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第十七章《勾股定理》单元复习与检测（解析版）
选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
在中，对边是，
哪个条件不能判断是直角三角形（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴，故是直角三角形，不符合题意；
B、∵，
∴，故是直角三角形，不符合题意；
C、∵，
∴，故不是直角三角形，符合题意；
D、，故是直角三角形，不符合题意；
故选：C．
开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯.如图，这是一段楼梯的侧面，
它的高是3米，斜边是5米，则该段楼梯铺.上地毯至少需要的长度为（ ）
A．8米 B．7米 C．6米 D．5米
【答案】B
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，以及利用平移可知地毯的长为的和，解题的关键是能熟练掌握勾股定理以及数形结合的方法；
先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论．
【详解】解：是直角三角形，，
，
如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为，
故选：B．
如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m，
这时梯子的底端也下滑1m，则梯子AB的长度为（ ）
A．5m B．6m C．3m D．7m
【答案】A
【分析】设BO＝xm，利用勾股定理用x表示出AB和CD的长，进而求出x的值，然后由勾股定理求出AB的长度．
【详解】解：设BO＝xm，
由题意得：AC＝1m，BD＝1m，AO＝4m，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB2＝AO2+OB2＝42+x2，
在Rt△COD中，根据勾股定理得：CD2＝CO2+OD2＝（4﹣1）2+（x+1）2，
∴42+x2＝（4﹣1）2+（x+1）2，
解得：x＝3，
，
即梯子AB的长为5m，
故选：A．
葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着树干底部沿最短路线盘旋而上．
如图，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是3尺，
当一段葛藤从点A绕树干盘旋1圈升高4尺至点B处时，这段葛藤的长为（ ）
A．4尺 B．5尺 C．6尺 D．7尺
【答案】B
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．根据题意画出图形，利用圆柱侧面展开图，结合勾股定理求出即可．
【详解】解：如图所示：
由题意得尺，尺，
(尺)，
∴这段葛藤的长有5尺．
故选：B．
如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边，，现将折叠，
使点与点重合，得到折痕，则的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题关键是明确翻折前后对应边相等，利用勾股定理列方程求解即可．设，由翻折易得，利用直角三角形，勾股定理列出方程即可求得长，进而可求出的面积．
【详解】解：由题意得，
设，则，
∵，
∴在中，
根据勾股定理得：，
∵，
∴，
解得即，
∴，
∴的面积为．
故选A
6．已知中，，BD是AC边上的高线，，那么BD等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】由题意根据已知可求得AD的长，再根据勾股定理即可求得BD的长．
【详解】解：∵AB=AC=10，DC=2，
∴AD= AC-DC=8，
∴.
故选：C．
如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时
（即水平距离，），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，
则绳索的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是勾股定理，设，求出的长度，根据勾股定理列出方程是解决本题的关键．
【详解】设，则，
又∵，
∴
在中，，
得：
解得：
故选B．
五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，
如图，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，根据图中所给出的数，找出组成三角形的三边，并判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方即可，解题的关键是学会利用勾股定理的逆定理来判断一个三角形是否为直角三角形．
【详解】，
选项A给出图中的一个三角形是直角三角形，另一个不是直角三角形，不符合题意；
，，
选项B给出图中的一个三角形是直角三角形，另一个不是直角三角形，不符合题意；
，，
选项C给出图中的两个三角形是直角三角形，符合题意；
，，
选项D给出图中的两个三角形不是直角三角形，不符合题意；
故选：C
9 . 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，
已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），
则下列四个说法：①x2+y2=49，②x﹣y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．
其中说法正确的是（ ）
A．②③ B．①②③ C．②④ D．①②④
【答案】B
【分析】根据正方形的性质，直角三角形的性质，直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答即可．
【详解】如图所示，
∵△ABC是直角三角形，
∴根据勾股定理：，故①正确；
由图可知，故②正确；
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为，
即，故③正确；
由可得，
又∵，
两式相加得：，
整理得：，
，故④错误；
故正确的是①②③．
故答案选B．
10 . 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于D点，M，N是AC，BC上的动点，且∠MDN=90°，
下列结论∶①AM=CN；②四边形MDNC的面积为定值；③AM2+BN2=MN2；④NM平分∠CND．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【详解】试题解析：∵∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，AD=BD=CD=AB，∠ACD=∠BCD=∠A=∠B=45°．
∵∠MDN=90°，
∴∠ADM=∠CDN．
在△AMD和△CND中，
，
∴△AMD≌△CND（ASA），
∴AM=CN，DM=DN，S△AMD=S△CND．
∴CM=BN．故①正确；
∵四边形MDNC的面积=S△CDM+S△CDN=S△CDM+S△ADM=S△ADC．故为定值，故②正确．
∵CM2+CN2=MN2，
∴BN2+AM2=MN2，故③正确．
当MN∥AB时，MN平分∠CND，故④不正确．
∴正确的有：①②③．
故选：A．
填空题（本大题共有8个小题，每小题3分，共24分）
如图，学校有一块长方形花圃，有少数人为了走“捷径”，在花圃内走出一条不文明的“路”，
其实他们仅仅少走了 步路，却踩伤了花草（假设2步为1米）．
【答案】
【分析】根据勾股定理即可求解．
【详解】解：根据题意得，“路”的长度，即步，
是步，是步，共步，
∴少走了步，
故答案为：步．
如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，
正方形A，B，C的面积分别是，，，则正方形的面积是 ．
【答案】17
【分析】根据勾股定理有，，，等量代换即可求正方形D的面积．
【详解】根据勾股定理可知，
∵，，，
∴，
∴正方形D的面积=49-8-10-14=17（cm2）；
故答案为：17．
13 .如图，这是可近似看作一个等腰的衣架，其中腰长，底边的高长，
则底边 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，三线合一定理，利用三线合一定理得到，再利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：∵为等腰三角形，是的高，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14 . 一幢高层住宅楼发生火灾，消防车立即赶到，在距住宅楼9米的B处升起梯搭在火灾窗口（如图），
已知云梯长15米，云梯底部距地面2米，发生火灾的住户窗口A离地面有 米．
【答案】14/十四
【分析】根据AB和AC的长度，构造直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边BC的长．
【详解】解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°；
根据勾股定理，得
AC===12，
∴AF=AC+CF=12+2=14（米）；
答：发生火灾的住户窗口距离地面14米；
故答案为14．
15 . 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，
它被第24届国际数学家大会选定为会徽，是国际数学界对我国古代数学伟大成就的肯定．
“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，
若直角三角形的两条直角边分别为a、b，大正方形边长为3，小正方形边长为1，那么ab的值为_______
【答案】4
【分析】根据大正方形的面积是9，小正方形的面积是1，
可得直角三角形的面积，即可求得ab的值．
【详解】解：∵大正方形边长为3，小正方形边长为1，
∴大正方形的面积是9，小正方形的面积是1，
∴一个直角三角形的面积是(9-1)÷4=2，
又∵一个直角三角形的面积是ab=2，
∴ab=4．
故答案为：4
如图，矩形ABCD中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，
则重叠部分的面积为 ．
【答案】10
【分析】根据矩形的性质得到，由折叠的性质得到，得到，根据等腰三角形的判定定理得到，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
在中，，即，
解得，，
则的面积，
故答案为：10．
如图，分别以直角三角形三边为直径作半圆，
设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，
直角三角形两直角边长分别为6和8，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，确定各部分图形的面积关系是解题关键．
【详解】解：由题意得：直角三角形的斜边长为：，
由图可知：
故答案为：
如图，在中，，，，垂直平分，点P为直线上的任一点，
则的最小值是________
【答案】4
【分析】本题考查垂直平分线性质，勾股定理．根据题意连接，利用垂直平分线性质可知，的最小值是即为的值再利用勾股定理即可得到本题答案．
【详解】解：连接，
，
∵垂直平分，
∴，
∵点P为直线上的任一点，
∴的最小值是即为的值，
∵，，，
∴，
故答案为：4．
三、解答题（本大题共有6个小题，共46分）
19．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段
（如图1），聪明的小红发现：先测出垂到地面的绳子长m，再将绳子拉直（如图2），
测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n，利用所学知识就能求出旗杆的长，
若m=2，n=6，求旗杆AB的长．
【答案】旗杆的高度为8m．
【分析】设旗杆的高为x，在Rt△ABC中，由AC2=AB2+BC2，
推出（x+m）2=n2+x2，可得x=，由此即可解决问题．
【详解】设旗杆的高为x．
在Rt△ABC中，
∵AC2=AB2+BC2，
∴（x+m）2=n2+x2，
∴x=，
∵m=2，n=6，
∴x=.
答：旗杆AB的长为8．
20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，
把进行平移，平移后得到，且内任意点平移后的对应点为．
(1)画出平移后的图形；
(2)写出的坐标，并求出的长．
【答案】(1)见解析
(2)；．
【分析】本题考查的是由坐标变化确定平移方式，画平移图形，确定平移后点的坐标，
熟练的利用坐标变化得到平移方式是解本题的关键．
先确定平移方式为向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，
再分别确定A，B，C平移后的对应点，，，再顺次连接即可；
（2）根据点的位置可得其坐标，利用勾股定理可求得的长．
【详解】（1）解：∵内任意点平移后的对应点为．
∴向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，
如图，即为所求作的三角形
．
（2）解：根据，，的位置可得：；
．
21．如图是一块地，已知，且
(1)连接，说明是直角三角形；
(2)求这块地的面积
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理．
（1）先利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理逆定理进行求解即可；
（2）两个直角三角形的面积差即为的面积．
掌握勾股定理及其逆定理，是解题的关键．
【详解】（1）解：
，
，
，
又，
；
，
，
又，
，
，
是直角三角形；
．
22. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5，求：
（1）△ABC的周长；
（2）△ABC是否是直角三角形？为什么？
【答案】（1）54；（2）△ABC不是直角三角形．
【分析】（1）运用勾股定理求得AB、AC的长，然后根据三角形周长的定义解答即可；
（2）运用勾股定理逆定理判定即可．
【详解】解：（1）∵AD⊥BC，AD＝12，BD＝16
∴AB=
同理：AC=
∴△ABC的周长为AC+BC+AB=AC+BD+DC+AB=13+16+5+20=54；
（2）∵BC2=（BD+DC）2=212=441, AB2=202=400,AC2=132=169
∴BC2≠AB2+ AC2
∴△ABC不是直角三角形．
23．海滨公园是珠海市市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1.62米．
(1)求风筝的垂直高度；
(2)如果小明想风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？
【答案】(1)17.62米
(2)7米
【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，（米），
答：风筝的高度为17.62米；
（2）解：由题意得，米，
∴米，
∴（米），
∴（米），
∴他应该往回收线7米．
24．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t秒．求：
（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
（2）当t=3秒时，P、Q两点之间的距离是多少？
【答案】（1）20t﹣4t2；（2）10.
【分析】（1）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式S△CPQ=CP×CQ求解；
（2）在Rt△CPQ中，由（1）可知CP、CQ的长，运用勾股定理可将PQ的长求出．
【详解】解：（1）由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=20﹣4t，
∴Rt△CPQ的面积为S= （20﹣2t）×2t=20t﹣4t2（cm2）.
（2）解：当t=3秒时，CP=20﹣4t=8cm，CQ=2t=6cm，
在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PQ= =10cm.
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第十七章《勾股定理》单元复习与检测
选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
在中，对边是，
哪个条件不能判断是直角三角形（ ）
A． B．
C． D．
开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯.如图，这是一段楼梯的侧面，
它的高是3米，斜边是5米，则该段楼梯铺.上地毯至少需要的长度为（ ）
A．8米 B．7米 C．6米 D．5米
如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m，
这时梯子的底端也下滑1m，则梯子AB的长度为（ ）
A．5m B．6m C．3m D．7m
葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着树干底部沿最短路线盘旋而上．
如图，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是3尺，
当一段葛藤从点A绕树干盘旋1圈升高4尺至点B处时，这段葛藤的长为（ ）
A．4尺 B．5尺 C．6尺 D．7尺
如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边，，现将折叠，
使点与点重合，得到折痕，则的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．已知中，，BD是AC边上的高线，，那么BD等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时
（即水平距离，），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，
则绳索的长是（ ）
A． B． C． D．
五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，
如图，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
9 . 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，
已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），
则下列四个说法：①x2+y2=49，②x﹣y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．
其中说法正确的是（ ）
A．②③ B．①②③ C．②④ D．①②④
10 . 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于D点，M，N是AC，BC上的动点，且∠MDN=90°，
下列结论∶①AM=CN；②四边形MDNC的面积为定值；③AM2+BN2=MN2；④NM平分∠CND．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
填空题（本大题共有8个小题，每小题3分，共24分）
如图，学校有一块长方形花圃，有少数人为了走“捷径”，在花圃内走出一条不文明的“路”，
其实他们仅仅少走了 步路，却踩伤了花草（假设2步为1米）．
如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，
正方形A，B，C的面积分别是，，，则正方形的面积是 ．
13 .如图，这是可近似看作一个等腰的衣架，其中腰长，底边的高长，
则底边 ．
14 . 一幢高层住宅楼发生火灾，消防车立即赶到，在距住宅楼9米的B处升起梯搭在火灾窗口（如图），
已知云梯长15米，云梯底部距地面2米，发生火灾的住户窗口A离地面有 米．
15 . 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，
它被第24届国际数学家大会选定为会徽，是国际数学界对我国古代数学伟大成就的肯定．
“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，
若直角三角形的两条直角边分别为a、b，大正方形边长为3，小正方形边长为1，那么ab的值为_______
如图，矩形ABCD中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，
则重叠部分的面积为 ．
如图，分别以直角三角形三边为直径作半圆，
设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，
直角三角形两直角边长分别为6和8，则 ．
如图，在中，，，，垂直平分，点P为直线上的任一点，
则的最小值是________
解答题（本大题共有6个小题，共46分）
19．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段
（如图1），聪明的小红发现：先测出垂到地面的绳子长m，再将绳子拉直（如图2），
测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n，利用所学知识就能求出旗杆的长，
若m=2，n=6，求旗杆AB的长．
20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，
把进行平移，平移后得到，且内任意点平移后的对应点为．
(1)画出平移后的图形；
(2)写出的坐标，并求出的长．
21．如图是一块地，已知，且
(1)连接，说明是直角三角形；
(2)求这块地的面积
22. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5，求：
（1）△ABC的周长；
（2）△ABC是否是直角三角形？为什么？
海滨公园是珠海市市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得水平距离的长为12米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.62米．
(1)求风筝的垂直高度；
(2)如果小明想风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？
24．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，
动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，
它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t秒．求：
（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
（2）当t=3秒时，P、Q两点之间的距离是多少？
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