1.4 角平分线 第2课时 课件(共17张PPT) 2023-2024学年初中数学北师大版八年级下册

(共17张PPT)
第一章 三角形的证明
1.4 角平分线
第2课时
1.知道三角形三个内角平分线的性质
2.会应用角平分线定理解决问题
一、学习目标
回忆：
1.角平分线的性质:
思考：
如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在何处？
选在△ABC三条角平分线的交点处
角平分线上的点到角两边的距离相等.
二、新课导入
一、三角形三个内角平分线的性质
画一画：
讨论：如何证明这一结论？
如图，作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三个内角的角平分线交于一点．
经测量发现这一点到三角形三边的距离相等．
三、概念剖析
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
∵BM是△ABC的角平分线，
点P在BM上，
∴PD=PE.同理PE=PF.（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∴PD=PE=PF.（等量代换）
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
角平分线的性质定理
三、概念剖析
想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
解：点P在∠A的平分线上.
证明：连接AP,
由上题可得，PD=PF.
∴AP平分∠BAC.（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.）
D
E
F
A
B
C
P
N
M
角平分线的判定定理
三、概念剖析
归纳：
角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
用途：判定一条射线是角平分线.
三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等.
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
用途：证线段相等.
三、概念剖析
1.如图,直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则供选择的地址有( )
A.1处　　B.2处　　C.3处　　D.4处
D
试一试：
注意：(1)三角形两个内角平分线的交点，共一处；
(2)三个外角两两平分线的交点，共三处．
三、概念剖析
P4
P1,P2,P3
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.
例1：如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE， FM⊥BC.
∴FG=FM.
又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC，
∴FM=FH，
∴FG=FH.
∴点F在∠DAE的平分线上.
G
H
M
A
B
C
F
E
D
四、典型例题
1.如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，则下列结论正确的是（　　）
A．点F在BC边的垂直平分线上
B．点F在∠BAC的平分线上
C．△BCF是等腰三角形
D．△BCF是直角三角形
B
【当堂检测】
2.已知，如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.
求证：AM平分∠DAB.
证明：过M作ME⊥AD于E，
A
M
D
C
B
E
∵∠B=∠C=90°
∴MC⊥DC，MB⊥AB
又∵DM平分∠ADC，
∴ME=MC（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∵MC=MB，∴ME=MB
∴AM平分∠DAB（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）
【当堂检测】
提示：作一条垂线段——构造应用
例2：如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C=90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC=4, AB=14.
（1）则点P到AB的距离为______.
4
A
B
C
P
D
解：作PD⊥AB交AB于点D，
∵AP是∠BAC的角平分线，
PD⊥AB，PC⊥AC，
∴PD=PC=4
四、典型例题
在Rt△ADP和Rt△ACP中，
例2.如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C=90°，AP平分∠BAC交BC于点P，
若PC=4，AB=14.
（2）求△APB的面积.
C△PDB=PD+PB+DB
=BC+DB
∴Rt△ADP ≌ Rt△ACP(HL).
∴AD=AC.
（3）求 PDB的周长.
又∵AC=BC,
∴AD=BC
四、典型例题
A
B
C
P
D
=AC+DB
=AD+DB=AB=14
=PC+PB+DB
3.已知：如图，O是三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OD=3，△ABC的周长C为15，求S△ABC.
解：作OM⊥AC，ON⊥AB，垂足分别为M、N，连接OA，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OD=OM=ON，
∴S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB
A
B
C
O
M
N
D
△ABC的周长C
【当堂检测】
2.联系角平分线性质：
方法总结：
1.应用角平分线性质：
条件
存在角平分线
涉及距离问题
面积 S
周长 C

距离 h
【当堂检测】
4.如图，在△ABC中，点O到三边的距离相等，∠BAC=60°，则∠BOC= ．
120°
解：∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等，
∴点O是△ABC三个内角的平分线的交点，
在△BCO中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
【当堂检测】
=180°-60°=120°．
2.角平分线的应用
1.三角形三条角平分线的性质：
三角形的三条角平分线相交于一点,这一点到三角形三边的距离相等.
注意：
一个三角形的角平分线的交点共有四处.
应用角平分线性质：求三角形的面积、周长等.
五、课堂总结