沪教版（五四学制）九年级数学下册学案：27.3正多边形与圆（无答案）
文档属性
| 名称 | 沪教版（五四学制）九年级数学下册学案：27.3正多边形与圆（无答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 304.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-08-06 08:52:22 | ||
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文档简介
课 题 正多边形与圆
教学目标 1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性；2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形；3.会进行正多边形的有关计算.
重点、难点 正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系
考点及考试要求 会进行正多边形的有关计算
教学内容
一【要点梳理】知识点一、正多边形的概念
各边相等， ( http: / / www.21cnjy.com )各角也相等的多边形是正多边形．
要点诠释：
判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).
知识点二、正多边形的重要元素
1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
2.正多边形的有关概念
(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
3.正多边形的有关计算
(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；
(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；
(3)正ｎ边形每个外角的度数是.要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.
知识点三、正多边形的性质
1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.
3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
( http: / / www.21cnjy.com )
4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆 ( http: / / www.21cnjy.com )，这两个圆是同心圆
要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.知识点四、正多边形的画法
1.用量角器等分圆
由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.
2.用尺规等分圆
对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
①正四、八边形。
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。
②正六、三、十二边形的作法。
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。
显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。
同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。
要点诠释：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.二【典型例题】类型一、正多边形的概念例1．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（ ）A．45° B．60° C．75° D．90° ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )【答案】A.【解析】如图，连接OB、OC，则∠BOC=90°，
根据圆周角定理，得：∠BPC=∠BOC=45°．
故选A．【点评】本题主要考查了正方形的性质和圆周角定理的应用．
举一反三：【变式】如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB等于（ ）A．30° B．45° C．55° D．60° ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )【答案】连接OA，OB．根据正方形的性质，得∠AOB=90°．再根据圆周角定理，得∠APB=45°．
故选B．例2．如图1，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ=（ ）A．60° B．65° C．72° D．75° ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )图1 图2【思路点拨】 连接OD，根据题意求出∠POQ和∠AOD的度数，利用平行关系求出∠AOP度数，即可求出∠AOQ的度数．【答案】D.【解析】如图2，连接OD，由题意可知∠PO ( http: / / www.21cnjy.com )Q=120°，∠AOD=90°，
由BC∥RQ可知P为弧AD的中点，所以∠AOP=45°，
所以∠AOQ=∠POQ-∠AOP=120°-45°=75°．
故选D．【点评】解决此类问题的关键是作出恰当的辅助线（如正多边形的半径、边心距、中心角等），再利用正多边形与圆有关性质求解．类型二、正多边形和圆的有关计算例3．已知正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的半径R，边心距，面积．【答案与解析】 如图所示，过中心O作OH⊥AB于H，连接OA，OB，则△AOH为直角三角形． ( http: / / www.21cnjy.com )∵ ，∴ R＝2AH＝AB＝6(cm)，在Rt△AOH中，(cm)，∴ (cm)．【点评】关于正多边形与圆的计算问题一般转化为解由半径、边心距、边长的一半组成的直角三角形． 例4．如图，若正方形A1B1C1D1内接于正方形ABCD的内接圆，则的值为（ ）A． B． C． D． ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )【思路点拨】 根据正多边形的特点，构建直角三角形来解决．【答案】B．【解析】连结OC1，作OF⊥C1D1于F，交BC于E.图形中正方形A1B1C1D1和正方形ABCD一定相似，OF，OC1分别等于两个正方形的边心距，△OC1F是等腰直角三角形，因而OF：OC1=，因而则的值为．故选B．【点评】边数相同的正多边形一定相似，边心距的比，半径的比都等于相似比．举一反三：【变式】如图是对称中心为点的正六边形．如果用一个含角的直角三角板的角，借助点（使角的顶点落在点处），把这个正六边形的面积等分，那么的所有可能的值是 ___________ __ . 【答案】根据圆内接正多边形的性质可 ( http: / / www.21cnjy.com )知，只要把此正六边形再化为正多边形即可，
即可知：360÷30=12；
360÷60=6；
360÷90=4；
360÷120=3；
360÷180=2．
故么n的所有可能的值是2，3，4，6，12．三【巩固练习】一、选择题
1．一个正多边形的一个内角为120°，则这个正多边形的边数为( )A．9 B．8 C．7 D．62．如图所示，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是( ) A． cm B． cm C．cm D．1 cm ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )第2题图 第3题图 第5题图3．如图所示，两个正六边形的边长均为1 ( http: / / www.21cnjy.com )，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形(阴影部分)外轮廓线的周长是 ( )A．7 B．8 C．9 D．104．正三角形、正方形、圆三者的周长都等于，它们的面积分别为S1，S2、S3，则( )． A．S1＝S2＝S3 B．S3＜S1＜S2 C．S1＜S2＜S3 D．S2＜S1＜S35．中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把圆五等分，然后连接五个等分点而得到的(如图所示)．五角星的每一个角的度数是( )．A．30° B．35° C．36° D．37° ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) 第6题图 第7题图 第9题图6．如图所示，是由5把相同的折扇组 ( http: / / www.21cnjy.com )成的“蝶恋花”（如图①）和梅花图案（如图②）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（ ）A．36° B．42° C．45° D．48°二、填空题7．如图所示，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则∠等于________．8．要用圆形铁片裁出边长为4的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小是________．9．如图所示，等边△ABC内接于⊙O，AB＝10cm，则⊙O的半径是________．10．正六边形的周长为12，则同半径的正三角形的面积为________，同半径的正方形的周长为________．11．正六边形的半径是5cm，则边长________，周长________ ，边心距________，面积________． 12. 正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为 .三、解答题13．如图所示，正△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，求△ABC的边长a，周长P，边心距r，面积S． ( http: / / www.21cnjy.com )14. 如图所示，半径为R的圆绕周长为10πR的正六边形外边作无滑动滚转，绕完正六边形后，圆一共转了多少圈？ ( http: / / www.21cnjy.com ) 一位同学的解答过程：圆的周长为2πR，所以它绕完正六边形后一共转了圈，结果一共转了5圈．你认为这位同学的解答有无错误？如有错误，请更正．15．某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行了如下讨论：甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形．乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形，如图①所示，△ABC是正三角形，，可以证明六边形ADBECF各内角相等，但它不是正六边形．丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形，我想，边数是7时，它可能也是正多边形． ( http: / / www.21cnjy.com ) (1)请你证明乙同学构造的六边形各内角相等；(2)请你证明各内角相等的圆内接七边形ABCDEFG（如图②所示）是正七边形（不必写已知、求证）．(3)根据以上探索过程，提出你的猜想（不必证明）．
教学目标 1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性；2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形；3.会进行正多边形的有关计算.
重点、难点 正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系
考点及考试要求 会进行正多边形的有关计算
教学内容
一【要点梳理】知识点一、正多边形的概念
各边相等， ( http: / / www.21cnjy.com )各角也相等的多边形是正多边形．
要点诠释：
判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).
知识点二、正多边形的重要元素
1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
2.正多边形的有关概念
(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
3.正多边形的有关计算
(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；
(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；
(3)正ｎ边形每个外角的度数是.要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.
知识点三、正多边形的性质
1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.
3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
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4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆 ( http: / / www.21cnjy.com )，这两个圆是同心圆
要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.知识点四、正多边形的画法
1.用量角器等分圆
由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.
2.用尺规等分圆
对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
①正四、八边形。
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。
②正六、三、十二边形的作法。
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。
显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。
同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。
要点诠释：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.二【典型例题】类型一、正多边形的概念例1．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（ ）A．45° B．60° C．75° D．90° ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )【答案】A.【解析】如图，连接OB、OC，则∠BOC=90°，
根据圆周角定理，得：∠BPC=∠BOC=45°．
故选A．【点评】本题主要考查了正方形的性质和圆周角定理的应用．
举一反三：【变式】如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB等于（ ）A．30° B．45° C．55° D．60° ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )【答案】连接OA，OB．根据正方形的性质，得∠AOB=90°．再根据圆周角定理，得∠APB=45°．
故选B．例2．如图1，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ=（ ）A．60° B．65° C．72° D．75° ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )图1 图2【思路点拨】 连接OD，根据题意求出∠POQ和∠AOD的度数，利用平行关系求出∠AOP度数，即可求出∠AOQ的度数．【答案】D.【解析】如图2，连接OD，由题意可知∠PO ( http: / / www.21cnjy.com )Q=120°，∠AOD=90°，
由BC∥RQ可知P为弧AD的中点，所以∠AOP=45°，
所以∠AOQ=∠POQ-∠AOP=120°-45°=75°．
故选D．【点评】解决此类问题的关键是作出恰当的辅助线（如正多边形的半径、边心距、中心角等），再利用正多边形与圆有关性质求解．类型二、正多边形和圆的有关计算例3．已知正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的半径R，边心距，面积．【答案与解析】 如图所示，过中心O作OH⊥AB于H，连接OA，OB，则△AOH为直角三角形． ( http: / / www.21cnjy.com )∵ ，∴ R＝2AH＝AB＝6(cm)，在Rt△AOH中，(cm)，∴ (cm)．【点评】关于正多边形与圆的计算问题一般转化为解由半径、边心距、边长的一半组成的直角三角形． 例4．如图，若正方形A1B1C1D1内接于正方形ABCD的内接圆，则的值为（ ）A． B． C． D． ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )【思路点拨】 根据正多边形的特点，构建直角三角形来解决．【答案】B．【解析】连结OC1，作OF⊥C1D1于F，交BC于E.图形中正方形A1B1C1D1和正方形ABCD一定相似，OF，OC1分别等于两个正方形的边心距，△OC1F是等腰直角三角形，因而OF：OC1=，因而则的值为．故选B．【点评】边数相同的正多边形一定相似，边心距的比，半径的比都等于相似比．举一反三：【变式】如图是对称中心为点的正六边形．如果用一个含角的直角三角板的角，借助点（使角的顶点落在点处），把这个正六边形的面积等分，那么的所有可能的值是 ___________ __ . 【答案】根据圆内接正多边形的性质可 ( http: / / www.21cnjy.com )知，只要把此正六边形再化为正多边形即可，
即可知：360÷30=12；
360÷60=6；
360÷90=4；
360÷120=3；
360÷180=2．
故么n的所有可能的值是2，3，4，6，12．三【巩固练习】一、选择题
1．一个正多边形的一个内角为120°，则这个正多边形的边数为( )A．9 B．8 C．7 D．62．如图所示，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是( ) A． cm B． cm C．cm D．1 cm ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )第2题图 第3题图 第5题图3．如图所示，两个正六边形的边长均为1 ( http: / / www.21cnjy.com )，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形(阴影部分)外轮廓线的周长是 ( )A．7 B．8 C．9 D．104．正三角形、正方形、圆三者的周长都等于，它们的面积分别为S1，S2、S3，则( )． A．S1＝S2＝S3 B．S3＜S1＜S2 C．S1＜S2＜S3 D．S2＜S1＜S35．中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把圆五等分，然后连接五个等分点而得到的(如图所示)．五角星的每一个角的度数是( )．A．30° B．35° C．36° D．37° ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) 第6题图 第7题图 第9题图6．如图所示，是由5把相同的折扇组 ( http: / / www.21cnjy.com )成的“蝶恋花”（如图①）和梅花图案（如图②）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（ ）A．36° B．42° C．45° D．48°二、填空题7．如图所示，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则∠等于________．8．要用圆形铁片裁出边长为4的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小是________．9．如图所示，等边△ABC内接于⊙O，AB＝10cm，则⊙O的半径是________．10．正六边形的周长为12，则同半径的正三角形的面积为________，同半径的正方形的周长为________．11．正六边形的半径是5cm，则边长________，周长________ ，边心距________，面积________． 12. 正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为 .三、解答题13．如图所示，正△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，求△ABC的边长a，周长P，边心距r，面积S． ( http: / / www.21cnjy.com )14. 如图所示，半径为R的圆绕周长为10πR的正六边形外边作无滑动滚转，绕完正六边形后，圆一共转了多少圈？ ( http: / / www.21cnjy.com ) 一位同学的解答过程：圆的周长为2πR，所以它绕完正六边形后一共转了圈，结果一共转了5圈．你认为这位同学的解答有无错误？如有错误，请更正．15．某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行了如下讨论：甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形．乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形，如图①所示，△ABC是正三角形，，可以证明六边形ADBECF各内角相等，但它不是正六边形．丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形，我想，边数是7时，它可能也是正多边形． ( http: / / www.21cnjy.com ) (1)请你证明乙同学构造的六边形各内角相等；(2)请你证明各内角相等的圆内接七边形ABCDEFG（如图②所示）是正七边形（不必写已知、求证）．(3)根据以上探索过程，提出你的猜想（不必证明）．