7.5 解直角三角形（第1课时）（课件）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课件（苏科版）

(共28张PPT)
第7章　锐角三角函数
7.5 解直角三角形（1）
第1课时 解直角三角形的意义
学习目标
理解直角三角形中5个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角的互余关系及锐角三角函数解直角三角形.
(1)若已知电梯AB段的长度8m，倾斜角为30°则∠B=____°，BC=____，AC=_______；
问题情境
星期天，小华去图书超市购书，因他所买书类在二楼，故他乘电梯上楼.
B
A
C
60
4m
4m
(2)若电梯AC=8，BC=6，则AB=_____，sinA=____，cosA=____，tanA=____.
10
则∠A≈________°，∠B≈________°.
36.87
53.13
在直角三角形中, 除直角外, 还有哪些元素？这些元素之间有什么关系？
思考与探索
在Rt△ABC中，
(1)已知∠B和直角边AC，你能求出这个三角形的其他元素吗
(2)已知AC和斜边AB，你能求出这个三角形的其他元素吗
(3)已知∠A和∠B，你能求出这个三角形的其他元素吗
B
A
C
知道其中哪些元素，可以求出其余的元素
归纳总结
在Rt△ABC中，除直角外，还有a、b、c、∠A、∠B这5个元素.
以上5个元素之间有以下数量关系：
(2)锐角之间的关系:
∠A+ ∠B=90°(直角三角形的两个锐角互余)
(1)三边之间关系:
(3)边、角之间的关系:
a2+b2=c2 (勾股定理)
sinA＝，
cosA＝，
tanA＝.
A
C
B
c
b
a
归纳总结
利用以上关系，如果知道其中的2个元素(其中至少有一个是边)，那么就可以求出其余的3个未知元素.
由直角三角形的边、角中的已知元素，求出所有边、角中的未知元素的过程，叫做解直角三角形.
A
C
B
c
b
a
①已知一锐角、一边 (一锐角、一直角边或一斜边)；
②已知两边 (一直角边，一斜边或者两条直角边).
归纳总结
解直角三角形的条件可分为两大类：
例题讲解
例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，a＝5，解这个直角三角形．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴ ∠B＝90°-∠A＝90°-30°＝60°.
∵ sinA＝，
∴ c＝＝10.
∵ tanB＝，
∴ b＝a tanB＝5 tan60°＝5.
还可以利用勾股定理计算，
b＝＝.
例题讲解
变式 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位).
A
C
B
b=20
c
a
35°
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，
∴ ∠A＝90°-∠B＝90°-35°＝55°.
∵ tanB＝，
∴ a＝＝28.6 .
∵ sinB＝，
∴ c＝＝34.9 .
例题讲解
例2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5，b＝20.49 .
(1)求c的值(精确到0.01)；(2)求∠A、∠B的大小(精确到0.01°).
解：(1)在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
c＝＝，
用计算器计算，得c≈106. 00 .
(2) 由题意知，tanA＝＝，
用计算器计算，得∠A≈78. 85°，
∴∠B=90°-78. 85°=11.15° .
例题讲解
变式 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，AB=2，解这个直角三角形 .
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
BC＝＝.
∵sinB＝＝＝，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝90°－30°＝60°
新知归纳
已 知 类 型 已知条件 解 法 步 骤
一边和一锐角 (在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边) 斜边和一锐角 (如c，∠A) ①∠B＝90°－∠A；
②由sinA＝，得a＝c·sinA；
③由cosA＝，得b＝c·cosA
一边和一锐角 (在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边) 一直角边和一锐角(如a,∠A) ①∠B＝90°－∠A；
②由tanA＝，得b＝；
③由sinA＝，得c＝
新知归纳
已 知 类 型 已知条件 解 法 步 骤
两边 (在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边) 斜边和一直角边(如c，a) ①b＝；
②由sinA＝，求∠A；
③∠B＝90°－∠A
两直角边 (a，b) ①c＝；
②由tanA＝，求∠A；
③∠B＝90°－∠A
解直角三角形时，选择关系式的原则：
(1)尽量选可以直接应用原始数据的关系式；
(2)设法选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就避免用除法计算．
新知巩固
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形（边长精确到0.1，角度精确到0.1°）：
(1)a＝9 ， b＝6；　　(2) ∠A ＝ 18°，c＝ 13．
解：(1)在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
c＝＝，
用计算器计算，得c≈10. 8 .
∵tanA＝＝，
用计算器计算，得∠A≈56. 3°，
∴∠B=90°-56. 3°=33.7° .
新知巩固
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形（边长精确到0.1，角度精确到0.1°）：
(1)a＝9 ， b＝6；　　(2) ∠A ＝ 18°，c＝ 13．
解：(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝18°，
∴ ∠B＝90°-∠A＝90°-18°＝72°.
∵ sinA＝，
∴ a＝c sinA＝13sin18°4.0 .
∵cosA＝，
∴ b＝c cosA＝13cos18°＝12.4.
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，由下列条件解直角三角形：
解：(1)在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°，
∵tanA＝，
∴a＝b·tanA＝b·tan60°＝b.∵a－b＝3－3，
∴b－b＝3－3，解得b＝3，∴a＝3，c＝2b=6.　
新知巩固
(2)a＋c＝12，∠B＝60°.
(1)∠B＝30°，a－b＝3－3；
解：(2)在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°.∵sinA＝，
∴a＝c·sin30°＝c.∵a＋c＝12，
∴c＋c＝12，解得c＝8，
∴a＝c＝4，∴b＝＝＝4.
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，由下列条件解直角三角形：
新知巩固
(2)a＋c＝12，∠B＝60°.
(1)∠B＝30°，a－b＝3－3；
(1)若∠A＝60°，求BC的长；(结果保留根号)
3.如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E.
思维提升
A
C
B
D
E
解：∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，AB＝6，tanA＝，
∴∠E＝30°，BE＝6·tan60°＝6.
又∵∠CDE＝90°，CD＝4，sinE＝，∠E＝30°，
∴CE＝＝8，
∴BC＝BE－CE＝6－8.
3.如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E.
思维提升
A
C
B
D
E
解：∵∠ABC＝90°，AB＝6，sinA＝＝，∴设BE＝4x，则AE＝5x，由勾股定理，得AB＝3x，∴3x＝6，解得x＝2，∴BE＝8，AE＝10，∴tanE＝＝＝＝.解得DE＝，∴AD＝AE－DE＝10－＝，即AD的长是.
(2)若sinA＝，求AD的长．
课堂小结
7.5 解直角三角形（1）
解直角三角形的概念
依据
勾股定理
直角三角形的两个锐角互余
锐角三角函数
类型
已知一边一锐角
已知两边
当堂检测
1.在Rt△ABC中，有下列情况，则直角三角形可解的是(　　)A.已知BC＝6，∠C＝90°　　　　　 B.已知∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝5C.已知∠C＝90°，∠A＝∠B　　 D.已知∠C＝∠B＝45°
B
当堂检测
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A、 ∠B、∠C的对边，则下列各式正确的是 ( )
A. b=a·tanA B. b=c·sinA C. b=c·cosA D. a=c·cosA
C
3. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，则∠B＝(　　)A. 30° B. 45° C. 60°　 D. 90°
C
A
C
B
当堂检测
4.在Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，c＝10，∠A＝30°，则∠B＝______，a＝_____，b＝________.
60°
5
5
5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，则AC =________ (参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75).
24
当堂检测
6.已知矩形两个邻边的长分别是4和4，则该矩形的两条对角线所夹的锐角度数为____°.　
60
C
B
A
3
D
7. 如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，cosB= ，则 AC 的长为 .
3.75
当堂检测
8. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则cos∠BDE的值为________.
A
B
C
D
E
当堂检测
9. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB＝，点D在BC边上，CD＝AC，AB＝26，则BD的长为_________.
14
A
C
B
D
当堂检测
10.在Rt△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，根据下列已知条件，求这个三角形未知的边和角.
(1) b＝2，c＝4；
解：(1) a＝＝＝2，∵sinA＝＝＝，∴∠A＝30°，
∴∠B＝90°－∠A＝60°.
(2) b＝7，∠A＝45°；
当堂检测
10.在Rt△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，根据下列已知条件，求这个三角形未知的边和角.
解：(2)∠B＝90°－∠A＝90°－45°＝45°，∴a＝b＝7，
∴c＝＝7.