(共26张PPT)
九年级下
沪科版
24.3圆周角第1课时圆周角定理
1.理解圆周角的概念；
2.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等.
3.了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
学习目标
重点
难点
难点
问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？
顶点在圆心的角叫圆心角，∠BOC.
问题2 如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点
A
∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B、C两点.
新课引入
一 圆周角的定义
顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角.
如：∠ACB．
一个三角形，当它内接于一个圆时，它的任一个角都与圆有着特殊的位置关系.如图，△ABC内接于⊙O，这时∠A的顶点在圆上，∠A的两边AB，AC分别与圆还有另一个公共点.
新知学习
A
O
B
C
注意：(1) 圆周角必须具备两个条件：
① 顶点在圆上；② 两边都与圆相交.
(2) 一条弧所对的圆周角有无数个.
思考
D
E
∠AEB，∠ADB 都是弧 AB 所对的圆周角.
如图，“弧AB所对的圆周角除了∠ACB外，还有其他角吗？
名称 关系 圆心角 圆周角
区别 顶点在圆心 顶点在圆上
一条弧所对的圆心角唯一 一条弧所对的圆周角有无数个
联 系 角两边都与圆相交 A
·
C
O
B
A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
1.下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
（2）
（1）
（3）
（4）
针对训练
是
不是，顶点不在圆上
不是，边AC没有和圆相交
不是，顶点不在圆上
如图，△ABC是等边三角形，⊙O是其外接圆. 由∠BAC =60°，∠BOC =120°，得出∠BAC= ∠BOC (∠BAC 对着 ，∠BOC 也对着 ).
探究
二 圆周角定理
观察这个特例，然后再任意画一个⊙O及其内接△ABC，用量角器量一量∠BAC及∠BOC之后，引发你对圆周角性质有怎样的猜想？
猜想：一个圆周角的大小与它所对弧上的圆心角有关；前者是后者的二分之一.
下面给出猜想的证明.
以⊙O上任一点A为顶点的圆周角有无数多个，按圆心与圆周角的位置关系，存在下面三种情况，如图.
首先，我们从特殊情况着手：在图 (1) 中，连接 OC，则△AOC 是等腰三角形，∠A =∠OCA.
所以，∠BOC =∠A +∠OCA =2∠A，即∠A= ∠BOC.
对于图(2)(3)两种情况，你会解决吗
在图(2)(3)中，连接AО并延长，交⊙O于点D，再连接OB，OC，则在图(2)中，有
∠BAC=∠DAC+∠DAB
= ∠DOC + ∠DOB
= ∠COB.
在图(3)中，有
∠BAC= ∠DAC-∠DAB
= ∠DOC - ∠DOB
= ∠COB.
定理 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
∠A= ∠BOC
综合以上三种情况后可得：
针对训练
1.如图，点A，B，C是⊙O上点，且∠AOB＝50°，则∠ACB 等于（ ）
A．20° B．25°
C．30° D．50°
B
1. 已知 △ABC 的三个顶点在 ⊙O 上，∠BAC=50°，∠ABC=47°，则∠AOB=________．
B
A
C
O
166°
针对训练
如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A ，D 是⊙O上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由.
D
探究
∴∠BAC=∠BDC.
解：相等. 理由如下：
，
∵
三 圆周角定理的推论
推论1 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.
归纳
如图，线段AB是☉O的直径，点C是☉O上的任意一点（除点A、B外），那么∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想一想，∠ACB会是怎样的角？
·
O
A
C
B
解：∵AB是直径，点O是圆心，
∴∠AOB=180°.
∵∠ACB是直径AB所对的圆周角，
∴∠ACB= ∠AOB=90°.
探究
归纳
推论2 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
例1 如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P，∠ACD = 60°，∠ADC=70°. 求∠APC的度数.
. O
A
D
C
P
B
解：连接BC，如图，则∠ACB=90°，
∠DCB =∠ACB－∠ACD =90°－60°=30°.
又∵∠BAD=∠DCB=30°，
∴∠APC =∠BAD +∠ADC =30°+70°=100°.
1. 判断
（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ）
（2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ）
（3）同弦所对的圆周角相等 （ ）
√
×
×
针对训练
2.如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
C
B
.
A
D
C
O
解：（2）是半圆形，理由：90°的圆周角所对的弦是直径.
1.小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形.如图所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形吗？为什么？
随堂练习
2.如图，AB是⊙O的直径，C、D、E是⊙O上的点，则∠1+∠2等于
（ ）
A．90°
B．45°
C．180°
D．60°
A
3.如图，⊙O直径AC为10cm，弦AD为6cm.
（1）求DC的长；
解：(1)∵AC是直径，
∴ ∠ADC=90°.
在Rt△ADC中，
（2）∵ AC是直径,∴ ∠ABC=90°.
∵BD平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB.
∵∠ACB=∠ADB ,∠BAC=∠BDC .
∴ ∠BAC=∠ACB,
∴AB=BC.
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
B
（2）若∠ADC的平分线交⊙O于B, 求AB、BC的长．
圆周角
定义
圆周角定理
顶点在圆上,并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫
做圆周角
推论1 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,
相等的圆周角所对的弧也相等.
推论2 半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角
所对的弦是直径.
圆周角定
理的推论
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半
课堂小结(共14张PPT)
九年级下
沪科版
24.3圆周角第2课时 圆内接多边形
1. 了解圆的内接多边形和多边形的外接圆的概念；
2. 理解圆内接四边形的概念；
3. 掌握圆内接四边形的定理并学会运用.
学习目标
重点
难点
三角形的外接圆的定义是什么？
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.这个三角形叫做圆的
内接三角形.
你能试着说说圆内接四边形的定义吗？
新课引入
一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
新知学习
思考
圆内接四边形的四个角之间有什么关系？
如图，四边形ABCD内接于⊙O，这时，它的每一个角都成为圆周角.利用圆周角定理，我们来研究圆内接四边形的角之间的关系.
猜想：∠A与∠C， ∠B与∠D之间的关系为：
∠A+∠BCD=180 ，
∠B+∠D=180 .
如何证明你的猜想呢？
在图中，由于 与 所对的圆心角之和是周角为360°，则
∠A +∠BCD = 180°.
同理，得 ∠B+∠D = 180°.
延长BC到点E，有∠BCD +∠DCE = 180°
∴∠A = ∠DCE.
由于∠A是∠DCE的补角∠BCD的对角 (简称为∠DCE的内对角)，
我们得到圆内接四边形的性质:
定理 圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角.
几何语言：∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠B+∠D=180°，
∠A+∠BCD=180°,
∠A=∠DCE .
例1 在圆内接四边形ABCD中， ∠A，∠B，∠C的度数之比是2︰3︰6. 求这个四边形各角的度数.
解：设∠A，∠B，∠C的度数分别等于2x，3x，6x.
∵ 四边形ABCD内接于圆，
∴ ∠A+ ∠C=∠B+∠D=180°，
∵ 2x+6x=180°，
∴ x = 22.5°.
∴ ∠A = 45°， ∠B = 67.5°， ∠C =135°，
∠D =180°-67.5°=112.5°.
例2 如图，四边形ABCD内接于☉O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角,且AD平分∠CAE.求证：DB=DC.
证明:∵∠DAC=∠DBC(同弧所对的圆周角相等)，
∵AD平分∠CAE，
∴∠EAD=∠DAC，
∴∠EAD=∠DBC.
∵∠EAD=∠BCD (圆内接四边形任何一个外角都等于它的内对角).
∴∠DBC=∠BCD，
∴DB=DC.
1. 如图，等边三角形ABC内接于⊙O，P是AB上的一点，则∠APC= .
120°
A
B
C
P
O
针对训练
2. 若ABCD为圆内接四边形，则下列可能成立的是（ ）
A.∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 1∶2∶3∶4
B.∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 2∶1∶3∶4
C.∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 3∶2∶1∶4
D.∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 4∶3∶2∶1
B
1.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=140°，则∠BCD的度数为____________.
110°
随堂练习
2.如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.
求证：∠FGD＝∠ADC.
证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.
又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，
∴AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠FGD＝∠ADC.
圆内接
多边形
一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫
做圆的内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.
定理
圆内接四边形的对角互补,且任何一个外角都等于它
的内对角.
定义
课堂小结
