7.2 正弦、余弦（第2课时）（课件）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课件（苏科版）

(共27张PPT)
第7章　锐角三角函数
7.2 正弦、余弦（2）
第2课时 正弦、余弦的求法
学习目标
1.会利用直角三角形的三边关系求直角三角形中锐角的正弦、余弦值；
2.理解直角三角形中两个锐角的正弦、余弦之间的关系；
3.能利用正弦、余弦解决一些简单的问题.
知识回顾
A
B
C
斜边c
对边a
邻边b
如何表示直角三角形中一个锐角的正弦和余弦？
sinA＝＝
cosA＝＝
例题讲解
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5. 求sinA、cosA、sinB、cosB的值.
B
A
C
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
AB＝＝＝13.
根据正弦、余弦的定义，得
sinA＝＝，cosA＝＝，
sinB＝＝，cosB＝＝.
比较两个锐角的正弦值、余弦值，你有什么发现？
思考与探索
问题1 若改变例1中AC和BC的长，上述发现仍然成立吗？请你试一试.
B
A
C
6
8
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
AB＝＝＝10.
根据正弦、余弦的定义，得
sinA＝＝，cosA＝＝，
sinB＝＝，cosB＝＝.
思考与探索
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
问题2 你能证明你的发现吗？请你试一试.
∵sinA＝，cosA＝，sinB＝，cosB＝
∴sinA＝cosB，cosA＝sinB.
B
A
C
a
b
c
归纳总结
任意一个锐角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值.
sinA＝cosB＝cos(90°-∠A)，
cosA＝sinB＝sin(90°-∠A).
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
B
A
C
a
b
c
tanA · tanB ＝1
新知巩固
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则sinB＝_______.
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列式子一定成立的是(　　)A．sinA＝sinB B．cosA＝cosBC．tanA＝tanB D．sinA＝cosB
D
3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，则sinA＋cosB＝_______.
例题讲解
例2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，BC＝6. 求AB的长（精确到0.01）.
解：由题意知，sinA＝，
则AB＝＝.
用计算器计算，得AB≈23. 18.
变式1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，sinA＝，求BC的长．
例题讲解
解：∵sinA＝，∴BC＝AB·sinA＝13×＝5
变式2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanB＝_________.
解：∵cosA＝＝，∴设AC＝k，AB＝2k(k＞0)，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
BC＝＝＝k.
tanB＝＝=.
A
B
C
新知巩固
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，则sinB=_______，cosB=____，tanB=____，sin2B +cos2B=_____.
B
A
C
2
4
2
2
1
新知巩固
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC. 求
(1) cosA；
(2) 当AB=4时，求BC的长.
B
A
C
解：(1)设AC＝BC＝k.
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
AB＝＝＝k.
cosA＝＝＝.
(2) 由(1)得cosA＝＝，
∵AB=4，
∴AC=4×=2
新知巩固
3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝50°，AB＝5. 求BC、AC的长.
A
B
C
50°
5
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝50°，AB＝5，
∴sinA＝，
∴BC＝AB·sinA＝5×sin50°≈3.83，
同理AC＝AB·cosA＝5×cos50°≈3.21.
新知巩固
4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝. 求sinA.
A
B
C
解：∵cosA＝＝，
∴设AC＝3k，AB＝5k(k＞0)，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
BC＝＝＝4k.
sinA＝＝=.
新知巩固
5. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为 D. 若 AD = 6，AC = 8. 求sinB 的值.
解: ∵ ∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴∠B+ ∠A＝90°， ∠ACD+ ∠A ＝90°，
∴∠B ＝ ∠ACD，
∴sinB ＝sin∠ACD＝ ＝＝.
A
B
C
D
6
8
课堂小结
7.2 正弦、余弦（2）
利用直角三角形的三边关系求正弦、余弦值
正弦、余弦的简单应用
互余两角的正弦和余弦的关系
当堂检测
1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AB＝10，BC＝6，则sinA的值为( )
A. B. C. D.
B
A
C
A
当堂检测
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则cosB的值是(　　) A. B. C. D.2
B
A
B
C
当堂检测
3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AB＝10，则AC的长为(　　)A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
B
B
A
C
当堂检测
4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，∠A＝35°，则AB的长为(　　)A. 2cos35°　　 B. C. 2sin35°　 D.
B
A
C
D
当堂检测
5. 在△ABC中，∠C＝90°，给出下列结论：①sinA＝cosB；②cosA＝sinB；③sin2A＋cos2A＝1；④tanA＝.
其中正确的有(　　)A.1个　　 B.2个　　　 C.3个　　　 D.4个
D
6. 已知sin23°48′≈0.4035，若cosα＝0.4035，则锐角α的度数大约为(　　)A.23°48′　　 B.23.18°　　 C.66°12′　　　 D.66.12°
C
当堂检测
7.在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则cosA的值为___________.
8. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA·cosA的值为______.
9. 如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=6. 则cosB =____，tanB=____.
A
B
C
D
当堂检测
10. 如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，求∠ECM的正切值、正弦值及余弦值.
解：设AE＝x，则BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x，∴EC＝＝5x，EM＝＝x，CM＝＝2x，∴EM2＋CM2＝CE2，∴△CEM是直角三角形，∠CME＝90°，
∴tan∠ECM＝＝＝，sin∠ECM＝＝=，cos∠ECM＝==.
A
B
C
D
M
E
当堂检测
11.如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO＝5，sin∠BOA＝，求cos∠BAO的值.
x
y
O
A
B
D
解：如图，作BD⊥OA，垂足为D，
在Rt△ODB中，∵BO＝5，sin∠BOA＝＝，
∴BD＝3，
∴由勾股定理得OD＝==4.∵OA＝10，
∴AD＝6.在Rt△ADB中，BD＝3，
由勾股定理得AB===3，∴cos∠BAO＝＝.
当堂检测
12.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB＝cos∠DAC.(1)求证：AC＝BD；
D
A
B
C
解：(1)证明：∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ABD和Rt△ADC中，∵tanB＝，cos∠DAC＝，又∵tanB＝cos∠DAC，
∴＝，
∴AC＝BD.
当堂检测
12.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB＝cos∠DAC.
(2)若sinC＝，AD＝24，求BC的长.
D
A
B
C
(2)解：在Rt△ADC中，sinC＝＝，AD＝24，则AC＝26，
∴CD==＝10.∵BC＝BD＋CD，AC＝BD＝26，∴BC＝26＋10＝36.
当堂检测
13.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，sinB＝. 求sinA的值.
A
B
C
D
解：如图，过点C作CD⊥AB，在Rt△CDB中，
∵sinB＝＝，设CD＝4x，BC＝5x，则BD＝3x，
∴AD＝10－3x，在Rt△CDA中，由勾股定理得，AC2＝AD2＋CD2，即102＝(10－3x)2＋(4x)2，整理得25x2－60x＝0，解得x＝2.4或x＝0(舍去)，
∴CD＝4x＝9.6.在Rt△CDA中，sinA＝＝＝.