2023-2024学年苏教版小学数学五年级下册第三单元《因数与倍数》单元测试（含答案解析）

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第三单元 因数与倍数 -2023-2024学年五年级数学下册（苏教版）
考试分数：100分；考试时间：90分钟
注意事项：
1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在答题卡规定的位置上。
2．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效。
3．考试结束后将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（共20分）
1．1角、2角、5角三种硬币共26枚，2角全部换成5角硬币，1角全部换成5角硬币后，硬币总数变为11枚，原有5角硬币（ ）枚。
A．3 B．5 C．6 D．15
2．7是21和42的（　　）
A．、质因数 B．、公因数 C．、最大公因数
3．在3□5的方框里填上合适的数，使这个数是3的倍数，有（ ）种填法。
A．2 B．3 C．4
4．5和7都是35的（ ）。
A．质因数 B．互质数 C．公因数
5．36□□同时是2、3、5的倍数，□□中的数最大是( )．
A．95
B．90
C．85
D．80
6．105可以分解成105=3×5×7．那么105的因数共有（　　）
A．3个 B．5个 C．6个 D．8个
7．a、b、c是不相同的自然数，M=a×b×c，则M的因数的个数至少有（　　）个．
A．3 B．4 C．6 D．8
8．下列说法正确的有（ ）句。
①如果王校长想了解一到六年级各个年级男、女生人数情况，应该选用复式折线统计图。
②x－0.9x＝2－0.9x是方程。
③两个非零自然数相乘，积一定是合数。
④如果a÷b＝5（a、b是整数），那么a和b的最大公因数是b。
A．1 B．2 C．3 D．4
9．6的因数有1，2，3，6，而这几个因数之间的关系是：1＋2＋3＝6。像6这样的数叫做完美数，下面三个数中完美数是（ ）。
A．10 B．20 C．28
10．下列分解质因数（ ）是正确的。
A．18＝2×3×3 B．36＝4×3×3 C．57＝3×19×1 D．3×2×2×2＝24
二、填空题（每空2分，共24分）
11．有四个因数的最大一位数是( )．
12．在2、5、10、17…这一列数中第八个数是( )。
13．写出902后面的5个连续奇数：( )．
14．把长120厘米、宽80厘米的长方形纸片剪成若干个相等的小正方形，并且无剩余，最少可以剪( )个。
15．从“0、3、5、7”这4个数中，选出3个组成三位数。
（1）组成的数是2的倍数有：( )
（2）组成的数是3的倍数有：( )
16．丹丹和佳佳定期到敬老院服务，丹丹每6天去一次，佳佳每8天去一次。她们6月30日同时去图书馆服务，下一次同时去图书馆服务是7月( )日。
17．如果b÷6＝a（b、a均是不为0的自然数），那么b和a的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
18．三个连续的奇数，如果中间一个数是a，那么另外两个数是( )和( )，它们的平均数是( )。
三、判断题（共9分）
19．一个数的因数中最大的就是它本身．( )
20．若干个自然数（0除外）连乘，只要其中有一个数是偶数，积一定是偶数。( )
21．2×4=8，所以2是因数，8是倍数．( )
22．因为5×12=60，所以5和12是因数，60是倍数．( )
23．如果用2a（a为自然数）来表示一个偶数，那么2a+1一定是奇数( )
24．一个数的约数和倍数有时是相等的．( )
25．任意两个偶数的和一定是合数．( )
26．2014既是2的倍数又是3的倍数．( )
27．互不相等的两个自然数的最小公倍数肯定比这两数的最大公约数大( )
四、计算题（共17分）
28．口算（共8分）
1.3×4 7.6＋1.4 0÷10 1÷2.5
0.32÷0.8 8－0.8 7÷0.14 1÷0.02
29．解方程（每题3分，共9分）
0.7x÷6＝2.8 0.9x—4＝13.1 0.82×7＋0.77x＝7.28
五、解答题（共30分）
30．如果一个直角三角形的两个锐角的度数均为质数，则称这种三个角形为“质数直角三角形”。那么，有一边长度为1的“质数直角三角形”有多少个？
小军每隔1天去游泳馆一次，小芳每隔2天去游泳馆一次，他俩于8月1日同时在游泳馆相遇，那么在接下来的八月份中，有哪几天他们也会在游泳馆相遇？
中秋节，小明的外婆从家乡带来一篮李子，小明数了数，发现每次拿出4个、每次拿出5个或每次拿出6个，都恰好拿完，又知道李子的总数不足100个，试问这篮李子共多少个？
一排彩旗，每两面彩旗间的距离是10米，现在改为15米．如果起点的一面旗位置不变，那么至少间隔多远又有一面彩旗可以不用移动位置？
今有10个质数：17、23、31、41、53、67、79、83、101、103，如果将它们分成两组，每组五个数，并且两组的五个数之和相等，那么把含有101的这组数从小到大排列，第二个数应是什么？
35．羊村有一条街道长300米，原来在街道的一旁每隔10米装有一盏路灯（两头都有）。现在换了新型节能灯泡，亮度增强。为了节约电能，要改12米装1盏。安装过程中有多少盏路灯不需要移动？
参考答案：
1．C
【分析】2角全部换成5角硬币，1角全部换成5角硬币，可知2角的枚数和1角的枚数都是5的倍数，5枚1角换成1枚5角，减少了4枚；5枚2角换成2枚5角，减少了3枚。总共减少了（26－11＝15）枚，所以只有一种情况：减少了3次4枚的和1次3枚的。所以原来1角硬币有（5×3＝15）枚，2角硬币有5枚，5角硬币有（26－15－5＝6）枚。
【详解】根据分析可知，原有5角硬币6枚。
故答案为：C
【点睛】考查了学生逻辑推理的能力，解题的关键是分析出2角的枚数和1角的枚数都是5的倍数。
2．B
【详解】试题分析：把21和42的因数分别写出来，进一步发现它们的公因数与最大公因数，由此解决问题即可．
解：21的因数有：1，3，7，21；
42的因数有：1，2，3，6，7，14，21，42；
由此可以看出7是21和42的公因数．
故选B．
点评：此题主要考查求一个数因数的方法以及如何找出两个数的公因数与最大公因数．
3．B
【分析】根据3的倍数特征，一个数各个数位上的数字加起来的和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。据此解答。
【详解】3＋5＋1＝9
3＋5＋4＝12
3＋5＋7＝15
9、12、15都是3的倍数，所以□可以填1、4、7三个数。
故答案为：B
【点睛】掌握3的倍数特征是解答本题的关键。
4．A
【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。
【详解】把35分解质因数：35＝5×7
所以5和7是35的质因数。
故答案为：A
【点睛】此题主要考查互质数、公因数、质因数的概念及意义，和分解质因数的方法。
5．B
【详解】2的倍数的数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数；3的倍数的数的特征：一个数的各个位上的数的和是3的倍数；5的倍数的数的特征：个位上是0或5的数；题中要求的是一个数的最后两位，这个数同时是2、3、5的倍数，那么这个数的个位上是0，这个数的前两位的和是3+6=9，是3的倍数，所以这个数的十位上可以填的数有0、3、6、9，因为最后的两个数要最大，所以十位上填9，个位上填0．
6．D
【详解】试题分析：根据题干，105=3×5×7，所以105的因数有：1，3、5、7、105，还有15（3×5）、21（3×7）、35（5×7），由此即可解答问题．
解：因为B=105=3×5×7，
所以105的因数有1，3、5、7、105，还有15（3×5）、21（3×7）、35（5×7），共8个．
故选D．
点评：注意分解质因数和求一个数的因数的区别．
7．D
【详解】试题分析：根据分解质因数的等式M=a×b×c，可以确定A的因数是它的质因数中的一个或几个质因数乘积的组合；然后运用枚举法一个一个的写出即可．
解：A的因数有：1，a，b，c，ab，bc，ac，abc，共8个；
答：A至少有8个因数．
故答案为D．
点评：补充知识点：求因数的个数还可以根据A=a1×b1×c1，用（1+1）×（1+1）×（1+1）=8个来计算．
8．B
【分析】根据各知识点要求进行逐一分析判断即可解答。
【详解】①因为王校长只是了解数据的多少，没要求趋势。所以用复式条形统计图就可以，所以错误；
②因为x－0.9x＝2－0.9x是含有未知数的等式，所以正确；
③两个非零自然数相乘，积不一定是合数；比如1和2相乘，结果是2，2是质数，所以错误；
④两个数是倍数关系时，较小数是最大公因数；从题可知a比b大，所以最大公因数是b，所以正确。
故答案为：B
【点睛】此题考查了统计图的选择、方程的判定、合数的含义和最大公因数的求取方法，需要学生仔细观察，认真分析各选项的对错进行解答。
9．C
【分析】根据完全数的定义，可将下列选项中的数字进行计算，即可得出答案。
【详解】A．10的因数有1、2、5、10，1＋2＋5≠10；
B．20的因数有1、2、4、5、10、20，1＋2＋4＋5＋10≠20；
C．28的因数有1、2、4、7、14、28，1＋2＋4＋7＋14＝28；
故答案为：C
【点睛】此题首先要理解完美数的含义，其次要掌握一个数的因数的求法。
10．A
【分析】把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。据此解答。
【详解】A.18＝2×3×3，2、3、3是18的质因数，此选项正确；
B.36＝4×3×3，4不是质数，即不是36的质因数，此选项错误；
C.57＝3×19×1，1不是质数，即不是57的质因数，此选项错误；
D.分解质因数应为24＝3×2×2×2，此选项书写格式错误。
故答案为：A
【点睛】分解质因数时，必须把合数分解成几个质数相乘的形式。要注意书写格式。
11．8
【详解】试题分析：最大一位数是9，它有1、3、9三个因数，不符合题意，进而看8，8有1、2、4、8四个因数，符合题意，所以有四个因数的最大一位数是8．
解：由分析可知：有四个因数的最大一位数是8，
故答案为8．
点评：此题考查了怎样找一个数的因数，解答此题可运用排除法，从而找出答案．
12．65
【分析】2＋3＝5，5＋5＝10，10＋7＝17，加数3、5、7是连续的奇数，前一个数加一个奇数等于后一个数。
【详解】根据规律可知，第5个数是17＋9＝26；
第6个数是26＋11＝37；
第7个数是37＋13＝50；
第8个数是50＋15＝65。
【点睛】此题主要考查学生对数字规律的理解与应用，总结规律，根据规律进行列举即可解答。
13．903、905、907、909、911
【详解】试题分析：根据奇数的意义：在自然数中，不是2的倍数的数叫做奇数．相邻的奇数相差2．据此解答．
解：写出902后面的5个连续奇数：903、905、907、909、911．
故答案为903、905、907、909、911．
【点评】此题考查的目的是掌握奇数的意义，明确：相邻的奇数相差2．
14．6
【分析】由于把长方形剪成若干个相等的小正方形，没有剩余，说明小正方形的边长是120和80的公因数，由于最少可以剪多少个，那么小正方形的边长最大即可，则求120和80的最大公因数，之后再用长除以小正方形的边长求出一行有多少个，再用宽除以小正方形的边长求出有几行，之后相乘即可。
【详解】120＝2×2×2×3×5
80＝2×2×2×2×5
2×2×2×5＝40（厘米）
120÷40＝3（个）
80÷40＝2（个）
3×2＝6（个）
最少可以剪6个正方形。
【点睛】本题主要考查最大公因数的找法，也可以把两个数的因数都求出来，找出最大公因数。
15． 350、370、530、570、730、750 357、375、507、537、570、573、705、735、750、753
【分析】首先写出从“0、3、5、7”这4个数中，选出3个组成的三位数。根据2、3、5的倍数特征，（1）只要这个数的个位是0、2、4、6、8，组成的数就是2的倍数；（2）个位上是0或5组成的数是5的倍数；（3）各个数位上的数字和是3的倍数，组成的数是3的倍数。作答即可。
【详解】从“0、3、5、7”这4个数中，选出3个组成的三位数有：305、307、350、357、370、375、503、507、530、537、570、573、703、705、730、735、750、753；
（1）2的倍数有：350、370、530、570、730、750；
（2）3的倍数有：357、375、507、537、570、573、705、735、750、753；
（3）5的倍数有：305、350、370、375、530、570、705、730、735、750；
（4）既是2、3又是5的倍数有：570、750
【点睛】熟练掌握2、3、5的倍数特征是解题关键。注意写数字时候不要重复和遗漏。
16．24
【分析】要求下一次都到图书馆服务是几月几日，先求出她俩再次都到图书馆所需要的天数，也就是求6和8的最小公倍数，6和8的最小公倍数是24，所以她们6月30日同时去图书馆服务，再过24天就是下一次同时去图书馆服务的日期。
【详解】6＝2×3，8＝2×2×2，6和8的最小公倍数是2×2×2×3＝24，6月30日再过24天是7月24日。
【点睛】此题考查用求最小公倍数的方法解决生活中的实际问题，解决此题关键是先求出这两个人再次都到图书馆中间相隔的时间，也就是求8和6的最小公倍数。
17．a b
【分析】根据题意可知，b是a的倍数；当两个数为倍数关系时，最大公因数为较小的数，较大的那个数是这两个数的最小公倍数，据此解答即可。
【详解】由分析可知：如果b÷6＝a（b、a均是不为0的自然数），那么b和a的最大公因数是a，最小公倍数是b。
【点睛】明确求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法是解答本题的关键。
18．a－2 a＋2 a
【分析】根据奇数的意义：在自然数中，不能被2整数的数为奇数，相邻的两个奇数之间相差2，如果中间一个数是a，另两个是a－2和a＋2，再把三个奇数相加，除以3，即可求出平均数。
【详解】中间数为a，则另两个为a－2和a＋2
（a－2＋a＋a＋2）÷3
＝3a÷3
＝a
【点睛】本题考查奇数的意义，以及平均数的求法。
19．√
【详解】试题分析：因为任何数×1=原数，所以一个数的最小因数是1，最大是它本身．
解：一个数的因数中最大的就是它本身．
故答案为√．
点评：考查了找一个数的最大因数．一个数的最小因数是1，最大是它本身，是基础题型．
20．√
【分析】根据数的奇偶性可知，偶数×偶数＝偶数，偶数×奇数＝偶数即可解答。
【详解】根据分析可知，若干个自然数（0除外）连乘，只要其中有一个数是偶数，积一定是偶数。
所以原题说法正确。
【点睛】掌握奇数和偶数的性质是解题的关键，需要牢记偶数×偶数＝偶数和偶数×奇数＝偶数。
21．×
【详解】试题分析：根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；因为8÷2=4，8÷4=2，所以2和4是8的因数，8是2和4的倍数；因数和倍数相互依存的，不能单独存在；进而判断即可．
解：2×4=8，所以2是因数，8是倍数，说法错误，只能说2和4是8的因数，8是2和4的倍数，因数和倍数不能单独存在；
故答案为×．
【点评】此题考查了因数和倍数的意义，明确因数和倍数是相互依存的，不能单独存在．
22．×
【详解】试题分析：根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可．
解：因为5×12=60，所以60÷12=5，60÷5=12，
那么可以说5和12是60的因数，60是5和12的倍数；
因数和倍数不能单独存在，所以本题说法错误；
故答案为×．
点评：此题考查了因数和倍数的意义，应明确因数和倍数是相对而言，不能单独存在．
23．√
【详解】试题分析：在自然数中，能被2整除的数为偶数，不能被2整除的数为奇数；如果用2a（a为自然数）来表示一个偶数，那么2a+1一定是奇数．
解：根据偶数与奇数的意义可知，
如果用2a（a为自然数）来表示一个偶数，那么2a+1一定是奇数．是正确的．
故答案为√．
【点评】明确偶数与奇数的意义是完成本题的关键．
24．√
【详解】试题分析：一个数的约数和倍数相等，也就是一个数的最大公约数和最小公倍数相等；当一个数的最大约数是它本身，最小倍数也是它本身时，约数和倍数相等； 如：3的最大约数是3，最小倍数也是3；据此解答即可．
解：由分析知：当一个数的最大约数是它本身，最小倍数也是它本身时，约数和倍数相等；
故答案为√．
点评：此题应根据因数和倍数的意义进行分析、解答．
25．×
【详解】略
26．×
【详解】试题分析：根据2、3的倍数的特征，个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数；各位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数；既是2的倍数又是3的倍数的特征是：个位上必须是偶数且各位上的数字之和是3的倍数．据此判断．
解：既是2的倍数又是3的倍数的特征是：个位上必须是偶数且各位上的数字之和是3的倍数，
2014个位上是偶数，
2+0+1+4=7不是3的倍数，
所以2014既是2的倍数又是3的倍数，说法错误，
故答案为×．
【点评】此题考查的目的是理解掌握2、3的倍数的特征．
27．√
【详解】试题分析：根据求两个数的最小公倍数和最大公因数的方法，可知互不相等的两个自然数的最小公倍数肯定比这两数的最大公约数大；可举三例进一步验证．
解：（1）两个数互质，如6和7，最小公倍数是42，最大公因数是1，42＞1；
（2）两个数有倍数关系，如12和3，最小公倍数是12，最大公因数是3，12＞3；
（3）一般的两个数，如12和8，最小公倍数是24，最大公因数是4，24＞4；
所以互不相等的两个自然数的最小公倍数肯定比这两数的最大公约数大．
故答案为正确．
点评：求两数的最小公倍数和最大公因数，要看两个数之间的关系：两个数互质，则最小公倍数是它们的乘积，最大公因数是1；两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数，最大公因数是较小的数；一般的两个数，最小公倍数是两个数公有质因数与每个数独有质因数的连乘积，最大公因数是两个数公有质因数的连乘积．
28．5.2；9；0；0.4；
0.4；7.2；50；50
【分析】根据小数加减乘除法的计算方法解答。
【详解】1.3×4＝5.2 7.6＋1.4＝9 0÷10＝0 1÷2.5＝0.4
0.32÷0.8＝0.4 8－0.8＝7.2 7÷0.14＝50 1÷0.02＝50
【点睛】直接写得数时，注意数据特点和运算符号，细心解答即可。
29．x＝24；x＝19；x＝2
【分析】解方程时，先把相同的项放在一起计算，即把含有x的项放在等号的左边，把常数项放在等号的右边，然后等号两边同时除以x前面的系数，就可以解得x的值。
【详解】0.7x÷6＝2.8
解：0.7x＝2.8×6
0.7x＝16.8
x＝16.8÷0.7
x＝24
0.9x－4＝13.1
解：0.9x＝13.1＋4
0.9x＝17.1
x＝17.1÷0.9
x＝19
0.82×7＋0.77x＝7.28
解：5.74＋0.77x＝7.28
0.77x＝7.28－5.74
0.77x＝1.54
x＝1.54÷0.77
x＝2
【点睛】考查了解方程，关键是要理解解方程的依据是等式的性质即等式的两边同时加减同一个数等式仍然成立，或等式两边同时乘除（不为0）同一个数，等式仍然成立。
30．27个
【分析】先找出和为90的质数共有多少对，每一对角度中可构成边长为1的“质数直角三角形”3个，再用求出和为质数有多少对×3，就是有一边长为1的“质数直角三角形”有多少个；据此解答。
【详解】和为90的质数有：
83＋7、79＋11、73＋17、71＋19、67＋23、61＋29、59＋31、47＋43、53＋37，一共有9对。
9×3＝27（个）
答：有一边长为1的“质数直角三角形”有27个。
【点睛】本题考查合数与质数，关键是找出和为90的质数一个有多少对。
31．8月7日、8月13日、8月19日、8月25日、8月31日
【详解】试题分析：小军每隔一天就是两天去一次，小芳每隔两天就是三天去一次，2和3的最小公倍数就是它们再次去游泳的时间间隔；8月1日同时在游泳馆相遇，则根据2和3的最小公倍数往后推算出8月份中在游泳馆相遇的日期．
解：小军每隔一天就是两天去一次，小芳每隔两天就是三天去一次，
2和3的最小公倍数是：2×3=6，即每6天相遇一次，
8月1日他们在游泳馆相遇，接下来的八月份中，在游泳馆相遇时间为：8月7日、8月13日、8月19日、8月25日、8月31日；
答：接下来的八月份中，在游泳馆相遇时间为：8月7日、8月13日、8月19日、8月25日、8月31日．
点评：本题关键是找出他们每次同时去游泳馆的相隔的时间，进而根据开始的时间推算求解；应明确8月是大月，有31天．
32．60个
【详解】试题分析：即求100以内的4、5、6的最大的公倍数，先求出4、5、6的最小公倍数，然后找出符合要求的即可．
解：4=2×2，6=2×3，
4、5、6的最小公倍数2×2×3×5=60，所以李子的个数是60的倍数；
又因为总数小于100，所以这篮李子共有60个；
答：这篮李子共60个．
点评：此题主要考查求三个数的最小公倍数的方法：三个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数．
33．30米
【详解】试题分析：求出10和15的最小公倍数，即可得解．
解：10=2×5，
15=3×5，
10和15的最小公倍数是2×3×5=30，
所以至少间隔30米又有一面彩旗可以不用移动位置．
点评：灵活应用求几个数的最小公倍数的方法来解决实际问题．
34．31
【分析】本题考查的主要内容是质数和合数应用问题，根据质数和合数的定义进行分析解答。
【详解】这10个质数之和是598，分两组后，每组五个数之和是598÷2＝299；
在有79这组数中，其他四个质数之和是299－79＝220，个位数是0，因此这四个质数的个位数可能有三种情况：
①三个1和一个7；
②两个3和两个7；
③三个3和一个1。
31＋41＋101＝173，220－173＝47，可这十个数中没有47，情形①被否定。
17＋67＝84，220－84＝136，个位数为3的有23、53、83、103，只有53＋83＝136，因此从情形②得到一种分组：17、53、67、79、83和23、31、41、101、103。
所以含有101这组数中，从小到大排列第二个数是31。
从情形③来看，23＋53＋83＋103＝262，262－220＝42，我们能否从53，83，103中找出一个数，用比它少42的数来代替呢？
53－42＝11，83－42＝41，103－42＝61。这十个数中没有11和61，只有41。又得到另一种分组：23、41、53、79、103和17、31、67、83、101。由此可见，不论哪一种分组，含101这组数中，从小到大排列后，第二个数都是31。
【点睛】此题的解答思路要开阔，考虑要周全，分析所包含的各种情况，提高分析解决问题的能力。
35．6盏
【分析】根据题意，不需要重新安装的是10米与12米的公倍数的路灯杆，即60米倍数的路灯杆不移动，也就是求出每隔60米路灯杆的根数，加上开头的那一根即可。
【详解】由分析可知：10和12的最小公倍数是60。
300÷60＋1
＝5＋1
＝6（盏）
答：安装过程中有6盏路灯不需要移动。
【点睛】本题主要考查公倍数的应用，找准最小公倍数是解题的关键。