2024-2025学年苏教版高二下学期开学摸底测试卷（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025学年苏教版高二下学期开学摸底测试卷
一、单选题
1．直线与平行，则a的值为（ ）
A．0 B． C．或0 D．或0
2．直线在y轴上的截距为（ ）
A． B． C．1012 D．2024
3．设点，直线：，当点到的距离最大时，直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
4．圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．， B．， C．，3 D．，3
5．已知过点与圆相切的两条直线的夹角为，设过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知双曲线，过其右焦点作一条直线分别交两条渐近线于两点，若为线段的中点，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知点P在抛物线上，且点P与点的距离和点P到直线的距离相等，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，且该双曲线与圆在第二象限的交点为点P，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
二、多选题
9．已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线与直线平行，则
B．直线倾斜角的范围为
C．当时，直线与直线垂直
D．直线过定点
10．已知圆，动直线过点，下列结论正确的是（ ）
A．当与圆相切于点时，
B．点到圆上点的距离的最大值为5
C．点到圆上点的距离的最小值为2
D．若点在上，与圆相交于点，则
11．我们把离心率为的双曲线叫做理想双曲线，若双曲线是理想双曲线，左右顶点分别为，，虚轴 点为，，右焦点为，离心率为，则（ ）
A．当时，
B．当时，则到渐近线的距离为
C．
D．的外接圆的面积为
12．已知F是椭圆的右焦点，直线与椭圆C交于A，B两点，M，N分别为，的中点，O为坐标原点，若，则椭圆C的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ．
14．一条光线从点射出，经直线反射后与圆C：相切，则反射光线所在直线的方程可以为 ．（写出满足条件的一条直线方程即可）
15．《测圆海镜》是金元时期李治所著中国古代数学著作，是中国古代论述容圆的一部专著，如第2卷第8题的“弦外容圆”问题是一个勾股形（直角三角形）外与弦相切的旁切圆问题，已知在中，，，点在第一象限，直线的方程为，圆与延长线、延长线及线段都相切，则圆的标准方程为 .
16．已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于，两点，为椭圆的右焦点，的周长为8，则此椭圆的短轴长为 ；弦长 .
四、解答题
17．已知直线．
(1)若直线与直线垂直，且经过，求直线的斜截式方程；
(2)若直线与直线平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求直线的一般式方程．
18．在中，BC边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线方程为，若点B的坐标为（1，2）.
(1)求点A和点C的坐标；
(2)求AC边上的高所在的直线l的斜截式方程.
19．已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求与直线AB平行且与圆C相切的直线的方程．
20．圆内有一点，过P的直线交圆于A，B两点．
(1)当P为弦AB中点时，求直线AB的方程；
(2)若圆O与圆相交于E，F两点，求EF的长度．
21．如图，已知M是抛物线C：（）上一点，F是抛物线C的焦点，以Fx为始边，FM为终边的，且，l为抛物线C的准线，O为原点.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线FM与抛物线C交于另一个点N，过N作x轴的平行线与l相交于点E.求证：M，O，E三点共线.
22．已知椭圆与双曲线的焦距之比为．
(1)求椭圆和双曲线的离心率；
(2)设双曲线的右焦点为F，过F作轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：．
参考答案：
1．C
【分析】利用直线平行求得，再进行检验即可得解.
【详解】因为直线与平行，
所以，解得或，
当时，两直线分别为，，显然平行，满足题意；
当时，两直线分别为，，也平行，满足题意；
综上，或.
故选：C.
2．B
【分析】利用截距的定义，结合直线方程即可得解.
【详解】因为，令，得，
所以直线在y轴上的截距为.
故选：B.
3．A
【分析】整理直线的方程，可得直线恒过点，当时，点到的距离最大时，即可求解.
【详解】∵直线：，
∴可将直线方程变形为，
由，解得，
由此可得直线恒过点，
当时，点到的距离最大时，
，则由，得.
故选：A.
4．A
【分析】利用给定圆的方程直接求出圆心坐标及半径即得.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为.
故选：A
5．B
【分析】设过点的直线与两个圆分别交于点和，根据圆的切线的性质，结合题意，在直角中，求得，结合倍角公式和三角函数的基本关系式，即可求解.
【详解】由圆，可化为，可得圆心，半径，
又由圆，可化为，可得圆心，半径，
设过点的直线与圆切于点，与圆切于点，
如图所示，连接，则，
因为过点与圆相切的两条直线的夹角为，
所以，则，所以，
在直角中，，
所以，
所以，
因为，
所以，
即，所以.
故选：B.
6．B
【分析】由题设有双曲线渐近线为，，且，求坐标，根据得到齐次方程，即可得渐近线.
【详解】由题设作出图形，双曲线渐近线为，，则直线，
故，可得，故，即，
又三角形BOF为等腰三角形，所以，则，
整理得，即双曲线的渐近线方程为.
故选：B

7．C
【分析】数形结合，根据抛物线的定义，先确定点横坐标，在根据抛物线定义求值.
【详解】如图：
根据抛物线的定义，过做垂直抛物线的准线，垂足为，则，又，
所以，故点横坐标为，所以.
故选：C
8．C
【分析】先得到⊥，由正切值得到，结合双曲线定义得到，由勾股定理得到方程，求出离心率.
【详解】因为，所以是以原点为圆心，为半径的圆，故⊥，
因为，所以，即，
由双曲线定义得，即，
由勾股定理得，即，
解得.
双曲线的离心率为.
故选：C
9．BC
【分析】选项A，由两直线斜率都存在，利用斜率相等且截距不等求解即可；选项B，由斜率与倾斜角关系，先求斜率范围再得倾斜角范围；选项C，利用斜率关系可得；选项D，令求解可得.
【详解】选项A，存在斜率，
直线方程可化为：，
直线也存在斜率，方程可化为，
由，则两直线平行的充要条件为，
即解得或，故A错误；
选项B，由直线的斜率，
则倾斜角的范围为，故B正确；
选项C，当时，直线，斜率为，
又直线的斜率为，则两直线斜率之积为，故两直线垂直，C正确；
选项D，，令，得，
故直线过定点，不过，D错误.
故选：BC.
10．AB
【分析】结合切线长公式计算可判断A项，运用圆上的点到圆外一定点的距离的最大值为，最小值为（为圆心到圆外定点的距离）可判断B项、C项，运用圆内弦长公式计算可判断D项.
【详解】由题意得，圆的圆心为，半径为2，
对于A项，如图所示，

则，故A项正确；
对于B项，

如图所示，点到圆上点的距离的最大值为，故B项正确；
对于C项，

如图所示，点到圆上点的距离的最小值为，故C项错误．
对于D项，

直线的方程为，则点到直线的距离，
所以，故D项错误．
故选：AB.
11．AC
【分析】由离心率的意义，结合计算判断AB；利用数量积的坐标表示判断C；确定的外接圆半径判断D.
【详解】双曲线是理想双曲线，则，设，则有，
对于A，当时，，解得，A正确；
对于B，点，双曲线的渐近线，则到渐近线的距离为
，而，则，B错误；
对于C，由对称性，不妨令点，即有，于是，，即，C正确；
对于D，，则，即，
因此线段是的外接圆的直径，该圆半径为，
该圆面积，由于，不确定，因此的外接圆面积不确定，D错误.
故选：AC
【点睛】易错点睛：双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为，而双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联系.
12．BD
【分析】根据题意，先画出图象，然后判断四边形为平行四边形，由可得，进而结合椭圆的定义与基本不等式可得有关的不等式，解不等式得到离心率的取值范围，从而逐项判断四个选项即可得到答案.
【详解】根据题意，图象如图所示：
设为椭圆C的左焦点，因为直线与椭圆C交于A，B两点，
所以由椭圆的对称性得，又，
于是四边形为平行四边形.
因为M，N分别为，的中点，是中点，
所以，，
平行四边中,，
在中，
.
因为直线斜率存在，所以A，B两点不在y轴上，即，
又在中，，
所以，，即，
又，所以，即.
综上所述，；
因为，故A，C错误；
，即，故B正确；
，即，故D正确.
故选：BD．
13．
【分析】联立方程组解得交点坐标，列出直线不能围成三角形的条件，分别解出即可.
【详解】由解得，所以的交点坐标为，
过定点，
若直线不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行，
当经过点时，，解得；
当与平行时，，解得；
当与平行时，，解得.
故的值为.
故答案为：（只需写出其中一个即可）.
14．或（一个方程即给满分）
【分析】设关于直线对称的点为，由光学性质可得，反射光线过，当反射光线斜率存在时，设其方程，由圆心到反射光线的距离等于半径可求出斜率，再讨论反射光线斜率不存在的情况即可.
【详解】设关于直线对称的点为，
所以，解得，
当反射光线斜率存在时，设其所在直线的方程为即
因为反射光线与圆C：相切，
所以圆心到反射光线的距离，即，解得，所以反射光线所在直线的方程为；
当反射光线斜率不存在时，设其所在直线的方程为，满足反射光线与圆相切，
故反射光线所在直线的方程为或.
故答案为：或（一个方程即给满分）
15．
【分析】根据题意首先确定圆心在的平分线上，再利用点到直线距离列方程解得圆心为，即可得出圆的标准方程.
【详解】根据题意可知，直线的方程为，
由可得，所以直线的方程为，
联立直线和的方程，可得；
由圆与延长线、延长线及线段都相切，由对称性可得圆心在的平分线上，即上；如下图所示：
设，且，
由直线与圆相切可得，解得或（舍）；
结合图形可知，此时圆心为，半径为；
因此圆的标准方程为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用图形确定出圆心在的平分线上，且在线段的上方，列方程即可求得圆心坐标.
16．
【分析】由直线经过椭圆的左焦点可得，由的周长为8可得，即可得短轴长；联立直线与椭圆方程，借助韦达定理与弦长公式即可得.
【详解】直线经过椭圆的左焦点，则，
的周长为，解得，故，
椭圆的短轴长为，
由，得，
故答案为：；.

17．(1)
(2)
【分析】（1）根据垂直设，代入得到直线方程，再化成斜截式即可；
（2）设，得到面积表达式求出值即可.
【详解】（1）由题意设直线的方程为:，
由直线经过得:，解得:，
直线的方程为:，即.
（2）由题意设直线的方程为:，
令，则;令，则，
所以直线两坐标轴围成的三角形的面积三角形的面积，
解得:，
所以直线的一般式方程为.
18．(1)，
(2)
【分析】（1）先求出A的坐标，再求出AC所在直线方程和BC所在直线方程，最后联立方程求出C的坐标；
（2）先求出直线l的斜率，再求出直线l的斜截式方程.
【详解】（1）由已知A是BC边上的高所在直线与的角平分线所在直线的交点，
由，得，故，
又因为,所以直线AB和直线AC的倾斜角互补，所以
又
所以AC所在直线方程为，BC所在直线方程为，
由，得，
所以点A和点C的坐标为，；
（2）由（1）知AC所在直线方程为，
所以直线l的斜率为，
因为，所以直线l所在的方程为，即，
所以直线l的斜截式方程为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）设出圆心坐标利用圆过两点以及圆心位置即可求得圆心坐标和半径，可得圆C的标准方程；
（2）由直线平行可设直线方程为，再由直线与圆相切可求得直线方程.
【详解】（1）如下图所示：
设圆心，因为圆心C在直线上，所以，
因为A，B是圆上的点，所以，
根据两点间距离公式，有，即，
解之可得，，
所以圆心，半径，
所求圆的标准方程为．
（2）直线斜率为，所以所求直线的斜率也为，
设所求直线方程为，
所以圆心C到该直线的距离为，解之得，
所以所求直线方程为：．
20．(1)；
(2).
【分析】（1）由已知结合圆的性质，求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得.
（2）求出两圆的公共弦所在直线方程，再利用圆的弦长公式计算即得.
【详解】（1）圆的圆心，半径，
由P为圆的弦AB中点，得，而直线的斜率为2，
因此直线的斜率为，方程为，即，
所以直线的方程为.
（2）圆的圆心，半径，而，
即圆与圆相交，两圆方程相减得直线的方程：，
点到直线的距离，
所以弦的长.
21．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）方法1：作出辅助线，由焦半径公式和得到为等边三角形，求出，得到抛物线方程；
方法2：过M作轴，垂足为G，设点M的横坐标为，得到方程组，求出答案；
方法3：点，求出，代入抛物线方程中，得到方程，求出，得到答案；
（2）求出直线FM的方程，联立抛物线方程，得到M，进而得到E，从而求出，，证明出结论.
【详解】（1）方法1：过M作，垂足为A，连结FA，则，
因为，所以，为等边三角形，
故.
因为，所以，
即，
故抛物线C的方程为.

方法2：过M作轴，垂足为G，
则.
设点M的横坐标为，
根据题意得：
解得.抛物线C的方程为.

方法3：设点，
则，
因为在抛物线C上，所以，
化简得，
解得或（舍）.
抛物线C的方程为.
（2）证明：抛物线C的焦点，，
直线FM的方程为.
联立方程得，
解得，，所以，
M点坐标为，E点坐标为，
因为，.

所以M，O，E三点共线.
【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系，处理三点共线，四点共圆，或两直线倾斜角互补或相等问题时，往往会转化为斜率之和为0或斜率相等，进而列出方程，代入计算即可.
22．(1)椭圆的离心率，双曲线的离心率
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意结合椭圆、双曲线的方程与性质运算求解；
（2）由（1）可知，联立方程求点的坐标，结合斜率公式分析证明.
【详解】（1）椭圆的焦距，双曲线的焦距，
则，整理得，
从而，，
故椭圆的离心率，双曲线的离心率．
（2）由（1）可知，椭圆，
因为，所以直线的方程为．
联立方程组，整理得，
则，则，
可得，即，
因为，，，
则，，
故．

【点睛】方法点睛：与弦端点相关问题的解法
解决与弦端点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法，就是将其转化为端点的坐标关系，再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系，构建方程(组)求解．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)