沪教版（五四学制）八年级数学下册复习学案：22四边形（无答案）

课 题 平行四边形
教学目标 平行四边形的性质及判定特殊的平行四边形性质及判定
重点、难点 重点： 平行四边形的性质 难点：平行四边形的判定
考点及考试要求 熟练掌握无理，二元二次方程组的解法，会列方程解应用题。
教学内容
课堂导入知识精讲1. 平行四边形及特殊平行四边形的性质及判定方法图形性质判定对称性平行四边形对边相等且平行对角相等 菱角互补对角线互相平分一组对边平行且相等两组对边平行两组对边相等对角线互相平分两组对角相等中心对称菱形平行四边形的性质对角线互相垂直平分且平分每一组对角四条边都相等的四边形对角线垂直的平行四边形一组邻边相等的平行四边形中心对称轴对称矩形平行四边形的性质对角线相等且互相平分四个角都为90度三个角是直角的四边形对角线相等的平行四边形有一个角是直角的平行四边形中心对称轴对称三、典例精析例1-1、下列命题中，假命题是( ) 答案CA．一组邻边相等的平行四边形是菱形； B．一组邻边相等的矩形是正方形； C．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形；D．一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形.例1-2、 已知四边形中，，如果添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（ ）．答案D（A）； （B）； （C）； （D）.例1-3、在下列命题中，真命题是……………………………………………………………（　）答案C　（A）两条对角线相等的四边形是矩形（B）两条对角线互相垂直的四边形是菱形（C）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形（D）两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形例1-4、下列关于四边形是矩形的判断中，正确的是（ ）答案D（A）对角线互相平分； （B）对角线互相垂直；（C）对角线互相平分且垂直； （D）对角线互相平分且相等．练习1．下列正方形的性质中，菱形（非正方形）不具有的性质是 ( ) 答案BＡ．四边相等； Ｂ．对角线相等；Ｃ．对角线平分一组对角； Ｄ．对角线互相平分且垂直．2．对角线相等的四边形是（ ）答案BA．菱形； B．矩形； C．等腰梯形； D．不能确定；3．下列命题中正确的是 ( ) 答案A（A）矩形的两条对角线相等；（B）菱形的两条对角线相等；（C）等腰梯形的两条对角线互相垂直；（D）平行四边形的两条对角线互相垂直．4．四边形ABCD中，对角线AC、BD交 ( http: / / www.21cnjy.com )于点O。给出下列四组条件：①AB//CD，AD//BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB//CD，AD=BC。其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件共有 （ 　）答案C（A）1组； （B）2组； （C）3组； （D）4组．5．下列四个命题中真命题是 （ ）答案C（A）对角线互相垂直平分的四边形是正方形； （B）对角线垂直且相等的四边形是菱形； （C）对角线相等且互相平分的四边形是矩形； （D）四边都相等的四边形是正方形6．如果要证明平行四边形为正方形，那么我们需要在四边形是平行四边形的基础上，进一步证明( ) 答案B（A）AB=AD且AC⊥BD；　 （B）AB=AD且AC=BD；　（C）∠A=∠B且AC=BD；　 （D）AC和BD互相垂直平分.7．如果四边形ABCD的对角线相交于点O， ( http: / / www.21cnjy.com )且AO＝CO，那么下列条件中 不能 判断四边形ABCD为平行四边形的是( ) 答案 C（A）OB＝OD （B）AB//CD （C）AB＝CD （D）∠ADB＝∠DBC 8．下列说法错误的是（ ）。答案C A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．对角线相等且互相垂直的四边形是平行四边形 D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 例2、如图，点是平行四边形的对角线与的交点，四边形是平行四边形.求证：与互相平分. ( http: / / www.21cnjy.com )答案：连接AE，如图．
∵四边形OCDE是 ( http: / / www.21cnjy.com )平行四边形，
∴DE∥OC，DE=OC
∵O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，
∴AO=OC．
∴DE∥OA，DE=OA
∴四边形ODEA是平行四边形，
∴OE与AD互相平分．练习1、如图，在平行四边形中，为对角线的交点，点为线段延长线上的一点，且.过点作∥，交于点，联结.求证：∥；答案（1）证明：延长EF交AD ( http: / / www.21cnjy.com )于G（如图），
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，
∵EF∥CA，EG∥CA，
∴四边形ACEG是平行四边形，
∴AG=CE，
又∵CE=12BC，AD=BC，
∴AG=CE=12BC=12AD=GD，
∵AD∥BC，
∴∠AD ( http: / / www.21cnjy.com )C=∠ECF，
在△CEF和△DGF中，
∵∠CFE=∠DFG，∠ADC=∠ECF，CE=DG，
∴△CEF≌△DGF（AAS），
∴CF=DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∴OF∥BC．例3、如图△ABC中，点O是AC边 ( http: / / www.21cnjy.com )上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角线于点F.（1）求证：EO＝FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？证明你的结论．答案（1）∵MN∥BC ∴∠1=∠ ( http: / / www.21cnjy.com )6，∠4=∠5
又∵∠1=∠2，∠3=∠4 ∴∠2=∠6，∠3=∠5
∴OE=OC，OF=OC ∴OE=OF
（2）当O点运动到AC中点时，四边形AECF是矩形
理由：当O点上AC中点时，OA=OC=OE=OF
即对角线互相平分且相等，所以是矩形。 ( http: / / www.21cnjy.com )练习如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知三角形OAB是正三角形．（1）四边形ABCD是矩形吗？说明理由；（2）若AE∥BD，DE∥AC，求证：OE⊥AD 答案：（1）是矩形，理由是：
∵△OAB是正 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形，∴AO=BO，
∵四边形ABCD是平行四边形，AO=CO，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．
3（2）因为AE∥BD，DE∥AC．∴四边形AODE是平行四边形，又因为AO=DO=1/2AC, 所以四边形AODE是菱形∴ OE⊥AD例4、如图：在△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．求证：四边形AEFG是菱形． 答案 证明：∵CE平分 ( http: / / www.21cnjy.com )∠ACB，∠BAC=90°，EF⊥BC，
∴AE=FE，∠ACE=∠BCE，
又∵CE=CE，
∴Rt△AEC≌Rt△FEC，
∴AE=EF，∠AEC=∠FEC，
又∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AG∥EF，
∴∠AGE=∠FEC，
∴∠AEC=∠AGE，
∴AG=AE，
∴AG=EF，
∴四边形AEFG是平行四边形，
又∵AE=EF，
∴平行四边形AEFG是菱形。练习如图，△ABC中，∠BAC=90°，B ( http: / / www.21cnjy.com )G平分∠ABC，GF⊥BC于点F，AD⊥BC于点D，交BG于点E，连接EF．求证：①AE=AG；②四边形AEFG为菱形．答案 证明：（1）①∵BG平分∠ABC，
∴∠ABE=∠DBE，
∵∠ABE+∠AGE=90°，∠EBD+∠DEB=90°，∠GEA=∠BED，
∴∠AEG=∠EGA，即AG=AE；
②∵GF⊥BC于点F，AD⊥BC于点D，BG平分∠ABC，
∴AD∥GF，AG=GF，
又∵AG=AE，
∴AE=GF，
∴四边形AEFG是平行四边形，
又∵AG=AE，
∴四边形AEFG为菱形；
（2）由题意可知，在Rt△ABD中，AD=8，BD=6，
∴AB=10，
∵∠CAB=∠ADB=90°，∠ABD=∠CBA（公共角），
∴△ABC∽△DBA，
故可求出AC=，BC=；
在△ADC中，由平行线分线段成比例可设AG=GF=x，
则x：AD=CG：AC，
即x：8=：，
解得：x=5，
所以AE的长为5．总结：课堂作业1.下列四个命题中错误的是（　　）答案B (A)菱形的一条对角线平分一组对角； (B)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； (C)顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形 (D)等腰梯形的两条对角线相等2.下列四个命题中真命题是 （ ）答案B （A）矩形的对角线平分对角； （B）菱形的对角线互相平分； （C）梯形的对角线互相垂直； （D）平行四边形的对角线相等．3.如图，把矩形纸片ABCD纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么，下列说法不正确的是（ ）答案B A．△EBD是等腰三角形，EB=ED ； B．折叠后∠ABE和∠CBD一定相等； C．折叠后得到的图形是轴对称图形； D．△EBA和△EDC一定是全等三角形．4．如图，在□ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为 ．答案75．如图，在等腰梯形ABCD中，∠C= ( http: / / www.21cnjy.com )60°，AD∥BC，且AD=AB=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF，AF、BE交于点P．（1）求证：AF=BE；（2）请猜测∠BPF的度数，并证明你的结论．答案：（1）证明：∵四边形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )为等腰梯形，
∴AB=DC，∠BAE=∠ADF，
又∵AD=DC，DE=CF，
∴BA=AD，AE=DF，
∴△BAE≌△ADF，
∴BE=AF，即AF=BE；
（2）猜想∠BPF=120°，
∵由（1）△BAE≌△ADF，
∴∠ABE=∠DAF，
∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE，
又AD∥BC，∠C=∠ABC=60°，
∴∠BAE=120°，
∴∠BPF=120°。五、课后作业1.已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）答案C A．当AB=BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形 C．当AC=BD时，它是正方形 D．当∠ABC=900时，它是矩形2.下列说法中正确的有（ ）答案B （1）梯形两邻角的平分线互相垂直 （2）对角线互相垂直平分的四边形是正方形 （3）四边形的外角和等于360° （4）矩形的两条对角线相等A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3.如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）．答案A （A）3cm （B）4cm （C）5cm （D）6cm4. 如图，将矩形纸片ABCD沿AE折叠，使点B落在直角梯形AECD的中位线FG上，若，则AE的长为（ ） 答案 D A. B. 6 C. 3 D. 45.如图，已知平行四边形中，对角线交于点，是延长线上的点，且是等边三角形．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求证：四边形是正方形．答案 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，
又∵△ACE是等边三角形，
∴，即，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）∵△ACE是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∴四边形ABCD是正方形。
A
B
C
D
O
D
C
A
B
O
A
B
O
C
D
A
B
C
D
O
E
A
B
D
C
O
E
F
E
A
C
D
F
B
P
D
A
B
C
E
F
B
E
C
F
A
B′
G
D
E
C
D
B
A
O