课件20张PPT。24.3 圆周角（1）义务教育课程标准实验教科书九年级 上册第24章 圆义门中心校 数学组一. 复习引入:1.圆心角的定义?在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。答:顶点在圆心的角叫圆心角2.上节课我们学习了一个反映圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？在射门游戏中(如图),球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关.顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.辩一辩 图中的∠CDE是圆周角吗?圆周角当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角有何特点?它们的大小有什么关系?.顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.类比圆心角探知圆周角在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角相等.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角有什么关系？ 为了解决这个问题,我们先探究同弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系.你会画同弧所对的圆周角和圆心角吗?圆周角和圆心角的关系教师提示:注意圆心与圆周角的位置关系.（1） 折痕是圆周角的一条边， （2） 折痕在圆周角的内部， （3） 折痕在圆周角的外部． 如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系?说说你的想法,并与同伴交流.1.首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠B+∠A.∵OA=OB，∴∠A=∠B.∴∠AOC=2∠B.即 ∠ABC = ∠AOC.你能写出这个命题吗?同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.老师期望:你可要理解并掌握这个模型.如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?老师提示:能否转化为1的情况?过点B作直径BD.由1可得: ∴ ∠ABC = ∠AOC.你能写出这个命题吗?同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?老师提示:能否也转化为1的情况?过点B作直径BD.由1可得:∴ ∠ABC = ∠AOC.你能写出这个命题吗?同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.即 ∠ABC = ∠AOC.如图所示，∠ADB、∠ACB、∠AOB 分别是什么角？ 它们 有何共同点？ ∠ADB与∠ACB有什么关系？ 同弧 所对的圆周角相等.(等弧)思考:
相等的圆周角所对的弧相等吗?在同圆或等圆中都等于这条弧所对的圆心角的一半.圆周角定理:ABCD在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等.则 ∠ D=∠A∴AB∥CD1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大小.解: ∠A = ∠BOC = 25°.如图,AB是直径,则∠ACB=＿＿＿＿90 度半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径。2.试找出下图中所有相等的圆周角。 ∠2=∠7∠1=∠4∠3=∠6∠5=∠83：已知⊙O中弦AB的等于半径，
求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。 圆心角为60度圆周角为 30 度或 150 度。4.如图，∠A是圆O的圆周角， ∠A=40°，求∠OBC的度数。 例: 如图，AB是⊙O的直径AB=10cm,
弦AC=6cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D . 求 BC, AD ,BD 的长.106练习:如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.40°课件29张PPT。24.3 圆周角（2）义务教育课程标准实验教科书九年级 上册第24章 圆义门中心校 数学组1.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.3.在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半。2.半圆或直径所对的圆周角等于90°，
90°的圆周角所对的弦是直径。复习回顾4.判断正误：
(1).同弧或等弧所对的圆周角相等（ ）
(2).相等的圆周角所对的弧相等（ ）
(3).90°角所对的弦是直径（ ）
(4).直径所对的角等于90°（ ）
(5).长等于半径的弦所对的圆周角等于30°（ ）（思考怎么说明）√××××新课讲解： 若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形；⊙O为四边形ABCD的外接圆。 练功房下一页1、如图(1)，△ABC叫⊙O的_____三角形，⊙O叫△ABC的 ____ 圆。
2、 若弧BC的度数为1000, 则∠BOC=_____ ,∠A=_____
3、如图(2)四边形ABCD中,
∠B与∠1互补,AD的延
长线与DC所夹∠2=600 ,
则∠1=_____,∠B=_____.内接外接 100° 50° 120° 60° O如图：圆内接四边形ABCD中，∴∠A＋∠ C＝ 180° 同理∠B＋∠D＝180°圆的内接四边形的对角互补。如果延长BC到E，那么∠DCE＋∠BCD ＝180°所以∠A＝∠DCE又 ∠A ＋∠BCD＝ 180°因为∠A是与∠2相邻的内角∠1的对角，我们把∠A叫做∠DCE的内对角。圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。12定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。∠D＋∠B＝180°
∠A＋∠C＝180°∠EAB＝∠BCD
∠FCB＝∠BAD对角外角内对角定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 几何表达式：
∵ ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠A+∠C=180°
且∠B=∠1 (1)四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=______ ∠B+∠ADC=_______;若∠B=80°，则∠ADC=____ ∠CDE=______ (2)四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=100° 则∠B=______∠D=______
180° 180° 100°80° 50° 130° 练习解析(4)梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC, ∠B=750,则∠C=_____
（5）圆的内接梯形一定是 ＿ 梯形。
750返回(3)四边形ABCD内接于⊙O, ∠A:∠C=1:3,则∠A=_____, 45° 等腰 7、若ABCD为圆内接四边形，则下列( )可能成立（课本习题）
（A）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 1∶2∶3∶4
（B）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 2∶1∶3∶4
（C）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 3∶2∶1∶4
（D）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 4∶3∶2∶1
分析： ∠A+∠C= ∠B +∠D （=180 0 ）
B1、如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与⊙O1 交于点C，与⊙O2 交于点D。经过点B的直线EF与⊙O1 交于点E，与⊙O2 交于点F。
求证：CE∥DF1精例讲解CE∥DF∠E＋∠F＝180°∠E＋∠1＝180°、∠1＝∠F连结AB 证明两条直线平行的方法很多，但常用的还是通过证明同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等方法。刚才我们通过同旁内角互补证明了CE ∥ DF，想一想还能否通过同位角相等或者内错角相等证明结果？1）延长EF,是否有∠E=∠BAD＝ ∠1 ?延长DF, 能否证明∠E＝∠２＝∠3？ 2、求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）·ABCO求证： △ABC 为直角三角形.证明：CO= AB,以AB为直径作⊙O，∵AO=BO， ∴AO=BO=CO.∴点C在⊙O上.又∵AB为直径,∴∠ACB= ×180°= 90°.已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线，CO= 1/2AB∴ △ABC 为直角三角形.3、已知：如图，四边形ABCD是圆的内接四边形并且ABCD是平行四边形。求证：四边形ABCD是矩形。（课本—练习3）ABCD是平行四边形∠A+ ∠D=1800 ，∠C+ ∠D=1800 ，∠A= ∠C四边形ABCD是圆的内接四边形∠A+ ∠C=1800 ∠A= ∠C=900
提示：4、 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，解：∵AB是直径，∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．在Rt△ABC中，∵CD平分∠ACB，∴AD=BD.5、如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC交⊙O于点F，点F不与点A重合。
（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？
（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由。解：（1）AB=AC。连接AD ∵AB是直径，∴∠ADB=90°，又∵DC=BD，∴AB=AC。（2）△ABC是锐角三角形。由（1）知，∠B=∠C＜90 °连接BF，则∠AFB=90 °，∴∠A＜90 °即：△ABC是锐角三角形以等腰三角形一腰为直径的圆必平分底边证明：
连接AD
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，∵AB=AC，
∴BD=DC。求证：已知：弦AB、CD交于⊙O内一点P，求证：PA.PB=PC.PDp证明：连接AC、BD则∠ACD=∠ABD ∠CAB=∠CDB∴△APC∽ △DPB∴PA：PD=PC：PB∴ PA.PB=PC.PD习题再思考归纳：圆的两条弦被交点分得的线段乘积相等。1、如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下．DOOO·方法一方法二方法三方法四AB课堂练习3、如图，四边形ABCD内接于⊙O,如果∠BOD=130°,则∠BCD的度数是（ ）
A、115° B、130°
C、65° D、50°
4、 如图，等边三角形ABC内
接于⊙O，P是AB上的 一点，
则∠APB= 。
ABDCO⌒APBC补充练习：5、四边形ABCD内接于⊙O,BA、CD的延长线交于P,AD=２cm,BC=３cm,ＰＡ＝４cm，求ＰＣ的长。
6、已知四边形ABCD内接于⊙O,且∠A:∠B:∠C =2:3:4，求∠D的度数。
7、圆内接梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=75°,求∠C。
8、圆的内接四边形ＡＢＣＤ中,ＡＣ垂直平分ＢＤ,∠ＢＡＣ=40 °，求∠ＢＣＤ。巩固练习：1、如图，四边形ABCD为⊙O 的内接四边形，已知∠BOD＝100°，求∠BAD及∠BCD的度数。2、如图,点P是⊙O外一点,点A、B、Q是⊙O上的点。
(1)求证∠P＜ ∠AQB
(2)如果点P在⊙O内， ∠P与∠AQB有怎样的关系？为什么？再见
