沪教版（五四学制）八年级数学下册学案：22.1.2多边形和平行四边形（无答案）

多边形、平行四边形知识精要一、多边形 1、多边形的定义：由一些线段首尾顺次连结组成的图形，叫做多边形。 2、多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边。 3、多边形的顶点：多边形每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点。 4、多边形的对角线：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。 5、多边形的周长：多边形各边的长度和叫做多边形的周长。 6、凸多边形：把多边形的任何一条边向两方延长，如果多边形的其他各边都在延长线所得直线的问旁，这样的多边形叫凸多边形。 说明：一个多边形至少要有三条边， ( http: / / www.21cnjy.com )有三条边的叫做三角形；有四条边的叫做四边形；有几条边的叫做几边形。今后所说的多边形，如果不特别声明，都是指凸多边形。 7、多边形的角：多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角。 8、多边形的外角：多边形的角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做多边形的外角。 注意：多边形的外角也就是与它有公共顶点 的内角的邻补角。 9、n边形的对角线共有条。 说明：利用上述公式，可以由一个多边形的边数计算出它的对角线的条数，也可以由一个多边形的对角线的条数求出它的边数。10、多边形内角和定理：n边形内角和等于（n－2）180°。 多边形外角和：360° 二、平行四边形1、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。2、平行四边形性质：性质定理1：平行四边形的对边相等。推论：夹在平行线间的平行线段相等。性质定理2：平行四边形的对角相等。性质定理3：平行四边形的两条对角线互相平分。性质定理4：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。3、平行四边形判定定理判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 判定定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 判定定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 说明：（1）平行四边形的定义、性质和判定是研究特殊平行四边形的基础。同时又是证明线段相等，角相等或两条直线互相平行的重要方法。 （2）平行四边形的定义即是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法。热身练习一、判断题1.一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形。 （ × ）2.在四边形ABCD中，如果AB=BC，CD=AD,那么四边形ABCD一定是平行四边形。 （ × ）3.如果在四边形中，有一组对边平行且相等，那么这个四边形一定是平行四边形。（√ ）4.若在四边形中，一组对边相等，另一组对角相等，那么此四边形一定是平行四边形。（ √ ）5.如果四边形的一条对角线把四边形分成两个全等的三角形，那么此四边形一定是平行四边形。（ × ）6. 有两组内角分别相等的四边形一定是平行四边形。（ × ）二、填空题：1.四边形任意相邻内角互补，那么四边形是 平行四边形 。2.一个四边形的四边长分别是a,b,c,d，且有，则此四边形是 平行四边形 。3. 一个多边形的内角和为1440°，则它的边数为 8 4.若平行四边形中有一个内角为90°，则其余三个角的度数之比为： 1:1:1 。5. 如果ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么AB= 4 cm，BC= 10 cm，CD= 4 cm，AD= 10 cm．三、解答题1、已知一个多边形的内角和与一个外角的差为1560°，求这个多边形的边数和这个外角的度数。解：设这个多边形为n，外角度数为a，则 （n-2）180°=1560°+aa=（n-2）180°-1560 ∵0＜a＜180° 所以 所以n=11，a=60°2、如图，在中，点、、分别在、、上，，，且是的中点．求证：证明：∵，∴四边形DBFE是平行四边形∴ DE=BF,∵ 是的中点．∴BF=CF ∴精解名题例1、已知一个多边形的每个内角都相等，且一个内角比一个外角大36°，求这个多边形的边数。解：例2、如图，在□ABCD中，∠DAB=60 ( http: / / www.21cnjy.com )°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB． 求证：四边形AFCE是平行四边形．证明△ADE≌△CBF 对角相等的四边形是平行四边形。 ( http: / / www.21cnjy.com )思考：若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗 若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．解：成立。例3、如图，在ABCD中，AE=CF，点M、N分别是DE、BF的中点，求证：FM=EN。 解：由BE平行且等于DF，所以EBFD是平行四边形所以ME平行且等于FN，所以MENF是平行四边形所以FM=EN ( http: / / www.21cnjy.com )例4、如图，在Rt△ABC中， ∠BAC=90°，延长BA到D，使AD=,点E,F分别为边BC，AC的中点。 （1）求证：四边形AEFD是平行四边形。（EF平行等于AD）（2）若BC=10cm,求DF的长。（5cm）（3）若BC=10cm，且∠C=30°，求四边形AEFD的面积。() ( http: / / www.21cnjy.com )例5、已知如图，在平行四边形ABCD中，延 ( http: / / www.21cnjy.com )长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN.（1）求证：△AEM≌△CFN；（2）求证：四边形BMDN是平行四边形.证明:(1） ∵四边形ABCD是平行四边形∴∠DAB=∠BCD ∴∠EAM=∠FCN又∵AD∥BC ∴∠E=∠F∵AE=CF ∴△AEM≌△CFN（2） 由（1） 得AM=CN，又∵四边形ABCD是平行四边形∴ABCD ∴BMDN∴四边形BMDN是平行四边形备选例题例1、如图所示，在矩形中，，两条对角线相交于点．以、为邻边作第1个平行四边形，对角线相交于点，再以、为邻边作第2个平行四边形，对角线相交于点；再以、为邻边作第3个平行四边形……依次类推．（1）求矩形的面积；（2）求第1个平行四边形、第2个平行四边形和第6个平行四边形的面积． ( http: / / www.21cnjy.com )巩固练习1、已知下列命题：（1）一组对边平行，另一组 ( http: / / www.21cnjy.com )对边相等的四边形是平行四边形（2）一组对边平行，另一组对角相等的四边形是平行四边形；（3）两组邻角互补的四边形是平行四边形；(4)有一个角与相邻两角都互补的四边形是平行四边形。其中真命题的个数是 （　 B　）A. 1 B. 2 C. 3 D. 42、 平行四边形的两条对角线长和一条边的长可以依次为 （ B ） A.4 ,4,4 B. 6,4,3 C.6,4,6 D. 3,4,5 3、 在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（ B ）．A．对角相等 B．对角互补 C．邻角互补 D．内角和是4、如图，已知长方形ABCD，R、P分 ( http: / / www.21cnjy.com )别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，那么下列结论成立的是 （ C ）。A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减少C．线段EF的长不变 D．线段EF的长不能确定5、如图 ，四边形ABCD为平行四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形，蚂蚁甲沿A－B－C从A到C，蚂蚁乙沿B－C－D从B到D，两只蚂蚁速度相同且同时出发，则下列结论中，错误的是（ C ）A. 甲到达B点时，乙也正好到达C点 B. 甲、乙同时到达终点C. 甲、乙所经过的路程相同 D. 甲、乙所用的时间相同6、如图，O是□ABCD的对角线交点，E为AB中点，DE交AC于点F，若S□ABCD=16. 则S△DOE的值为 （ C ）。A．1 B． C．2 D．7、平行四边形ABCD中，∠A＝45°，BC＝ ，则AB与CD之间的距离是 1 ；若AB＝3，四边形ABCD的面积是　3　 ， ΔABD的面积是　1.5　　。8、在平行四边形ABCD中，与的平分线分别交AD于E、F，则EF的长为___1 __。 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) （4题） （5题） （6题）9、如图，O是ABCD对角线的交点．△OBC的周长为59，BD=38，AC=24，则AD=_28； 若△OBC与△OAB的周长之差为15，则AB=_13___，ABCD的周长=__ 82 .10、已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是OA、OC的中点，求证：BM∥DN，且BM=DN 。△BOM≌△DON(SAS11、已知如图，O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，EF经过点O，且与AB交于E，与CD 交于F。求证：四边形AECF是平行四边形。证明：△AOE≌△COF(ASA)∴AE=CF，且AE∥CF∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）自我测试1、判断题相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形。 （ √ ）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 （ √ ）一组对边平行，另一组对边相等的四边形。 （ × ）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （ √ ）对角线相等的四边形是平行四边形。 （ × ）对角线互相平分的四边形是平行四边形。 （ √ ） 2、下列条件中，能确定一个四边形是平行四边形的是 （ D ） A.一组对边相等 B.一组对角相等 C.两条对角线相等 D.两条对角线互相平分3、如图所示，已知△ABC中，∠A ( http: / / www.21cnjy.com )BC=∠BAC，D是AB的中点，EC∥AB，DE∥BC，AC与DE交于点O，则下列结论中，不一定成立的是 （ B ）A . AC=DE B. AB=AC C. AD∥EC且AD=EC D. OA=OE ( http: / / www.21cnjy.com )4、如图所示，在 ABCD中，EF//AB，GH//AD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有（ C ）个。 A. 7 B. 8 C. 9 D. 115. 如图所示，在 ABCD中，∠B=110°，延长AD至F，延长CD至E，连结EF，则∠E+F=（ D ） A. 110° B. 30° C. 50° D. 70°6. 如图所示，E、F是 ABCD对角线上两点，且AE=CF，连结DE、BF，则图中共有全等三角形的对数是（ C ）对。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 47. 如右图所示，在 ABCD中，DB=DC，∠C=70°，AE⊥BD于E，则∠DAE= 20° .8. 如右图，已知：点O是 ABCD中的 ( http: / / www.21cnjy.com )对角线的交点， AC=38mm，BD=24mm，AD=14mm，那么△OBC的周长等于 45 mm.9. 平行四边形两邻边分别为20和16，若两长边间距离为8，则两短边间的距离为 10 .10. 已知，如图所示，在 ( http: / / www.21cnjy.com ) ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF= 3 cm. ( http: / / www.21cnjy.com )11．如图所示：四边形ABCD是平行四边形，DE平分平分．试证明四边形BFDE是平行四边形．12.已知：如图，在中，是边的中点，是的中点，连接并延长到点，使EF=BE，连结AF、。(1)试说明ADCF是平行四边形；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形是矩形，并说明你的理由．证明： (1)证AEF≌△DEB　, ∴AF∥BD　　AF＝BD　∵BD＝CD　　∴AF＝DC　AF∥DC　, ∴四边形ADCF是平行四方形　(2)AB=AC或∠ABC=∠ACB(不唯一)
C
B
C
D
A
D
H
C
A
B
E
F
G
O
A
B
C
D
F
E
A
B
C
D
E
F
O
D
C
B
A
F