2023-2024学年江苏省淮安市高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省淮安市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
3.若角的终边经过点，则( )
A. B. C. D.
4.关于的不等式的解集是，那么( )
A. B. C. D.
5.设且，“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点( )
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
8.已知函数有且仅有个零点，则正数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列化简或者运算正确的是( )
A. B.
C. D.
10.用“五点法”作函数在一个周期内的图象时，列表计算了部分数据，下列有关函数描述正确的是( )
A. 函数的最小正周期是
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数与表示同一函数
11.定义在上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是上的有界函数，下列函数中，是在其定义域上的有界函数的有( )
A.
B.
C.
D. 表示不大于的最大整数
12.已知函数满足：，，都有成立，则下列结论正确的是( )
A.
B. 函数是偶函数
C. 函数是周期函数
D. ，，若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为 ．
14.函数的零点所在的区间为，则正整数的值为______．
15.若函数是奇函数，则 ______．
16.已知正数，满足，则的最小值是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，．
若是的充分条件，求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知，且．
求的值；
求的值．
19.本小题分
已知函数．
解关于的不等式：；
若，求的最小值．
20.本小题分
已知是定义在上的函数，满足：，，且当时，．
求的值；
当时，求的表达式；
若函数在区间上的值域为，求的值．
21.本小题分
如图“雕塑”将数学和物理动力学完美融合，遵循周而复始，成就无限，局部可以抽象成如图，点以为起始点，在以为圆心，半径为单位：米，按顺时针旋转且转速为相对于点转轴的速度的圆周上，点到地面的距离为，且单位：米，点在以为圆心，半径为单位：米的圆周上，且在旋转过程中，点恒在点的正上方，设转动时间为秒，建立如图平面直角坐标系．
求经过秒后，点到地面的距离；
若时，圆周上存在个不同点，使得成立，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知函数，．
函数在上单调递增，求实数的取值范围；
当时，对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
当，时，若点，均为函数与函数图象的公共点，且，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为集合，，
则．
故选：．
由已知结合集合的并集运算即可求解．
本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
则，解得且，
故函数的定义域为．
故选：．
根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
本题考查了求函数定义域的问题，解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范围，是基础题目．
3.【答案】
【解析】解：因为角的终边经过点，
所以，故A正确，B错误；
又，
所以，故CD错误．
故选：．
由题意利用任意角的三角函数的定义即可求解．
本题考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为关于的不等式的解集是，
所以的解为，，
故，解得，，
那么．
故选：．
结合二次不等式与二次方程的关系可求，，然后结合对数的运算即可求解．
本题主要考查了二次方程与二次方程关系的转化，还考查了对数的运算性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：设且，“函数在上是减函数”“函数在上是增函数”，即充分性成立；
反之，若函数在上是增函数，不妨令，则函数在上是增函数，即必要性不成立．
故选：．
利用充分条件与必要条件的概念判断即可．
本题考查函数单调性的性质与判断，考查逻辑推理能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：函数的定义域为，
，函数为偶函数，故排除，，
令，，
可得函数值域为，排除．
故选：．
求得函数的定义域和函数的值域、函数的奇偶性，由排除法可得结论．
本题考查函数的图象的判断，注意运用函数的值域和奇偶性，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点向左平移个单位长度即可得到．
故选：．
直接利用函数的图象的平移变换求出结果．
本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为函数，
当时，，开口向下，对称轴为，故在时，函数有一个零点；
当时，，，
故函数有且仅有个零点，
即当时，有两个零点，
故需：，解得．
故选：．
根据已知条件分段求解零点个数，即可求解结论．
本题主要考查函数的零点和方程的根之间的关系，考查计算能力和转化思想的应用，考查计算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：根据对数的运算性质可知，，A正确；
根据指数幂的运算性质可知，，B正确；
根据分数指数幂的意义可知，，C错误；
根据对数恒等式可知，，D正确．
故选：．
结合对数的运算性质检验选项AD，结合指数幂的运算检验选项B，．
本题主要考查了指数及对数的运算性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由题意得，，即，，
由表格可知，，
因为，即，
所以，，，A正确；
当时，，即不是函数的对称中心，B错误；
当时，，此时取得最大值，即为函数的一条对称轴，C正确；
因为，符合题意．
故选：．
结合五点作图法可分别求出，，，，进而可求函数解析式，然后结合正弦函数的性质检验各选项即可．
本题主要考查了五点作图法在函数的解析式求解中的应用，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为，故存在使得成立，符合题意；
因为恒成立，且随着的增大，，
故不存在，使得对任意，都有成立，不符合题意；
因为，时，，故不存在，使得对任意，都有成立，不符合题意；
因为，其图象如图所示，
故，
故存在实数，使得成立，D正确．
故选：．
结合函数的性质，分析各选项中函数的值域，结合已知定义即可判断．
本题以新定义为载体，主要考查了函数值域的求解，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：令，则，所以，故A正确；
令，则，
所以，
故是奇函数，即B错误；
令，，则，
所以，，
由可知是奇函数，
所以，
所以是周期函数，故C正确；
当时，易知，
则，
所以，
即，故D正确．
故选：．
利用赋值法及函数奇偶性、周期性的定义、单调性一一判断选项即可．
本题考查了利用赋值法求抽象函数的值、判断抽象函数的奇偶性及周期性，属于中档题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了扇形的面积公式，属于基础题．
由题意直接利用扇形的面积公式即可求解．
【解答】
解：由题意得，，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：显然是增函数，
所以要使零点所在的区间为，
只需即可，因为，，
所以该函数零点所在区间为，
即．
故答案为：．
利用该函数的单调性结合零点存在性定理求解．
本题考查函数零点的存在性定理，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由可得，
因为是奇函数，
则定义域关于原点对称，则，，
所以，
即，
所以，
所以．
故答案为：．
先根据奇函数的定义关于原点对称求出，然后结合奇函数的定义可求，进而可求．
本题主要考查了奇函数定义的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：令，
因为正数，满足，
所以，
当且仅当时取等号，
所以，
解得舍负，
则的最小值为．
故答案为：．
由已知令，然后利用乘法，结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
17.【答案】解：因为集合，．
若是的充分条件，则，
所以，解得，，
故实数的取值范围为；
若，则，
当时，，即，
当时，，解得，
故实数的取值范围为．
【解析】若是的充分条件，则，然后结合集合的包含关系即可求解；
若，则，然后结合集合的包含关系即可求解．
本题主要考查了集合的包含关系的应用，还考查了集合的交集运算，体现了分类讨论及转化思想的应用，属于基础题．
18.【答案】解：因为，
所以，
，
又，
所以．
由得，
，
因为，
所以，，
．
【解析】由可求解；
利用，可得，进而可求解．
本题考查同角三角函数的关系、考查诱导公式，是基础题．
19.【答案】解：由题意可得，即，
可得，即，
解得，
所以不等式的解集为；
设，
因为函数在上单调递减，在单调递增，
要使，即，
即，即，可得，
且，，
所以，当且仅当，即，时取等号，
即的最小值为．
【解析】不等式整理可得，进而求出不等式的解集；
由函数的性质可得，进而可得，进而可得的最小值．
本题考查对数函数的性质的应用及基本不等式的性质的应用，属于基础题．
20.【答案】解：是定义在上的函数，且，
是奇函数，又，
，
是以为周期的函数，又当时，，
；
当时，，
；
由知，的图象关于直线对称，又是奇函数，当时，在上单调递增，
在上单调递增，又是以为周期的函数，
的图象如下图：
若函数在区间上的值域为，由图可知，
，且在区间上单调递增．
若，
则，解得，，；
若，
则，解得，或，或；
若，
则，解得，，；
或．
【解析】依题意，可得，结合当时，可求得答案；
当时，，利用奇函数的性质即可求得当时，求的表达式；
由题意，知，且在区间上单调递增，对，的取值分类讨论，可求得的值．
本题考查分段函数解析式的求法，考查二次函数性质的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键，属于难题．
21.【答案】解：由题意及三角函数的定义可知，
所以单位：米；
根据题意可知，
即，
则，
因为，所以，
即，令，
因为，所以，则，
上式可化为，
设，，
因为时，圆周上存在个不同点，使得成立，
则在上有两个相异实数根，
即，解之得．
【解析】利用三角函数的定义与性质计算即可；利用两点的距离公式计算，由，根据三角函数的有界性换元转化为二次函数根的分布计算即可．
本题考查三角函数的应用，考查函数与方程的关系，属于中档题．
22.【答案】解：由函数，
可得的图象开口向上，且对称轴为，
因为函数在上单调递增，所以，解得，
所以实数的取值范围．
当时，可得，，
因为任意，关于的不等式恒成立，
即在恒成立，即在恒成立，
当时，的最大值为，所以，
所以实数的取值范围．
证明：由，可得，
则，
因为点，均为函数与图象的公共点，且，
所以，
两式相减，得，
因为，所以，
所以，
令，则，
所以，解得，
所以．
【解析】根据条件，结合二次函数的性质，得到不等式，再求出的取值范围即可；
将问题转化为在恒成立，求得的最大值，再求出的取值范围；
由，得到方程，根据题意，得到，令，再证明不等式成立即可．
本题考查了利用不等式恒成立求参数的取值范围，利用函数的单调性求参数的取值范围，利用综合法证明不等式，考查了转化思想，属中档题．
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