2025 届高二年级开学考数学试卷
考试时间：150分钟
一、单选题
1．已知经过点 A 4, 1 和点B 2,3 的直线的方向向量为 2, m ，则实数m 的值为（ ）
A． 1 B． 1 C．1 D． 4
2 2
2．若曲线 x 1 y 2 4上相异两点 P、Q关于直线 kx y 2 0对称，则 k的值
为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
1
3．如图，平行六面体 ABCD A B C D 中，点M 在 BB1 1 1 1 1 上，点N 在DD1上，且BM BB1，
2
1
D1N D1D，若MN xAB y AD z AA ，则 x y z 1 （ ）
3
1 1 2 3
A． B． C． D．
6 3 3 2
4．某商品的地区经销商对 2023 年 1 月到 5 月该商品的销售情况进行了调查，得到如下
统计表．发现销售量 y（万件）与时间 x（月）成线性相关，根据表中数据，利用最小
二乘法求得 y与 x的回归直线方程为： y 0.48x 0.56．则下列说法错误的是（ ）
时间 x（月） 1 2 3 4 5
销售量 y（万件） 1 1.6 2.0 a 3
A．由回归方程可知 2024 年 1 月份该地区的销售量为 6.8 万件
B．表中数据的样本中心点为 3,2.0
C．a 2.4
D．由表中数据可知，y和 x成正相关
x2 y2
5．已知椭圆C : 1 (a b 0 )，F F1， 2 分别为椭圆的左右焦点，直线 y 3x
a2 b2
与椭圆交于 A、B两点，若F1、A、F2 、B四点共圆，则椭圆的离心率为（ ）
3 3 1
A． B． 3 C． 3 1 D．
3 2
试卷第 1 页，共 6 页
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3
6．如图，圆C ,C 在第一象限，且与 x 轴、直线m1 2 均相切，圆心都在直线 y x 上. 当
4
圆C1,C2 相外切时，记圆C1,C2 的面积分别为 S1, S2，则 S1 : S2 （ ）
A．1 : 2 B．1 : 4
C．1 : 9 D．1 : 16
7．2023 年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，
名为“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉样物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣
传杭州亚运会，某校决定派 5 名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿
者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥
物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（ ）
A．50 B．36 C．26 D．14
8．已知抛物线M : x2 4y ，圆C : x2 ( y 3)2 4，在抛物线M 上任取一点P ，向圆C
作两条切线PA和 PB，切点分别为 A, B，则CA CB 的取值范围是（ ）
A． 4,0 B． 4,0 C． 8,0 D． 8,0
二、多选题
n
2
9．已知 x 的展开式的各二项式系数的和为 128，则（ ）
x
A．n 7
B．展开式中 x 的系数为 280
C．展开式中所有项的系数和为 1
T 84x3D．展开式中的第二项为 2
10．某市两万名高三学生数学期末统考成绩（满分 150 分）近似服从正态分布N(96,256)，
则下列说法正确的是（ ）
试卷第 2 页，共 6 页
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2
（附：若随机变量 X 服从正态分布N , ，则P( X ) 0.6827，
P( 2 X 2 ) 0.9545，P( 3 X 3 ) 0.9973．）
A．该次成绩高于 144 分的学生约有 27 人
B．任取该市一名高三学生，其成绩低于 80 分的概率约为 0.023
C．若将该次成绩的前 2.28%划定为优秀，则优秀分数线约为 128 分
D．试卷平均得分与试卷总分比值为该试卷难度，则该份试卷难度为 0.60
11．已知曲线C : x2 cos y2 1，其中 [0,π]，则下列结论正确的是（ ）
A．方程表示的曲线是椭圆或双曲线
π
B．若 ，则曲线的焦点坐标为 ( 1,0) 和 (1,0)
3
π π 3 1 2
C．若 , ，则曲线的离心率e ,
6 3 2 2
D．若方程表示的曲线是双曲线，则其焦距的最小值为2 2
12．在正方体 ABCD A1B1C1D1中， AB 4，E，F 分别为BB1,CD 的中点，，点P 满足
BP BC ， 0，1 ，则（ ） 1
A． A1F 平面 AD1E
B．三棱锥P AD1E 的体积与 P 点的位置有关
C．DP B1P的最小值为 4 2 2
1
D．当 0， 时，平面PEF 截正方体的截面形状为五边形
3
三、填空题
13．已知 A 1,1,1 ， B 2,3,1 ，C 3,1,3 ，则 AB 在 AC 上的投影向量的模为 ．
14．中国古建筑闻名于世，源远流长.如图 1 所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋
顶形式，该屋顶的结构示意图可近似地看作如图 2 所示的五面体EF ABCD .现装修工
人准备用四种不同形状的风铃装饰五脊殿EF ABCD的六个顶点，要求 E，F处用同一
种形状的风铃，其它每条棱的两个顶点挂不同形状的风铃，则不同的装饰方案共有
种.
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15．学校给每位教师随机发了一箱苹果，李老师将其分为两份，第 1 份占总数的 40％，
次品率为 5％，第 2 份占总数的 60％，次品率为 4％．若李老师分份之前随机拿了一个
发现是次品后放回，则该苹果被分到第 1 份中的概率为 ．
x2 y2
16．在平面直角坐标系中，已知双曲线C : 1 a 0,b 0 的左、右焦点分别为
a2 b2
4
F1, F F2 ，过 1且斜率为 的直线 l 与双曲线C 的左、右两支分别交于 A, B两点（ B 在第一
3
象限），△BF1F2 的重心为G ，内心为 I ，且GI∥ y 轴，则双曲线C 的离心率为 ．
二、解答题
2．甲乙两人进行某项比赛
(1)若比赛结果有胜利、失败、平局三种，已知甲获胜的概率为0.4 ，甲不输的概率为0.9 ，
求甲乙两人取得平局的概率；
1
(2)若比赛结果只有胜利、失败两种，已知甲获胜的概率为 p（0 p ），对于甲来说，
2
一局定胜负和三局两胜两种比赛方式比较，试问哪种比赛方式对甲更有利？说明你的理
由.
（说明：“三局两胜”是常见的比赛模式，指先赢得两局者为胜，做多三局结束）
3．已知圆M 经过 A 1, 2 , B 3,0 ,C 5,0 三点．
(1)求圆M 的一般方程；
(2)过点P 2,0 的直线 l 与圆M 交于 E, F 两点， EF 2 19 ，求直线 l 的方程．
4．某品牌商家入驻一家购物平台后，销售额大幅提升，为了答谢顾客并进一步提升销
售额，该品牌商家每年都在“跨年夜”购物狂欢节进行该品牌商品的促销活动．促销活动
规则如下：①“价由客定”，即所有参与该商品促销活动的人进行网络报价，每个人并不
知晓其他人的报价，也不知道参与该商品促销活动的总人数；①报价时间截止后，系统
根据当年“跨年夜”该商品数量配额，按照参与该商品促销活动人员的报价从高到低分配
名额；①每人限购一件，且参与人员分配到名额时必须购买．某位顾客拟参加 2020 年“跨
年夜”该商品促销活动，他为了预测该商品最低成交价，根据该购物平台的公告，统计
试卷第 4 页，共 6 页
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了最近 5 年“跨年夜”参与该商品促销活动的人数(单位：十万)(见下表)
年份 2015 2016 2017 2018 2019
年份编号 t 1 2 3 4 5
参与人数 y(单位：十万) 0.5 0.6 1 1.4 1.7
（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合参与人数 y(十万)与年份编号 t
之间的相关关系．请用最小二乘法求 y关于 t的线性回归方程：y bt a ，并预测 2020
年“跨年夜”参与该商品促销活动的人数；
（2）该购物平台调研部门对 2000 位拟参与 2020 年“跨年夜”该商品促销活动人员的报
价进行抽样调查，得到如下的一份频数表：
报价(千元) [1，2) [2，3) [3，4) [4，5) [5，6) [6，7)
频数 200 600 600 300 200 100
①求这 2000 位参与人员报价的平均值 x 和样本方差 s
2 (同一区间的报价可用该价格区
间的中点值代替)；
①假设所有参与该商品促销活动人员的报价 X可视为服从正态分布N ( , 2 )，且 μ与 2
可分别由①中所求的样本平均值 x 和样本方差 s
2 估值．若预计 2020 年“跨年夜”该商品最
终销售量为 31730 件，请你合理预测(需说明理由)该商品的最低成交价．
n
ti yi nt y
i 1
参考公式：①回归方程： y b t a ，其中b n ， a y b t ；
2
t 2i nt
i 1
5 5
① t2i 55， ti yi 18.8， 1.7 1.3；
i 1 i 1
①若随机变量 Z 服从正态分布 N ( , 2 )，则P( Z ) 0.6827，
P( 2 Z 2 ) 0.9545，P( 3 Z 3 ) 0.9973．
5．如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中， AB 平面BB1C1C ，已知
π
BCC CC1 , BC 1, AB C1C 2，点E 是棱 1 的中点．
3
试卷第 5 页，共 6 页
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(1)求证：C1B 平面 ABC ；
(2)求平面 ABC 与平面 AB1E 夹角的余弦值；
6．有一种双人游戏，游戏规则如下：一个袋子中有大小和质地相同的 5 个小球，其中
有 3 个白色小球，2 个红色小球，每次游戏双方从袋中轮流摸出 1 个小球，摸后不放回，
摸到第 2 个红球的人获胜，同时结束该次游戏，并把摸出的球重新放回袋中，准备下一
次游戏，且本次游戏中输掉的人在下一次游戏中先摸球．小胡和小张准备玩这种游戏，
约定玩 3 次，第一次游戏由小胡先摸球．
(1)在第一次游戏中，求在小胡第一轮摸到白球的情况下，小胡获胜的概率；
(2)记 3 次游戏中小胡获胜的次数为 X，求 X的分布列和数学期望．
x2 y2 2
7．已知椭圆C ： 1 a b 0 的一个顶点为P 0,1 ，离心率为 .
a2 b2
2
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点定点G 0, 3 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆交于A ， B ，直线PA， PB的斜率分别
记为 k1， k2 .求 k1 k2 的值
试卷第 6 页，共 6 页
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试卷第 7 页，共 1 页
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参考答案：
1．D
【分析】根据已知条件、结合向量共线列出方程，求解即可得出答案.
【详解】由题过点 A 4, 1 和点B 2,3 的直线的方向向量为 2, m ，
m 3 1
所以 2 m 4 .
2 2 4
故选：D
2．D
【分析】根据圆上的任意两点关于直径对称即可求解.
2 2
【详解】若曲线 x 1 y 2 4上相异两点 P、Q关于直线 kx y 2 0对称，
则圆心 1,2 在直线 kx y 2 0上，故代入解得 k 4，
故选：D．
3．A
1
【分析】根据空间向量的运算法则确定MN AB AD AA1 ，得到答案.
6
1 2 1
【详解】MN MB BA AD DN AA1 AB AD AA1 AB AD AA1 ，
2 3 6
1 1
故 x= 1， y 1， z ， x y z .
6 6
故选：A
4．A
【分析】根据给定数据，结合回归直线的特性逐项判断即得.
1 2 3 4 5 1 1.6 2 a 3 7.6 a
【详解】依题意， x 3, y ，
5 5 5
7.6 a
而 y与 x的回归直线方程为： y 0.48x 0.56，则 3 0.48 0.56，
5
解得a 2.4， y 2.0，表中数据的样本中心点为 3,2.0 ，BC 正确；
由0.48 0，得 y和 x成正相关，D 正确；
2024 年 1 月份，即 x 13，由回归直线方程 y 0.48x 0.56，得 y 0.48 13 0.56 6.8，
因此 2024 年 1 月份该地区的销售量约为 6.8 万件，A 错误.
故选：A
5．C
【分析】根据四点共圆及 y 3x的倾斜角得到△AOF2 为等边三角形，故 OF2 AF2 c ，进而求出
答案第 1 页，共 14 页
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AF1 3c ，利用椭圆定义得到方程，求出离心率.
【详解】因为 F 、A、F1 2 、B四点共圆，O为圆心，所以 AB F1F2 2c，
π
故 AO c，又 y 3x的倾斜角为 ，
3
故△AOF2 为等边三角形，故 OF2 AF2 c ，
2 2
由勾股定理得 AF F F AF ， 1 1 2 2 3c
由椭圆定义可得 AF1 AF2 2a，即c 3c 2a，
c 2
解得 3 1.
a 3 1
故选：C
6．D
【分析】过C C A x C B x1作 1 轴，垂足为A ，过C2作 2 轴，垂足为 B ，设圆C1，C2的半径分别为 r1 ， r2 ，
由 OAC1∽ OBC2 可得两圆半径间的关系，即可求解．
【详解】过C 作C1A x 轴，垂足为A ，过C 作C1 2 2B x 轴，垂足为 B ，设圆C1，C2的半径分别为 r1 ， r2 ，
如图所示：
3
①圆C1,C 在第一象限，且与 x 轴、直线m2 均相切，圆心都在直线 y x 上
4
4 4
①C1 r1, r1 ，C2 r2 , r2
3 3
答案第 2 页，共 14 页
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① OAC1∽ OBC C ,C2，圆 1 2 相外切
2 16r
2
r 1
AC OC r 11 1
① ，即 1
9
，整理得 r
BC OC 2
4r1
2
2 2 r2
x2
16r
1
1 r1 r2
9
① S1 r
2 S 2 21 ， 2 r2 16 r1
① S1 : S2 1:16
故选：D.
7．A
【分析】按照2,2,1和3,1,1分组讨论安排.
【详解】（1）按照2,2,1分 3 组安装，
2
①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有C4 6种，
1 2 2
①若志愿者甲和另一个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有C4 C3 A2 24种，
（2）按照3,1,1分 3 组安装，
3 2
①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有C4 A2 8种，
2 2
①若志愿者甲和另两个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有C4 A2 12种，
故共有6 24 8 12 50种，
故选：A.
8．A
2
CA
2
【分析】设点P(x0 , y0 )，由已知关系，可用 P 点坐标表示出 PC ，在Rt△PAC 中，由cos PCA 2 ，
PC
32
进而可推出CA CB 42 ，根据 y0 的范围，即可得到结果. y0 1 8
【详解】
由已知，C 0,3 ， r 2 .
答案第 3 页，共 14 页
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2
如图，设点P(x0 , y0 )，则 x0 4y0 ，
2 2 2
PC x 20 y 3 y
2
0 0 2y0 9 y0 1 8，
在Rt△PAC 中，有
2 2
CA r 4
cos2 PCA
2 2 2 ，
PC y0 1 8 y0 1 8
2 8
易知 ACB 2 PCA，则cos ACB 2cos PCA 1 12 ，
y0 1 8
8 32
则CA CB CA CB cos ACB 4 1 42 2 ，
y0 1 8 y0 1 8
因为 y0 0，所以当 y0 1时，CA CB 取得最大值 0 ，
32
又 02 ，所以，CA CB 4 . y0 1 8
所以，CA CB 的取值范围是 4,0 .
故选：A.
9．AC
【分析】利用二项式定理及二项式系数的性质、二项展开式的通项公式、赋值法逐一进行判断.
【详解】由二项式系数的性质，可得：2n 128 n 7 .故 A 正确；
7 r
2 2 r
x 展开式通项为T C
r x7 r Cr 2 x7 2r ， r 1 7 7
x x
3
令 r 3，则 x 的系数为：C37 2 280，故 B 错误；
7
令 x 1可得所有项的系数和为 1 2 1，故 C 正确；
1
1 7 1 2 展开式的第二项为：T C 5 D . 2 7 x 14x ，故 错误
x
故选：AC
10．AC
【分析】根据正态分布的对称性以及3 原则，结合选项一一分析即可得出答案.
【详解】对于 A，设两万名高三学生数学期末统考成绩为 X ，则 X N(96,256)，
所以 96, 16，则 3 144，
答案第 4 页，共 14 页
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1 0.9973
所以P X 144 0.00135，
2
所以该次成绩高于 144 分的学生约有0.00135 20000 27人，故 A 正确；
对于 B， 96, 16, 80，
1 0.6827
所以P X 80 0.15865，故 B 不正确；
2
对于 C，因为 2 128, 2 64，
所以P( 2 X 2 ) P(64 X 128) 0.9545
1 0.9545
P X 128 0.02275 2.28%，
2
若将该次成绩的前 2.28%划定为优秀，则优秀分数线约为 128 分，故 C 正确；
对于 D，试卷平均得分即为 96，试卷总分150，
96
所以 0.64，故 D 不正确.
150
故选：AC.
11．BCD
【分析】通过 的范围，判断曲线的形状，利用特例判断 A，求出焦点的坐标，判断 B，求出离心率的范围
判断 C，求出焦距判断 D.
π
【详解】对于选项 A，当 时，曲线C : y2 1，表示直线 y 1或 y 1，故选项 A 错误；
2
π x2
对于选项 B，当 时，曲线方程为 y2 1，可知曲线C 为焦点为 ( 1,0) 和 (1,0)的椭圆，故选项 B 正
3 2
确；
2
π π
x
y2 1
对于选项 C，当 , 时，曲线方程为 1 ，
6 3
cos
1 3
因为cos , ，可得曲线C 为焦点在 x 轴上的椭圆，
2 2
a2
1
2
1
，b2 1，则c 1，
cos cos
c 1 3
所以离心率e 1 cos ，因为cos , ，
a 2 2
3 1 3 1 2
所以e 1 , , ，
2 2 2 2
故选项 C 正确；
答案第 5 页，共 14 页
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x2
y2 1
对于选项 D，若方程表示的曲线是双曲线，因为曲线方程为 1 ，
cos
1 π
所以 0，即cos 0，故 ,π ，
cos 2
1 1
所以b
2 ，a2
2
1，所以c 1，
cos cos
1
因为 1 cos 0，所以 1, ，
cos
1
所以c
2 1 2, ，故c2 2，所以c 2 ，
cos
故焦距2c 2 2，所以其焦距的最小值为2 2 ，故选项 D 正确.
故选：BCD.
12．AD
【详解】
A 选项，以D为坐标原点，以DA, DC, DD 所在直线为 x, y, z1 轴建立空间直角坐标系，
则 A 4,0,0 ，E 4,4,2 ，D1 0,0,4 ，F 0,2,0 ， A1 4,0,4
则 AD1 4,0, 4 ， A1F 4,2, 4 ， AE 0, 4, 2 ，
A1F AD1 4 4 0 2 4 4 0，
A1F AE 4 0 2 4 4 2 0，
所以 A1F AD1， A1F AE，
又 AE AD1 A， AE 平面 AD1E ， AD1 平面 AD1E ，
所以 A1F 平面 AD1E ，故 A 正确；
B 选项，因为在正方体 ABCD A B C D 中， AB//C1D1且 AB C1D1 1 1 1 1，
所以四边形 ABC1D1为平行四边形，因此BC1 //AD1，
又BC1 平面 AED ， AD1 1 平面 AED ，所以BC1 //1 平面 AED1，
答案第 6 页，共 14 页
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因此棱BC1上的所有点到平面 AED1的距离都相等，又 P 是棱BC1上的动点，
所以三棱锥P AED1 的体积始终为定值，故 B 错；
C 选项，B 4,4,0 ，C1 0,4,4 ， B1 4,4,4 ，因为BP BC ， 0，11 ，所以P 4 4 , 4, 4 ，
所以DP 4 4 , 4, 4 ， B1P 4 ,0, 4 4
DP B1P DP B1P 32
2 32 32 32 2 32 16
2 2
1 1
32 24 32 8 ，
2 2
又 0，1 ，
1
当 时，DP B1P有最小值，最小值为 2 6 2 2 ，故 C 错误；
2
D 选项，连接 EC ，取 AA1 中点为G ，当 EC 与BC1交点为点 P 时，平面PEF 截正方体截面图形ECDG 为四
边形，如图 1，
PM MC PM BM 1
此时 PMC EBC， PMB C 1CB， ， ，此时 ，
EB BC CC1 BC 3
1
当0 时，如图 2，截面为五边形 EBFKL，故 D 正确；
3
故选：AD.
2 1
13． / 2
2 2
【分析】由投影向量的定义结合数量积公式即可得解.
【详解】因为 A 1,1,1 ， B 2,3,1 ，C 3,1,3 ，所以 AB 1, 2,0 ， AC 2,0, 2 ，
AB AC 1 2 2 0 0 2 2 2
则 AB 在 AC 上的投影向量的模为 AB cos .
AC 22 02 22 2 2 2
答案第 7 页，共 14 页
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2
故答案为： .
2
14．72
【分析】对于本题共 4 种不同形状的风铃，要求是E F 使用同一种风铃，其余各棱的两个顶点挂不同形状
的风铃，可以理解相邻顶点挂不同形状的风铃，通过分析使用 3 种或 4 种风铃满足条件.
3 3
【详解】①使用 3 种形状风铃，只能EF 同， AC 同，BD同.此时共有：C4 A3 24种挂法，
①使用 4 种形状风铃，此时有两种情况；
1） AC 同，BD不同：直接将 4 种风铃挂到 ABDE 四个点上，
4
全排列有：A4 24种，
4
2） AC 不同，BD同：此时与 1）相同，共有A4 24种，
综上，共有 24+24+24=72 种，
故答案为：72
【点睛】涂色问题解决问题的关键是在判定使用颜色数量，合理分类，合理分步，熟练分类加法及分步乘
法原则.
5
15．
11
【分析】利用贝叶斯公式即可.
【详解】设事件 B为“拿的苹果是次品”， Ai i 1,2 为“拿的苹果来自第 i份”，
则 P A1 0.4，P B | A1 0.05，P A2 0.6，P B | A2 0.04，
所以P B P A1 P B | A1 P A2 P B | A2 0.4 0.05 0.6 0.04 0.044，
P BA1 P A1 P B | A1 0.4 0.05 5
所求概率为P A1 | B ．
P B P B 0.044 11
5
故答案为：
11
16．3
【分析】设内切圆 I 在 x 轴上的切点为Q s,0 ，根据切线的性质及双曲线的定义求得 s a，由条件及重心
4
的性质得 x a,cB 3a，进而得 B 的坐标，由BF1的斜率为 得 的关系，从而得出离心率.
3
【详解】设双曲线C 的焦距为 2c．
因为△BF1F2 的内心为 I ，所以设内切圆 I 在 x 轴上的切点为Q s,0 ，与BF1, BF2的切点分别为R,S ，
答案第 8 页，共 14 页
{#{QQABCQYEogioAAAAAQgCAwXqCAKQkBECCIoOBAAMsAABCRNABAA=}#}
所以 QF1 QF2 RF1 SF2 BF1 BR BF2 BS BF1 BF2 ，
即 s c c s 2a ，所以 s a．
因为△BF1F2 的重心为G,GI∥ y 轴，所以x aG ．
又G 在OB 上，且BG 2OG，所以 xB 3a．
x2 y2
又 B 3a, yB 在双曲线C : 1上，所以 y B 3a,2 2b 2 2 B 2 2b ．所以 ．a b
2 2b 4 2 2 9 c2 2
2
所以 k ，整理，得9b 2 3a c ，即 a 2 3a c ， BF1 3a c 3
9
化简，得7c2 12ac 27a2 0，解得c 3a 或c a（舍去）．
7
所以双曲线C 的离心率为 3．
故答案为：3.
17．(1)0.5
(2)一局定胜负对甲更有利
【分析】（1）甲不输是甲获胜与平局互斥的和事件，利用加法公式，求平局的概率；
（2）分别计算一局定输赢和三局两胜情况下甲获胜的概率，比较大小.
【详解】（1）甲乙两人取得平局的概率为0.9 0.4 0.5 .
（2）对于甲来说，一局定胜负的情况下，赢得比赛的概率为 p ，
2 2 1
三局两胜的情况下，赢得比赛的概率为 p 2 p 1 p ，因为0 p ，
2
p2 2 p2 1 p p 3p2 2 p3 p 2 p2 2 p3 p2 p 1 p p 2p 1 0，
2 2
所以 p 2 p 1 p p，则一局定胜负对甲更有利.
答案第 9 页，共 14 页
{#{QQABCQYEogioAAAAAQgCAwXqCAKQkBECCIoOBAAMsAABCRNABAA=}#}
18．(1) x2 y2 2x 4y 15 0
(2) x 2或3x 4y 6 0
【分析】（1）待定系数法设出圆的一般方程解方程组即可求得答案.
（2）利用直线与圆的位置关系，分两种情况讨论可得答案.
【详解】（1）设圆M 的一般方程为 x2 y2 Dx Ey F 0，
1 4 D 2E F 0
把 A, B,C 三点坐标代入可得 9 3D F 0 ，
25 5D F 0
解得D 2, E 4, F 15，
所以圆M 的一般方程为 x2 y2 2x 4y 15 0．
2 2
（2）由（1）得圆M 的标准方程为 x 1 y 2 20，即圆心为M 1,2 ，半径为 2 5 ．
2 2
当直线 l 与 x 轴垂直，即 x 2时，此时 EF 2 2 5 1 2 2 19 ，符合题意；
当直线 l 与 x 轴不垂直时，设该直线的方程为 y k x 2 ，即 kx y 2k 0，
k 2 2k 3
则圆心M 到直线 l 的距离d 20 19 ，解得 k ，
k 2 1 4
所以直线 l 的方程为3x 4y 6 0．
综上，直线 l 的方程为 x 2或3x 4y 6 0．
19．（1） y 0.32t 0.08，预测 2020 年跨年夜参与该商品促销活动的人数为 20 万；（2）①3.5，1.7；①该商
品的最低成交价为 4.8 千元.
答案第 10 页，共 14 页
{#{QQABCQYEogioAAAAAQgCAwXqCAKQkBECCIoOBAAMsAABCRNABAA=}#}
【分析】（1）由题意计算可得 t, y ，代入公式，求得b ，进而可得a ，即可得回归方程，代入 t=6，即可预测
2020 年“跨年夜”参与该商品促销活动的人数；
（2）①由表中的数据，代入公式，即可求得平均数 x 和样本方差 s
2 ；
①由题意可得 和 ，可得根据正态分布的性质，计算对应的概率值，结合题意，即可得最低成交价.
1 2 3 4 5 0.5 0.6 1 1.4 1.7
【详解】解：（1）由题意可知 t 3, y 1.04
5 5
18.8 5 3 1.04所以b 0.32,a 1.04 0.32 3 0.08，
55 5 32
所以归回方程为 y 0.32t 0.08，
当 t=6 时， y 0.32 6 0.08 2 .
所以预测 2020 年跨年夜参与该商品促销活动的人数为 20 万
（2）①由表中的数据，得平均数
200 600 600 300 200 100
x 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 3.5
2000 2000 2000 2000 2000 2000
2 2 200 600 300 200 100
样本方差 s ( 2) ( 1)
2 0 12 22 32 1.7
2000 2000 2000 2000 2000
①由①可知 X ~ N (3.5,1.7)， 1.7 1.3，
又 P(3.5 1.3 X 3.5 1.3) 0.6827 ，
1 0.6827 31730
则 P(X 4.8) 0.15865，又 0.15865，
2 200000
所以该商品的最低成交价为 4.8 千元.
20．(1)证明见解析
15
(2)
5
【分析】（1）利用勾股定理确定BC BC1，根据线面垂直得到 AB BC1，得到C1B 平面 ABC ；
（2）建立空间直角坐标系，确定各点坐标，计算两个平面的法向量，再根据向量的夹角公式计算得到答案.
2 2 2 π
【详解】（1） BCC1中，BC1 BC CC1 2BC CC1 cos 1 4 2 3，即BC1 3，
3
2
满足CC1 BC
2 BC2 BC BC1 ，故 1，
AB 平面BB1C BC 1C ， 1 平面BB AB BC1C1C ，故 1，
又 AB BC B， AB, BC 平面 ABC ，故C1B 平面 ABC ；
（2）如图所示：以BC, BC , BA为 x, y, z1 轴建立空间直角坐标系，
答案第 11 页，共 14 页
{#{QQABCQYEogioAAAAAQgCAwXqCAKQkBECCIoOBAAMsAABCRNABAA=}#}
1 3
A 0,0,2 ， B 0,0,0 ，C 1,0,0 ，C1 0, 3,0 ，E , ,0 ，B1 1, 3,0 ，
2 2
C1B 平面 ABC ，故平面 ABC 的一个法向量为n1 0,1,0 ，
3 3
设平面 AB E的法向量为n x, y, z ， AB1 1, 3, 2 ，EB1 , ,01 2 ，
2 2
n2 AB1 x 3y 2z 0
则 3 3 ，取 x 1得到n2 1, 3,1 ，
n2 EB1 x y 0
2 2
平面 ABC 与平面 AB1E夹角的平面角为锐角，
n1 n2 3 15
故余弦值为 cos n1,n2 .
n n 1 5 51 2
2
21．(1)
3
198
(2)分布列见解析，
125
【分析】（1）根据条件概率的计算公式即可求得答案.
（2）记“先摸球者获胜”为事件 C，求出 P C ，确定 X的取值，求得每个值对应的概率，即可得分布列，继
而求得数学期望.
【详解】（1）记小胡“第一轮摸到白球”为事件 A，“小胡获胜”为事件 B，
1 2 1 1 2 2 1 3 2
3 C A C C A A C A A 2
则 P A ，P AB 3 2 3 2 2 3 2 3 2 ，
5 A3 A55 5 A
5
5 A
5
5 5
P AB 2
故 P B | A ；
P A 3
（2）记一次游戏中“先摸球者获胜”为事件 C，
答案第 12 页，共 14 页
{#{QQABCQYEogioAAAAAQgCAwXqCAKQkBECCIoOBAAMsAABCRNABAA=}#}
C1A2 C1C1 2 3 23 2 3 2A2 A3A2 C
1C1 C1 3 1 3
则 P C 2 3 2
A3 C 2
A3 3
A3 A5 A5 A3 A5
，
5 5 5 5 5 A
5
5 5
则 X的可能取值为0,1,2,3，
3
2 8 3 3 2 2 3 3 2 2 3 48
则 P X 0 ，P X 1 ，
5 125 5 5 5 5 5 5 5 5 5 125
3 2 3 3 3 3 2 3 2 57
P(X 2) ,
5 5 5 5 5 5 5 5 5 125
3 2 2 12
P(X 3) ，
5 5 5 125
故 X的分布列为：
X 0 1 2 3
8 48 57 12
P
125 125 125 125
8 48 57 12 198
故 E X 0 1 2 3 .
125 125 125 125 125
x2
22．(1) y2 1
2
(2)1
【分析】（1）根据题意，列出关于a,b,c的标准方程，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，设直线 l ： y kx 3，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，代入计算，即可得到结果.
b 1
a 2
c 2 x2
【详解】（1） 得 b 1 ，所以椭圆C 的方程为： y2 1 .
a 2 2
2 c 1
a b
2 c2
（2）
y kx 3
设直线 l ： y kx 3，则 2 ，
x 2y
2 2
y 1 2k 2 x2消 得： 12kx 16 0，
答案第 13 页，共 14 页
{#{QQABCQYEogioAAAAAQgCAwXqCAKQkBECCIoOBAAMsAABCRNABAA=}#}
Δ 144k 2 64 1 2k 2 0，
所以 k , 2 2, ，
设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，
12k 16
所以 x1 x2 ， x x ，
1 2k 2
1 2
1 2k 2
y1 1 y2 1
因为P 0,1 ，所以 k1 ， k2 ，
x1 x2
y 1 y 1 kx1 4 kx2 4
k1 k
1
2
2
x1 x2 x1x2
k 2x1x2 4k x1 x2 16
x1x2
16k 2 48k 2 16 32k 2
1 2k 2 1 2k 2 1 2k
2
1
16
1 2k 2
答案第 14 页，共 14 页
{#{QQABCQYEogioAAAAAQgCAwXqCAKQkBECCIoOBAAMsAABCRNABAA=}#}2025届高二年级开学考数学试卷
8,已知抛物线M:x2=4y,圆C:x2+(y-3)=4,在抛物线M上任取一点P,向圆C作两条切线PA和PB,切点
考试时间：150分钟
分别为A,B,则CA.CB的取值范围是()
一、单选题
1.已知经过点A(4,-1)和点B(2,3)的直线的方向向量为(2，m),则实数m的值为()
A.（-4.0]
B.[-4,0)
C.(-8,0]
D.[-8,0)
二、多选题
A.1
B.-1
C.1
D.-4
2.若曲线(x-1)+(y-2)=4上相异两点P、Q关于直线x-y-2=0对称，则k的值为(
9.已知x-2的展开式的各二项式系数的和为128，则()
A.1
B.2
C.3
D.4
A.n=7
B.展开式中x的系数为280
3.如图，平行六面体ABCD-ABCD中，点M在BB上，点N在DD上，且BM=BB,
C,展开式中所有项的系数和为-1
D.展开式中的第二项为T2=84x
D,N=DD,若M=xAB+yAD+zA4,则x+y+z=（)
10.某市两万名高三学生数学期末统考成绩（满分150分）近似服从正态分布N(96,256),则下列说法正确的是()
B.
c.号
(附：若随机变量X服从正态分布N(4,o),则P(4-04.某商品的地区经销商对2023年1月到5月该商品的销售情况进行了调查，得到如下统计表.发现销售量y(万件)
P(4-30与时问x(月)成线性相关，根据表中数据，利用最小二乘法求得y与x的回归直线方程为：y=0.48x+0.56.则下
A.该次成绩高于144分的学生约有27人B.任取该市一名高三学生，其成绩低于80分的概率约为0.023
C.若将该次成绩的前2.28%划定为优秀，则优秀分数线约为128分
列说法错误的是()
D.,试卷平均得分与试卷总分比值为该试卷难度，则该份试卷难度为0.60
时间x(月)
11.已知曲线C:x2cosa+y2=1,其中u∈[0，，则下列结论正确的是()
销售量y(万件
1.62.0a3
A.方程表示的曲线是椭圆或双曲线
B.若a=行，则曲线的焦点坐标为(-L0)和L0)
A.由回归方程可知2024年1月份该地区的销售量为6.8万件
B.表中数据的样本中心点为(3,2.0)
6'3
,则曲线的离心率e厂5-1巨
22
D.若该方程表示双曲线，则其焦距的最小值为2√2
C.a=2.4
D.由表中数据可知，y和x成正相关
5,已知解圆C号+若-1（口>b>0,,尽分别为椭圆的左右焦点，直线y=5与格圆交于小B两点，若片
.y2
12.在正方体ABCD-ABCD中，AB=4,E,F分别为BB,CD的中点，点P满足BP=元BC,元∈[O,,则()
A、F、B四点共圆，则椭圆的离心率为()
A.AF1平面ADE
B.三棱锥P-AD,E的体积与P点的位置有关
1.
3
B.5
C.5-1
D.
3-1
C.DP+B,P的最小值为4+2√互
D.当人GQ兮时，平面PEF截正方体的截面形状为五边形
2
三、填空题
6.如图，圆G,C:在第一象限，且与x轴、直线m均相切，圆心都在直线y=子x上.当
13.已知A(1,1,),B(2,3),C(3,1,3),则AB在AC上的投形向量的模为
C,C相外切时，记圆C,C的面积分别为S,S2,则S,:S2=()
14,如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图可近似地看作如图2所示的五面
A.1:2
B.1:4C,1:9
D.1:16
体EF-ABCD,现装修工人准备用四种不同形状的风铃装饰五脊殿
7.2023年杭州亚运会吉祥物组合为江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州，名为踪踪”、“莲莲”、“宸宸
EF-ABCD的六个顶点，要求E,F处用同一种形状的风铃，其它每
的三个吉样物，是组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉样物安
条棱的两个顶点挂不同形状的风铃，则不同的装饰方案共有种。
装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉样物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉
15.学校给每位教师随机发了一箱苹果，李老师将其分为两份，第1
图2
祥物宸宸”，则不同的安装方案种数为(）
份占总数的40%，次品率为5%，第2份占总数的60%，次品率为4%，若李老师分份之前随机拿了一个发现是次
A.50
B.36
C.26
D.14
品后放回，则该苹果被分到第1份中的概率为
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