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2024年浙江省杭州市中考数学复习训练试卷（解析版）
选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1．“上有天堂，下有苏杭”，凭借独特的自然风光，杭州一直都是旅游热门目的地．
尤其是2023年亚运会的到来，让这座城市更加热门．相关数据显示，
“十一”黄金周期间杭州市接待游客约1300万人次．将13000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【详解】解：将13000000用科学记数法表示为，
故选：A．
2．如图，已知，平分．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由，平分，可得，根据，即计算求解即可．
【详解】解：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B．
3．千岛湖某青年志愿者协会的10名志愿者，一周的社区志愿服务时间如表所示：
时间/h 2 3 4 5 6
人数 1 3 2 3 1
关于志愿者服务时间的描述正确的是（ ）
A．众数是6 B．中位数是4 C．平均数是3 D．方差是1
【答案】B
【分析】根据中位数，众数，平均数和方差的定义，逐一判断选项即可．
【详解】解：∵志愿者服务时间为3小时的人数为3个人，时间为5小时的人数为3个人，
∴志愿者服务时间的众数为3和5，故A错误；
∵时间从小到大排序，第5、6个数都是4，
∴中位数为4，故B正确；
∵，
∴平均数是4，故C错误；
∵，
∴方差为1.4，故D错误，
故选：B．
4 .正比例函数y＝kx的图象经过一、三象限，则一次函数y＝﹣kx＋k的图象大致是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】由正比例函数的图象经过一、三象限，可以知道，由此，从而得到一次函数图象情况．
【详解】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过一、三象限
∴
∴
∴一次函数的图象经过一、二、四象限
故选：A
5．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长a尺，木长b尺，所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设绳子长a尺，木长b尺，由用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4．5尺；可得，由将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，，从而可得答案．
【详解】解：设绳子长a尺，木长b尺，则
，
故选C．
如图，从一热气球的探测器A点，看一栋高楼顶部的仰角为55°，看这栋高楼底部的俯角为35°，
若热气球与高楼的水平距离为35m，则这栋高楼度大约是（ ）
（考数据：sin55°≈，cos55°≈，tan55°≈）
A．74米 B．80米 C．84米 D．98米
【答案】A
【分析】过点A作AD⊥BC于D，然后分别解直角三角形，求出BD和CD的长即可即可答案．
【详解】解：过点A作AD⊥BC于D，
在Rt△ABD中，∠BAD＝55°，AD＝35m，tan∠BAD＝，
∴BD＝AD tan∠BAD≈35×＝49（m），
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°﹣∠CAD＝55°，AD＝35m，tan∠ACD＝，
∴CD＝≈＝25（m），
∴BC＝BD+CD＝49+25＝74（m），
故选：A．
7．如图，矩形中，，，M为线段上一动点，于点P，于点Q，则的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】连接，先证四边形是矩形，得，再由勾股定理得，当时，最小，则最小，然后由面积法求出的长，即可得出结论．
【详解】解：如图，连接，
于点，于点，
，
四边形是矩形，
，，，
四边形是矩形，
，
由勾股定理得：，
当时，最小，则最小，
此时，，
即，
，
的最小值为，
故选：C．
8．如图，于点A，AB交反比例函数（x＜0）的图象于点C，且，若，则k＝（ ）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
【答案】D
【分析】连接，根据反比例函数的几何意义可知，由线段比例结合可计算的面积，则可建立等式求解，再根据图像所在象限判断的正负即可．
【详解】解：连接，则，
，，
，
，
解得，
又反比例函数图像在第二象限，
，
，
故选．
如图，在中，直径与弦相交于点，连接弦，，．若，
给出下列结论：①；②，则下列判断正确的是（ ）
A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对
【答案】A
【分析】根据已知条件设，则，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，根据三角形内角和定理以及对顶角相等得出，根据等角对等边即可判断①，连接，证明，根据相似三角形的性质，即可得出②，从而求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，设，则，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
，
∴，
∴；故①正确；
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
即，
∴，故②正确，
故选：A．
已知点、是二次函数图象上的两个点，
若当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据点A、B是该二次函数图象上的两点且纵坐标相等，可得对称轴为直线，再根据开口向上，时，y随x的增大而减小，可得，据此即可求解．
【详解】解：∵点、是二次函数图象上的两个点，
∴该二次函数图象的对称轴为直线，且开口向上，
∵当时，y随x的增大而减小，
∴该二次函数图象的对称轴为直线或在其右侧，
，
解得，
故选：B．
填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分）
11 .现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，
卡片除正面图案不同外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，
则抽出的卡片图案是琮琮的概率是 ．
【答案】
【分析】根据概率公式即可求解．
【详解】解：将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，
则抽出的卡片图案是琮琮的概率是
故答案为：．
12 .分解因式：=__________
【答案】
【解析】
【详解】解：
故答案为：
13.如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中的长为 cm（结果保留π）．
【答案】18π
【分析】根据弧长公式即可得到结论．
【详解】解：∵折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，
∴的长＝＝18π（cm），
故答案为：18π．
若购买荔枝所付金额y(元)与购买数量x(千克)之间的函数图像如图所示，
则购买3千克荔枝需要付 元．
【答案】
【分析】根据图像可得购买3kg荔枝需要付的钱即为当x=3时，y所对应的值，
即求出AB段的函数解析式，将x=3代入即可．
【详解】解：设直线的解析式为：，
由图像可知：，
∴，
∴，
当时，，
故答案为：．
如图，过y轴正半轴上一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数和图像
相交于点A和点B，C是x轴上一点．若的面积为4，则k的值为 ．
【答案】6
【分析】由题意可知轴，，根据反比例函数值的几何意义，，所以，求解即可．
【详解】解： 连接，如图所示，
轴，
，
反比例函数图像上的点与坐标轴及原点围成三角形面积，
，
，
，解得；
故答案为：6．
如图，在矩形中，，点F、G分别在边上，
沿将四边形翻折得到四边形，且点E落在边上，交于点H．
若，则的长为 ．
【答案】
【分析】连接，过点作，根据折叠的性质可得，进而可得，
证明，求得，设，则，分别求得，勾股定理求得，
进而求得的值，最后求得，代入的值即可求解．
【详解】如图，连接，过点作，
折叠，
，
，
∴，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
设，则，
解得
故答案为：
三、解答题（本大题共有7个小题，共52分）
17．以下是圆圆解方程的解答过程．
解：两边同乘以3，得，
移项，合并同类项，得，
两边同除以2，得，
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
【答案】圆圆的解答过程有错误，方程的解为．
【分析】由去分母后没有及时添加括号；可得圆圆的解答过程有错误，再去分母正确的解方程即可．
【详解】解：圆圆的解答过程有错误，去分母后没有及时添加括号；
正解：
两边同乘以3，得，
∴，
移项，合并同类项，得，
两边同除以2，得．
统计某校七年级部分同学的跳高测试成绩，得到如下频数分布直方图（每组含前一个边界值，
不含后一个边界值）．
(1)组距为多少？
(2)中位数所在组的频数是多少？
(3)若该校七年级总共有540同学，那么跳高成绩在（含）以上的大约有多少人？
【答案】(1)；
(2)中位数落在第三组，频数为20；
(3)大约有人．
【分析】（1）由相邻两个组中值的差可得组距；
（2）由总数据为44个，排在最中间的两个数据为第22个，第23个，由这两个数据的平均数为中位数可得答案；
（3）由总人数乘以跳高成绩在（含）以上的占比，从而可得答案．
【详解】（1）解：由频数分布直方图可得：，
∴组距为．
（2）∵总数据为44个，排在最中间的两个数据为第22个，第23个，
∴中位数落在第三组，频数为20；
（3）由题意可得：跳高成绩在（含）的占比为，
∴该校七年级总共有540同学，那么跳高成绩在（含）以上的大约有
（人）．
19．如图，在矩形中，，点E是边上的点，，连接交于点F．
(1)求证：；
(2)连接，求的值；
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据勾股定理求出，矩形的性质、全等三角形的判定定理证明；
（2）连接交于点H，根据全等三角形的性质得到，，证明，求出，得到答案；
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：连接交于点H．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴．
∴．
在中，，
∴，
∴；
如图，反比例函数的图象和一次函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标和点B的纵坐标都是1．
(1)在第一象限内，关于x的不等式的解集是______．
(2)求一次函数的表达式．
(3)若点在反比例函数图象上，且关于y轴对称的点Q恰好落在一次函数的图象上，求的值．
【答案】(1)1≤x≤3
(2)
(3)22
【分析】（1）根据反比例函数解析式求出点A和点B的坐标，使用数形结合思想观察一次函数图象和反比例函数图象即可．
（2）根据点A和点B坐标使用待定系数法即可求解．
（3）根据点P坐标可确定mn=3，根据轴对称的性质求出点Q的坐标，进而可确定n-m=4，再将所求代数式进行等价变形后代入计算即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数的解析式为，点A的横坐标和点B的纵坐标都是1，
∴当x=1时，y=3，当y=1时，x=3．
∴，．
观察一次函数图象和反比例函数图象可知：在第一象限内，当1≤x≤3时，一次函数图象在反比例函数图象的上方或重合．
所以在第一象限内，关于x的不等式的解集是1≤x≤3．
故答案为：1≤x≤3．
（2）解：设一次函数表达式为y=kx+b．
把点A和点B坐标代入一次函数表达式得
解得
∴一次函数的表达式为y=-x+4．
（3）解：∵点在反比例函数图象上，
∴．
∴mn=3．
∵点P关于y轴的对称点为点Q，
∴．
∵点Q在一次函数图象上，
∴．
整理得n-m=4．
∴．
如图，的顶点、在⊙上，顶点在⊙外，边与⊙相交于点，，
连接、，已知．
(1)求证：直线是⊙的切线；
(2)若线段与线段相交于点，连接．
①求证：；
②若，求⊙的半径的长度．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据圆周角定理可得∠BOD=2∠BAC=90°，再由OD∥BC，可得CB⊥OB，即可求证；
（2）①根据∠BOD=2∠BAC=90°，OB=OD，可得∠BAC=∠ODB，即可求证；②根据，可得，即，再由勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明∶∵∠BAC=45°，
∴∠BOD=2∠BAC=90°，
∴OD⊥OB，
∵OD∥BC，
∴CB⊥OB，
∵OB为半径，
∴直线是⊙的切线；
（2）解：①∵∠BAC=45°，
∴∠BOD=2∠BAC=90°，OB=OD，
∴∠ODB=45°，
∴∠BAC=∠ODB，
∵∠ABD=∠DBE，
∴；
②∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴或（舍去）．
即⊙的半径的长为．
22．已知二次函数．
(1)若，试求该二次函数图象与轴的交点坐标．
(2)若该二次函数图象的顶点坐标为，求证：．
(3)若，且当自变量x满足时，，求m的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）将代入，令，解一元二次方程即可求解；
（2）根据顶点坐标公式，得出，，即可得证；
（3）①当时，最小值为，不合题意，②当，最小值为时，，根据题意得出，进而将点代入得，，解方程即可求解．
【详解】（1）解：将代入
即，
当时，
解得：
∴该二次函数图象与轴的交点坐标为
（2）解：∵图象的顶点坐标为，
∴，
∴
（3）解：∵，则对称轴为直线，
自变量x满足时，，
，当时，，
在对称轴左侧，随的增大而增大，
①当时，最小值为，不合题意，
②当，最小值为时，，
最大值为时，，
∴，
∴抛物线解析式为：，
将点代入得，，
解得：，
∵，即，
∴．
23 .如图1，在正方形中，点G在射线BC上，从左往右移动（不与点B，C重合），
连接AG，作于点E，于点F，设．
(1)求证：；
(2)连接BE，DF，设，，求证：点在G射线BC上运动时，始终满足
(3)如图2，设线段AG与对角线BD交于点H，和以点C，D，H，G为顶点的四边形的面积分别为和，当点G在BC的延长线上运动时，求（用含k的代数式表示）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用同角的余角相等判断出，进而证明，即可得出结论；
（2）分情况讨论：当点G在线段BC上时，当点G在线段BC的延长线上时，由得出，再根据锐角三角函数进行计算即可；
（3）过点H作于点E，作于点F，令，先证明，再通过证明四边形为正方形，继而求解即可．
【详解】（1）证明：如图，在正方形中，，．
∵，，
∴
∵，，
∴．
在和中，
∵
∴
∴．
（2）证明：①如图，当点G在线段BC上时，
∵
∴．
在和中，，，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
②如图，当点G在线段BC的延长线上时，同①，
，，
∴．
（3）解：过点H作于点E，作于点F，不妨令．
，
又四边形ABCD是正方形，
，
，
，
四边形为正方形，
，
∵，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵
∴，在中，
∴，
∴，
．
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2024年浙江省杭州市中考数学复习训练试卷
选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1．“上有天堂，下有苏杭”，凭借独特的自然风光，杭州一直都是旅游热门目的地．
尤其是2023年亚运会的到来，让这座城市更加热门．相关数据显示，
“十一”黄金周期间杭州市接待游客约1300万人次．将13000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知，平分．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．千岛湖某青年志愿者协会的10名志愿者，一周的社区志愿服务时间如表所示：
时间/h 2 3 4 5 6
人数 1 3 2 3 1
关于志愿者服务时间的描述正确的是（ ）
A．众数是6 B．中位数是4 C．平均数是3 D．方差是1
4 .正比例函数y＝kx的图象经过一、三象限，则一次函数y＝﹣kx＋k的图象大致是（ ）
A． B．C． D．
5．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长a尺，木长b尺，所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
如图，从一热气球的探测器A点，看一栋高楼顶部的仰角为55°，看这栋高楼底部的俯角为35°，
若热气球与高楼的水平距离为35m，则这栋高楼度大约是（ ）
（考数据：sin55°≈，cos55°≈，tan55°≈）
A．74米 B．80米 C．84米 D．98米
7．如图，矩形中，，，M为线段上一动点，于点P，于点Q，则的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
8．如图，于点A，AB交反比例函数（x＜0）的图象于点C，且，若，则k＝（ ）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
如图，在中，直径与弦相交于点，连接弦，，．若，
给出下列结论：①；②，则下列判断正确的是（ ）
A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对
已知点、是二次函数图象上的两个点，
若当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分）
11 .现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，
卡片除正面图案不同外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，
则抽出的卡片图案是琮琮的概率是 ．
12 .分解因式：=__________
13.如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中的长为 cm（结果保留π）．
若购买荔枝所付金额y(元)与购买数量x(千克)之间的函数图像如图所示，
则购买3千克荔枝需要付 元．
如图，过y轴正半轴上一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数和图像
相交于点A和点B，C是x轴上一点．若的面积为4，则k的值为 ．
如图，在矩形中，，点F、G分别在边上，
沿将四边形翻折得到四边形，且点E落在边上，交于点H．
若，则的长为 ．
解答题（本大题共有7个小题，共52分）
17．以下是圆圆解方程的解答过程．
解：两边同乘以3，得，
移项，合并同类项，得，
两边同除以2，得，
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
统计某校七年级部分同学的跳高测试成绩，得到如下频数分布直方图（每组含前一个边界值，
不含后一个边界值）．
(1)组距为多少？
(2)中位数所在组的频数是多少？
(3)若该校七年级总共有540同学，那么跳高成绩在（含）以上的大约有多少人？
19．如图，在矩形中，，点E是边上的点，，连接交于点F．
(1)求证：；
(2)连接，求的值；
如图，反比例函数的图象和一次函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标和点B的纵坐标都是1．
(1)在第一象限内，关于x的不等式的解集是______．
(2)求一次函数的表达式．
(3)若点在反比例函数图象上，且关于y轴对称的点Q恰好落在一次函数的图象上，求的值．
如图，的顶点、在⊙上，顶点在⊙外，边与⊙相交于点，，
连接、，已知．
(1)求证：直线是⊙的切线；
(2)若线段与线段相交于点，连接．
①求证：；
②若，求⊙的半径的长度．
22．已知二次函数．
(1)若，试求该二次函数图象与轴的交点坐标．
(2)若该二次函数图象的顶点坐标为，求证：．
(3)若，且当自变量x满足时，，求m的值．
23 .如图1，在正方形中，点G在射线BC上，从左往右移动（不与点B，C重合），
连接AG，作于点E，于点F，设．
(1)求证：；
(2)连接BE，DF，设，，求证：点在G射线BC上运动时，始终满足
(3)如图2，设线段AG与对角线BD交于点H，和以点C，D，H，G为顶点的四边形的面积分别为和，当点G在BC的延长线上运动时，求（用含k的代数式表示）．
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