福建省厦门第一中学2023-2024学年度
第一学期期末模拟考试
高一年数学试卷
本试卷共4页，满分150分
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的班级、座号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考号、姓名”与考生本人考号、姓名是否一致.
2．回答选择题时，选出答案后用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷上无效.
3．考试结束，考生只须将答题卡交回.
一、单选题：本大题8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确答案.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知扇形的面积为，圆心角为2弧度，则此扇形的弧长为（ ）
A. B. C. D.
4. 设，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知函数(，，)的部分图象如图所示，则的解析式是（ ）
A. B.
C D.
6. 锐角中，若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，当时，，则（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
8. 已知函数，记该函数在区间上的最大值与最小值的差值为，则的最小值为（ ）
A. B. 1 C. D.
二、多选题：本大题4小题，全选对得5分，选对但不全得2分，选错或不答得0分.
9. 下列函数中，在定义域内既为奇函数又为增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知，则（ ）
A B. C. D.
11. 聚点是实数集的重要拓扑概念，其定义是：，，若，存在异于的，使得，则称为集合的“聚点”，集合的所有元素与E的聚点组成的集合称为的“闭包”，下列说法中正确的是（ ）
A. 整数集没有聚点 B. 区间的闭包是
C. 聚点为0 D. 有理数集的闭包是
12. 已知函数，若存在四个不同的值，使得，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知幂函数是奇函数，且在上单调递减，则实数a的值可以是___________．
14. __________．
15. 已知满足，则___________．
16. 已知函数．点是单位圆上动点，若不等式恒成立，则实数m的范围为___________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解答过程填写在答题卡的相应位置.
17. 己知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求a的取值范围．
18. 已知函数的图像过点．
（1）求实数m的值；
（2）判断在区间上的单调性，并用定义证明；
19. 已知函数在上单调递增．
（1）求的取值范围：
（2）当取最大值时，将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，得到的图象，求在内的值域．
20. 技术的价值和意义在自动驾驶 物联网等领域得到极大的体现.其数学原理之一是香农公式：，其中：（单位：）是信道容量或者叫信道支持的最大速度，单位；）是信道的带宽，单位：）是平均信号功率，（单位：）是平均噪声功率，叫做信噪比.
（1）根据香农公式，如果不改变带宽，那么将信噪比从1023提升到多少时，信道容量能提升
（2）已知信号功率，证明：；
（3）现有3个并行的信道，它们的信号功率分别为，这3个信道上已经有一些相同的噪声或者信号功率.根据（2）中结论，如果再有一小份信号功率，把它分配到哪个信道上能获得最大的信道容量？（只需写出结论）
21. 已知函数．
（1）证明函数的图象过定点；
（2）设，且，讨论函数在上最小值．
22. 已知函数是偶函数．
（1）求的值；
（2）设函数（），若有唯一零点，求实数的取值范围．福建省厦门第一中学2023-2024学年度
第一学期期末模拟考试
高一年数学试卷
本试卷共4页，满分150分
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的班级、座号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考号、姓名”与考生本人考号、姓名是否一致.
2．回答选择题时，选出答案后用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷上无效.
3．考试结束，考生只须将答题卡交回.
一、单选题：本大题8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确答案.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先化简集合，然后求出交集即可.
详解】，
，
.
故选：A
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据“”与“”的互相推出情况判断属于何种条件.
【详解】当时，此时可取，所以不一定能得到，
当时，此时，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
3. 已知扇形的面积为，圆心角为2弧度，则此扇形的弧长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意设出扇形的弧长、半径和圆心角，通过扇形的面积可求出扇形半径，然后利用弧长公式即得.
【详解】设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为，
所以扇形的面积，得（），
由（）
故选：A
4. 设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中间量“0”确定最大，再对取倒数，结合对数函数单调性即可得到大小关系，则得到三者大小关系.
【详解】，，，
，，因为对数函数在上单调递增，
则，所以，所以.
故选：D.
5. 已知函数(，，)的部分图象如图所示，则的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
结合图象，依次求得的值.
【详解】由图象可知，，所以，
依题意，则，
，所以.
故选：D.
【点睛】方法点睛：根据三角函数或的部分图象求函数解析式的方法：
（1）求、，；
（2）求出函数的最小正周期，进而得出；
（3）取特殊点代入函数可求得的值.
6. 锐角中，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由二倍角公式结合即可化简求解.
【详解】由题意，而，所以，
所以.
故选：B.
7. 定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，当时，，则（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性以及已知条件，求得的周期；再根据函数的周期性，结合奇偶性即可求得函数值.
【详解】因为为奇函数，所以，因为为偶函数，所以，即，
从而，得 ，
所以以4为周期的周期函数，
，
，
所以．
故选：A
8. 已知函数，记该函数在区间上的最大值与最小值的差值为，则的最小值为（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据的单调区间，分、、和讨论即可.
【详解】因为在单调递减，在单调递增，
若，即 时，则在上单调递减，
所以，此时的最小值为1．
若，即 ，则在上单调递增，
所以，此时的最小值为．
若且，即，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，此时的最小值为．
若且，即 ，则在上单调递减，
在上单调递增，所以，此时的最小值为．
综上，的最小值为．
故选：D
二、多选题：本大题4小题，全选对得5分，选对但不全得2分，选错或不答得0分.
9. 下列函数中，在定义域内既为奇函数又为增函数的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】AB
【解析】
【分析】由函数奇偶性的定义判断CD不符合题意，再结合幂函数指数函数单调性即可判断AB满足题意.
【详解】对于AB，、在定义域内，
满足，所以它们都是奇函数，
结合幂函数、指数函数单调性可知它们都是定义域内的增函数，故AB正确；
而对于CD，若，，
则在相应的定义域内有，故，不是奇函数.
故选：AB.
10. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】B选项，根据同号可加性得到；ACD选项，根据题目条件得到，进而判断ACD.
【详解】B选项，因为，所以，
根据同号可加性可得，B错误．
A选项，因为，，所以，解得，A正确；
CD选项，因为，，所以，解得，
同理可得，
取，则，，C错误；
由不等式性质可得，D正确．
故选：AD
11. 聚点是实数集的重要拓扑概念，其定义是：，，若，存在异于的，使得，则称为集合的“聚点”，集合的所有元素与E的聚点组成的集合称为的“闭包”，下列说法中正确的是（ ）
A. 整数集没有聚点 B. 区间的闭包是
C. 的聚点为0 D. 有理数集的闭包是
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用集合聚点的新定义，集合的表示及元素的性质逐项判断.
【详解】对于A，根据定义，，，若存在，使得，
所以，，当时，这样的不存在，
所以不存在符合不等式且异于的，故整数集无聚点，故A正确；
对于B，若，对于，
因为，所以存在异于的，使得，
故，故为集合的“聚点”， 即区间的闭包是，B正确；
对于C，因为，
所以对于，都存在，使得，
所，故的聚点为1，故C错误；
对于D，对于，，都存在，使得，所以为集合的“聚点”，所以有理数集的闭包是，D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解聚点定义.
12. 已知函数，若存在四个不同的值，使得，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由的图象，求出特殊点，结合条件逐一比较分析判断.
【详解】当时，，当时，，当时，，
由图像可知，，此时，解得，故A对；
因为关于对称，所以，又，
，故B对；
由，得 ，由，得 ，
由，得 ，故C错；
，故D对.
故选：ABD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知幂函数是奇函数，且在上单调递减，则实数a的值可以是___________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【详解】举例，则，根据反比例函数的性质知其为奇函数，
且在上单调递减，满足题意.
故答案为：（答案不唯一）.
14. __________．
【答案】11
【解析】
【分析】根据分数指数幂运算、对数的运算性质求解出结果.
【详解】原式，
故答案为：.
15. 已知满足，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】首先结合平方关系、角的范围得，再由诱导公式以及两角和的余弦公式即可得解.
【详解】因为，
所以，
又因为，
所以，
所以
.
故答案为：.
16. 已知函数．点是单位圆上的动点，若不等式恒成立，则实数m的范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意首先得在上是奇函数和增函数，将不等式等价转换为，通过三角换元等即可求得不等号右边的最小值，由此即可得解.
【详解】由题意，
所以
，
所以在上是奇函数，
且是增函数，
由，
得，，
因为是单位圆上的动点，
设，
则，
令，则，
且，
所以．
故答案为：.
【点睛】关键点睛：关键是首先得出函数的单调性以及奇偶性，从而可将原题等价转换为，从而即可顺利得解.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解答过程填写在答题卡的相应位置.
17. 己知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解出集合A中的不等式，将代入集合B中不等式，求两个集合的交集；
（2）由得集合A和集合B之间的关系，求出参数的取值范围.
【小问1详解】
，
当时，，所以.
【小问2详解】
因为，所以，显然集合B非空，
所以，得.
18. 已知函数的图像过点．
（1）求实数m的值；
（2）判断在区间上的单调性，并用定义证明；
【答案】（1）
（2）在区间上单调递增，证明见解析
【解析】
【分析】（1）将代入解析式，得到m的值；
（2）利用定义法证明函数单调性步骤：取值，作差，判号，下结论.
【小问1详解】
将点代入函数中，可得，解得．
【小问2详解】
单调递增，证明如下．
由（1）可得，
任取，则
，因为，
则，，，即，
所以，即，
所以在区间上单调递增．
19. 已知函数在上单调递增．
（1）求的取值范围：
（2）当取最大值时，将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，得到的图象，求在内的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题设条件，列出不等式，求解即可.
（2）根据函数图像平移变换，写出函数，再结合区间和三角函数性质求出值域.
小问1详解】
由，得 ，
又函数在上单调递增，
所以，解得
因为，所以．
【小问2详解】
由（1）知的最大值为，此时，
根据题意，，
当时，．
所以，故值域为．
20. 技术的价值和意义在自动驾驶 物联网等领域得到极大的体现.其数学原理之一是香农公式：，其中：（单位：）是信道容量或者叫信道支持的最大速度，单位；）是信道的带宽，单位：）是平均信号功率，（单位：）是平均噪声功率，叫做信噪比.
（1）根据香农公式，如果不改变带宽，那么将信噪比从1023提升到多少时，信道容量能提升
（2）已知信号功率，证明：；
（3）现有3个并行的信道，它们的信号功率分别为，这3个信道上已经有一些相同的噪声或者信号功率.根据（2）中结论，如果再有一小份信号功率，把它分配到哪个信道上能获得最大的信道容量？（只需写出结论）
【答案】（1）2047
（2）证明见解析 （3）把那一小份分配到信道上能获得最大的信道容量
【解析】
【分析】（1）先把时，算出来，再令，解得；
（2）利用对数运算化简即可证明；
（3）由（2）可知当时，，随着的增大也会增大，可是增加的速度会越来越慢，即得．
【小问1详解】
当时，，
令，
得，
解得：，
所以若不改变带宽，将信噪比从1023提升到2047时，信道容量能提升.
【小问2详解】
证明：
右边
=左边，
所以，原式成立；
【小问3详解】
分配到信道上能获得最大的信道容量.
理由：由（2）可知当时，，
随着的增大也会增大，但增加的速度会越来越慢，
所以把那一小份分配到信道上能获得最大的信道容量.
21. 已知函数．
（1）证明函数的图象过定点；
（2）设，且，讨论函数在上的最小值．
【答案】（1）证明见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）计算出的值，即可证得结论成立；
（2）对参数、的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，即可得出函数在上的最小值.
【小问1详解】
证明：因为，故函数的图象过定点.
【小问2详解】
当时，
由，可得，即，
由，可得，即，
即，
因为，所以，
所以，函数在上单调递增，则；
当时，
由可得，即，
由可得，即，
所以，
若，则，
此时，函数在上单调递增，则；
若，则，
当时，函数在上单调递减，此时，；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则.
综上所述，在上的最小值为.
【点睛】思路点睛：本题考查含参函数在闭区间上的最值问题，对于这类问题，要注意对参数的取值进行分类讨论，并分析函数在区间上的单调性，再结合单调性求解.
22. 已知函数是偶函数．
（1）求的值；
（2）设函数（），若有唯一零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据偶函数性质代入即可求解；
（2）令，转化为关于的一元二次函数，对分类讨论即可求解.
【小问1详解】
依题意，
因为的定义域为的偶函数，所以，
所以，
所以
所以
所以，即．
【小问2详解】
由（1）知
所以，
令，，
即，整理得，
其中，所以，
令，则得，
①当时，，即，
所以方程在区间上有唯一解，
则方程对应的二次函数，恒有，，，
所以当时，方程在区间上有唯一解．
②当时，，即，
方程在区间上有唯一解，
因为方程对应的二次函数的开口向下，恒有，
，所以满足恒有，解得
综上所述，当或时，有唯一零点．
【点睛】方法点睛：（1）利用偶函数的性质代入原函数即可求解参数；
（2）通过换元思想可以将复杂的函数转化为常见的函数模型，换元时一定要注意先求元的范围.
