7.6 用锐角三角函数解决问题（第3课时）（课件）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课件（苏科版）

(共33张PPT)
第7章　锐角三角函数
7.6 用锐角三角函数解决问题（3）
第3课时 与仰角、俯角和方向角有关的问题
学习目标
1.了解仰角、俯角及方向角的概念；
2.能运用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角和方向角有关的实 际问题.
（2）西北方向:_________
西南方向:_________
东南方向:_________
东北方向:_________
知识回顾
东
西
北
南
O
（1）正东，正南，正西，正北
射线OA
A
B
C
D
OB
OC
OD
45°
射线OE
射线OF
射线OG
射线OH
E
G
F
H
（3）南偏西25°________
M
25°
射线OM
北偏东60°________
60°
N
射线ON
注意：方向角一般是以观测者的位置为中心，将正北(或正南)方向作为起始方向依顺时针(或逆时针)方向到目标方向线之间的锐角．
问题情境
在本章的开头，我们曾经用自制的测角仪测出视线(眼睛与旗杆顶端的连线)与水平线的夹角，那么把这个角称为什么角呢
概念学习
仰角
俯角
视线
水平线
o
视线
1.当从低处观测高处的目标时，视线与水平线 所成的锐角称为仰角.
2.当从高处观测低处的目标时，视线与水平线 所成的锐角称为俯角.
铅锤线
注意：仰角和俯角都是视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可巧记为“上仰下俯”．
问题3 小明在某处利用测角仪观测气球的仰角为27°，然后他沿正对气球方向前进了50m，此时观测气球的仰角为40°.如果测角仪高度为1m，那么气球的高度是多少？(精确到0.1m)
探索与交流
A
B
D
C
27°
40°
50m
问题3 小明在某处利用测角仪观测气球的仰角为27°，然后他沿正对气球方向前进了50m，此时观测气球的仰角为40°.如果测角仪高度为1m，那么气球的高度是多少？(精确到0.1m)
探索与交流
A
B
D
C
27°
40°
50m
解：如图，点A、B、C分别表示小明两次观测点
及气球位置，由题意知，
∠CAD = 27°，∠CBD = 40°，CD⊥AD，
AB=50m，设CD=xm.
在 Rt△BDC中，由tan40°=，得BD= .
在 Rt△ADC中，由tan27°=，得AD= .
问题3 小明在某处利用测角仪观测气球的仰角为27°，然后他沿正对气球方向前进了50m，此时观测气球的仰角为40°.如果测角仪高度为1m，那么气球的高度是多少？(精确到0.1m)
探索与交流
A
B
D
C
27°
40°
50m
∵AD-BD=50，
∴
∴x=.
用计算器计算，得x≈64.9.
由于测角仪的高度为1m，因此气球的高度约为65.9m.
答：气球的高度约为65.9m.
变式 飞机沿水平直线飞行时，观测正前方停泊在海面上某船只的俯角为15°，面向船只方向继续飞行10 km后观测该船只的俯角为52°.求飞机飞行的高度(精确到1m).
探索与交流
A
B
C
D
52°
15°
10km
解：如图，点A、B、C分别表示飞机两次观测点及船只位置，由题意知，
∠CAD = 15°，∠CBD = 52°，CD⊥AD，AB=10km，设CD=xm.
在 Rt△BDC中，由tan52°=，
得BD= .
在 Rt△ADC中，由tan15°=，
得AD= .
变式 飞机沿水平直线飞行时，观测正前方停泊在海面上某船只的俯角为15°，面向船只方向继续飞行10 km后观测该船只的俯角为52°.求飞机飞行的高度(精确到1m).
探索与交流
A
B
C
D
52°
15°
10km
∵AD-BD=10，
∴
∴x=.
用计算器计算，得x≈3.
答：飞机飞行的高度约为3m.
归纳总结
利用视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角(俯角)和另一边，利用解直角三角形的知识就可以求出物体的高度．
55°
思考与探索
例 大海中某小岛周围的10 km范围内有暗礁. 一海轮在该岛的南偏西55°方向的某处，由西向东行驶了20 km后到达该岛的南偏西25°方向的另一处. 如果该海轮继续向东行驶，会有触礁的危险吗？
10km
25°
20km
A
B
D
C
北
东
解：如图，点A、B、C分别表示小明两次
海轮所在位置及小岛位置，由题意知，
∠ACD = 55°，∠BCD = 25°，CD⊥AD，
AB=20km，设CD=xm.
在 Rt△BDC中，
由tan25°=，得BD=tan25°x.
在 Rt△ADC中，
由tan55°=，得AD= tan55°x .
思考与探索
例 大海中某小岛周围的10 km范围内有暗礁. 一海轮在该岛的南偏西55°方向的某处，由西向东行驶了20 km后到达该岛的南偏西25°方向的另一处. 如果该海轮继续向东行驶，会有触礁的危险吗？
55°
10km
25°
20km
A
B
D
C
北
东
∵AD-BD=20，
∴ tan55°x-tan25°x=20
∴x=.
用计算器计算，得x≈20.8＞10.
∴不会有触礁的危险.
答：不会有触礁的危险.
思考与探索
变式 如图，已知在港口A的南偏东75°方向有一礁石B，轮船从港口出发，沿东北方向(北偏东45°方向)前行10千米到达C后测得礁石B在其南偏西15°处，求轮船行驶过程中离礁石B的最近距离．
D
75°
15°
B
C
A
北
北
解：由题意得∠BAC＝45°＋90°－75°＝60°，∠ACB＝45°－15°＝30°，∴∠ABC＝90°，
∴AB＝AC＝5千米．如图，过点B作BD⊥AC于点D，
在Rt△ABD中，
BD＝AB·sin60°＝5×＝(千米)，
∴轮船行驶过程中离礁石B的最近距离为千米．
归纳总结
(2)一般以“上北下南，左西右东”确定方向角．
解决方向角问题注意点：
(1)在解决有关方向角的问题时，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用两直线平行，内错角相等或等角的余角相等等知识转化为所需要的角．
新知巩固
1.如图，护林员在离树20m的A处观测树顶的仰角为35°，已知护林员的眼睛离地面1.6m.求树的高度(精确到0.1m).
解：如图，在 Rt△ABH中，
由tan∠ABH=，
得BH=AB tan∠ABH=20 × tan35°≈14.0m.
∵BD=AC=1.6，
∴DH＝DB＋BH=1.6+14.0=15.6m.
答：树的高度约为15.6m.
新知巩固
2.飞机的飞行高度为1500m，此时从飞机上看地面控制点的俯角为18°24′.
求飞机到控制点的距离(精确到 1m).
B
A
C
1500m
18°24′
解：如图，在 Rt△ACB中，
由sinB=，得AB== ≈4752m.
答：A、B两点的距离约为4752m.
新知巩固
3.一艘轮船在A处观测灯塔S在船的北偏东38°，轮船向正北航行15 km后到达B处，这时灯塔S恰好在船的正东方向.求灯塔 S到达B处的距离(精确到0.1km).
北
东
B
38°
A
S
15km
解：如图，在 Rt△ABS中，
由tan∠BAS=，
得BS=AB tan∠BAS=15 × tan38°≈11.7m.
答：灯塔 S到达B处的距离约为11.7m.
新知巩固
4.如图，某塔TC高为120m，在塔的东、西两侧的点A、B分别观测塔顶的仰角为15°、28°.求A、B两点的距离(精确到0.1m).
T
C
28°
A
B
15°
120m
解：在 Rt△BCT中，
由tanB=，得BC==.
在 Rt△ACT中，
由tanA=，得AC== .
∴AB=BC+CA=+≈673.5m.
答：A、B两点的距离约为673.5m.
新知巩固
5. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确到0.01 n mile)？
65°
34°
P
B
C
A
解：如图 ，在Rt△ACP中，∠APC=90°－65°=25°，由cos∠APC=，得PC=PA·cos∠APC=80cos25°.
在Rt△BPC中，∠B=34°，sinB=，得==≈129.66n mile.
所以当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约129.66n mile．
北
东
新知巩固
5. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确到0.01 n mile)？
65°
34°
P
B
C
A
解：如图 ，在Rt△ACP中，∠APC=90°－65°=25°，由cos∠APC=，得PC=PA·cos∠APC=80cos25°.
在Rt△BPC中，∠B=34°，sinB=，得==≈129.66n mile.
所以当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约129.66n mile．
北
东
归纳总结
仰角、俯角、方向角问题的常见基本模型：
模型一
A
D
B
E
C
模型二
A
B
D
C
α
β
β
α
A
B
D
C
模型四
A
D
α
C
B
β
模型五
α
β
D
B
C
A
模型三
课堂小结
7.6 用锐角三角函数解决问题(3)
仰角、俯角及方向角的概念
运用解直角三角形解决仰角、俯角及方向角问题
当堂检测
1.如图，在点A处测得点B的仰角铅垂线是(　　)　
A.∠1 　　 B.∠2 C.∠3　　　 　　D.∠4
铅垂线
铅垂线
水平线
水平线
1
2
4
3
A
B
D
当堂检测
2.如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，且AM＝100海里.那么该船要到达离灯塔距离最近的位置需继续航行(　　)A.50海里 B.50 海里 C.65海里 D.75海里
M
60°
A
北
东
B
当堂检测
3.如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E，即EF＝15米，在点E处看点D的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为(　　)A.15sin32°米 B.15tan64°米
C.15sin64°米 D.15tan32° 米
C
D
A
B
F
E
C
当堂检测
4.小亮在楼下点A处看到楼上点B处的小明的仰角是42°，那么点B处的小明看点A处的小亮的俯角是________.
42°
5.数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为_______米.
14
当堂检测
6.如图，小红利用一个锐角是30°的三角板测操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC为15 m，AB为1.5 m(即小明的眼睛与地面的距离)，那么旗杆的高度是___________m.
A
B
C
D
30°
E
A
B
当堂检测
7.如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿北偏东30°方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处，此时与灯塔P的距离约为________海里.
50
60°
B
67°
A
北
P
东
30°
当堂检测
8. 如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔CD底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°.已知教学楼AB的高度为21 m，求信号塔的高度.(计算结果保留根号)
A
B
C
D
解：如图AE⊥CD．由题意得DE＝AB＝21 m，在Rt△AED中，∵∠EAD＝30°，∴AE＝＝＝21(m)．在Rt△AEC中，∵∠CAE＝45°，∴CE＝AE·tan45°＝21×1＝21(m)，∴CD＝DE＋CE＝(21＋21)m.
答：信号塔CD的高度为(21＋21)m.
E
当堂检测
9. 如图，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距离A港口100海里处.一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西25°方向，B港口在货轮的北偏西70°方向.求此时货轮与A港口的距离.(结果取整数.参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，≈1.414)
北
东
25°
B
25°
A
C
70°
解：如图，过点B作BD⊥AC，垂足为D，由题意得∠BAC＝25°＋25°＝50°，∠BCA＝70°－25°＝45°，在Rt△ABD中，AB＝100海里，∴AD＝AB·cos50°≈100×0.643＝64.3(海里)，BD＝AB·sin50°≈100×0.766＝76.6(海里)，在Rt△BDC中，CD＝BD·tan45°≈76.6(海里)，∴AC＝AD＋CD≈64.3＋76.6≈141(海里)．
答：此时货轮与A港口的距离约为141海里．
当堂检测
10. 如图，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD＝15 m，斜坡的倾斜角为α，
cosα＝. 在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°(点A、B、C、D在同一平面内).求：(1)C、D两点的高度差；
E
解：如图，过点D作DE⊥BC, 交BC的延长线于点E.
∵在Rt△DCE中，cosα＝，CD＝15 m，∴CE＝CD·cosα＝15×＝12(m)，∴DE＝＝＝9(m).
答：C、D两点的高度差为9 m.
当堂检测
解：(2)如图，过点D作DF⊥AB于点F.
由题意，得BF＝DE，DF＝BE.设AF＝x m，在Rt△ADF中，
tan∠ADF＝tan30°＝＝＝，解得DF＝x m.在Rt△ABC中，AB＝AF＋FB＝AF＋DE＝(x＋9)m，
BC＝BE－CE＝DF－CE＝(x－12)m，tan60°＝＝＝，解得x＝6＋.
经检验，x＝6＋是原方程的解且符合题意，
∴AB＝6＋≈24(m).
答：居民楼的高度AB约为24 m.
E
F
x m
(2)居民楼的高度AB.(结果精确到1 m)