(共20张PPT)
九年级下
沪科版
24.4直线与圆的位置关系第1课时 切线的性质
1.了解直线与圆的位置关系.
2.掌握切线的概念.
3.会运用直线与圆的位置关系进行有关计算．
4.理解并掌握圆的切线的性质定理.
5.能运用圆的切线的性质定理解决问题.
学习目标
重点
难点
重点
难点
如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线与圆有几种位置关系吗？
新课引入
在图中，观察⊙O与直线 l 的公共点的个数，有几种情况
没有公共点
1个公共点
2个公共点
一 直线与圆的位置关系
新知学习
可以发现，直线与圆有三种位置关系：
直线与圆没有公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相离
直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切. 这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点.
直线与圆有两个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相交，这条直线叫做圆的割线.
设⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，在直线和圆的不同位置关系中，你能根据 d 与 r 的大小关系确定直线和圆的位置关系吗？
思考
直线和圆相交 ，如图( 1)
d< r
直线和圆相切 ，如图 (2)
d= r
直线和圆相离 ，如图 (3)
d> r
判定直线与圆的位置关系的方法有2种：
1.由直线与圆的公共点的个数来判断;
2.由圆心到直线的距离 d 与半径 r 大小关系来判断.
总结
A
C
B
┐
(1)以点C为圆心作圆，当半径为多少时，AB与⊙C 相切？
例1 如图 , Rt△ABC 的斜边 AB= 10 cm，∠A =30°
解：（1）过点C作边AB上的高CD.
D
∵∠A=30°，AB=10cm，
当半径为 时，AB与☉C相切.
∴∠B=60°，
在Rt△BCD中，有
(2)以点C为圆心、半径r分别为4 cm和5 cm作两个圆，这两个圆与斜边AB分别有怎样的位置关系？
当r =4cm时，d＞r，⊙C与AB相离；
当r =5cm时，d＜r，⊙C与AB相交.
（2）由 (1) 可知圆心 C 到 AB 的距离d=
A
C
B
┐
D
针对训练
1.已知⊙O的半径为5 cm，圆心O与直线AB的距离为d，根据条件填写d的范围：
(1)若AB和⊙O相离，则 ;
(2)若AB和⊙O相切，则 ;
(3)若AB和⊙O相交，则 .
d > 5 cm
d = 5 cm
0 cm ≤ d < 5 cm
二 切线的性质定理
思考
直线 l 与圆O相切于点A时，OA与 l 有什么位置关系？
当直线l与⊙O相切时，切点为A，连接OA.这时，如在直线l上任取一个不同于点A的点Р，连接OP，因为点Р在⊙O外，所以OP >OA.这就是说，OA是点О到直线l上任一点的连线中最短的，故OA⊥l.
切线性质 圆的切线垂直于经过切点的半径.
于是可得：
∵直线l 是⊙O 的切线，A是切点，
∴直线l ⊥OA.
应用格式
例2 如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于 B、C 两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC.
求证：△ACB≌△APO；
证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，
又∵∠P＝30°，OA，OB为半径，
∴∠AOB＝60°，△AOB为等边三角形．
∴AB＝AO，∠ABO＝60°.
∴∠OAP＝90°.
O
A
B
P
C
在△ACB和△APO中，
∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，
∴△ACB≌△APO.
又∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°.
O
A
B
P
C
1. 如图，在 ⊙O 中，AB 为直径，BC 为弦，CD 为切线，连接 OC. 若∠BCD = 50°，则∠AOC 的度数为( )
A. 40°
B. 50°
C. 80°
D. 100°
C
针对训练
2. 如图，⊙O 切 PB 于点 B，PB = 4，PA = 2，则 ⊙O 的半径是多少？
O
P
B
A
解：连接 OB，易知∠OBP = 90°.
设⊙O 的半径为r，则OA = OB = r，OP=OA+PA=2+r.
在 Rt△OBP 中，
OB2 + PB2 = PO2，即 r2 + 42 = (2+r)2.
解得 r = 3，
即 ⊙O 的半径为 3.
1. 如图，AB 为⊙O 的直径，D 为 AB 延长线上一点，DC 与⊙O 相切于点 C，∠DAC = 30°. 若⊙O 的半径长 1 cm，则 CD = cm.
随堂练习
2. 如图，在☉O 的内接四边形 ABCD 中，AB 是直径，∠BCD = 120°，过 D 点的切线 PD 与直线 AB 交于点 P，则∠ADP 的度数为( )
A．40° B．35° C．30° D．45°
P
O
D
A
B
C
C
∴直线与圆相切或相交．
解：∵关于x的方程2x2 2 x+m 1＝0有实数根，
∴ =b2－4ac≥0，
即8－4×2×（m－1）≥0.
解得m≤2.
又∵⊙O的半径为2，
3.设⊙O的半径为2，圆心O到直线 l 的距离OP=m，且m使得关于x的方程2x2 2 x+m 1＝0有实数根，试判断直线l与⊙O的位置关系．
切线的性质
定义
直线与圆
的位置关系
如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系
叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点
圆的切线垂直于经过切点的半径
切线的
性质
直线和圆相交 d< r
直线和圆相切 d= r
直线和圆相离 d> r
课堂小结(共18张PPT)
九年级下
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24.4直线与圆的位置关系第2课时 切线的判定
1.会过圆上任意一点画圆的切线.
2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.
3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.
学习目标
重点
难点
(1)什么叫做切线？
根据上节课所学，回答下列问题
如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线.
(2)切线有什么性质？
圆的切线垂直于经过切点的半径.
那你知道如何判定直线与圆相切吗？
新课引入
1.如图(1)，经过圆上一点P，作直线与已知圆相切，如何作 能够作几条
思考
一 切线的判定定理
新知学习
则直线 l 即为所作.
例1 如图，点P为☉O上任一点，过点Р作直线 l 与☉O相切.
注意：给定圆上一点P，则OP为已知，由垂线的
唯一性可知，过点P作OP 的垂线有且只有一条.
l
为什么直线 l 即为所作呢？
作法：
① 连接OP；
② 过点P作直线 l ⊥OP；
由作图可知，直线l与☉O有一个公共点Р，若取直线l上除点Р之外任一点O，连接OQ，则OQ>OP(斜线大于垂线)，所以点Q在圆外.因此，直线l与☉O只有一个公共点，故直线l为☉O的切线.
Q
归纳
切线判定定理 经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
∵OP是 ⊙O 半径，且直线 l ⊥OP于点P，
∴直线 l 是 ⊙O 的切线，P 是切点.
几何语言
归纳
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
3.判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
l
A
l
O
l
r
d
切线的判定方法:
例2 已知：如图，∠ABC=45°，AB是⊙O的直径，AB=AC.求证：AC是⊙O的切线.
B
A
C
·
O
证明：∵AB=AC，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°.
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=90°.
又∵AB是⊙O的直径，
∴AC是⊙O的切线.
已知半径证垂直
例3 已知：在△ABC中，AB=AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点E.求证：AC是⊙O的切线.
O
B
A
C
证明：连结OE，OA，过点O作OF⊥AC.
∵ ⊙O与AB相切于点E, ∴ OE⊥AB
又∵△ABC中，AB=AC，O是BC的中点，
∴ AO平分∠BAC.
又∵ OE⊥AB，OF⊥AC ∴OE=OF
∵OE是⊙O的半径，OE=OF，OF⊥AC
∴ AC是⊙O的切线.
已知垂直证半径
E
F
(1) 有交点，连半径，证垂直;
(2) 无交点，作垂直，证半径.
证切线时辅助线的添加方法
归纳
针对训练
1. 判断:
O
r
l
A
O
r
l
A
O
r
l
A
①过半径的外端点的直线是圆的切线（ ）
②与半径垂直的直线是圆的切线（ ）
③ 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ）
×
×
×
O
A
B
C
E
P
证明：连接OP，如图.
2. 如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E. 求证：PE是⊙O的切线.
∵AB=AC，∴∠B=∠C.
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
∴∠OPB=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP.
∴PE为⊙O的切线.
1. 如图，O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一点，以 O 为圆心，OA 长为半径的 ⊙O 与 BC 相切于点 M.
求证：CD 与⊙O相切.
M
随堂练习
证明：连接 OM，过点 O 作 ON⊥ CD 于点 N，如图.
∵ ⊙O 与 BC 相切于点 M，
∴ OM⊥BC.
又∵ ON⊥CD，
O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一点，
∴ OM＝ON.
∴ CD 与 ⊙O 相切．
M
N
2.已知，在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE = AD，
(1) 求证：DE是⊙O的切线．
(1) 证明：连结OE、OD，
在△AOD和△EOD中，
∴△AOD≌△EOD（SSS），∴∠OED＝∠BAC＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
(2) 当BC＝10，AD＝4时，求⊙O的半径．
(2)解：∵△AOD≌△EOD，
∴∠AOD＝∠EOD，
∵OB＝OE，∴∠B＝∠OEB，
∵∠AOE＝∠B+∠OEB，
∴∠BEO＝∠EOD∴OD∥BC，又AO＝BO，
，由勾股定理得，
则⊙O的半径为3.
切线的判定
连接圆上切点与圆心, 过切点作与半径垂直的直线即可
定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线.
数量法（d=r）：圆心到直线的距离等于半径的直线是
圆的切线.
定理：经过半径外端点且垂直于这条半径的直线是圆
的切线.
切线的判定
切线的作法
课堂小结(共19张PPT)
九年级下
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24.4直线与圆的位置关系第3课时 切线长定理
1. 能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线；
2. 探索并证明切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等.
学习目标
重点
重点
新课引入
前面我们已经学习了切线的判定定理和性质定理，已知⊙O和⊙O外一点P，你能够过点P画出⊙O的切线吗？
O.
P
A
B
例1 如图，点Р为⊙O外一点，过点Р作直线与⊙O相切.
O.
P
A
B
则直线PA，PB即为所作.
一 切线长定理
作法：
1. 连接OP.
2. 以OP为直径作圆，设此圆交⊙O于点A，B.
3. 连接PA，PB.
新知学习
过圆外一点能够作圆的两条切线.
切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
归纳
如图，PA，PB为⊙O的两条切线，点A、B为切点. 线段PA、PB
的长就是点P到⊙O的切线长.
注意：切线是直线，不可度量；
切线长是切线上一点与切点之间的线段的长，可以度量.
探究
如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别为A、B.在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，由于直线PO是圆的一条对称轴，两半圆重合.图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？
P
O
A
B
如图，连结OA和OB.
∵PA和PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP.
又OA=OB,OP=OP.
∴Rt△AOP ≌ Rt△BOP.
∴PA=PB,∠APO=∠BPO.
P
O
A
B
*切线长定理 过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
归纳
PA、PB分别切☉O于点A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
几何语言:
例1 已知:如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA 和⊙O分别相切于点E，F，G，H.
求证:AB + CD = DA +BC.
证明：AB ， BC ，CD ，DA都与⊙O相切，E，F，G，H是切点，
∴AE = AH ，BE = BF ，CG = CF ，DG = DH.
∴ AE+BE+CG+DG = AH+BF+CF+DH，
即 AB+CD = AD+BC.
例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径．
分析：欲求半径，取圆的圆心为O，连OA，OP，由切线性质知△OPA为直角三角形，从而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半径．
O
O
解：如图，设铁环的圆心为O，过O作OQ⊥AB于Q，连接OP、OA.
∵AP、AQ为⊙O的切线，
∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.
又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.
Q
在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝90°-60°=30°，
即铁环的半径为
B
C
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论？请给出证明.
O.
P
A
B
M
结论：OP垂直平分AB.
证明：∵PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线
∴OP垂直平分AB.
思考
若延长PO交⊙O于点C，连接CA、CB，你又能得出什么新的结论？请给出证明.
O.
P
A
B
C
拓展延伸
证明：∵PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点，
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB.
又∵PC=PC.
∴ △PCA ≌ △PCB，
∴AC=BC.
结论：CA=CB
针对训练
1.下列说法正确的是( )
A．过任意一点总可以作圆的两条切线
B．圆的切线长就是圆的切线的长度
C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等
D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径
C
2. 如图，AB、AC、BD是☉O的切线，P、C、D为切点，如果AB= 5，AC=3，则BD = .
B
P
O
A
C
D
2
1.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，过点A，B的切线PM，PN交圆外于点P，若∠C＝135°，∠MAD＝60°，则∠P的度数为_____．
30°
随堂练习
2. 如图，△ABC三边都与⊙O 相切，求证：AB + CF = AC + BF.
证明：∵△ABC三边都与⊙O 相切，
∴AD=AE ①，BD=BF ②，CF=CE ③，
∴①+②+③得，
AD+BD+CF=AE+BF+CE，
∴AB+CF=AC+BF.
F
E
D
C
B
A
O
3.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O外一点，CA，CD分别切⊙O于点A，D，连接BD，AD，若∠C＝50°，求∠DBA的大小．
解：∵CA，CD是⊙O的切线， ∴CA = CD，
∵∠C = 50°， ∴∠CAD = ∠CDA = 65°，
∵CA⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴∠ADB = ∠CAB = 90°，
∴∠DBA＋∠DAB = 90°，∠CAD＋∠DAB = 90°，
∴∠DBA = ∠CAD = 65°.
切线长定理
切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的
切线长
定理
过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心
与这一点的连线平分两条切线的夹角
切线长
课堂小结
