等腰三角形专题辅导(湖北省荆门市)

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一、等腰三角形问题中隐含的“陷阱”
等腰三角形是初中几何的重要内容，它作为一个必考内容，命题者经常利用等腰三角形问题“无图多解”的特点设置“陷阱”，考查同学们分析问题的全面性和思考问题的周密性。解这类问题时，应对等腰三角形按一定标准分类讨论，才能获得完整的解答，切勿受思维定势的影响而掉入“陷阱”，出现漏解的现象。
1、利用腰长或底边长设计“陷阱”
例：已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为6，则它的周长为__________.
2、利用顶角或底角设计“陷阱”
例：已知等腰三角形一个角的度数为50，则它的另两角的度数为___________.
3、、利用等腰三角形的高设计“陷阱”
例：已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45，则这个等腰三角形的顶角度数为____________.
4、利用腰上的垂直平分线设计“陷阱”
例：在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所成的角为50，则底角∠B的度数为___________.
5、利用腰上的中线设计“陷阱”
例：已知等腰三角形一腰上的中线把等腰三角形的周长分成9和12两部分，则等腰三角形的腰长为___________.
练习
1（荆门市中考试题）已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为（ ）
A，30°　　B，75°　　　C，105°　　　D，30°或75°
2若一个等腰三角形的一个外角是1400，那么这个等腰三角形的底角等于（ ）
A．700或400 B、700 C、400 D、1100
3 等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍，则它的顶角是________．
4（2004年芜湖市中考试题）已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6,则它的周长等于_______.
5若等腰三角形一腰上的中线分周长为9ｃｍ和12ｃｍ两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长.
　6等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为54°，求这个等腰三角形的顶角的度数为＿＿
7 （北流市中考试题）在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B＝＿＿
二、构造等腰三角形解题的常见途径
等腰三角形是研究几何图形的基础，因此在许多几何问题中，常常需要构造等腰三角形才能使问题获解，一般有以下几种途径：
（一）利用角平分线+平行线，构造等腰三角形
例1　如图2，△ABC中，AB＝AC，在AC上取点P，过点P作EF⊥BC，交BA的延长线于点E，垂足为点F.求证：.AE＝AP.
例2　如图3，在△ABC中，∠BAC、∠BCA的平分线相交于点O，过点O作DE∥AC，分别交AB、BC于点D、E.试猜想线段AD、CE、DE的数量关系，并说明你的猜想理由.
例3　如图4，△ABC中，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC.求证：EF∥AB.
(二)利用角平分线+垂线，构造等腰三角形
　
　　例4　如图6，已知等腰Rｔ△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于D.求证：BF＝2CD.
(三)利用转化倍角，构造等腰三角形
例5　如图8，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，BC＝2AC.求证：∠A＝90°.
　
练习： 图9
1.如图9△ABC 中，∠C=2∠B ，试说明： AB=AC+CD ．
2 如图10，在△ABC中，∠B和
∠C的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，
交AB于D，交AC于E．若BD + EC =9，
则线段DE的长为
3如图7，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E是BC中点，EF∥AD，交AB于M，交CA的延长线于F，求证：BM = CF．
三、等腰三角形新题型精析
(一)、实验操作型
例1 如图1，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，请你设计三种不同的分法，把△ABC分割成两个三角形，且要求其中有一个是等腰三角形。（在等腰三角形的两个底角处标明度数）
　1现在给出两个三角形（如图），请你把图（1）分割成两个等腰三角形，把图（2）分割成三个等腰三角形．动动脑筋呀！
2已知，如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝360，仿照图（4），请你再设计两种不同的分法，将△ABC分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形，（图（2）、图（3）供画图用，作图工具不限，不要求写出画法，不要求证明；要求标出所分得的每个等腰三角形三个内角的度数）
解：（1）作∠ABC的平分线交AC于D，过D作DE∥AB于E；如图5所示。
（2）作∠ABC的平分线交AC于D，过D作∠BDE＝72°交AB于E，如图6所示
3在矩形ABCD中，将△ABC绕AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F，如图.试说明EF=DF.
(二)、阅读理解型
例2 如图3，D是△ABC中BC边上的一点，E是AD上的一点，EB=EC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC。
请你先阅读下面的证明过程。
证明：在△AEB和△AEC中，
所以△ABE≌△AEC（第一步），
所以AB=AC，∠1=∠2（第二步），
所以AD⊥BC（等腰三角形的“三线合一”）。
上面的证明过程是否正确？如果正确，请写出每一步的推理依据；如果不正确，请指出关键错在哪一步，写出你认为正确的证明过程。
(三)、规律探究型
例3 已知△ABC为等边三角形，在图4中，点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点。
（1）请猜一猜：图4中∠BQM等于多少度？
（2）若M、N两点分别在线段BC、CA的延长线上，其它条件下不变，如图5所示，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由。
分析：随着几何学习的深入，经常会出现规律探究题，要求同学们在运动变化中探求图形某些不变的性质或变化的规律，培养同学们运动变化的观念，以及发现和解决问题的能力。
（1）题通常猜想、测量或证明等方法不难发现∠BQM=60°，而且这一结论在图形发生变化后仍然成立。（2）题的证明过程如下：
因为△ABC为等边三角形，
所以AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
所以∠ACM=∠BAN。
在△ACM和△BAN中，
所以ΔACM≌ΔBAN，
所以∠M=∠N，
所以∠BQM=∠N＋∠QAN=∠M＋∠CAM=∠ACB=60°。
1、 探索条件型
例1、如图1，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD；④OB＝OC。（1）上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情况）；（2）选（1）小题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形
解：（1）①③，①④，②③，②④四种情况可判定△ABC是等腰三角形
（2）下面以①③两个条件证明△ABC是等腰三角形
∵∠EBO＝∠DCO 　　BE＝CD　　又∵∠EOB＝∠DOC
∴△EOB＝△DOC　　∴OB＝OC　　∴∠OBC＝∠OCB
∴∠EBC＝∠DCB　　　∴△ABC是等腰三角形
2、 探索结论型
例2、如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，D为BC上任意一点，且DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC的中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论。
证明：连接AM，∵AB＝AC，∠A＝90°，DF⊥AB，DE⊥AC
M为BC的中点，　　∴AM＝BM，DF＝AE，∠MAB＝∠MAC＝45°
又∵AE＝BF　　∴△AEM≌△BFM　　∴EM＝FM，∠AME＝∠BMF
又∵∠BMF+AMF＝90°　　∴∠AME+AMF＝90°　　
∴△MEF是等腰直角三角形
3、 探索存在型
例3、如图3、AB＝AC，E、F分别在AB，BC，AC上，且BD＝CE，∠DEF＝∠B，图中是否存在和△BDE全等的三角形？说明理由。
解：△CEF≌△BDE　　理由如下:
∵∠DEF＝∠B ∠DEC=∠B+∠BDE=∠DEF+∠CEF
∴∠BDE=∠CEF 又∵AB＝AC　　　∴∠B＝∠C
又BD＝CE　　　∴△CEF≌△BDE
树立方程思想求角度
在学习等腰三角形时，有时我们会遇到这样一类问题：给出的几何图形中，存在多个等腰三角形，求其中某些角的度数，但条件中没有给出任何一个角的度数，象这样的问题如何解决呢？下面举例加以说明：
例1　如图１，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ是ＢＣ上一点，
且ＣＤ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＢＤ．求△ＡＢＣ各角的度数．
例2　如图２，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，点Ｄ在ＡＣ上，
且ＢＤ＝ＡＤ＝ＢＣ，求△ＡＢＣ各角的度数．
例3　如图３，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，点Ｄ在ＡＣ上，点Ｅ在
ＡＢ上，且有ＢＣ＝ＢＤ，ＡＤ＝ＤＥ＝ＥＢ．求∠Ａ的度数．
点评：从以上几例可以看出，采用列方程的方法解决这类问题非常简捷，列方程的关键是选择适当的内角设为未知数，通过等边对等角的性质和三角形外角的性质，把不同三角形的内角联系起来，从而同一个三角形的内角都能用所设的未知数表示出来，然后利用三角形的内角和为１８０°，列出方程求解．
图1
①
A
D
C
B
E
②
E
C
B
D
A
B
A
C
D
E
③
④
A
B
F
C
D
E
G
图4
F
C
D
E
B
A
M
图2
F
B
A
C
D
P
E
C
A
B
E
D
O
图3
E
图5
A
B
C
D
图6
B
F
D
E
C
A
图7
B
C
D
A
①
②
B
C
D
A
③
B
C
D
A
E
图8
C
B
A
D
A
B
C
D
E
F
N
F
E
D
C
B
A
图5
E
D
C
B
A
图4
E
D
C
B
A
图6
O
E
D
C
B
A
图1
M
F
E
D
C
B
A
图2
D
F
E
C
B
A
图3
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
Ｅ
图３
Ａ
Ｄ
图２
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
图１
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