2023-2024学年山东省泰安市高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省泰安市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知：，，：，则是的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.方程的解所在的区间是( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数，若将它的图象向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍纵坐标不变，则得到的函数解析式是( )
A. B.
C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.心理学家有时用函数测定在时间单位：内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率假设某个学生需要记忆的量为个成语，此时表示在时间内该生能够记忆的成语个数已知该生在内能够记忆个成语，则的值约为( )
A. B. C. D.
8.已知定义域为的函数为偶函数，记，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，是终边上一点，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 若是弧长为的扇形的圆心角，，则扇形的半径为
D.
11.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 函数的图象关于点对称
B. 函数图象的一条对称轴是直线
C. 是奇函数
D. 在上单调递增
12.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 若，则方程有实根
B. 若函数是定义在上的奇函数，当时，，则
C. 若，的零点分别为，，则
D. 若，的零点分别为，，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的定义域为 ．
14.若“”的否定是真命题，则实数的最小值是______．
15.已知，，且，当取最小值时， ______．
16.当时，且恒成立，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合或，．
若，求；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已和函数．
若的解集为，求实数的值，
若恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知．
若为第二象限角，求的值；
若，均为锐角且，求的值．
20.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
若，求的值；
求在上的最值．
21.本小题分
某动力电池生产企业为提高产能，计划投入万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后前年的维护成本为万元，每年电池销售收入为万元，设使用该批智能机器人后前年的总盈利额为万元．
写出关于的函数关系式，并求该电池生产企业从第几年开始盈利；
使用若干年后对该批智能机器人处理方案有两种．
方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以万价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以万元的价格处理．
问哪种方案更合理？并说明理由．
22.本小题分
已知是偶函数．
若函数的最小值为，求实数的值；
若恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：全集，集合，
，
又集合，
．
故选：．
利用集合的基本运算求解．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为：，，，即；
而，表明，同号，即可推得，，，或，，
即不能由推得，
故是的充分不必要条件．
故选A．
直接利用充要条件的判定方法判断即可，，，，而不能推得，．
本题考查充要条件的判断，考查逻辑推理能力，属基础题．
3.【答案】
【解析】解：令，则方程的近似解，，即函数的零点，
在上，，
，，
函数的零点在上，
故选C．
方程的解即对应函数的零点，由，知，方程的零点在上，即可得答案．
本题考查方程的解与函数零点的关系及用二分法求方程的近似解．本类题解决的方法是用二分法求区间根的问题以及函数思想，和方程思想的应用，属于基础题型．
4.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
则．
故选：．
由已知函数解析式先求出，进而可求．
本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：函数，若将它的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再将横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象．
故选：．
直接利用三角函数的图象的平移变换和伸缩变换求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数图象的平移变换和伸缩变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，
，
即，
即，即，
解得．
故选：．
利用两角差的正切公式化简，即可求解．
本题主要考查两角差的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题意可得，，
即，
所以，
所以．
故选：．
根据已知条件，结合对数函数的公式，即可求解．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了指数式与对数式的互化，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：为偶函数，
，即，解得，
，且在上单调递增．
，，，
又，
．
故选：．
依题意，可求得，，且在上单调递增，从而可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：因为，
所以，，
所以，即舍或，A正确；
当时，显然错误；
由可得，，C正确；
由，可得，
故，D正确．
故选：．
由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了不等式性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为，是终边上一点，
所以且为第二象限角，
所以，，A错误；
所以，B正确；
若是弧长为的扇形的圆心角，，则，
故扇形的半径，C正确；
，D错误．
故选：．
结合三角函数的定义检验选项A，，，结合扇形的弧长公式检验选项C．
本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，扇形的弧长公式的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由于；
对于：当时，，故A错误；
对于：当时，，故B正确；
对于：，故该函数为奇函数，故C正确；
对于：由于，所以，故函数在该区间上不单调，故D错误．
故选：．
首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的恒等变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于：因为函数，
所以，
即，
在坐标系中分别作出与的图象，
如图：
无论取何值的图象始终与图象有交点，故A正确；
对于：因为函数是定义在上的奇函数，当时，，
所以时，，
令，则，
所以，
因为，
所以，
即，
综上：，故B正确；
对于：由函数，得，
所以的图象关于直线对称，
，是函数和的图象与函数的图象的交点的横坐标，
已知，，
又，
所以，
即，
所以，故C正确；
对于：由于，
当且仅当，即时等号成立，
但，因而，上式等号不成立，所以，故D正确．
故选：．
对于：利用图象交点判断实根的个数即可；对于：设，则，代入解析式，再利用奇偶性即可求解；对于：根据互为反函数的两个函数图象关于对称，即可求解；对于：利用基本不等式得出，再判断等号取不到即可．
本题考查函数性质应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】【分析】
由对数式的真数大于，分母中根式内部的代数式大于，联立不等式组求解．
本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
【解答】
解：要使原函数有意义，则，解得．
函数的定义域为．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：“”的否定是“，”，它是真命题，
因为时，，所以，
即实数的最小值是．
故答案为：．
写出该命题的否定，根据命题的否定是真命题，求出的取值范围，即可得出结果．
本题考查了存在量词命题的否定应用问题，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：，即，
则，当且仅当，即，时取等号，此时．
故答案为：．
由已知结合基本不等式等号成立的条件可求，，进而可求．
本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：时，函数的图象如下图所示；
对任意的，，
即不等式恒成立，
的图象恒在图象的上方如图中虚线所示；
又函数的图象与的图象交于点时，
，解得，
虚线所示的的图象对应的底数应满足．
即的取值范围为：．
故答案为：．
根据题意画出函数和的图象，结合两个函数的图象求出实数的取值范围．
本题考查了指数函数、对数函数的图象与性质的应用问题，是中档题．
17.【答案】解：或或．
当时，，
；
，，
或，或．
实数的取值范围为．
【解析】根据集合运算的定义即可得；根据，可确定实数的范围．
本题考查集合的运算，属于基础题．
18.【答案】解：的解集为，
且是方程两个实数根，
由韦达定理得，
；
由题意，恒成立，
当时，不成立，
当时，，
，
故的取值范围为．
【解析】由已知二次不等式与二次方程的转化关系及方程的根与系数关系即可求解；
由已知结合二次函数的性质对是否为进行分类讨论即可求解．
本题主要考查了二次方程与二次不等式转化关系的应用，还考查了由二次不等式恒成立求解参数范围，属于中档题．
19.【答案】解：，
，
．
为第二象限角，
，
．
，
，
，，
又，
，
．
【解析】利用诱导公式化简已知等式可求出的值．
利用同角三角函数的基本关系即可求解；
利用二倍角公式，同角三角函数的基本关系以及两角差的正弦公式求解即可．
本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，二倍角公式以及两角差的正弦公式，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：由函数的部分图象知，，
，
，
将代入，可得，
，
，
又，
，
，
，
，
或，
或；
，
，
，
当，即时，，
当，即时，．
【解析】由函数图象可得，的值，利用周期公式可求的值，将代入，结合，可求，可得函数解析式，即可求解；
利用三角函数恒等变换的应用可求，由题意可求，利用正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了由的部分图象确定其解析式以及正弦函数的性质，考查了函数思想和转化思想，属于中档题．
21.【答案】解：由题意可得
，
令，可得，
又因为．
所以该企业从第年开始盈利．
方案二更合理，理由如下：
方案一：因为，，
所以当时，取到最大值，
若此时处理掉智能机器人，总利润为万元，
方案二：年平均盈利额万元，
当且仅当时，等号成立，此时年平均盈利额最大，
若此时处理掉智能机器人，总利润为万元，
两种方案总利润都是万元，但方案二仅需三年即可，故方案二更合理．
【解析】根据题意，直接求得关于的函数关系式，令，结合的取值范围，即可求得结果；
分别求得两种方案下的总利润，结合使用年限，即可判断．
本题主要考查根据实际问题选择函数类型，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：是偶函数，
恒成立，
即恒成立，
恒成立，
，解得，
；
，
，
令，，
，
的最小值为，
即的最小值为，
等价于或，
；
，
设，
任取，，，
则，
，
，
，
单调递增，
又单调递增，
在上单调递增，
，是偶函数，
，
，
，
或或，
实数的取值范围为．
【解析】根据题意求得；
，令，，则有的最小值为，结合二次函数的性质求解即可；
利用单调性的定义可得在上单调递增，于是有，求解即可．
本题考查了对数函数的性质、考查了函数的单调性及奇偶性、转化思想，属于中档题．
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