湖南省株洲市第二中学2023-2024学年高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省株洲二中高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，则中的元素个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.函数的定义域为全体实数，则( )
A. B. C. D.
3.若为的内角，且，则为( )
A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D.
4.已知函数的零点分别为，，，则，，的大小顺序为( )
A. B. C. D.
5.一段时间内，某养兔基地的兔子快速繁殖，兔子总只数的倍增期为个月假设没有捕杀与其他损耗那么一万只兔子增长到一亿只兔子大约需要年( )
A. B. C. D.
6.若，则的值是( )
A. B. C. D.
7.若方程的实根在区间上，则( )
A. B. C. 或 D.
8.若函数在区间内恰有一个零点，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各命题中正确的是( )
A. 与且互为反函数
B. 函数的定义域为
C. 已知为第一象限的角，则是第一、三象限的角
D. 时针转过小时，则时针转过的弧度数为
10.以下结论正确的是( )
A. 已知
B. 的定义域为
C. 的值域为
D. 的值域为
11.函数部分图像如图所示，则( )
A. B. C. D.
12.下列命题中，正确的是( )
A.
B.
C. ，其中，，函数的图像向右平移个单位长度后，得到为偶函数，则的最小值为
D. 方程的根的个数为个
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.用二分法求函数在区间的零点，若要求精确度，则至少进行______次二分．
14.的单调递减区间是______．
15.已知非直角三角形中，满足，则 ______， ______．
16.设，，利用三角变换，估计在，，时的取值情况，猜想对取一般值时的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
不通过画图，写出函数的振幅、周期、初相，并说明如何由正弦曲线得到它的图像．
18.本小题分
已知，为常数．
判断的奇偶性并证明；
若，求的单调区间．
19.本小题分
已知，且，求解下列问题．
求的最值；
求的最值；
求的最小值．
20.本小题分
已知函数在区间上的最大值．
求的值；
求在的对称轴方程；
求在的单调递增区间．
21.本小题分
如图所示，≌，角和角为直角，与交于点且，记．
写出的面积关于的函数表达式；
求的面积最大值．
22.本小题分
在半径为的半圆形空地上，某小区准备设计三个矩形地块栽种一种花草，三个扇形，，的圆心角均为，且矩形的地块具有对称性，按如图所示的方案，矩形分别内接于对应的扇形，分别求扇形和内接矩形的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合表示数的集合，集合表示点的集合，
故A，即其元素个数为个．
故选：．
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：当时，显然符合题意，
当时，，解得，
综上所述，．
故选：．
根据已知条件，结合二次函数、对数函数的性质，并分类讨论，即可求解．
本题主要考查二次函数、对数函数的性质，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：由，得，
可得，又为的内角，
，，可得为钝角．
故选：．
把已知等式两边平方，可得，，则答案可求．
本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查三角函数值的象限符号，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，对于，易得在上为增函数，
由于，，则的零点在上，即，
对于，易得在上为增函数，
，，则在零点在上，即，
对于，易得在上为增函数，且，
即函数的零点为，即；
故有．
故选：．
根据题意，由二分法分析、零点的范围，由函数零点的定义分析的零点，综合可得答案．
本题考查函数零点的判定定理，注意二分法的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：设兔子由一万只增长到一亿需要期，
则，
即，两边取对数，得，
解得，
因为月年．
故选：．
设兔子由一万只增长到一亿需要期，根据题意列方程求出，即可得出结果．
本题考查了指数与对数函数模型应用问题，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：若，则，．
，
故选D．
由题意可得，即，代入的展开式，
化简可得结果．
本题主要考查两角和的正切公式，注意公式的灵活应用，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：由于方程，显然，所以，在同一平面直角坐标系中作出函数与的图象，
由图象上可得出：方程在区间和内各有一个实根．
所以或．
故选：．
依题意可得，在同一平面直角坐标系中作出函数与的图象，结合函数图象即可判断方程的根所在区间，即可得解；
本题考查函数的零点与方程根的关系，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：当时，，解得，符合题意；
当时，二次函数的判别式为：，
若，可得，此时函数的零点为，符合题意；
当，时，只需，所以且；
当时，，经验证符合题意；
当时，，经验证符合题意；
所以实数的取值范围为．
故选：．
根据判别式结合零点存在定理分类讨论即可．
本题考查了函数的零点、分类讨论思想性及二次函数的性质，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于：根据函数与函数且的性质，函数的图象关于直线对称，故这两个函数互为反函数，故A正确；
对于：函数的定义域满足，整理得，故函数的定义域为，故B错误；
对于：由于为第一象限的角，故，，整理得，，当即为偶数时，则是第一象限角，当即为奇数时，是第三象限角，故是第一、三象限的角，故C正确；
对于：时针转过小时，则时针转过的弧度数为，故D错误．
故选：．
直接利用反函数的定义，函数的定义域的求法，象限角的确定，弧度数的定义判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：反函数的定义，函数的定义域的求法，象限角的确定，弧度数的定义，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，或；
又，，故；
由得，A正确；
对于，由，得的定义域为，B错误；
对于，，故的值域为，C正确；
对于，，
当时，取得最大值；
当时，取得最小值，故的值域为，D正确．
故选：．
对于，利用基本初等函数的性质可判断其正误；
对于，由，可求得的定义域为，可判断的正误；
对于，由，可判断的正误；
对于，化简得，利用正弦函数的性质结合二次函数的性质可判断的正误．
本题考查了命题的真假判断与应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：根据函数部分图像，
可得，求得，故A正确．
根据五点法作图可得，
，，，故B正确．
根据，可得C错误．
根据五点法作图，可得，，故有，
，故D错误．
故选：．
由特殊点的坐标求出，根据五点法作图求出值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查根据函数的部分图象求函数的解析式，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于，
，正确；
对于，
，正确：
对于，因为为偶函数，
所以，，
即，，则，，
所以
，
所以，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，正确；
对于，作出函数和的图象，
如图：
则方程的根的个数为函数和的图象交点个数，
而，，，
结合图知，两函数共有个交点，
故方程的根的个数为个，错误．
故选：．
根据二倍角及两角和公式化简判断；利用三角恒等变换化简求值判断；利用正弦函数的对称性及基本不等式求解判断；作出函数和的图象，数形结合即可判断．
本题考查三角函数图象与性质的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，原来区间的长度等于，
每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，
则经过次操作后，区间的长度为，
若要求精确度，即，解可得，
即至少进行个二分．
故答案为：．
根据题意，由二分法中区间长度的变化，分析可得经过次操作后，区间的长度，可得关于的不等式，解可得的取值范围，即可得答案．
本题考查二分法的使用，注意二分法区间长度的变化，属于基础题．
14.【答案】，
【解析】解：函数的定义域满足，解得，，
所以函数的定义域为，，
的单调递减区间为，，
所以函数的单调递减区间为，．
故答案为：，．
先求出函数的定义域及函数的单调递减区间，再求出函数的单调递减区间．
本题考查复合函数的单调递减区间的求法，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意知，，
所以，，
又，即，
所以，
所以 ，解得或，
又，
所以，所以，
所以，所以，所以．
故答案为：；．
由已知及三角形内角和的性质得，然后利用两角差的正切公式求得或，再结合角的范围求出，进一步求出，即可解答．
本题主要考查了和差角公式的应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：当时，；
当时，，
；
当时，，
；
由以上规律可以猜想：当时，的取值范围是；
故答案为：．
分别计算，，的取值范围，数学归纳，猜想对任意时的取值范围．
本题主要考查归纳推理，考查转化能力，基础题．
17.【答案】解：函数的振幅为，周期为，初相为；
把正弦曲线向右平移个单位，得的图像；
再纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得的图像；
最后横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得的图像．
【解析】根据三角函数的振幅、周期和初相的定义，以及三角函数平移变换，求解即可．
本题考查了三角函数的图像与性质应用问题，也考查了图像平移变换问题，是基础题．
18.【答案】解：为奇函数，证明如下：
由可得或，，
则，
所以，
所以为奇函数；
令，
则的单调递增区间为，，没有单调递减区间，
因为，
根据复合函数单调性可知，的单调递增区间为，，没有单调递减区间．
【解析】结合函数奇偶性的定义即可判断；
先令，结合反比例函数的性质及函数图象的平移可求出该函数的单调区间，然后结合复合函数单调性即可求解．
本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于中档题．
19.【答案】解：因为，，，当且仅当时取等号，
所以，即的最小值为；
由，当且仅当时取等号，
解得，舍负，
所以的最小值为；
由可得，，
所以，
当且仅当且，即，时取等号，
所以的最小值为．
【解析】由已知结合，解不等式即可求解的范围，进而可求最小值；
由已知结合，解不等式即可求解的范围，进而可求最小值；
由已知得，然后结合基本不等式即可求解的最小值．
本题主要考查了基本不等式求解最值，属于中档题．
20.【答案】解：，
因为，所以，
所以当时，函数取到最大值，即，
解得；
函数的对称轴方程满足，，解得，；
函数的单调递增区间满足，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为，．
【解析】将函数化简，由的范围，可得角的整体的范围，进而可得函数的最大值，由题意可得的值；
求出函数的对称轴满足的方程，进而求出函数的对称轴的方程；
求出函数的单调递增区间满足的条件，进而求出函数的单调递增区间．
本题考查三角函数恒等变换及三角函数的性质的应用，属于基础题．
21.【答案】解：设，在中，因为，，
所以，又≌，所以，
所以，所以，
则，
所以，
又，所以，
所以的面积关于的函数表达式为；
由知，
令，则
，
当且仅当，即，
即时，等号成立，
故当时，的面积取到最大值为．
【解析】设，利用直角三角形性质知利用二倍角公式得，进而求得，利用直角三角形面积公式求解即可；令，则，利用基本不等式求解最值即可．
本题考查基本不等式的应用，属于中档题．
22.【答案】解：在扇形中，其内接矩形为，
如图：
设，在直角中，由，可得，，
又，
所以
，
当，则时，则形内接矩形的面积最大，最大值为，
在扇形中，其内接矩形为，取圆弧的中点为，连接，
设，，，
如图：
则，于是，
又，
所以
，
当时，即时，扇形内接矩形的面积最大，最大值为．
【解析】利用锐角三角函数定义，结合矩形面积公式分别表示两个矩形面积，根据正弦二倍角公式、辅助角公式、降幂公式，结合正弦型函数的性质进行求解即可．
本题考查扇形面积公式的应用，属于难题．
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