基本内容 角
知识精要
概念
定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.
定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.
(1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.
(2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.
（3）两个角可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一个角，它的度数等于这个角的度数的和（或差）.
表示方法
表示方法 用三个大写字母来表示 用一个大写字母来表示 用数字来表示角 用希腊字母来表示角
图示
角平分线: 从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线.
互余：如果两个角的度数和是，那么这两个角叫做互为余角，简称互余。（其中一个角称为另一个角的余角。)
互补：如果两个角的度数的和是，那么这两个角叫做互为补角，简称互补。（其中一个角称为另一个角的补角。）
（注：同角（或等角）的余角和补角相等。）
角的度量单位换算：
热身练习
一、判断题
1、一条直线是一个平角；（ ⅹ ）
2、小于钝角的角都是锐角；（ √ ）
3、如果和两角互补，和两角互余，那么；（ √ ）
4、互补的两个角中一定有一个角是锐角。（ ⅹ ）
5、有公共端点的两条射线叫做角 。（ ⅹ ）
6、角的边的长短，决定了角的大小。（ ⅹ ）
7、互余且相等的两个角都是45°的角。（ √ ）
8、若两个角互补，则其中一定有一个角是钝角。（ ⅹ ）
二、选择题
1、钟表上的时间指示为两点半，这时时针和分针之间所形的成的（小于平角）角的度数（ B ）。
A. B. C. D.
2、一个锐角的余角加上，就等于（ C ）
A.这个锐角的两倍数 B.这个锐角的余角
C.这个锐角的补角 D.这个锐角加上
3、已知、都是钝角，甲、乙、丙、丁四人计算的结果依次是30°、35°、60°、75°，其中恰有正确结果．这个正确结果是（ C ）
A.30° B.35° C.60° D.75°
4、如图，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝30°．图中互补的角有（ B ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A.10对 B.4对 C.3对 D.14对
5、下列说法中正确的是（ A ）
A. 角是由一条射线旋转而成的 B. 角的两边可以度量
C. 一条直线就是一个平角 D. 平角的两边可以看成一条直线
6、下列四个图形中，能用∠，∠O，∠AOB三种方式正确表示同一个角的图形是（ C ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A B C D
7、下列说法中正确的是（ C ）
A. 一个角的补角一定比这个角大 B. 一个锐角的补角是锐角
C. 一个直角的补角是直角 D. 一个锐角和一个钝角一定互为补角
三、填空题
1、如图1,∠AOB___>___∠AOC, ( http: / / www.21cnjy.com )∠AOB___>____∠BOC(填>,=,<); 用量角器度量∠BOC=____°,∠AOC=______°,∠AOC___>___∠BOC.
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
2、如图2,∠AOC=______+______=______-______;∠BOC=__∠AOC____-______= _____-________.
3、OC是∠AOB内部的一条射线,若∠AOC=________,则OC平分∠AOB;若OC 是∠AOB的角平分线,则_________=2∠AOC.
4、填写适当的分数：=____直角=____平角=____周角。
5、计算：=____；=____。
6、由2点30分到2点55 ( http: / / www.21cnjy.com )分，时钟的时针旋转了___12.5_____度，分针旋转了___150_____度，此刻时针与分针的夹角是___117.5_____度．
7、如图,直线AB、CD相交于点O,OE平分∠COD,则∠BOD的余角______, ∠COE的补角是_______,∠AOC的补角是___________.
( http: / / www.21cnjy.com )
∠ 与它的余角相等，∠ 与它的补角相等，则∠ ＋∠ ＝__135__°．
互为余角两角之差是35°，则较大角的补角是__62.5___°．
10、钟表在12时15分时刻的时针与分针所成的角是__82.5___°．
四、解答题
1、如图,已知∠1,∠2,画出一个角,使它等于3∠1-∠2.
( http: / / www.21cnjy.com )
解：略
2、读句画图填空（每空1分，共10分）
（1）画∠AOB＝60°．
（2）画∠AOB的平分线OC，则∠BOC＝∠_AOC___＝∠_AOB___＝_30___°．
（3）画OB的反向延长线OD，则∠AOD＝∠_BOD___－∠AOB＝__120___°．
（4）画∠AOD的平分线OE，则∠AOE＝∠__DOE__＝__60___°，∠COE＝__90___°．
（5）以O为顶点，OB为一边作∠AOB的余角∠BOF，则∠EOF＝__150__°，射线OC、OB将∠__AOF__三等分．
( http: / / www.21cnjy.com )
五、计算
1．37°28′＋44°49′； 2．108°18′－52°30″；
3．25°36′×4； 4．40°40′÷3．
答案：1,83 °17′ 2,55 °48′ 3,102 °24′ 4,13°′
精解名题
例1、已知∠，∠，∠，画∠AOB，使∠AOB＝2∠＋∠－∠ ．
( http: / / www.21cnjy.com )
【提示】方法一：先量、后算、再画；
方法二：叠加法，逐步画出．
【答案】方法一：
量得∠＝25°，∠＝54°，∠＝105°，
∠AOB＝2∠ ＋∠ －∠
＝2×25°＋54°－×105°
＝50°＋54°－35°
＝69°．
画∠AOB＝69°，则∠AOB就是所要画的角．
( http: / / www.21cnjy.com )
方法二：
画法：
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）画∠AOC＝∠ ，
（2）以O为顶点，OC为一边在∠AOC的外部画∠COD＝∠ ．
（3）以O为顶点，OD为一边在∠AOD的外部画∠DOE＝∠ ．
（4）以O为顶点，OE为一边在∠EOA的内部画∠EOB＝∠ ．
则∠AOB就是所要画的角．
例2、 若一个角的余角与这个角的补角之比是2∶7，求这个角的补角．
解：这个角的补角为
例3、如图,已知直线AB和CD相交于O点,∠COE是直角,OF 平分∠AOE, ∠COF=34°,求∠BOD的度数.
解：角∠BOD的度数为。
例4、如图，OA的方向是北偏东15°,OB的方向是西偏北50°。
（1）若∠AOC=∠AOB，则OC的方向是__东偏北_________；
（2）OD是OB的反向延长线,OD的方向是___南偏东______；
（3）∠BOD可看作是OB绕点O逆时针方向至OD,
作∠BOD的平分线OE,并用方位角表示OE的方向是____西偏南_________。
（4）在(1)、（2）、（3）的条件下，求∠COE。
答：∠COE的度数
备选例题：
例1、如图,三角形ABC中,AB=AC,延长CA,用量角器量∠B、∠C、∠BAD。
(1)你能得出什么结论,猜想∠BAD、∠B、∠C的关系(可多画几个类似图形尝试)
(2)用你得出的结论和猜想的关系解决下列问题:
一暗礁边缘有一标志C在灯 ( http: / / www.21cnjy.com )塔B北偏西80°的方向上,与灯塔B的距离为30海里, 轮船从灯塔正南方30海里的A处出发,若航行方向是北偏西45°, 轮船能避开暗礁吗 说明理由.
解：（1）∠BAD=∠B+∠C
（2）能避开，因为AB=BC，如果避不开根据（1）得到的信息
则C应该在灯塔北偏西。
巩固练习
1、下列说法错误的是( D )
A.角的大小与角的边画出部分的长短没有关系；
B.角的大小与它们的度数大小是一致的；
C.角的和差倍分的度数等于它们的度数的和差倍分；
D.若∠A+∠B>∠C,那么∠A一定大于∠C。
2、用一副三角板不能画出( C )
A.75°角 B.135°角 C.160°角 D.105°角
3、如图8,直线a、b相交,∠1=130°,则∠2+∠3=( B )
A.50° B.100° C.130° C.180°
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
4、如图9,三条直线相交于O点,则图中相等的角(平角除外)有( C )对
A.3对 B.4对 C.6对 D.8对
5、轮船航行到C处观测小岛A的方向是北偏西48°,那么从A同时观测轮船在C处的方向是( A )
A.南偏东48° B.东偏北48° C.东偏南48° D.南偏东42°
6、如图，,,点B、O、D在同一直线上，则的度数为（ C ）
A. B. C. D.
7、设时钟的时针与分针所成角是，则正确的说法是（ B ）
A.九点一刻时，∠是平角 B.十点五分时，∠是锐角
C.十一点十分时，∠是钝角 D.十二点一刻时，∠是直角
8、如图，由点O引射线OA、OB、OC，则这三条射线
组成___3____个角，分别是_∠AOB,∠AOC,∠BOC__，其中∠AOB用数
字表示为___1_____，∠2用三个字母表示为____∠AOC__。
9、38°41′的角的余角等于________,123°59′的角的补角等于________.
10、如果∠1的补角是∠2,且∠1>∠2,那么∠2的余角是_∠1-_(用含∠1 的式子表示).
11、如果∠α与∠β互补,且∠α:∠β=5:4,那么,∠α=_______,∠β=_________.
12、；（） ；（）
；（）
；（）
13、一个角是它补角的一半,则这个角的余角是__30°_______.
14、如图，O是直线AB上的一点，∠AOC=900，∠DOE=900，图中互余的角共有
____4_____对.互补的角有____3___对。
O
A B
E
D
C
15、已知∠AOB=300,以点O为端点,画射线OC,使∠AOC与∠AOB互余,这样的射线OC能画出几条 在图中画出符合要求的射线OC.
( http: / / www.21cnjy.com )
答：略
16、一个锐角的一半与这个锐角的余角及这个锐角的补角的和等于平角，求这个锐角的度数．
解:这个锐角是
17、已知：如图∠ABC＝30°，∠CBD＝70°BE是∠ABD的平分线，求∠DBE的度数。
解：角∠DBE的度数为。
已知∠ 与∠ 互为补角，且∠ 的比∠ 大15°，求∠ 的余角．
解： °
19、如图，∠AOB是直角，∠AOC等于46°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．
解： °
自我检测
一、判断
1.所有的直角都相等.( √ )
2.大于直角的角都是钝角.( ⅹ )
3.如图1,∠1也可以用∠AOB或∠O来表示.( √ )
4.由同一端点出发的两条直线组成的图形叫做角.( ⅹ )
5.一个锐角和一个钝角的和等于一个平角.( ⅹ )
6.一个角的补角大于这个角.( ⅹ )
7.一个钝角减去一个锐角必然得到一个锐角.( ⅹ )
8.一个角的补角减去这个角的余角是一个直角.( √ )
9.同角或等角的余角相等,补角也相等.( √ )
10.若有一个公共顶点和一条公共边的两个角互补,则这两个角的另一边必在同一直线上.( ⅹ )
二、选择题
1、下列语句正确的是 （ B ）
A、两条直线相交组成的图形叫角； B、一条直线可以看成一个平角；
C、一个平角的两边可以看成一条直线； D、周角就是一条射线
2、下列四个图形中，能同时用∠1，∠ABC，∠B三种方法表示同一个角的图形是（ B ）
3、若∠1= ∠2= 则∠1与∠2的大小关系是（ C ）
A、∠1=∠2 B、∠1＞∠2 C、∠1＜∠2 D、无法确定
4、时钟显示为8：30时，时针与分针所夹角度是（ C ）
A、 B、 C、 D、
5、已知∠MON=30°,∠NOP=15°,则∠MOP=( C ).
A.45° B.15° C.45°或15° D.无法确定
6、用一副三角板的内角(其中一个三角板 ( http: / / www.21cnjy.com )的内角是45°,45°,90°,另一个是 30°,60°,90°)可以画出大于0°且小于176°的不同度数的角共有( D )
A.8种 B.9种 C.10种 D.11种
三、填空题
1、互为补角的两个角可以都是___直角____角,或者一个是___锐角___角,一个是__钝__角 .(填“钝角”、“锐角”、“直角”)
2、从1时5分到1时35分，时钟的分针转了____180____ 。时针转了___15____ 。
3、82°32′5″+__97°27′55″____=180°.
4、一个角和它的余角的比是5：4，则这个角的补角是 。
5、如图，已知AOB是一条直线，∠1=∠2，∠3=∠4，OF⊥AB．则
（1）∠AOC的补角是 ；
（2） 是∠AOC的余角；
（3）∠DOC的余角是 ；
（4）∠COF的补角是 ．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
第（5）题 第（6）题
如图,∠BOC=60°,OE,OD分别为∠AOC,∠BOC的角平分线,则∠EOD=_______ ,∠COE=_______,∠BOE的角平分线是___OC____.
四、解答题
1、用三角板画出下列图形:(1)画∠AOB=105°;(2)以OB为始边,在∠AOB内部画 ∠AOC=15°.(保留作图痕迹,并写出作法)
答、略
2、如果一个角的补角与余角的和，比它的补角与余角的差大，求这个角的余角度数．
答：这个角的余角度数为
3、如图，点A、O、E在同一直线上，∠AOB=40°，∠EOD=28°46’，OD平分∠COE，
求∠COB的度数
( http: / / www.21cnjy.com )
解：∠COB的度数为课 题 余角和补角
教学目标 理解余角和补角的定义。会根据图形计算出图形中的余角和补角。
重点、难点 角，分，秒之间的换算。求一个角的余角和补角。
教学内容
一．知识归纳：1.如果两个角的和是 ，那么称这两个角 ；2.如果两个角的和是 ，那么称这两个角 。3.完成下列图表。 的余角的补角80°79°39′45°4.余角和补角的性质 互余互补 两角间的数量关系对应图形 性质二．例题精讲【根据已知图形找余角和补角】例1.如图∠AOC= ∠BOC=∠DOE=90°，则 图中与∠3互余的角是_________, 图中与∠4互余的角是_________, 图中有与∠4互补的角是_________.变式 1.如图，已知AOB是一条直线，∠AOD=∠DOC，∠COF=∠EOB，OF⊥AB．则∠AOC的补角是 ；（2） 是∠AOC的余角；（3）∠DOC的余角是 ； （4）∠COF的补角是 ． 2.如图，O是直线AB上一点，∠AOE=∠FOD= 900，OB平分∠COD，图中与∠DOE互余的角有哪些？与∠DOE互补的角有哪些？ 【图形的折叠问题】例2、把一张正方形纸条按图中那样折叠后，若得到∠AOB′＝700，求∠B′OG的度数． 变式 1.如图,长方形ABCD沿AE折叠,使D点落在BC边上的F点处,如果∠BAF=60°,求∠AFB的度数。
总结：折叠前后的两个图形是完全一样的。【根据一个角和余角，补角的关系来求解】例3一个角的补角加上10°，等于这个角的余角的3倍。求这个角是多少度？变式 一个角和它的补角的比是4:5，则这个角的余角是多少度？例4.下列说法中正确的是（ ）钝角有余角 互余，互补与角的度数和位置都有关C．互余互补的两角一定有公共顶点和公共边D.和互补,与互余，则180°变式 下列说法中，正确的是（ ）
A ( http: / / www.21cnjy.com )．两个互补的角中必有一个是钝角
B．一个角的补角一定比这个角大
C．互补的两个角中，至少有一个角大于或等于直角
D．相等的角是对顶角三．课堂练习。一、选择：1.如果∠α=n°,而∠α既有余角,也有补角,那么n的取值范围是( ) A.90°2．如图，在一个五边形的边AB上有一点O，将O与五边形的顶点C、D、E相连， ∠ COB =360，∠DOE= 540，OC、OE分别是∠DOB、∠AOD的平分线。(1)求∠EOC； (2)求出∠COD的余角，∠AOE的补角．3．如图所示，E、D、F在同一直线上，∠CDE＝90°，∠1＝∠2．（1）∠ADC与∠BDC有什么关系？为什么？（2）∠ADF与∠BDE有什么关系？为什么？4．∠α与∠β互余，且∠α比∠β小25°，求2∠α－∠β的值．5.如图所示，将一张长方形纸的一角斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，如果BD为∠ABE的平分线，则∠CBD为多少度？
签字确认 学员 教师 班主任课 题 线段与角
教学目标 掌握线段与角的概念，学会基本的表达方法，会按题目要求画线段与角学会线段与角的计算问题
重点、难点 线段与角的相关计算问题的掌握
教学内容
一、知识点梳理一、线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段,这两个点叫做线段的端点。1、线段的表示：可以用表示短点的两个字母A、B表示，记作线段AB 或可以用一个小写的英文字母，如a，表示，记作线段a线段的特点：1）有线长度，可以测量 2）有两个端点线段的性质：1) 两点之间线段最短。 2）连接两点间线段的长度叫做这两点间的距离,可以记作d 。 3）★直线没有距离。射线也没有距离。因为，直线没有端点，射线只有一个端点，可以无限延长。而线段不可以延长。4、线段大小的比较：1）度量法 2）叠合法 3）观察法“两点之间线段最短”5、画线段的和、差、倍将一条线段分成两条相等线段的点叫做这条线段的中点线段中点的表示： 1）观察法 2）折叠法 3）度量法二、角：角是具有公共端点的两条射线组成的图 ( http: / / www.21cnjy.com )形，公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边 或可以这样说：角是有一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形 角的始边转动到角的终边所经过的平面部分叫做角的内部，简称角内部角的表示：2、角的大小的比较 1）度量法2）叠合法3、余角、补角如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角.简称“互补”.如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，简称“互余”.补角、余角的性质同角或等角的补角相等’;同角或等角的余角相等.4、方位角 方位角一般以正北、正南为基准，描述物体运动方向. 方位角的取值范围“北偏东度”为东北方向、“北偏西度”西北方向、画角的和、差、倍例题讲解例1、如图，数出各条线上线段的总条数．练习11．在直线L上顺将取点A、B、C、D、E、F、M、N，则在A、N两点之间共有线段______条（包括线段AN）．2．（1）数一数图中的图①中共有______个角；图②中共有_____角；图③中共有______角． （2）从（1）中你找到一种数图④中角的个数的规律吗？3．如图，图中共有_______条线段． 规律总结： 例2、 在图中，若线段A1A2=a1，A2A3=a2，A3A4=a3，A4A5=a4，A5A6=a5，求出所有线段长的和． 规律总结：当本例从6个点推广到n个点时，所有这些线段长的总和为： 练习21．如图1，B、C、D依次是线段AE上的点 ( http: / / www.21cnjy.com )，已知AE=8.9cm，BD=3cm，则图中从A、B、C、D、E这五个点为端点的所有线段的长度之和等于_________． ( http: / / ) (1) (2) (3)2．（1）如图2，3个机器 ( http: / / www.21cnjy.com )人A1、A2、A3排成一条线做流水作业，它们都要不断从一个固定的零件箱中拿零件，则零件箱放在（ ）处最好（使得各机器人到零件箱的距离之和最小）． A．A1 B．A2 C．A3 D．A1、A2之间或A2、A3之间的一点处（2）如图3，若有4个机器人B1、B2、B3、B4，零件箱放在何处最好？3．经过直线L外一点P作长度为5cm的线段，使其另一端点在L上，这样的线段可以作（ ）条． A．0或1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2例3 如图，已知C在线段AB上，且A ( http: / / www.21cnjy.com )C：BC=2：3，D在线段AB的延长线上，BD=AC，E为AD的中点，若AB=40cm，求CE的长． 方法总结： 练习3三点A、B、C在同一直线上，若BC=2AB，且AB=a，则AC=________．2．如图，C、D、E将线段AB分成 ( http: / / www.21cnjy.com )四部分，且AC：CD：DE：EB=2：3：4：5，M、P、Q、N分别是AC、CD、DE、EB的中点，若MN=21，则PQ长为________．3．（1）如图，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠BOC，求∠MON的度数； ( http: / / ) （2）如果（1）中∠AOB=α，其他条件不变，求∠MON的度数； （3）如果（1）中，∠BOC=β（β为锐角），其它条件不变，求∠MON的度数． （4）从（1）、（2）、（3）的结果中你可得出什么结论？例4、在直线l上取 A，B两点，使AB=10厘米，再在l上取一点C，使AC=2厘米，M，N分别是AB，AC中点．求MN的长度。练习4、1、如图，C、D、E将线段AB分成4部分，且，M、P、Q、N分别是AC、CD、DE、EB的中点，若MN=21．则DQ的长为 ．若A，B两点间的距离是20cm，现有一点C， 若AC﹢BC=20cm，则点C与线段AB的关系是______________； 若AC﹢BC=30cm，则点C与线段AB的关系是______________； 若 AC﹢BC=10cm，则点C与线段AB的关系是________________. 例5、（1）如图已知平分平分．求的度数． （2）如果（1）中，其它条件不求，求的度数． （3）如果（1）中（为锐角），其它条件不变，求的度数． （4）以（1）、（2）、（3）的结果中能得出什么结论？练习5、1、已知与之和的补角等于与之差的余角，则是多少？2、如图，直线AB和EF相交于点O，OC和OD为射线，且,求的度数．例6、 如图，过点O任作7条直线．求证：以O为顶点的角中必有一个小于26°． 练习61．9点20分时，时针与分针所成的角是多少度？2．如图是一个3×3的正方形，则图中∠1+∠2+∠3+…+∠9的度数是多少？家庭作业1、平面内三点可确定的直线的条数是（ ） A．3 B.1或3 C.0或1 D.02、如图，2×2正方格中，连结AB、AC、AD，则∠1+∠2+∠3的和（ ） A．必是直角 B．必是锐角 C．必是钝角 D．是钝角或锐角3、以的顶点O为端点引射线OC，使，若，则 的度数是 ．4、如图，CB=AB，AC=AD，AB=AE，若CB=2cm，求CD的长. 5、画1条直线，可将平面分成2个部分；画2条直线，最多可将平面分成4个部分，那么，画6条直线最多可将平面分成几个部分？6、在平面上有四个点，其中任何三个 ( http: / / www.21cnjy.com )点不在一条直线上，过其中两点画直线，可以画几条直线？如果在平面上有三个点，且不在一条直线上，过其中两点画直线，可以画多少条呢？
签字确认 学员 教师 班主任
A
M
B
C
N
D
E
Q
P
A
O
C
N
B
M
A
F
O
B
E
D
C
1
2
3
A
C
D
B
A
B
C
D
E
