CBD，即可得证.
×
1.判断正误，并说明理由：
（1）如图，P在射线OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，则PE=PF.
解：错误，缺少∠AOP=∠BOP，无法得到PE=PF.
A
O
B
P
E
F
（2）如图，P是∠AOB的平分线OC上的一点，E、F分别在OA、OB上，则PE=PF.
×
A
O
B
P
E
F
解：错误，缺少PE⊥OA，PF⊥OB，无法得到PE=PF.
总结：定理应用所具备的条件：
(1)角的平分线；(2)点在该平分线上；
(3)垂直距离.
【当堂检测】
2.已知:如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F. 求证:EB=FC.
分析：首先由角平分线的性质可得DE=DF，又有BD=CD，可证Rt△BED≌Rt△DFC（HL），即可得出EB=FC．
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB、DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
BD＝CD
DE＝DF
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴EB=FC．
【当堂检测】
四、典型例题
例2: 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=8，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.
B
F
E
D
C
A
解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，
∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.
又∵∠BAC=60°，
在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=8，
∴DE= AD= ×8=4
（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
∴∠BAD=30°.
分析：可作出辅助线，如图，
应用角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DE=DC=BC-BD=3.
3.△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是 .
3
解：∵AD是∠CAB的平分线，
DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC=DE
又∵BC=8，BD=5，
A
B
C
D
E
【当堂检测】
∴DE=DC=BC-BD=8-5=3
解：∵DE⊥AB，DF⊥BG，DE=DF.
∴点D在∠ABG的平分线上.
∵∠EBD=180°-∠DEB-∠EDB=180°-90°-60°=30°
∴∠EBF=2∠EBD=60°
由BD=BD，DE=DF，可证Rt△BDE ≌ Rt△BDF（ HL），
∴BE=BF
4.如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，DE=DF， ∠EDB=60°，则∠EBF= °，BE= .
60
BF
E
B
D
F
A
C
G
【当堂检测】
角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
1.角平分线的性质：
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
2.角平分线的判定：
定理应用所具备的条件：
（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部，垂直距离；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
五、课堂总结