7.2 正弦、余弦（第1课时）（课件）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课件（苏科版）

(共30张PPT)
第7章　锐角三角函数
7.2 正弦、余弦（1）
第1课时 正弦、余弦
学习目标
1.理解并掌握正弦、余弦的概念，会在直角三角形中求一个锐角的正弦和余弦；
2.了解正弦、余弦值随锐角增大时的变化规律；
3.会用计算器求锐角的正弦值、余弦值.
实践与探索
5m
13m
如图，小红沿着某斜坡向上行走了13m，她的位置沿垂直方向上升了5m.
如果小红沿着该斜坡行走了20m，那么她的位置沿垂直方向上升了多少？
实践与探索
20m
？m
5m
13m
C
B
A
C1
B1
20m
如果小红沿着该斜坡行走了20m，那么她的位置沿垂直方向上升了多少？
实践与探索
？m
5m
13m
C
B
A
C1
B1
=
=
如果行走了am呢？
=
=
am
20m
如果小红沿着该斜坡行走了20m，那么她的位置沿垂直方向上升了多少？
实践与探索
m
5m
13m
C
B
A
C1
B1
在上述情形中，小明的位置沿水平方向又分别前进了多少？
12m
m
小红沿着斜坡行走，她的位置相对上升的高度与行走的路程有怎样的关系？
20m
思考：
讨论与交流
m
5m
13m
C
B
A
B1
她的水平方向前进的距离与行走的路程有怎样的关系？
12m
m
C1
你有何发现？
从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值________；它的邻边与斜边的比值_________. (根据是_____________________)
归纳与总结
20m
m
5m
13m
C
B
A
B1
12m
m
C1
不变
不变
相似三角形的性质
概念学习
　 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把∠A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，
A
B
C
斜边c
对边a
邻边b
即 sinA＝＝．
我们把∠A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦（cosine），
记作cosA，
即 cosA＝＝．
你能写出∠B的正弦、余弦的表达式吗？
概念学习
　 在Rt△ABC中，、和的值都随∠A的大小变化而变化，都随∠A的大小确定而唯一确定. ∠A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.
A
B
C
斜边c
对边a
邻边b
三
角
函
数
正弦
正切
余弦
sinA＝＝
cosA＝＝
tanA＝＝
概念中的几个注意点:
概念学习
(1)是在直角三角形中定义的，∠A是一个锐角；
(2)是一个完整的符号，习惯省去“∠”号；
(3)是一个比值 (注意比的顺序)，值大于0，无单位；
(4)三角函数的大小只与∠A的大小有关，与直角三角形的边长无关.
1. ∠A的三角函数sinA、cosA和tanA
概念中的几个注意点:
概念学习
2.角相等，则对应的三角函数值相等；两锐角对应的三角函数值相等，则这两个锐角相等.
3.对于求锐角的正弦值或余弦值的问题，计算时要避免混淆“正弦”与“余弦”的概念，弄清对边、邻边与斜边的区别．
新知巩固
B
A
C
D
1.如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D.
(1) sinA
(2) sinB
(3) cos∠ACD
cos∠BCD
(4) tanA
tanB
CD
AB
BC
AC
AC
CD
AD
BC
CD
BC
2.求图中各直角三角形锐角的正弦、余弦值.
新知巩固
B
A
C
2
5
B1
A1
C1
6
4
sinA
cosA
sinB
cosB
sinA1
cosA1
sinB1
cosB1
例题讲解
例1 如图，在等边三角形ABC中，求cosB．
A
B
C
D
由题意知，BD=BC=AB.
在Rt△ABD中，
cosB＝＝.
解：过点A作AD⊥BC，垂足为D.
思考：(1)在此题中，∠B等于多少度？
由此你能写出cos60°的值吗？
(2)由上图，你能求出sin60°、sin30°、cos30°的值吗？
操作与思考
怎么计算任意一个锐角的正弦、余弦值呢？
θ sin θ cos θ
15°
30°
60°
75°
0.5
0.5
0.866
0.866
如图，当一个点从原点O出发，沿着15°线移动了1个单位长度到点P时，这个点在垂直方向上升了约0.26个单位长度，在水平方向前进了约0.97个单位长度，于是，可知sin 15°≈0. 26，cos 15°≈0. 97.
你能写出sin75°、cos75°的近似值吗？
0.26
0.97
0.97
0.26
你有何发现？
新知归纳
sinα随锐角α的增大而增大，cosα随锐角α的增大而减小.
锐角α，β sinα，sinβ cosα，cosβ
α>β
sinα>sinβ
cosαα＝β
sinα＝sinβ
cosα＝cosβ
α<β
sinαcosα>cosβ
例题讲解
例2 用计算器求下列正弦值或余弦值(精确到0.01)：
(1)sin 75°； (2)cos 75°； (3)sin 23°13'20''.
解：(1)依次按键
显示结果为0.965 925 826 3，
即sin 75°≈0.97；
(2)依次按键
即cos75°≈0.26；
显示结果为0.258 819 045 1，
(3)依次按键
即sin 23°13'20''≈0.39.
显示结果为0.394 298 367 5，
新知巩固
1. 在 Rt△ABC中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100 倍，sinA 的值 ( )
A. 扩大100倍 B. 缩小 C. 不变 D. 不能确定
C
2. 下列不等式中成立的是 ( )
A. sin70°＜ sin60° B. cos70°＜ cos60°
C. tan70°＜ tan60° D. sin40°＜ sin30°
B
新知巩固
3. 梯子AB和地面所成的锐角为α，则下列说法正确的是(　　)
A. sinα越小，梯子越陡
B. cosα越小，梯子越陡
C. tanα越小，梯子越陡
D. α越小，梯子越陡
B
A
B
α
新知巩固
4.用计算器求下列正弦值或余弦值（精确到0.01）：
(1)sin 36°； (2)cos 36°；
(3)sin 12. 5°； (4)cos 12. 5°.
解：(1)sin 36°≈0.59；
(2)cos 36°≈0.81；
(3)sin 12. 5°≈0.22；
(4)cos 12. 5°≈0.98.
新知巩固
5. 如图：在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6. 求：sinB，cosB，tanB.
A
B
C
D
由题意知，BD=BC=×6=3.
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
AD===4.
解：过点A作AD⊥BC，垂足为D.
sinB＝＝，
cosB＝＝，
tanB＝＝.
课堂小结
7.2 正弦、余弦（1）
正弦、余弦的概念
利用计算器求锐角的正弦值、余弦值
正弦值、余弦值的变化规律
当堂检测
1. 如图，在△ACB中，∠C＝90°，则＝(　　)
A. sinA B. sinB C. tanA D. tanB
B
A
C
A
2.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是(　　)A. B. C. D.
当堂检测
A
α
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则下列结论正确的是(　　)A. sinA＝ B. cosA＝ C. sinA＝ D. tanA＝
当堂检测
D
A
B
C
当堂检测
5. 一等腰三角形的两边长分别为4 cm和6 cm，则其底角的余弦值为_________.
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝1，那么∠A的正弦值是________.
6.如图，关于α与β的同一种三角函数值，有三个结论：①tanα＞tanβ；②sinα＞sinβ；③cosα＞cosβ.
其中，正确的结论为__________.(填序号)
当堂检测
①②
α
β
当堂检测
7. 如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sinA＝________.
A
B
C
当堂检测
8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，tanA＝. 求AB的长和sinB的值.
B
A
C
6
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，
tanA＝＝，
∴AC＝12，
∴AB＝＝＝6
∴sinB＝＝＝.