7.6 用锐角三角函数解决问题（第2课时）（课件）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课件（苏科版）

(共26张PPT)
第7章　锐角三角函数
7.6 用锐角三角函数解决问题（2）
第2课时 与圆有关的问题
学习目标
进一步掌握锐角三角函数的简单应用，能利用解直角三角形的知识解决与圆有关的实际问题．
问题情境
五一期间，小明和同学一起到游乐场玩．
小明和小红玩跷跷板.
如图，AC=ABsinα
A
B
C
α
当我着地时，小红离地面的高度与什么有关？怎么表示呢？
与跷跷板的长度和跷跷板与地面的夹角有关.
问题情境
探索1 小明荡秋千时发现，当秋千向两边摆动时，它摆动到的位置的高度与秋千的长度和秋千向两边摆动的角度有关，请你判断他的发现是否正确.
α
B
O
A
E
am
D
探索与发现
.
如图，DE=OD-OE=OD-OAcosα=a(1-cosα)
探索2 小明坐上摩天轮，从底部出发开始观光.摩天轮的半径为20m，底部与地面相距0.3m，旋转1周需要12min．经过多长时间小明到达最高点？此时离地面多高？
探索与发现
20m
0.3m
A
D
O
B
如图，用⊙O表示摩天轮，A、B分别表示小
明出发点和出发后的到达点.
由题意知，OB=OA=20，AD=0.3m，
小明离地面的最高点的距离=20×2+0.3=40.3m.
因为旋转1周需要12min，所以小明到达最
高点需要6min．
解：如图，用⊙O表示摩天轮，A、B分别表示小明出
发点和2min后的到达点. 由题意知，OB=20.
∵旋转1周用时12 min，
∴2 min后∠BOA的度数为==60°，
过点B作BC⊥OA，垂足为C.
在Rt△OCB中，
OC=OB cos∠BOC=20×cos60°=20×=10，
AC=AO-CO=20-10=10.
∵AD=0.3m，
∴小明离地面的高度=10+0.3=10.3m.
答：2min后小明离地面10.3m.
爱动脑筋的小红问：2 min后，小明离地面多高？
探索与发现
C
20m
0.3m
A
D
O
B
解：如图，用⊙O表示摩天轮，A、B分别表示小明出
发点和5min后的到达点. 由题意知，OB=20.
∵旋转1周用时12 min，
∴5 min后∠BOA的度数为==150°
∴∠BOE=30°
过点B作BC⊥OE，垂足为C.
在Rt△OCB中，
OC=OB cos∠BOC=20×cos30°=20×=10，
AC=AO+CO=20+10.
∵AD=0.3m，∴小明离地面的高度=20+10+0.3≈37.6m.
答：5min后小明离地面37.6m.
20m
0.3m
变式1 5 min后，小明离地面多高？(精确到0.1 m)
B
E
C
A
D
O
拓展与延伸
A
D
O
B
变式2 摩天轮转动多长时间后，小明离地面的高度将首次达到15.3m
拓展与延伸
C
20m
0.3m
θ
解：如图，设旋转角为θ，
∵15.3＜20.3，
∴根据题意，得
cosθ===，
用计算器计算，得θ≈75.5°.
∴≈2.52min.
答：摩天轮转动约2.52min后，小明离地面的高度将首次达到15.3m.
变式3 摩天轮转动1周，小明在离地面30.3m以上的空中有多长时间
拓展与延伸
解：如图，设旋转角为180°-θ，
∵30.3＞20.3，
∴根据题意，得
cosθ===，
∴θ=60°.
=4min.
12-4×2=4min.
答：小明在离地面30.3m以上的空中4min.
20m
0.3m
B
E
C
A
D
O
θ
归纳总结
2. 根据实际问题构造出直角三角形，确定直角三角形中的已知元素和未知元素，从而选择适当的三角函数的关系式．
1. 一个圆绕圆心旋转1周需要m min，那么旋转n min(n≤m)后的旋转角(圆心角)的度数是________．
1. 如图，钟摆的摆长AB为90cm，当它摆动到AB'的位置时∠BAB′=11°，这时摆球B'相对于最低点B升高了多少 (精确到1cm)
A
B
B′
C
新知巩固
解：根据题意，得
cos∠CAB′=，
AC=AB′cos∠CAB′=90cos11°=88.3.
BC=AB-AC=90-88.3=1.7≈2cm.
答：这时摆球B'相对于最低点B升高了2cm.
2. 已知跷跷板长4m，当跷跷板的一端碰到地面时，另一端离地面1.5m.求此时跷跷板与地面的夹角(精确到0.1°).
A
B
O
C
4m
1.5m
解：如图，AB=4m，AC=1.5m
sin∠BAC===0.375，
由计算器计算得，
∠BAC≈22.0°.
答：此时跷跷板与地面的夹角为22.0°.
新知巩固
新知巩固
3. 如图，在欢乐谷中有一座直径为120 m的摩天轮，旋转1周用时30 min.小明从摩天轮的底部(与地面相距0.5 m)出发开始观光.(1)10 min后小明离地面多高？
0.5m
B
A
O
C
H
G
解：∵旋转1周用时30 min，
∴10min后∠BOC的度数为==120°，
∴∠COG=60°
过点C作CH⊥OG，垂足为H.
在Rt△COH中，OC=60.
OH=OC cos∠COH=60×cos60°=60×=30.
AH=AB+BO+OH=0.5+60+30=90.5 .
答：10min后小明离地面90.5m.
60m
新知巩固
(2)摩天轮转动1周，小明在(1)中所求的高度以上，会持续多长时间？
0.5m
B
A
O
C
H
G
60m
解：(2)由(1)得10 min到达C的高度，
由对称性可得持续多长时间为
30-10×2=10min.
答：小明在(1)中所求的高度以上，会持续的时间为10min.
课堂小结
7.6 用锐角三角函数解决问题(2)
构造合适的直角三角形
选择适当的三角函数关系式
当堂检测
1.如图，O为跷跷板AB的中点.支柱OC与地面MN垂直，垂足为C，当跷跷板的一端B着地时，跷跷板AB与地面MN的夹角为20°，测得AB＝1.6 m，则OC的长为(　　)
A. 0.8cos20°m B. 0.8sin20° m C. m D. m
B
A
M
O
B
C
N
当堂检测
2.如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为a，一辆小汽车车门宽AO为b，当车门打开角度∠AOB为α时，车门边缘的点A处与墙的距离为(　　)A. a－bsinα　　 B. a－btanα　　 C. a－　　 D. a－
A
当堂检测
3.如图，一块直角三角板和一张光盘竖放在桌面上，其中A是光盘与桌面的切点，∠BAC＝60°，光盘的直径是80 cm，则三角板的斜边AB被光盘截得的线段AD的长为(　　)A. 20 cm　　 B. 40 cmC. 80 cm　　　 D. 80 cm
B
当堂检测
4. 如图，秋千吊绳的长度为3 m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离为____m.
(结果保留根号)
0.5m
3m
60°
2
当堂检测
5. 如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知sinα＝cosβ＝，则梯子顶端上升了_________.
2米
α
A
B
β
当堂检测
6. 已知一个不等臂跷跷板AB长4米，支撑柱OH垂直地面，如图①，当AB的一端A着地时，AB与地面夹角的正弦值为；如图②，当AB的另一端B着地时，AB与地面夹角的正弦值为，则支撑柱OH的长为________.
0.8米
A
B
A
B
H
H
O
O
①
②
当堂检测
7. “十一”假期，小明和同学一起到游乐场游玩，如图，游乐场的大型摩天轮的半径为15 m，旋转1周需要24 min(匀速).小明乘坐最底部(离地面约1 m)的车厢按逆时针方向旋转开始1周的观光，启动4 min时，小明离地面的高度是________m.
8.5
A
O
当堂检测
8.问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(如图①).假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒.
当堂检测
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O.如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米.当t＝0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM＝30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处.
问题解决：(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；
解：由于筒车每旋转一周用时120秒，
所以每秒转过360°÷120＝3°，
∴∠BOM＝360°－3°×95－30°＝45°.
当堂检测
(2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离.(结果精确到0.1米)
解：如图，分别过点B，A作OM的垂线，垂足为C，D.在Rt△AOD中，∠AOD＝30°，OA＝2米，∴OD＝OA＝米.
在Rt△BOC中，∠BOC＝45°，OB＝2米，∴OC＝OB＝米，∴CD＝OD－OC＝－≈0.3(米).
答：该盛水筒旋转至B处时到水面的距离约为0.3米.