2023-2024学年广西北海市高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年广西北海市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某大学食堂备有种荤菜、种素菜、种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为( )
A. B. C. D.
2.抛物线的准线方程是( )
A. B. C. D.
3.已知随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知点，，，且四边形是平行四边形，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
5.已知点，到直线：的距离相等，则( )
A. 或 B. C. D.
6.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件，，的对立事件存在如下关系：若某地区一种疾病的患病率是，现有一种试剂可以检验被检者是否患病．已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知过抛物线：的焦点的动直线交抛物线于，两点，为线段的中点，为抛物线上任意一点，若的最小值为，则( )
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，已知圆：，，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组的两个变量中呈正相关关系的是( )
A. 学生的身高与学生的化学成绩 B. 汽车行驶的里程与它的耗油量
C. 人的年龄与年收入 D. 水果的重量与它的总价
10.已知方程表示曲线，则下列说法正确的是( )
A. “”是“曲线为双曲线”的充分不必要条件
B. “”是“曲线为椭圆”的充要条件
C. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则
D. 若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则
11.如图，在直三棱柱中，，，为上一点，为上一点，，则( )
A. 直线和为异面直线
B. 异面直线与的夹角为
C.
D.
12.已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，是双曲线的一条渐近线上位于第一象限内的一点，且满足，为坐标原点，线段的中点为，直线与双曲线交于另一点，与双曲线的另一条渐近线相交于点则( )
A. B. 点的坐标为
C. 是的中点 D. 是的中点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.的展开式中的系数为______．
14.在平面直角坐标系中，圆：被直线截得的弦长，则实数的值为______．
15.用数字，，，，，组成没有重复数字的位数，其中奇数的个数为______．
16.如图，已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于，两点，，，则椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
求符合下列条件的直线的方程：
过点，且斜率为；
过点，；
过点且在两坐标轴上的截距相等．
18.本小题分
在对人们休闲方式的一次调查中，共调查了人，其中女性人，男性人女性中有人主要的休闲方式是看电视，另外人主要的休闲方式是运动；男性中有人主要的休闲方式是看电视，另外人主要的休闲方式是运动．
根据以上数据完成以下列联表；
休闲方式
性别 看电视 运动 合计
女
男
合计
能否有把握认为性别与休闲方式有关系？
附：，其中．
19.本小题分
已知圆过点，，且圆心在直线上．
求圆的标准方程；
过点的直线与圆相切，求直线的方程．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，，，为的中点．
求证：平面；
求平面与平面所成二面角的正弦值．
21.本小题分
有三种不同的果树苗，，，经引种试验后发现，引种树苗的自然成活率为，引种树苗，的自然成活率均为．
任取树苗，，各一株，设自然成活的株数为，求的分布列及；
将中的取得最小值时的的值作为种树苗自然成活的概率该农户决定引种株种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为，其余的树苗不能成活．
求一株种树苗最终成活的概率；
若每株树苗引种最终成活后可获利元，不成活的每株亏损元，该农户为了获利不低于万元，应至少引种种树苗多少株？
22.本小题分
在平面直角坐标系中，已知双曲线：的右焦点为，一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．
求双曲线的标准方程；
若点在直线上，点在双曲线上，且焦点在以线段为直径的圆上，分别记直线，的斜率为，，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为备有种素菜，种荤菜，种汤，
所以素菜有种选法，荤菜有种选法，汤菜有种选法，
所以要配成一荤一素一汤的套餐，可以配制出不同的套餐有种．
故选：．
按照分步乘法计数原理计算可得．
本题考查分步乘法计数原理，属于中档题．
2.【答案】
【解析】解：由题意，抛物线的标准方程为，
，开口朝上，
准线方程为；
故选：．
先将抛物线方程化为标准方程，进而可求抛物线的准线方程．
本题的考点是抛物线的简单性质，主要考查抛物线的标准方程，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：随机变量，且，
．
故选：．
根据正态分布的性质，即可求解．
本题考查正态分布的性质，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：由于点，，，
故，
设；
故；
故，，．
故D．
故选：．
直接利用向量的坐标运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由于点，，故；
由于点，到直线：的距离相等，
所以．
故选：．
直接利用直线间的位置关系求出结果．
本题考查的知识要点：直线间的位置关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：设用该试剂检测呈现阳性事件，被检测者患病为事件，未患病为事件，
则，，，，
随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为：
．
故选：．
利用条件概率的概率公式求解即可．
本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：抛物线：的焦点为，准线为，
根据题意，过点作准线的垂线，垂足为，交抛物线于点，连接，
于是，即的最小值为，
在抛物线上任取点，过作准线的垂线，垂足为，连接，，．
则有，
当且仅当点与点重合且为时取等号，
所以的最小值为．
故选：．
根据抛物线的定义得到的最小值为，再去求的最小值即可．
本题考查抛物线的性质，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：设点的坐标为，由，可得，整理得，
可化为，若圆上存在这样的点，只需要圆与圆有交点，
有，解得．
故选：．
设点的坐标为，求得点的轨迹方程，利用圆与圆有交点即可求解．
本题考查点的轨迹的求法，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：学生的身高与学生的化学成绩没有必然联系，故A错误；
汽车行驶的里程与它的耗油量，呈正相关关系，故B正确；
人的年龄与年收入没有必然联系，故C错误；
水果的重量与它的总价，呈正相关关系，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合正相关关系的定义，即可求解．
本题主要考查正相关关系的定义，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于：若方程表示的曲线为双曲线，
则，
解得或，
所以“”是“方程表示的曲线为双曲线”的充分不必要条件，故A正确；
对于：若曲线表示为椭圆，则，
解得且，故B错误；
对于：若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，可得，故C错误；
对于：若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则且，可得，故D正确，
故选：．
对于：若方程表示的曲线为双曲线，则，解得的范围，即可判断是否正确；
对于：若曲线表示为椭圆，则，解得的范围，即可判断是否正确；
对于：若曲线表示焦点在轴上的椭圆，，解得的范围，即可判断是否正确；
对于：若曲线表示焦点在轴上的双曲线，可得，即可判断是否正确，
本题考查圆锥曲线的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由，可得，，，四点共面，直线和共面，故选项A错误；
由，可得异面直线与的夹角为，故选项B正确；由
，，有，
有，有，
有，
有，故选项C正确；
由向量，两两垂直，有，
有，故选项D正确．
故选：．
由，可判断，项；利用向量的表示可判断，项．
本题考查向量的应用，考查异面直线所成的角，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由，是的中点，可得，故A正确；
设的坐标为，由双曲线的渐近线方程为，
有，解得，可得点的坐标为，故B错误；
又由为的中点，可得点的坐标为，
直段的斜率为，可得，
又由为的中点，可得为的中点，故C正确；
直线的方程为，化简为，
联立方程，解得或，
可得点的坐标为，
由，可得为的中点．
故选：．
由，是的中点，可求出的值，从而判断；由已知联立方程组可求出点的坐标，从而判断；从而可得点到的坐标，利用两点的斜率公式可求得的斜率，可得，从而可判断；求出直线的方程，与双曲线方程联立，可得点的坐标，从而可判断．
本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：多项式的展开式中含的项为，
所以的系数为．
故答案为：．
利用二项式求出多项式的展开式中含的项，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：圆：，则圆心，半径，
圆心到直线的距离，
圆：被直线截得的弦长，
，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解．
本题主要考查直线与圆相交的性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：根据题意，分步进行分析：
，从、、三个数中取一个排个位，有种安排方法，
，不能在千位，则百位的安排方法有种，
，在剩下的个数中任选个，安排在百、十位，有种情况，
则符合题意的奇数的个数是为个；
故答案为：．
根据题意，分步进行分析：，从、、三个数中取一个排个位，，分析百位的安排方法数目，，在剩下的个数中任选个，安排在百、十位，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：设，由椭圆的定义及题意可得，，
，，
在中，，
由余弦定理可得：，
解得，
，，
所以，，则，
可得，
在中，由余弦定理可得：，
整理可得：，可得．
故答案为：．
设，由题意可得各线段的值，中，由余弦定理可得的值，进而可得，即，中，由余弦定理可得，的关系，进而求出该椭圆的离心率的大小．
本题考查椭圆的性质的应用及余弦定理的应用，属于中档题．
17.【答案】解：直线过点，且斜率为，
直线的方程为，即．
直线过点，，
，
，即．
当直线过原点时，设直线方程为，
直线过点，
，直线方程为，
当直线不过原点时，设直线方程为，
直线过点，
，解得，即直线的方程为，
综上所述，直线方程为或．
【解析】结合直线的点斜式公式，即可求解．
根据已知条件，结合直线的斜率公式，求出直线的斜率，再结合直线的点斜式公式，即可求解．
根据已知条件，分直线过原点，直线不过原点两种情况讨论，即可求解．
本题主要考查直线方程的求解，考查转化能力，属于基础题．
18.【答案】解：根据题意可得补全的联如下：
休闲方式
性别 看电视 运动 合计
女
男
合计
由中列联表可得：
，
没有把握认为性别与休闲方式有关系．
【解析】根据题意补全数据即可；
计算，再与临界值比较即可．
本题考查分类变量的相关性问题，独立性检验原理的应用，属基础题．
19.【答案】解：直线的斜率为，线段的中点坐标为，
直线的垂直平分线的方程为，整理为，
联立方程，解得，
由圆的性质可知，圆心的坐标为，可得圆的半径为，
故圆的标准方程为．
当直线的斜率不存在时，直线正好与圆相切，
故此时直线的方程为；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
整理为，
由直线与圆相切，有，解得，
可得直线的方程为，
整理为，
故直线的方程为或．
【解析】求出直线的垂直平分线的方程，联立，求出圆心的坐标为，求出圆的半径，然后求解圆的方程．
当直线的斜率不存在时，判断直线正好与圆相切．当直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径，求解得到直线方程即可．
本题考查圆的方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
20.【答案】证明：
连结，底面是菱形，，
，
，，，
平面，平面，，
，平面，
平面．
解：由知，
，，、、两两垂直，
令，可得，，，
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
平面的法向量，
设平面的法向量，
则，取，得，
设平面与平面所成二面角的平面角为，
则，
平面与平面所成二面角的正弦值为．

【解析】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
连结，推导出，，从而，推导出，由此能证明平面．
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成二面角的正弦值．
21.【答案】解：由题意知，的所有可能值为，，，，则
，
，
，
，
由此得的分布列如下表：
所以．
根据，由知当时，取得最大值，
一株种树苗最终成活的概率为．
记为株种树苗的成活株数，为株种树苗的利润，则，
，，，
要使，则有，
所以该农户应至少种植株种树苗，就可获利不低于万元．
【解析】依题意，的所有可能值为，，，，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可；
当时，取得最大值．然后求解一株树苗最终成活的概率；
记为株树苗的成活数，为株树苗的利润，利用二项分布的概率以及期望求解即可．
本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．
22.【答案】解：易知双曲线的渐近线为，
根据题意可知，
解之得，，
故双曲线的标准方程为；
由可知，设，显然，
由题意可知，则，
而，
所以．
【解析】利用双曲线的性质及点在双曲线上待定系数法求解即可；
设与的坐标，利用两点斜率公式及在以线段为直径的圆上，得出点坐标之间关系式结合在双曲线上消元计算即可．
本题考查了根据双曲线过的点求标准方程，根据双曲线的渐近线求标准方程，双曲线中的定值问题，属于中档题．
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