7.3 特殊角的三角函数（课件）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课件（苏科版）

(共28张PPT)
第7章　锐角三角函数
7.3 特殊角的三角函数
学习目标
1. 根据锐角三角函数的概念，知道30°、45°、60°等特殊角的三角函数值；
2.会求一些简单的含有特殊角的三角函数的表达式的值；
3.会根据特殊锐角的正弦值、余弦值知道该锐角的大小.
观察与思考
问题1 观察一幅三角尺
（1）它们有几个不同的锐角？分别是多少度？
45°
45°
90°
90°
30°
60°
观察与思考
（2）每块三角尺的三边之间有怎样的数量关系？
k
k
k
1：1：
k
2k
k
1：：2
问题1 观察一幅三角尺
观察与思考
问题2 你能分别说出30°、45°、60°角的三角函数值吗？
2. 利用计算器——可以快捷地求得各个特殊角的三角函数更精确的近似值．
1. 利用定义——量出三角尺各边的长度，利用三角函数的定义求得各个特殊角的三角函数的近似值．
3. 利用直角三角形的三边关系——求得各个特殊角的三角函数值．
归纳总结
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值列表如下：
三角函数值 sin θ cos θ tan θ
30°
45°
60°
1
观察表格，你能发现什么规律？
归纳总结
三角函数值 sin θ cos θ tan θ
30°
45°
60°
1
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值列表如下：
增减规律记忆法：
关系记忆法：
sin30°＝cos60°
cos30°＝sin60°
sin45°＝cos45°
tan30°·tan60°＝1
归纳总结
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值列表如下：
三角函数值 sin θ cos θ tan θ
30°
45°
60°
1
图形记忆法：
1
1
45°
1
2
30°
60°
例题讲解
例1 求下列各式的值.
(1) 2sin30° cos45°；
(2) sin60°cos60°；
(3) tan30°+ cos30°；
(4) cos245°＋tan30°sin60°.
解：原式=2×；
解：原式=；
解：原式=；
解：原式=
.
例题讲解
例2 求下列等式中的锐角α.
(1) 2sinα ＝0；
(2) tanα 1＝0.
解：(1) 由已知，得sinα，
所以α＝45°；
(2) 由已知，得tanα，
所以α＝30°.
变式1.已知α为锐角，sin(90°－α)＝，则α的度数为________；
2.已知∠A是锐角，且tanA＝，则sin＝________．
30°
D
例题讲解
例3 如图，在△ABC中，已知BC＝1＋，∠B＝60°，∠C＝45°，求AB的长．
A
C
B
60°
45°
解：过A点作AD⊥BC，垂足为点D，设AB=2x.
在Rt△ADB中，
∵AB= 2x，∠B=60°，且sinB= ，cosB=，
∴AD=ABsinB=2xsin60°=, BD=ABcosB=2xcos60°=x，
在Rt△ADC中，
∵∠C=45°, tanC=，
∴CD= = .
∵BC＝BD＋CD＝1＋，
∴x+=1＋，解得x=1，
∴AB=2x=2.
新知巩固
1.求下列各式的值.
(1) tan45° sin30°cos60°；
(2) ；
解：原式=1；
解：原式= ；
(3) cos30°sin45° sin30°cos45°；
(4) .
解：原式=；
解：原式= .
新知巩固
2.求下列等式中的锐角θ.
(1) 2cosθ＝1；
(2) 2sinθ ＝0；
解：(1) 由已知，得cosθ，
所以θ＝60°；
(2) 由已知，得sinθ，
所以θ＝45°；
(3) 2cos(θ +15°) ＝0.
(3) 由已知，得cos(θ +15°)，
所以θ＝15°.
新知巩固
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，BC＝2，BD＝. 分别求Rt△ABC、Rt△ACD、Rt△BCD中的各锐角.
A
B
C
D
2
∠B＝∠ACD＝30°，
∠A＝∠BCD＝60°.
新知巩固
4.如图，AC是△ABD的高，BC＝15，∠BAC＝30°，∠DAC＝45°. 求AD.
C
A
D
B
30°
45°
15
解：在Rt△ACB中，
∵BC=15，∠BAC=30°，且tan∠BAC= ，
∴AC = = = =15.
在Rt△ACD中，
∵∠DAC=45°, cos∠DAC=，
∴AD= = .
拓展延伸
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角A＞45°时，sinA的值的范围为( )
A．0＜sinA＜ B．＜sinA＜1
C．0＜sinA＜ D．＜sinA＜1
B
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角A＞30°时，cosA的值的范围为( )
C
A．0＜cosA＜ B．＜cosA＜1
C．0＜cosA＜ D．＜cos A＜1
拓展延伸
3. 当∠A为锐角，tanA值大于时，则∠A取值范围是( )
A．0°＜∠A ＜ 30° B．30°＜∠A＜90°
C．0°＜∠A ＜60° D．60°＜∠A＜90°
4. 当∠A为锐角，当sinA=时，则∠A取值范围是( )
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜ 45°
C．45°＜∠A ≤60° D．60°＜∠A ≤90°
B
A
课堂小结
7.3 特殊角的三角函数
30°、45°、60°角的三角函数值
由特殊角的三角函数值求特殊角
利用特殊角的三角函数值进行简单运算
2. 在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，那么∠A的度数为(　　)A. 45° B. 60° C. 30° D. 75°
当堂检测
B
1.tan45°的值等于(　　)A. 2 B.1 C. D.
B
当堂检测
3. 若2sinA＝，则锐角A的度数为(　　)A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
B
4. 在△ABC中，∠C＝90°，a＝1，c＝，则∠A的度数为(　　)A. 30° B. 45° C. 50° D. 60°
B
当堂检测
6. 在△ABC中，若锐角∠A，∠B满足cosA＝，tanB＝，则这个三角形一定是(　　)
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
A
5. tan (α+20°)＝1，锐角 α 的度数应是 ( )
A. 40° B. 30° C. 20° D. 10°
D
当堂检测
7. 在△ABC中，∠C＝90°，若sinB＋cosA＝1，则∠B的度数是(　　)A. 60°　 B. 45°　　 C. 30°　　 D. 不能确定
C
8. 已知等腰三角形的三边长之比为1：1：，则它的顶角为(　　)A. 150°　 B. 120° 　 C. 60° 　 D. 30°
B
当堂检测
9.已知角α为△ABC的内角，且cosα＝，则α的取值范围是(　　)A. 0°＜α＜30° B. 30°＜α＜45°C. 45°＜α＜60° D. 60°＜α＜90°
C
10.若锐角α满足sinα＞且tanα＜，则α的取值范围是(　　)A. 30°＜α＜45° B. 45°＜α＜60° C. 60°＜α＜90° D. 30°＜α＜60°
B
当堂检测
11. 如图，以 O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA 交于点 B，再以 B 为圆心，BO 长为半径画弧，两弧交于点 C，画射线 OC，则 sin∠AOC 的值为_______.
O
A
B
C
B
A
C
(12)
(11)
12.如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB =， BC =，则∠A=______.
45°
当堂检测
13.在△ABC中，两个内角满足|sinA－|＋＝0，则△ABC的形状是______________.
钝角三角形
14. cos45°tan45°＝________；
tan60°－sin60°＝________；
sin260°＋cos260°________.
1
15.已知α是锐角，tanα＝2cos30°，则α＝______°.
60
当堂检测
16.计算：(1)2sin30°＋3cos60°－4tan45°；
(2)cos30°sin45°＋sin30°cos45°；
(3)(sin60°＋cos45°)(sin60°－cos45°)；
(4)2tan60°·cos30°－sin245°.
当堂检测
17. 如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，AC=2，求 AB的长度.
A
B
C
D
解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D.
∵∠A=30°，AC=2，
∴sinAcosA=，
∴CDAD=
∵tanB==，
∴BD=
∴ AB = AD + BD = 3 + 2 = 5.
当堂检测
18.数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角尺中，含45°角的三角尺的斜边与含30°角的三角尺的长直角边相等.于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角尺直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一条直线上，若BC＝2，求AF的长.
解：在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，
AC＝＝2，
则EF＝AC＝2.
∵∠E＝45°，
∴FC＝EF·sinE＝，
∴AF＝AC－FC＝2－.