2023-2024学年江西省部分学校高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年江西省部分学校高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某学校开设门球类运动课程、门田径类运动课程和门水上运动课程供学生学习，某位学生任选门课程学习，则不同的选法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.根据对数据，，绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且线性回归方程为，则( )
A. B. C. D.
3.若曲线表示椭圆，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4.已知事件与事件相互独立，，则( )
A. B. C. D.
5.设随机变量，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
6.北京时间年月日时分，神舟十六号航天员乘组景海鹏，杜海潮，朱杨柱人顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组汤洪波，唐胜杰，江新林人入驻“天宫”随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安若这名航天员站成一排合影留念，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.已知点是双曲线：上一点，则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为( )
A. B. C. D.
8.已知，直线：与：的交点在圆：上，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则的值可以是( )
A. B. C. D.
10.设离散型随机变量的分布列为：
若离散型随机变量满足，则( )
A. B. C. D.
11.已知倾斜角为的直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于，两点点在第一象限，与抛物线的准线交于点，则( )
A. 以为直径的圆与轴相切
B. 准线上存在唯一点，使得
C.
D.
12.如图，在长方体中，，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是( )
A. 平面
B. 平面
C. 异面直线和所成角的余弦值为
D. 若为线段上的动点，则点到平面的距离不是定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在的展开式中，常数项是______用数字作答
14.在四棱锥中，底面是平行四边形，是棱上一点，且，，则 ______．
15.第届世界大学生夏季运动会于年月日在成都开幕大运会组委会给运动员准备了丰富的饮食服务大运村共有两个餐厅：餐厅、餐厅，运动员甲第一天随机地选择一个餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为则运动员甲第二天去餐厅用餐的概率为______．
16.已知点，，是离心率为的双曲线上的三点，直线，，的斜率分别是，，，点，，分别是线段，，的中点，为坐标原点，直线，，的斜率分别是，，若，则 ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知两点，，直线：．
若直线经过点，且，求直线的方程；
若圆的圆心在直线上，且，两点在圆上，求圆的方程．
18.本小题分
从这个数字中取出个数字，试问：
能组成多少个没有重复数字的四位数？
能组成多少个没有重复数字的四位偶数？
19.本小题分
某市高二年级期末统考的物理成绩近似服从正态分布，规定：分数高于分为优秀．
估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例；
若该市有名高二年级的考生，估计全市物理成绩在内的学生人数参考数据：若，则，，．
20.本小题分
在菱形中，，，将菱形沿着翻折，得到三棱锥如图所示，此时．
求证：平面平面；
若点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
21.本小题分
时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下：
直播带货评级主播的学历层次 优秀 良好 合计
本科及以上
专科及以下
合计
是否有的把握认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联？
统计学中常用表示在事件条件下事件发生的优势，称为似然比，当时，我们认为事件条件下发生有优势现从这人中任选人，表示“选到的主播带货良好”，表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计的值，并判断事件条件下发生是否有优势；
现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出人组成一个小组，从抽取的人中再抽取人参加主播培训，求这人中，主播带货优秀的人数的概率分布和数学期望．
附：，．
22.本小题分
已知点是抛物线：的焦点，点在上，且．
求的方程；
过点作两条直线，，交于，两点，交于，两点，且．
求证：为定值；
求四边形面积的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：某位学生从门球类运动课程、
门田径类运动课程和门水上运动课程中任选一门，
不同的选法共有种．
故选：．
根据分类加法计数原理计算即可．
本题考查分类加法计数原理，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题意对数据，，绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，
得，，又经过点，
所以，
解得．
故选：．
根据线性回归方程的定义可解．
本题考查线性回归方程的定义，属于中档题．
3.【答案】
【解析】解：若曲线表示椭圆，
则，解得且，
所以实数的取值范围是．
故选：．
利用二元二次方程与椭圆的关系列式求解即可．
本题考查了椭圆的性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，因为事件与事件相互独立，所以，
又由，则；
故．
故选：．
根据题意，求出，由相互独立事件的性质可得，即可得答案．
本题考查条件概率的计算，涉及相互独立事件的性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，随机变量，
则，若，即，则有，
则有，
由于函数在区间上单调递增，则，
所以．
故选：．
根据题意，先求出的范围，又由，结合二次函数的性质分析可得答案．
本题考查二项分布的性质以及应用，涉及二次函数的性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：分为两种情况：第一种情况：景海鹏站最右边，共有种排法；
第二种情况：景海鹏不站最左边与最右边，则共有种排法，
由分类加法计数原理可知，总共有种排法．
故选：．
分景海鹏站最右边和景海鹏不站最左边与最右边两种情况讨论，
本题主要考查了排列组合问题，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由双曲线的方程知渐近线方程为，设，
由题意，得，即，
点到渐近线的距离，
点到渐近线的距离，
所以，故B项正确．
故选：．
由点到直线的距离公式结合双曲线的渐近线方程即可得答案．
本题主要考查双曲线的性质，考查计算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由直线，的方程知直线过定点，
直线过定点，又，所以，即，
所以点在以为直径的圆上，即在圆：上，
又在圆上，所以圆与圆有交点，
即，又，
所以，即的取值范围是．
故选：．
求得点的轨迹方程，由题意可得，可求的取值范围
本题考查直线与圆的位置关系，考查圆与圆的位置关系，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：由组合数性质知，或，且，，，
解得，或，都满足且．
故选：．
利用组合数的性质建立方程即可求解．
本题考查了组合数的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由分布列的性质知，
所以，故A正确；
所以，故B正确；
所以，故C错误；
所以，故D正确．
故选：．
根据离散型随机变量的分布列的性质求解的值，再结合离散型随机变量的期望和方差公式求解即可．
本题主要考查了离散型随机变量的分布列和期望，考查了期望和方差的性质，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于：设，，，的中点为，
由抛物线的定义，得，的中点到轴的距离为，
故以为直径的圆与轴相切，故A正确；
对于：，的中点到准线的距离为，
因此以为直径的圆与准线相切，故准线上存在唯一点，使得，故B正确；
对于、：如图所示，过点，作准线的垂线，垂足分别为点，，由倾斜角为，
可得，设，则，因为，
所以，，故C正确；
设，则，因为，
所以，所以，所以，故D错误．
故选：．
由抛物线的定义和过焦点的直线确定；由过焦点的线段的长度和准线确定；由抛物线与直线的关系解三角形确定．
本题考查了直线与抛物线的位置关系及其应用，考查了数形结合的思想方法，考查了计算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：在长方体中，，
，分别为棱，的中点，
以为坐标原点，、、所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，
，，，
，，，
对于，，
，又平面，平面，
平面，故A正确；
对于：，
设平面的法向量为，
则，
令，得平面的一个法向量为，
与不平行，
平面不成立，故B错误；
对于：，
设异面直线和 所成的角为，
则，故C错误；
对于 ，设，
，
又平面的一个法向量为，
点到平面的距离，不是定值，故D正确．
故选：．
建立空间直角坐标系，根据线面平行的判定定理，利用空间平面向量的数量积运算性质、夹角公式逐一判断即可．
本题考查线面平行、线面垂直的判定与性质、点到平面距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
13.【答案】
【解析】【分析】
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于零，求得的值，可得展开式的常数项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
【解答】
解：在的展开式中，通项公式为，令，求得，
可得常数项为，
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：连接，如图所示：
则，
又，所以．
故答案是：．
由已知选取为基底，根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：设“第天去餐厅用餐”，“第天去餐厅用餐”，
则与互斥，根据题意得：
，，，
则运动员甲第二天去餐厅用餐的概率为：
．
故答案为：．
设“第天去餐厅用餐”，“第天去餐厅用餐”，则与互斥，利用全概率公式能求出运动员甲第二天去餐厅用餐的概率．
本题考查全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为双曲线的离心率为，所以．
不妨设，，，因为点，在上，所以
两式相减，得，
因为点是的中点，所以，，
所以，即，所以．
同理，．
因为，所以．
故答案为：．
根据点差法的内容，设点，作差，计算得出，结合离心率为，求得同理求得，代入计算即可．
本题主要考查双曲线的性质，考查转化思想和计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：直线：的斜率为，
设直线的斜率为，由，得，解得，
又直线经过点，
所以直线的方程为，即．
方法一：，所以的中垂线的斜率为，
又的中点为，所以的中垂线的方程为，即．
因为，两点在圆上，所以圆心在的中垂线上，
又圆心在直线上，由得即圆心的坐标为，
又圆的半径，
所以圆的方程为．
方法二：因为圆的圆心在直线上，所以可设圆心的坐标为，半径为，
所以圆的方程为，
又，两点在圆上，
所以，解得
所以圆的方程为．
【解析】易知直线：的斜率为，再根据结合直线经过点求解；
方法一：求得的中垂线方程，再由圆心在直线上，由求得圆心即可；
方法二：根据圆的圆心在直线上，可设圆心的坐标为，半径为，再由，两点在圆上，代入圆的方程求解．
本题主要考查直线和圆的位置关系与应用，圆的方程的求法，是中档题．
18.【答案】解：第一步：千位不能为，有种选择；第二步：百位可以从剩余数字中选，有种选择；
第三步：十位可以从剩余数字中选，有种选择；第四步：个位可以从剩余数字中选，有种选择．
根据分步计数原理，能组成个没有重复数字的四位数．
当个位数字是时，没有重复数字的四位数有个；
当个位数字是或或时，千位不能为，没有重复数字的四位数有个．
根据分类计数原理，能组成个没有重复数字的四位偶数．
【解析】首位不能为，分四步完成；首位不能为，末位是偶数，分类计算即可．
本题考查加法原理，乘法原理，属于基础题．
19.【答案】解：设学生的物理得分为随机变量，则，所以，，
所以，
，
所以物理成绩优秀的人数占总人数的比例为．
由题意，得，，
即，，
所以
所以．
又，所以全市物理成绩在内的学生人数估计为人．
【解析】由计算可得；，由此计算可得．
本题考查正态分布的应用，属于中档题．
20.【答案】解：证明：因为四边形是菱形，，
所以与均为正三角形，
取的中点，连结，，则，，
因为，所以，
因为，所以，
又，，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面；
由可知，，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
因为是的中点，所以，
所以，，，
设为平面的一个法向量，则，，
则，
令，得，，所以，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】取的中点，由已知得到和的长，由勾股定理的逆定理得到，再结合证明平面，由此证明平面平面；
以为原点建立空间直角坐标系，分别写出直线的方向向量和平面的法向量，利用空间坐标求出角的正弦值．
本题考查面面垂直的证明和直线与平面所成角的求法，属于中档题．
21.【答案】解：由题意得，
由于，所以有的把握认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联；
，
因为，所以认为事件条件下发生有优势；
按照分层抽样，直播带货优秀的有人，直播带货良好的有人，随机变量的可能取值为，，，
，
，
，
所以的分布列为：
所以数学期望．
【解析】运用公式计算与比较即可；
计算出事件条件下事件发生的优势与比较即可；
按照分层抽样，直播带货优秀的有人，直播带货良好的有人，随机变量的可能取值为，，，计算出各自对应的概率即可求解．
本题考查了独立性检验和离散型随机变量的分布列与期望计算，属于中档题．
22.【答案】解：抛物线的准线方程为，
由题意及抛物线的定义可得，解得或，
又，所以，
所以抛物线的方程为；
证明：由题意知，直线，的斜率均存在且不为，
不妨设直线的方程为，，，
联立得，
所以，
所以，
因为，所以，所以将换成，得，
所以，
即为定值；
解：四边形的面积，
当且仅当，即时等号成立，
所以四边形面积的最小值是．
【解析】由抛物线的定义即可求解；
利用设而不求将，表示出来即可得证；
利用基本不等式即可求解．
本题考查了抛物线的性质和直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
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