第八章 一元二次方程 5 一元二次方程的根与系数的关系（含答案）

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第八章 一元二次方程
5 一元二次方程的根与系数的关系
基 础 练
练点1 一元二次方程的根与系数的关系
1.若 的两个根，则( )
2.若是方程0的两个实数根，下列结论错误的是( )
练点2 根与系数关系的应用
3.已知关于 x的方程 的一个根是 ，则它的另一个根是________.
4.已知关于x的一元二次方程. 有两个不相等的实数根且 则实数____________.
5.设x ,x 是方程 的两个实数根，求 的值.
纠易错 利用根与系数的关系时，因忽略“△≥0” 而致错
6.下列方程两根之和是-2 的是( )
提 升 练
7.已知α，β是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为( )
A.-1 B.5 C.3
8.若一个菱形的两条对角线长分别是关于 x 的一元二次方程 的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为( )
9.若 则以x ，x 为根的一元二次方程是( )
10.关于x的一元二次方程 有两个不同的实数根且则
11.已知实数a,b分别满足且 求 的值.
12.已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根
(1)求k 的取值范围.
(2)若 求 k 的值.
13.已知关于 x的一元二次方程
(1)求证：无论 m取何值时，方程都有两个不相等的实数根.
(2)设该方程的两个实数根为 a，b，若,求 m 的值.
14.设 是关于x的方程 的两个实数根，是否存在实数k,使得 成立 若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由.
15.关于 x 的一元二次方程中,a,b,c是 Rt△ABC 的三条边,其中 a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根.
(2)若方程的两个根是 x ,x ,且 求a: b:c.
参考答案
1. A 【点拨】 是方程 的两个根,
2. B 【点拨】∵ ∴关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根, A 正确; 是一元二次方程 3x=0的两个实数根， 则 C,D正确,B 错误.
3.5 【点拨】设方程的另一个根是t，根据根与系数的关系得 解得 即方程的另一个根是5.
4.3 【点拨】∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=是关于x的一元二次方程 的两个实数根，解得 (不符合题意，舍去)， ∴ 实数 m 的值为3.
5.【解】∵x ,x 是方程 的两个实数根，
6. C
点易错 利用根与系数的关系时， 往往会犯单纯满足根与系数的关系式， 而不考虑△≥0 的错误.
7. C 【点拨】根据根与系数的关系得-2,所以
8. C 【点拨】设菱形的两条对角线长分别为 a，b，由题意，得
∴菱形的边长
9. A 【点拨】· 而 . 以 为根的一元二次方程为
【点拨】根据题意得 根据题意得 或
11.【解】∵ a,b分别满足 0，∴a，b可以看作是一元二次方程 的两个实数根，
12.【解】(1)根据题意得 0,解得
(2)根据题意得 ,解得
13.(1)【证明】∵ ∴ 无论 m取何值时，方程都有两个不相等的实数根.
(2)【解】∵该方程的两个实数根为 a,b,∴整理得 解得
∴m的值为 或1.
14.【解】不存在. 理由：由题意得. 0,解得
是关于x的方程 的两个实数根，
∴不存在实数k使得 成立.
15.(1)【证明】关于x的一元二次方程 整理为一般形式为∵a,b,c是 的三条边，其中a，b，c分别是 的对边，
此方程有两个不相等的实数根.
(2)【解】∵ 方程的两个根是
由(1)得
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