课 题 三角形、梯形中位线
教学目标 1．了解并掌握三角形、梯形中位线定义及其基本用法2．会解关于中位线的基本题型
重点、难点 重点：利用三角形、梯形中位线的性质与推论计算相关问题难点：利用中点添加辅助线解答题目
教学内容
一、知识点梳理1．三角形中位线：连结三角形两边中点的线段。 注意：三角形的中位线有3条。2．三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 推论：过三角形一边的中点作另一边的平行线，必平分第三边。3．梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段 注意：（1）不是连结两底中点，是连接两腰的中点；（2）梯形的中线是唯一的4．梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 推论：过梯形一腰的中点，作底边的平行线，必平分另一腰。二、例题讲解例1．如图，已知AB//EF//GH//DC，且AE=EG=GD，AB=3，DC=6。求：EF、GH的长。例2．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，EF为中位线，EG=10，GF=4，AB=10。求梯形的周长和面积。例3．如图，在中，BD、CE为AC、AB边上的中线，M、N是BG、CG的中点。求证：（1）ME//ND；（2）ME=ND。例4．如图，在中，AB=5，AC=3，AM平分，N为BC中点，求MN的长。例5．如图，梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是AC、BD的中点。求证：（1）EF//BC，（2）。例6．四边形ABCD中，E、F为对边AD、BC中点，求证：。例7．如图，在菱形ABCD中，BAD=，AB的垂直平分线交对角线AC于F，E为垂足，连接DF，则CDF的度数是多少？三、课堂练习梯形的中位线长为8cm,高为4cm，则梯形的面积为 。2．的周长为24cm，则三条中位线组成的三角形周长为 。3．梯形的中位线长为6，上下底之差等于3，则此梯形上下底长分别为 。4．顺次连结四边形各边中点所得的四边形常称为中四边形，则任何一个四边形的中四边形是 。 （1）当原四边形对角线 对，它的中四边形是矩形。 （2）当原四边形对角线 对，它的中四边形是菱形。 （3）当原四边形对角线 对，它的中四边形是正方形。5．已知等腰梯形的对角线互相垂直，高为10cm，则中位线等于 。6．等腰梯形的中位线长为5cm，腰长为5cm，其周长等于 7．如图，梯形ABCD中，AD//BC，中位线EF分别与BD、AC交于点G、H，若AD=6，BC=10，求GH的长。8．在等腰梯形ABCD中，AD//BC，EF为中位线，EF=18，AC⊥AB，，求梯形ABCD的周长及面积。9．如图，在中，AD⊥BC于D，E、F、G分别为AB、BC、AC的中点，求证：EFDG是等腰梯形。10．如图等腰梯形ABCD中,AB// ( http: / / www.21cnjy.com )CD,AD=BC,AB的中点为E、DC的中点为G，AG的中点为F、BG的中点为H。求证：四边形EFGH为菱形。11．如图，已知在ABC中，AE=2EC，F为AB中点。BE、FC交于点O。求证：（1）FO=CO（2）EO=BE。家庭作业1．如图，在□ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，求证：。2．如图，在中，D为BC边上的中点，E、F为AB的三等分点。求证：。3．如图，已知四边形ABCD中，A ( http: / / www.21cnjy.com )C=BD，M和N分别是AD、BC的中点，连接MN分别交AC和BD于点F和G，AC和BD交于F点。求证：EF=EG。
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G课 题 特殊平行四边形
教学目标 1、熟练掌握矩形、菱形、正方形的性质及判定定理；2、熟练应用矩形、菱形、正方形的性质定理及判定定理；
重点、难点 重点：掌握矩形、菱形、正方形的性质及判定定理；难点：熟练应用矩形、菱形、正方形的性质定理及判定定理；
教学内容
知识点一：矩形矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形矩形的性质：矩形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊的性质： （1）矩形的四个角都是直角 （2）矩形的对角线相等矩形的判定：判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形例1、如图所示，在□ABCD中，以AC为斜边作直角为直角，求证：四边形ABCD是矩形。知识点二：菱形菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形菱形的性质：菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊的性质： （1）菱形的四条边都相等 （2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角菱形的判定：判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定定理2：四条边都相等的四边形是菱形例2、如图，菱形ABCD的对角线AC与 ( http: / / www.21cnjy.com )BD相交于点O，点E、F分别是边AB、AD的中点，联结EF、OE、OF. 求证：四边形AEOF是菱形。知识点三：正方形正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形正方形的性质：正方形既是矩形又是菱形，因而它具备两者所有的性质正方形的性质定理1：正方形的四个角都是直角，正方形的四条边都相等正方形的性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分， 每一条对角线平分一组对角正方形的判定定理：定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形 定理2：有一个角是直角的菱形是正方形正方形其他判定方法：1、对角线互相垂直的矩形是正方形 2、对角线相等的菱形是正方形例3、如图所示，在中，，CD平分交AB于点D，于点E，于点F，求证：四边形CEDF是正方形例4、如图所示，已知正方形ABCD，M为BC边上任意一点，AN是平分线，交DC边于N点，求证：例5、如图所示，为等腰三角形，，于点D，P为BC上任意一点，过点P作，，垂足为E，F，则，说说你的理由。例6、如图，在中，AB=BC，P为AB边上一点，联结CP，以PA、PC为邻边作□ABCD，AC与PD相交于点E，已知（1）求证：；（）□APCD是否为矩形？请说明理由；课堂练习下列命题中是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C. 两条对角线相等的四边形是矩形 D.两边相等的平行四边形是菱形关于下列结论，正确的是。①有一组对边平行，且有两个角是直角的四边形是矩形；②两条对角线相等的四边形是矩形；③两组对边分别相等的四边形是矩形；④有一个角是60°的平行四边形是菱形；⑤有两边相等的平行四边形是菱形；⑥有一组邻边相等的矩形是正方形；⑦有三边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形；⑧对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形；3、下列四边形中，不是矩形的是（ ） A. 三个角都是直角的四边形 B.四个角都相等的四边形 C. 一组对边平行且对角线相等的四边形 D.对角线相等且互相平分的四边形4、在下列命题中，真命题是（ ） A. 两条对角线相等的四边形 B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 D.两边对角线互相垂直且相等的四边形是正方形5、四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，能判断它是正方形的条件是（ ） A. B. C. 且AC、BD互相平分 D.□ABCD的周长是60cm，AC、BD相交于点O,的周长比的周长大8cm。则□ABCD的长边长为，短边长为。矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，若AC=18cm，则AD=cm。如图，矩形ABCD内一点P，PA=3，PD=4，PC=5，求PB的长。如图，在中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，联结AE、CE。（1）求证：AF=CE（2）若AC=EF，试判断四边形AFCE是什么四边形，并证明你的结论。家庭作业1、已知：如图，在中，垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，又点F在DE的延长线上，且AF=CE. 求证：四边形ACEF是菱形。2、已知：如图，M、N分别是□ABCD的对边AD、BC的中点，且AD=2AB，联结AN、BM交于点P，联结DN、CM交于点Q.求证：四边形PMQN是矩形。3、如图，在中，，AD是BC边上的高，的平分线交AD与点E，EF//BC交AC于点F，求证：AE=CF课 题 无理方程
教学目标 1、掌握无理方程的解法；2、掌握二元二次方程组的解法；
重点、难点 重点：无理方程一定要验根；难点：掌握二元二次方程组的解法；
教学内容
一、课前检测方程的解是（ ）A、B、C、D、方程的解是（ ）A、和B、C、和D、方程的解是（ ）A、B、C、D、没有实数解关于的方程的解是（ ）A、B、，C、，D、下列无理方程中，有实数解的方程是（ ）A、B、C、D、下列结论中，正确的是（ ）①方程没有实数根；②解方程时，若设，则原方程变形为；③存在这样的两个实数、，使得；④关于的方程总有实数根.A、①②③B、①②④C、①③④D、②③④二、讲练结合无理方程例1、不解方程，判断下列方程有没有解？（1）；____________ （2）；____________（3）；____________ （4）；____________例2、把下列方程的根写在方程后面的括号里；如果方程没有根，那么在括号里写无实数解.（1）；（ ） （2）；（ ）（3）；（ ） （4）；（ ）（5）；（ ） （6）；（ ）（7）；（ ） （8）；（ ）例3、解下列方程：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；二元二次方程组例4、下列方程组中是二元二次方程组的是（ ）A、B、C、D、例5、方程组的解的个数是_________个.例6、解下列方程组：（1）； （2）；例7、解下列方程组：（1）； （2）；例8、解下列方程组：（1）； （2）；（3）； （4）；例9、解下列方程组：（1）； （2）；三、课堂练习方程组的解是（ ）A、B、C、D、若方程，则（ ）A、B、C、D、或由方程组消去后得到的方程是（ ）A、B、C、D、方程组有唯一解，则的取值是（ ）A、B、C、D、__________（填“是”或“不是”）方程组的解.方程组的解是_______________________________________.方程组中的、可看作是一元二次方程______________的两个根.方程可化为_________________和__________________两个方程.方程组的解是_______________________.若方程组无解，则的取值范围是________________________.四、课堂总结家庭作业1、解下列方程组：（1）； （2）； （3）（4）； （5）； （6）；已知方程有两组不相等的实数根，求的取值范围.
签字确认 学员 教师 班主任课 题 等腰梯形
教学目标 1.通过探究教学，使学生掌握等腰梯形的判定方法及其证明。 2.能够利用等腰梯形的性质和判定方法进行有关的论证和计算，体会转化的思想、数学建模的思想，进一步培养学生的分析能力和计算能力。 3.经历探索梯形的判定条件的过程，在简单的操作活动中发展学生的探究精神与合作意识。
重点、难点 重点：掌握等腰梯形的判定方法及其应用；难点：解决梯形问题的基本方法 。
教学内容
【知识点梳理】结论：①等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线是对称轴．②等腰梯形同一底上的两个角相等．③等腰梯形的两条对角线相等．解决梯形问题常用的方法： （1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2）； （3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图3）； （4）“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形（图4）；（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）． 图1 图2 图3 图4 图5综上所述：解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．二、【巩固练习】1.、若等腰梯形的一个底角为120°，两底的长分别为10和25，那么腰长为 2、已知等腰梯形的腰长等于它的高的2倍时，那么这个等腰梯形较大的内角为 3、等腰梯形的两底之差为12㎝，高为6㎝，则其锐角为 4、如果等腰梯形的一个底角为45°，高为0.5㎝，较长底边的长是3㎝，那么较短底边的长为 。5、如果等腰梯形两底的差等于腰长，则此梯形各内角的度数为 二、选择题1、下列命题正确的是（ ）A.一组对边平行的四边形一定是梯形B.有两个角相等的角梯形是等腰梯形C.一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形D.梯形的内角中，最多只能有两个直角下列命题中为假命题的是（ ）①有两个角相等的梯形梯形是等腰梯形 ②有两条边相等的梯形是等腰梯形 ③等腰梯形的对角线相等且平分④等腰梯形上下底中点连线把梯形分成面积相等的两部分A.1个 B.2个 C.4个 D..5个解答题1、如图，在等腰梯形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中，AD∥BC，对角线BD与底边BC的夹角是30°，且BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，DE=18㎝，求CD得长。如图，已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥BC,交BC的延长线于点E，CA平分∠BCD,求证∠B=2∠E.3、如图，已知在等腰梯形ABCD中，∠B=60°，AB⊥AC,AB=DC=2㎝，求梯形ABCD的面积。4、如图，已知在梯形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD中，AD∥BC，AB=DC,∠D=120°，对角线AC平分∠BCD,且梯形的周长为10，求AC的长及梯形ABCD的面积。5、如图。已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，过顶点D作DN⊥BC，点N为垂足，求证DN=(AD+BC).等腰梯形（二）1、如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AD、BC的中点，求证：四边形ABCD是等腰梯形。如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，P为BC的中点，∠APB=∠DPC,求证梯形ABCD是等腰梯形.3、如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＞BC，AB=CD,EA=ED，求证四边形BCMN是等腰梯形。如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，，对角线AC，BD相较于O点，∠DBC=∠ACB，求证：四边形ABCD是等腰梯形。5、如图，已知四边形ABCD的对角线AC，BD相较于O点，AB、CD不平行，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：四边形ABCD是等腰梯形。6、如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，求证：四边形ABCD是等腰梯形。7、如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，BC=BD，AD=AB=4㎝，∠A=120°，求梯形ABCD的面积。8、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=90°，且AB=AC,BD=BC,AC,BD相较于E点，求证：CE=CD.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，A ( http: / / www.21cnjy.com )B=AD+BC,E是CD的中点，求证：（1）AE⊥BE (2)AE,BE分别平分∠BAD及∠ABC.10、在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，DB=DC，∠DBC=60°，上底AD=6㎝，求直角梯形的面积。课 题 梯形
教学目标 1、熟练掌握梯形的性质定理和判定定理；2、熟练应用梯形的性质定理和判定定理；
重点、难点 重点：熟练掌握梯形的性质定理和判定定理；难点：熟练应用梯形的性质定理和判定定理；
教学内容
一、课前检测在下列语句中，正确的是。①只有一组对边平行的四边形是梯形；②有一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形；③有一组对边平行的四边形是梯形；④一组对边平行且不相等的四边形是梯形； = 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤等腰梯形中不可能有直角；⑥直角梯形中不可能有等腰；⑦等腰梯形是轴对称图形；⑧梯形一定不是中心对称图形；如图所示，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=2，=60°，则下底BC的长是如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，，垂足为点D，且=60°，若AD=5cm，则梯形的腰AB=cm.梯形ABCD中，腰AB=2cm，底角，，上底AD=7cm，则高的长为cm，腰CD的长为cm.，梯形ABCD的面积是。二、例题讲解考点1：梯形的边长及周长如图所示，梯形ABCD的周长为28厘米，AE//CD交BC于点E，的周长是18厘米，则AD的长等于。如图，在梯形ABCD中，AD//BC，与互余，若=30°，AD=2厘米，BC=8厘米，求AB=_________，及梯形的周长是_______________。在梯形ABCD中，AD//BC，=70°，=40°，AD=6cm，BC=15cm，求CD=____________。如图，等腰梯形ABCD中，=60°，AD=10cm，BC=37cm，求它的腰长____________。第1题图 第2、3题图 第4题图考点2：梯形的面积如图，已知：在梯形ABCD中，AD//BC，DE⊥BC于点E，DE=4厘米，BD=5厘米，，求梯形ABCD的面积。如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，且，DE是梯形的高，若，求梯形的高。如图，已知：直角梯形ABCD的面积是，AD//BC，是直角，AB=10，AD=，求的度数。如图所示，直角梯形ABCD中，DC//AB，，是边长为8的等边三角形，则梯形ABCD的面积为。第7题图 第8题图如图，梯形ABCD中，上底AD=8cm，下底BC=16cm，，， （1）求梯形的腰AB和CD的长； （2）求梯形ABCD的面积；考点3：梯形的证明梯形ABCD中，AD//BC，BD=CD，AB第2、3题图特殊的平行四边形
教学目标1.掌握矩形、菱形和正方形的性质定理和判定定理。2.理解正方形与菱形和矩形的关系，能用正方形的性质定理与判定定理判定正方形。
难点内容：根据矩形、菱形、正方形的性质求解一些相关图形问题。
特殊的平行四边形
知识精要一、特殊的平行四边形 矩形：有一个内角是直角的平行四边形。菱形：有一组邻边相等的平行四边形。正方形：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形。 ( http: / / www.21cnjy.com )二、性质定理图形性质定理判定定理矩形四个角都是直角；两条对角线相等。有三个内角是直角的四边形。对角线相等的平行四边形。菱形四条边都相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角。四条边都相等的四边形。对角线互相垂直的平行四边形。正方形四个角都是直角，四条边都相等；对角线相等，且互相垂直，每条对角线平分一组内角。一组邻边相等的矩形；有一个内角是直角的菱形。热身练习1、已知菱形ABCD的周长为20cm，∠A：∠ABC＝1：2，则BD= 6 cm.2、已知菱形的一条对角线的长为12cm，面积是30cm2，则这个菱形的另一条对角线的长为 5 cm.3、、正方形的对称轴有＿＿4＿条。4、、正方形的对角线与一边的夹角为 ＿45＿。5、如图在中，点D、E、F分别在边、、上，且，．下列四种说法： ①四边形是平行四边形； ②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是菱形.其中，正确的有 .（只填写序号）答案：①②③④6、如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为 .7、菱形ABCD，若∠A:∠B＝2：1，∠CAD的平分线AE和边CD之间的关系是（ D ）A．相等 B．互相垂直且不平分 C．互相平分且不垂直 D．垂直且平分8、已知菱形的周长为40cm，两对角线的长度之比为3：4，则两对角线的长分别为( C ) A．6cm，8cm B．3cm，4cm C．12cm，16cm D．24cm，32cm9、如图，矩形的周长为，两条对角线相交于点，过点作的垂线，分别交于点，连结，则的周长为（ D ）A．5cm B．8cm C．9cm D．10cm10、已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为 ( B ) A. 45°，135° B. 60°，120° C. 90°，90° D. 30°，150°11、正方形具有而菱形没有的性质是（ C ）A．对角线互相平分 B．每条对角线平分一组对角 C．对角线相等 D．对边相等12、如图，四边形为矩形纸片．把纸片折叠，使点恰好落在边的中点处，折痕为．若，则等于（ A ） B． C． D． ( http: / / www.21cnjy.com )13、已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上，且CE=CF，求证：AE=AF．证明：只要证14、已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．（1）求证：BE = DF；（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．答案：证明：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD,∠B = ∠D = 90°．∵AE = AF， ∴． ∴BE＝DF． （2）四边形AEMF是菱形． ∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCA = ∠DCA = 45°，BC = DC． ∵BE＝DF，∴BC－BE = DC－DF. 即． ∴ ∵OM = OA， ∴四边形AEMF是平行四边形．∵AE = AF，∴平行四边形AEMF是菱形． 15、已知，如图Rt△ABC中，∠ACB ( http: / / www.21cnjy.com )＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，求证：四边形CEDF是正方形。 证明：因为∠ACB＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC所以四边形CEDF是矩形 因为CD为∠ACB的平分线 所以三角形CDE是等腰三角形，所以CE=DE 所以四边形CEDF是正方形 （一组邻边相等的矩形是正方形）精解名题例1、如图，已知锐角△ABC中，以AB，A ( http: / / www.21cnjy.com )C为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结CE、BG，交点为O，求证：(1) EC＝BG；(2) EC⊥BG．解析 易证△EAC≌△BAG，可得EC＝BG，∠AEC＝∠ABG，于是可证∠EOB＝∠EAB证明： (1)在正方形ABDE和正方形ACFG中，AE＝AB，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC＝90°，∴∠EAB＋∠BAC＝∠GAC＋∠BAC．即∠EAC＝∠BAG，∴△EAC≌△BAG． ∴EC＝BG．(2)由(1)知：△EAC≌△BAG， ∴∠AEC＝∠ABG．又∵∠1＝∠2， ∴∠ABG＋∠2＝∠AEC＋∠1＝90°．∴∠EOB＝∠EAB＝90° ∴EC⊥BG．（若把∠BAC为锐角改为钝角，其余条件不变，上述两结论仍能成吗？如果成立试证明之．）例2、如图，已知P点是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E，F分别是垂足，求证：AP＝EF．证明：连结AC交BD于O，连结PC．在正方形ABCD中，BD⊥AC，BD平分AC．∴PA＝PC． 又∵PE⊥CD，PF⊥BC，∠DCB＝90°． ∴四边形PFCE是矩形． ∴EF＝PC． ∴PA＝EF．例3、将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1．(1)四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由：是，两对边平行的四边形为平行四边形．(2)如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：是，由，且，得到（一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）．(3)在Rt△BCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为______时，四边形ABC1D1为矩形，其理由是：平行四边形有一内角为；当点B的移动距离为__1____时，四边形ABC1D1为菱形，其理由是：平行四边形内有一组相邻的边相等．(图3、图4用于探究)例4、探究问题：⑴方法感悟： 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．感悟解题方法，并完成下列填空： ( http: / / www.21cnjy.com )将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°． 即∠GAF=∠_EAF__．又AG=AE，AF=AF ∴△GAF≌_______．∴___GF__=EF，故DE+BF=EF． ⑵方法迁移： 如图，将沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．证：延长直线FB,使得BG=DE,∵将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点 ( http: / / www.21cnjy.com )E，F分别为DC，BC边上的点.∴AB=AD，∠ABG=∠ADE，
∵BG=DE
∴△AGB≌△AED，
∴AG=AE，
∵AF=AF，∠BAG= ∠DAE又∵∠EAF= 12∠DAB∠GAF=∠FAE，
∴△AGF≌△AEF，
∴GF=EF，
∴DE+BF=EF；
⑶问题拓展：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．当∠B+∠D=180 0巩固练习一、填空题1. 如图，矩形的周长为24cm，一边中点与对边两顶点连线成直角，则矩形的两邻边分别为 4 cm和 8 cm。2、菱形的周长为12 cm，相邻两角之比为5∶1,那么菱形对边间的距离是1.5 cm 。3、菱形的两邻角之比为1：2，边长为2，则菱形的面积为__________．4、如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是边AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF的值为：_________。5、正方形ABCD中，对角线BD长为16cm，P是AB上任意一点，则点P到AC、BD的距离之和等于 8 cm6、如图，将矩形纸ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3厘米，EF＝4厘米，则边AD的长是_____5______厘米. ( http: / / www.21cnjy.com )7、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH= ． ( http: / / www.21cnjy.com )选择题1、已知菱形ABCD的周长为40cm，BD=AC，则菱形的面积为（ A ）A．96cm2 B．94cm2 C．92cm2 D．90cm22、如下图，四边形ABCD为正方形，△BPC为等边三角形，连接PD、BD，则∠BDP=（ C ） A．15° B．25° C．30° D．35° ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) (2题图) （3题图） （4题图）3、 如上图，四边形ABCD为矩形纸片 ( http: / / www.21cnjy.com )．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF， 若CD＝6，则AF等于 （ A ）A． B． C． D．8 4、如图，正方形的面积为1，是的中点，则图中阴影部分的面积是（ B ）A． B． C． D．5、如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝30，E、F三等分AC，则△ABE的面积是( B )A．60 B．100 C．150 D．200 （5题图） （6题图） （7题图）6、如右图，在菱形ABCD中，AE ( http: / / www.21cnjy.com )⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于（ B ） A.75° B.60° C.45° D.30°7、如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是( B )A．30 B．34 C．36 D．40三、解答题1、已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AE=2，求：（1）∠ABC的度数； （2）对角线AC、BD的长； （3）菱形ABCD的面积。解：（1）120度；（2）AC= ，BD= 4 （3）2、如图，在ABCD中，两对角线AC、BD交于点O，EF过点O且垂直于AC并交AB于点E，交CD于点F，求证：四边形AECF是菱形。提示：证ΔCOF≌ΔAOE ( http: / / www.21cnjy.com ) 3、如图，已知E为正方形ABCD的边BC的中点，EF⊥AE，CF平分∠DCG，求证：AE＝EF．解析：可取AB中点M，连结ME，证△AME≌△ECF证明：取AB中点M，连结ME在正方形ABCD中，AB＝BC，∠B＝∠DCB＝90°．又E为BC中点，∴AM＝BM＝BE＝EC．∴∠BME＝45°．∴∠AME＝135°．又CF平分∠DCG．∴∠ECF＝135°．∴∠AME＝∠ECF．又∵AE⊥EF，∴∠FEC＋∠AEB＝90°．又∵∠BAE＋∠AEB＝90°．∴∠FEC＝∠BAE．∴△AME≌△ECF．∴AE＝EF．4、如图，在△ABC 中，点O是A ( http: / / www.21cnjy.com )C边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？ 并证明你的结论．答案：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．∵CE平分，∴∠OCE=∠ECB．又∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB．∴∠OCE=∠OEC．∴．同理，．∴ ．∵，AO=CO，∴四边形AECF是平行四边形. 又∵CE、CF分别平分∠ACB和∠ACP， ∴． ∴四边形AECF是矩形． ( http: / / www.21cnjy.com )自我测试一、填空题1、如图，矩形ABCD的对角线相交于O点，AE⊥BD，垂足为E，若∠DAE＝4∠BAE，则∠EAC＝ 54°2、已知菱形一个内角为，且平分这个内角的一条对角线长为8cm，则这个菱形的周长为 32cm .已知菱形的面积等于80cm2，高等于8cm，则菱形的周长为 40 cm .4、菱形的边长是2 cm，一条对角线的长是2 cm，则另一条对角线的长是 2cm 5、如图，正方形的对角线相交于O，∠BAC的的平分线交BD于E，若正方形的周长是20cm，则DE＝ 5cm （5题图）6、如图,E是正方形ABCD内一点,如果△ABE为等边三角形,那么∠DCE= _15度__。二、选择题1、下列命题中，真命题是（ B ）A.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形；B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形；D.对角线相等的四边形是菱形2、正方形具有而矩形不一定具有的特征是( C )A．四个角都是直角 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线相等3、具备下列条件的四边形，不能断定四边形是矩形的是( D )A．三个角都是直角 B．四个角都相等C．对角线相等的平行四边形 D．对角线垂直且相等4、矩形的各角平分线若相交围成的四边形是（ D ）A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形5、如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点C的坐标是（3，4）则顶点A、B的坐标分别是 （ D ）A. （4，0）（7，4） B. （4，0）（8，4） C. （5，0）（7，4） D. （5，0）（8，4）6、菱形的周长为4，一个内角为60，则较短的对角线长为（ C ）A．2 B． C．1 D．27、如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC,则下列结论:（1）∠E=22.50. (2) ∠AFC=112.50. (3) ∠ACE=1350（4）AC=CE(5) AD∶CE=1：. 其中正确的有（ A ） A 5个 B 4个 C 3个 D 2个 三、解答题1、如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．解：（1）四边形OCED是菱形．∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，又 在矩形ABCD中，OC=OD，∴四边形OCED是菱形． （2）连结OE．由菱形OCED得：CD⊥OE， ∴OE∥BC 又 CE∥BD ∴四边形BCEO是平行四边形∴OE=BC=8 ∴S四边形OCED=2、 如下图，在正方形ABCD中，G为BC边 ( http: / / www.21cnjy.com )上任意一点(与点B、C不重合)，AE⊥DG于点E，CF∥AE交DG与点F。求证：AE=FC+EF证明：∵在正方形ABCD中AD∥BC,∴∠ADE=∠DGC ∵在△DGC中∠DGC+∠GDC=90 又∠GDC+∠DCF=90 ∴∠DGC=∠DCF∴∠ADE =∠DCF 另∵AD=DC ∴RT△AED≌△DFC ∴AE=DF，DE=FC ∴AE=FC+EF3、如图l，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AMBE，垂足为M，AM交BD于点F．(1)求证：OE=OF；(2)如图2，若点E在AC的延长线上，AMBE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗 如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )答案：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形． ∴BOE=AOF＝90．OB＝OA ……………… 又∵AMBE，∴MEA+MAE＝90=AFO+MAE∴MEA＝AFO……………… ∴Rt△BOE≌ Rt△AOF ……………… ∴OE=OF ……………… (2)OE＝OF成立 ……………… 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴BOE=AOF＝90．OB＝OA ……………… 又∵AMBE，∴F+MBF＝90=B+OBE 又∵MBF＝OBE ∴F＝E……………… ∴Rt△BOE≌ Rt△AOF ……………… ∴OE=OF ………………4、如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE＝PB.（１）求证：① PE＝PD ； ② PE⊥PD；（２）设AP＝x, △PBE的面积为y.① 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.证：①∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°．
∵PC=PC， ∴△PBC≌△PDC（SAS）．
∴PB=PD，∠PBC=∠PDC． 又∵PB=PE， ∴PE=PD．
②（i）当点E在线段BC上（E与B、C不重合）时，
∵PB=PE， ∴∠PBE=∠PEB， ∴∠PEB=∠PDC，
而∠PEB+∠PEC=180°， ∴∠PDC+∠PEC=180°，
∴∠DPE=360°-（∠BCD+∠PDC+∠PEC）=90°， ∴PE⊥PD．
（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD．
（iii）当点E在BC的延长线上时
∵∠PEC=∠PDC，∠1=∠2， ∴∠DPE=∠DCE=90°， ∴PE⊥PD．
综合（i）（ii）（iii），PE⊥PD；
（2）①过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF=FE．
∵AP=x，AC= ，∠ACB=45°，PF⊥BC，
∴PC= 2 -x，PF=FC= ( -x) BF=FE=1-FC=1-( -x) = x．
∴=，②当时，最大，最大为
D
A
F
O
C
E
B
M
A
B
D
C
F
P
E
图1
图2
图3
图4
F
G
E
A
B
C难关
D过
E
第6题图
A
B
C
P
D
E
