【基础卷】2024年北师大版数学八（下）1.1等腰三角形 同步练习
一、选择题
1．（2015七下·深圳期中）等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长（ ）
A．17 B．22 C．17或22 D．21
2．（2022八上·丰台期末）等腰三角形的一个角是，它的底角的大小为（ ）
A． B． C．或 D．或
3．（2023八上·邕宁期中） 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠B＝∠C B．AD＝2AB
C．∠BAD＝∠CAD D．AD⊥BC
4．如果一个三角形的三边长a，b，c满足(a-b)(b-c)(c-a)=0，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形
5．△ABC为等边三角形，AD⊥BC于D，则∠BAD的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
6．（2021八上·大石桥期中）如图，在等边 ABC中，AD是它的角平分线，DE⊥AB于E，若AC=8，则BE=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2021八上·温州期中）下列条件中，不能得到等边三角形的是（ ）
A．有两个内角是60°的三角形 B．三条边都相等的三角形
C．有一个角是60°的等腰三角形 D．有两个外角相等的等腰三角形
8．用反证法证明“若|a|≠|b|，则a≠b”时，应首先假设 （ ）
A．a>b B．a=b C．a二、填空题
9．（2021八上·中山期中）在△ABC中，若∠A =
100°，∠B = 40°，AC = 5，则AB = ．
10．（2021八上·恩平期中）在△ABC中，AB=AC=5cm，∠B=60°，则BC= cm．
11．用反证法证明：“在△ABC中，若AB≠AC，则∠B ≠∠C”，应先假设
12．（2024八上·大兴期末）如图，是等边三角形，，平分交于点，则线段的长为 ．
三、解答题
13．用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角.
14．（2024八上·长春期末）如图，在中，，于D，点E在上且，求证：．
15．（2023八上·临江期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=2∠A，点D是AB的中点，连接CD，CD= AB，求证：△BCD是等边三角形．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：9为腰长时，三角形的周长为9+9+4=22，
9为底边长时，4+4＜9，不能组成三角形，
故选：B．
【分析】分类讨论：9为腰长，9为底边长，根据三角形的周长公式，可得答案．
2．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当顶角是时，它的底角；
②底角是．
所以底角是或．
故答案为：D．
【分析】分两种情况：①当顶角是时，②底角是根据等腰三角形的性质分别求解即可．
3．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：因为AB=AC，D是BC的中点，
所以∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，
而AD=2AB不一定成立.
故答案为：B.
【分析】根据等边对等角可得∠B=∠C，根据等腰三角形的三线合一可得∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，从而即可逐项判断得出答案.
4．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵(a-b)(b-c)(c-a)=0
∴a=b或b=c或a=c
说明三角形的三条边中至少有两条边相等；
∴这三角形一定是等腰三角形
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形两腰相等解题即可.
5．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC是等边三角形， AD⊥BC于D ，
∴∠BAD=∠BAC=×60°=30°.
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形底边上的高与顶角的角平分线重合可得∠BAD=∠BAC，再结合等边三角形的每一个内角都是60°，即可得出答案.
6．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】∵ 是等边三角形， 是它的角平分线，
∴ ， ．
∵ 于 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：B
【分析】根据等边三角形的性质可得 ， ．再根据 于 ，可得，最后利用含角的直角三角形的性质可得。
7．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵三角形的另外一个角=180°-2×60°=60°，∴是等边三角形，不符合题意；
B、三条边都相等的三角形是等边三角形，不符合题意；
C、有一个角是60°的等腰直角三角形，则其他两个角也等于60°，是等边三角形，不符合题意；
D、∵所有的等腰三角形都有两个外角相等，则其不一定是等边三角形，符合题意；
故答案为：D.
【分析】 根据三角形的内角和定理可以确定有两个内角是60°的三角形 ；三条边都相等的三角形是等边三角形；根据三角形的内角和定理可以确定有一个角是60°的等腰三角形 ；由于所有的等腰三角形都有两个外角相等，但等腰三角形不一定是等边三角形.
8．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： “若|a|≠|b|，则a≠b”的结论是a≠b，
∴用反证法应先假设a=b.
故答案为：B.
【分析】反证法的步骤：①假设结论不成立，②从假设出发推出矛盾，③假设不成立，则结论成立，据此解答即可.
9．【答案】5
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=100°，∠B=40°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-100°-40°=40°，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC=5，
故答案为：5．
【分析】由三角形内角和等于180度以及∠A=100°，∠B=40°度数，可以求出∠C的度数，再根据等腰三角形的性质，即可求解。
10．【答案】5
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC=5cm，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=5cm.
故答案为5.
【分析】先判断出△ABC是等边三角形，再利用等边三角形的性质求解即可。
11．【答案】∠B=∠C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明：“在△ABC中，若AB≠AC，则∠B ≠∠C”，应先假设∠B=∠C.
故答案为：∠B=∠C.
【分析】根据反证法的证明步骤，首先要假设命题的结论不成立，据此解答即可.
12．【答案】1
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解： 是等边三角形，平分交于点，
（三线合一），
又，
.
故答案为：1.
【分析】根据等边三角形的性质以及三线合一即可求解.
13．【答案】证明：①假设等腰三角形ABC底角∠B、∠都是直角，则
所以
这与三角形内角和等于 矛盾；
②假设等腰三角形ABC的底角 都是钝角，则 ，
所以 ，这与三角形内角和等于 矛盾.
综上所述，①②的假设错误，所以 只能为锐角，
故等腰三角形的底角必为锐角.
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【分析】分两种情况讨论，即 ①假设等腰三角形ABC底角∠B、∠都是直角，②假设等腰三角形ABC的底角 都是钝角， 根据三角形内角和定理分别推出两种情况都不成立，即可得证。
14．【答案】证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据等腰三角形的判断和性质、平行线的性质求解．由等边对等角和平行线的性质证明，由等角的余角相等，证明，由等腰三角形的判定证明AE=DE．
15．【答案】证明：∵ 点D是AB的中点，
∴BD=AB，
∵CD= AB，
∴BD=CD，
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=2∠A，
∴∠B=60°，
∴△BCD是等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定；线段的中点
【解析】【分析】根据线段的中点求出BD=AB，再求出∠B=60°，最后证明等边三角形即可。
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一、选择题
1．（2015七下·深圳期中）等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长（ ）
A．17 B．22 C．17或22 D．21
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：9为腰长时，三角形的周长为9+9+4=22，
9为底边长时，4+4＜9，不能组成三角形，
故选：B．
【分析】分类讨论：9为腰长，9为底边长，根据三角形的周长公式，可得答案．
2．（2022八上·丰台期末）等腰三角形的一个角是，它的底角的大小为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当顶角是时，它的底角；
②底角是．
所以底角是或．
故答案为：D．
【分析】分两种情况：①当顶角是时，②底角是根据等腰三角形的性质分别求解即可．
3．（2023八上·邕宁期中） 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠B＝∠C B．AD＝2AB
C．∠BAD＝∠CAD D．AD⊥BC
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：因为AB=AC，D是BC的中点，
所以∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，
而AD=2AB不一定成立.
故答案为：B.
【分析】根据等边对等角可得∠B=∠C，根据等腰三角形的三线合一可得∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，从而即可逐项判断得出答案.
4．如果一个三角形的三边长a，b，c满足(a-b)(b-c)(c-a)=0，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵(a-b)(b-c)(c-a)=0
∴a=b或b=c或a=c
说明三角形的三条边中至少有两条边相等；
∴这三角形一定是等腰三角形
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形两腰相等解题即可.
5．△ABC为等边三角形，AD⊥BC于D，则∠BAD的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC是等边三角形， AD⊥BC于D ，
∴∠BAD=∠BAC=×60°=30°.
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形底边上的高与顶角的角平分线重合可得∠BAD=∠BAC，再结合等边三角形的每一个内角都是60°，即可得出答案.
6．（2021八上·大石桥期中）如图，在等边 ABC中，AD是它的角平分线，DE⊥AB于E，若AC=8，则BE=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】∵ 是等边三角形， 是它的角平分线，
∴ ， ．
∵ 于 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：B
【分析】根据等边三角形的性质可得 ， ．再根据 于 ，可得，最后利用含角的直角三角形的性质可得。
7．（2021八上·温州期中）下列条件中，不能得到等边三角形的是（ ）
A．有两个内角是60°的三角形 B．三条边都相等的三角形
C．有一个角是60°的等腰三角形 D．有两个外角相等的等腰三角形
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵三角形的另外一个角=180°-2×60°=60°，∴是等边三角形，不符合题意；
B、三条边都相等的三角形是等边三角形，不符合题意；
C、有一个角是60°的等腰直角三角形，则其他两个角也等于60°，是等边三角形，不符合题意；
D、∵所有的等腰三角形都有两个外角相等，则其不一定是等边三角形，符合题意；
故答案为：D.
【分析】 根据三角形的内角和定理可以确定有两个内角是60°的三角形 ；三条边都相等的三角形是等边三角形；根据三角形的内角和定理可以确定有一个角是60°的等腰三角形 ；由于所有的等腰三角形都有两个外角相等，但等腰三角形不一定是等边三角形.
8．用反证法证明“若|a|≠|b|，则a≠b”时，应首先假设 （ ）
A．a>b B．a=b C．a【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： “若|a|≠|b|，则a≠b”的结论是a≠b，
∴用反证法应先假设a=b.
故答案为：B.
【分析】反证法的步骤：①假设结论不成立，②从假设出发推出矛盾，③假设不成立，则结论成立，据此解答即可.
二、填空题
9．（2021八上·中山期中）在△ABC中，若∠A =
100°，∠B = 40°，AC = 5，则AB = ．
【答案】5
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=100°，∠B=40°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-100°-40°=40°，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC=5，
故答案为：5．
【分析】由三角形内角和等于180度以及∠A=100°，∠B=40°度数，可以求出∠C的度数，再根据等腰三角形的性质，即可求解。
10．（2021八上·恩平期中）在△ABC中，AB=AC=5cm，∠B=60°，则BC= cm．
【答案】5
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC=5cm，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=5cm.
故答案为5.
【分析】先判断出△ABC是等边三角形，再利用等边三角形的性质求解即可。
11．用反证法证明：“在△ABC中，若AB≠AC，则∠B ≠∠C”，应先假设
【答案】∠B=∠C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明：“在△ABC中，若AB≠AC，则∠B ≠∠C”，应先假设∠B=∠C.
故答案为：∠B=∠C.
【分析】根据反证法的证明步骤，首先要假设命题的结论不成立，据此解答即可.
12．（2024八上·大兴期末）如图，是等边三角形，，平分交于点，则线段的长为 ．
【答案】1
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解： 是等边三角形，平分交于点，
（三线合一），
又，
.
故答案为：1.
【分析】根据等边三角形的性质以及三线合一即可求解.
三、解答题
13．用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角.
【答案】证明：①假设等腰三角形ABC底角∠B、∠都是直角，则
所以
这与三角形内角和等于 矛盾；
②假设等腰三角形ABC的底角 都是钝角，则 ，
所以 ，这与三角形内角和等于 矛盾.
综上所述，①②的假设错误，所以 只能为锐角，
故等腰三角形的底角必为锐角.
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【分析】分两种情况讨论，即 ①假设等腰三角形ABC底角∠B、∠都是直角，②假设等腰三角形ABC的底角 都是钝角， 根据三角形内角和定理分别推出两种情况都不成立，即可得证。
14．（2024八上·长春期末）如图，在中，，于D，点E在上且，求证：．
【答案】证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据等腰三角形的判断和性质、平行线的性质求解．由等边对等角和平行线的性质证明，由等角的余角相等，证明，由等腰三角形的判定证明AE=DE．
15．（2023八上·临江期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=2∠A，点D是AB的中点，连接CD，CD= AB，求证：△BCD是等边三角形．
【答案】证明：∵ 点D是AB的中点，
∴BD=AB，
∵CD= AB，
∴BD=CD，
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=2∠A，
∴∠B=60°，
∴△BCD是等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定；线段的中点
【解析】【分析】根据线段的中点求出BD=AB，再求出∠B=60°，最后证明等边三角形即可。
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