【培优卷】2024年北师大版数学八（下）1.1等腰三角形 同步练习
一、选择题
1．（2021八上·宁安期末）如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD＝5，点F是AD边上的动点，则BF＋EF的最小值为（ ）
A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF=CF，
∵等边△ABC中，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），
∴C和B关于直线AD对称，
∴CF=BF，即BF+EF=CF+EF，
∴当C、E、F共线且CE⊥AB时CF+EF有最小值CE，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
在△ADB和△CEB中，
，
∴△ADB≌△CEB（AAS），
∴CE=AD=5，
即BF+EF=5．
故答案为：B．
【分析】过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF=CE最小，证明△ADB≌△CEB（AAS），可得CE=AD=5，即BF+EF=5．
2．（2023八上·洞口期中）如图，在中，，为的平分线，，垂足为M，且，，则（ ）．
A．10 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】
解：如图延长BM，交AC于E，
∵AD平分∠BAC，BM⊥AD，
∴∠BAM＝∠EAM，∠AMB＝∠AME＝90°，
在△ABM和△AEM中，
∴△ABM≌△AEM（ASA），
∴BM＝ME=2，AE＝AB=6，∠AEB＝∠ABE，
BE=4.
是的外角.
.
=3，
，
.
故A符合题意，B，C，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】延长BM，交AC于E，由ASA易证△ABM≌△AEM得出BM＝ME，AE＝AB，∠AEB＝∠ABE，求出BE＝4，AE＝6，由得出∠EBC＝∠ACB，EC=BE=4即可求出AC.
3．（2020·宁波）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内.若求五边形DECHF的周长，则只需知道（ ）
A．△ABC的周长 B．△AFH的周长
C．四边形FBGH的周长 D．四边形ADEC的周长
【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解： ∵△BDE和△FGH是等边三角形，△BDE≌△FGH，
∴DE=FH=BE，
∴DE+EC=BE+EC=BC，FH+FD=BD+DF=BF，
∵∠EHG=60°，
∴∠AHF+∠GHC=120°，
∵∠A=60°，
∴∠AFH+∠AHF=120°，
∴∠AFH=∠GHC，
∵FH=GH，∠A=∠C，
∴△AFH≌△CHC（AAS），
∴HC=FA，
∴FH+FD+HC=BF+FA=BA，
∴五边形DECHF的周长=DE+EC+HC+FH+FD=BC+BA= △ABC的周长 ，
故答案为：A.
【分析】根据等边三角形的性质，结合全等三角形的性质和等式的性质可得DE+EC=BC，FH+FD=BF，再利用角角边定理证明△AFH≌△CHC可得HC=FA，推出FH+FD+HC=BA，最后可得五边形DECHF的周长是△ABC的周长的，据此可知答案.
4．（2023八上·海淀月考）如图，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则下列四个结论：①AP平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．其中正确的个数是 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：
①AP平分；
即AP平分
故①结论成立
②AS＝AR；
和中
≌(HL)
AS=AR
故②结论成立
③QP∥AR
≌
AQ＝PQ
故③结论成立
④≌△QSP
△ABC为等边三角形
∴△BRP≌△QSP(AAS)
故④结论成立
综上，4个结论都正确
故答案为：D
【分析】根据等腰三角形三线合一定理可判断结论正确；根据线段所在三角形全等判定结论正确；根据全等得到对应角相等，等边对等角定理得到等角，等量代换后根据内错角相等两直线平行进行判定；通过等边三角形性质推导全等条件，由AAS定理判定全等。
5．（2023八上·海淀期中）如图，中，，为中点，把纸片沿对折得到，如图，点和点分别为，上的动点，把纸片沿折叠，使得点落在的外部，如图所示．设，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
，为中点，
，，
，
如图，设与交于点，
把纸片沿折叠，
，
∵，
，
，
，
，
，
∵，
∴，
由图可知，
．
故答案为：A.
【分析】结合图形，根据等腰三角形的性质，折叠的性质以及四边形的内角和等计算求解即可。
6．（2017七下·东营期末）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线一点，当PA=CQ时，连结PQ交AC于D，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ．
∵在△PFD和△QCD中，
∠PDF＝∠QDC，∠PFD＝∠QCD，PF＝CQ，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DE= AC，
∵AC=1，
∴DE= ．
故答案为：A.
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
7．（2023八上·济南开学考）如图，∠AOB＝30°，点M，N分别是OA，OB上的动点，P为∠AOB内一点，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，MN的长为（ ）
A．6 B．12-18 C．18-18 D．12
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA，PN=DN，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=6，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=6，
∵∠POC=∠POD，
∴OP⊥CD，OQ=6×，
∴PQ=，
设MQ=x，则PM=CM=3-x，
∴（3-x）2-x2=（6-）2，
解得：x=，
∴MN=2x=12-18，
故答案为：B.
【分析】先作出图象，证出△COD是等边三角形，可得CD=OC=OD=6，再求出PQ=，设MQ=x，则PM=CM=3-x，利用勾股定理可得（3-x）2-x2=（6-）2，求出x的值，再求出MN的长即可.
8．（2023八下·增城期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，直线交轴于点，以为边作第一个等边三角形，交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以为边作第二个等边三角形△，交直线于点，，顺次这样做下去，第2020个等边三角形的边长为（ ）
A． B． C．4038 D．4040
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；一次函数的性质
【解析】【解答】解：延长交x轴于D，交x轴于E，如下图：
∵，
∴，
∵直线的解析式为 ，
∴∠BOD=30°，
对于 直线的解析式为 ，当x=0时，y=1，
∴点A坐标为（0，1），
∴OA=OB=1，
，
∴，
∴点B坐标为，
对于 ，当时，，
∴点坐标为，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴点坐标，
对于 直线的解析式为 ，当时，，
∴，
∴，
同理得：，……
以此类推，第n个等边三角形的边长为，
∴第2020个等边三角形的边长为
故答案为：A.
【分析】延长交x轴于D，交x轴于E，根据等边三角形的性质得：OA=OB，，，直线b的解析式为： ，得∠BOD=30°，由直线a的解析式 ，得第一个等边三角形的边长为1，解，得：，，把代入 求得的纵坐标，即可求得第二个等边三角形的边长，从而找出规律，按照此规律即可求得第2020个等边三角形的边长.
二、填空题
9．已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠CAB=108°，D是直线BC上一点(不与点B，C重合)，连结AD，若△ABD是等腰三角形，则∠DAC= ．
【答案】36°或126°或72°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
第一种情况，当AB=BD1时，∵∠CAB=108°，∴ ∠ABC=36°，
∵ AB=BD1，∴ ∠D1AB=∠D1=18°，∴ ∠D1AC=∠D1AB+∠CAB=126°；
第二种情况，当AB=BD2时，∵∠CAB=108°，∴ ∠ABC=36°，
∵AB=BD2，∴ ∠BAD2=72°，∴ ∠D2AC=∠CAB-∠BAD2=36°；
第三种情况，当AD3=BD3时，∵∠CAB=108°，∴ ∠ABC=36°，
∵AC=BD3，∴ ∠BAD3=36°，∴∠D3AC=∠CAB-∠BAD3=72°；
综上∠DAC=36°或126°或72°.
故答案为：36°或126°或72°.
【分析】分三种情况，画出图形，根据等腰三角形的性质分别计算即可求出.
10．（2023八上·伊宁期中）如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有 个．
【答案】8
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】如图所示
当AB=BC时，有C1和C2满足条件
当AB=AC时，有C3和C4满足条件
当AC=BC时，有C5和C6、C7、C8满足条件
综上，满足条件的C点有8个。
故填：8
【分析】根据题意，当给定边AB分别是等腰三角形的腰和底时有三种具体的情况，找到每种情况下符合条件的C的个数累加即可。
11．（2023八上·东莞期中） 如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3 …在射线ON上，点B1、B2、B3 …在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A4B4A5的边长是 ．
【答案】16
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2＝60°，B1A1＝A1A2.
∵∠MON＝30°，
∴∠OB1A1＝∠B1A1A2- ∠MON＝30°.
∴B1A1＝OA1＝2.
∴OA2＝OA1+A1A2＝OA1+B1A1＝4.
同理可得A2B2＝4=22，A3B3＝8=23，
∴△A4B4A5的边长是A4B4=24＝816.
故答案为：16.
【分析】根据等边三角形的性质得∠B1A1A2＝60°，然后根据三角形的外角的性质求得∠MON＝∠OB1A1，进而根据等角对等边和线段的和差得OA2的长，最后根据规律即可得结果.
12．（2023八上·杭州期中）如图，已知等边△ABC的边长为4，点P是边BC上一点，BP＝1，则AP＝ ，若点Q是边AC上一点，BQ＝AP，则AQ＝ ．
【答案】；3或1
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过A作AD⊥BC于D，如图：
∵为等边三角形，
∴
∴
∵
∴
在中，
过B作BH⊥AC于H，
①当点Q在线段CH之间时，连接BQ，如图：
∴
∴
∴
∴
②当点Q'在线段CH之间时，如图：
同理得：
∴
故答案为：3或1.
【分析】过A作AD⊥BC于D，根据等边三角形的性质得进而根据含30°角的直角三角形的性质即可求出AD的长，进而根据勾股定理算出AP的长；过B作BH⊥AC于H，由题意知需分两种情况，①当点Q在线段CH之间时，②当点Q'在线段CH之间时，分别根据勾股定理和线段间的数量关系即可求出AQ的长.
三、实践探究题
13．（2023八上·余姚期中）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点.
（1）特例感知
等腰直角三角形 勾股高三角形(填“是”或“不是”)；
（2）如图①，为勾股高三角形，其中为勾股顶点，是边上的高.若，试求线段的长度.
（3）深入探究
如图②，为勾股高三角形，其中为勾股顶点且，是边上的高.试探究线段与的数量关系，并给予证明.
（4）推广应用
如图③，等腰三角形为勾股高三角形，其中，为边上的高，过点向边引平行线与边交于点.若，试求线段的长度.
【答案】（1）是
（2）解：设，根据勾股定理可得：
，
∴根据题意可得：
∵
∴
（3）解：
理由如下：
根据题意可得：
∴
根据勾股定理得：
∴
即
（4）解：过点向引垂线，垂足为，
∵“勾股高三角形”为等腰三角形
且，
∴
∴由上题结论可得：
∵∥
∴
在与中
∵
∴
∴
易得与均为等腰三角形
∴
又∵，
∴
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）设等腰直角三角形的直角边长为a，则斜边长=a；
∵=
∴等腰直角三角形的两直角边的平方差等于一条直角边上高的平方
∴等腰直角三角形是勾股高三角形；
故答案为：是；
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质、勾股定理和勾股高三角形的定义解题即可；
（2）根据勾股定理，可得CB2=CD2+4，CA2=CD2+1，根据勾股高三角形的定义计算即可；
（3）根据勾股高三角形的定义、勾股定理和等量代换原则计算即可；
（4）根据勾股高三角形的定义，可得AC2-BC2=CD2，进而可得AD=BC，根据两直线平行，同位角相等，可得∠1=∠B ；从而用AAS判断出△AGD≌△CDB，得DG=BD，易得△ADE与△ABC都是等腰三角形，由等腰三角形的三线合一得ED=2GD=2BD，进而即可得ED的值.
14．（2023八上·石家庄期中） 情境学习：
（1）小明在预习时，涉及到一个知识点：“两个角相等的三角形是等腰三角形”，下面是两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.
已知：如图，在中，. 求证：.
方法一 证明：如图，作的高线AD. 图1 方法二 证明：如图，作的角平分线AD. 图2
（2）应用
如图，在中，，，AD是BC边上的高，点E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接CE交AD于点F.作且，连接AG.
①如图3，当CE是的角平分线时，求证：.
②依题意借助图4，直接写出用等式表示线段AF，BC，AG之间的数量关系的式子.
【答案】（1）解：证明：方法一：
∵的高线AD，
∴，
∵，
∴
∴；
方法二：
∵的角平分线AD，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①∵CE是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
②依题意补全图形如图所示
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：(2)②依题意补全图形如图所示
，
理由如下，
证明：过点C作交AD延长线于一点M，
∵，，AD是BC边上的高，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在与中
，
∴，
∴，
∵，
∴；
【分析】（1） 利用角平分线的定义和垂线的性质，分别根据AAS和ASA证明全等；
（2） ①根据角平分线定义和垂线的性质证明 ，根据等腰三角形的判定证明；
② 先补全图形，过点C作交AD延长线于一点M，根据等腰直角三角形的判定和性质，利用SAS证明，根据全等边三角形对应边相等进行证明。
15．（2023八下·揭东期末）已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且．
（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： （填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由． ▲ （填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作，交于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（直接写出结果）．
【答案】（1）=
（2）；
理由如下：过点E作，交于点F，
则，，，
为等边三角形，
，，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）点E在延长线上时，作，
同（2）可得则为等边三角形，
如图所示，同理可得，
∵，，
∴，
，
∵，
则．
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，E是AB的中点，
∴∠BCE=∠ACB=30°，∠ABC=60°，AE=EB，
∵ED=EC，
∴∠D=∠BCE=30°，
∵∠ABC=∠D+∠DEB，
∴∠DEB=30°，即∠D=∠DEB，
∴BD=BE，
∴BD=AE，
故答案为：=.
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠BCE=∠ACB=30°，∠ABC=60°，再利用三角形外角的性质求出∠DEB=30°，即∠D=∠DEB，利用等角对等边可得BD=BE，即得BD=AE；
（2）理由：过点E作，交于点F，先证△AEF为等边三角形，可得∠EFC=120°，AE=EF，由ED=EC及平行线的性质可得∠D=∠ECD=∠FEC，根据AAS证明△DBE≌△EFC，可得DB=EF，继而得解；
（3）点E在延长线上时，作，先证为等边三角形，再证，从而得出BF=BE=1，利用线段的和差即可求解.
1 / 1【培优卷】2024年北师大版数学八（下）1.1等腰三角形 同步练习
一、选择题
1．（2021八上·宁安期末）如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD＝5，点F是AD边上的动点，则BF＋EF的最小值为（ ）
A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定
2．（2023八上·洞口期中）如图，在中，，为的平分线，，垂足为M，且，，则（ ）．
A．10 B．7 C．8 D．9
3．（2020·宁波）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内.若求五边形DECHF的周长，则只需知道（ ）
A．△ABC的周长 B．△AFH的周长
C．四边形FBGH的周长 D．四边形ADEC的周长
4．（2023八上·海淀月考）如图，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则下列四个结论：①AP平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．其中正确的个数是 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2023八上·海淀期中）如图，中，，为中点，把纸片沿对折得到，如图，点和点分别为，上的动点，把纸片沿折叠，使得点落在的外部，如图所示．设，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2017七下·东营期末）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线一点，当PA=CQ时，连结PQ交AC于D，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八上·济南开学考）如图，∠AOB＝30°，点M，N分别是OA，OB上的动点，P为∠AOB内一点，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，MN的长为（ ）
A．6 B．12-18 C．18-18 D．12
8．（2023八下·增城期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，直线交轴于点，以为边作第一个等边三角形，交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以为边作第二个等边三角形△，交直线于点，，顺次这样做下去，第2020个等边三角形的边长为（ ）
A． B． C．4038 D．4040
二、填空题
9．已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠CAB=108°，D是直线BC上一点(不与点B，C重合)，连结AD，若△ABD是等腰三角形，则∠DAC= ．
10．（2023八上·伊宁期中）如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有 个．
11．（2023八上·东莞期中） 如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3 …在射线ON上，点B1、B2、B3 …在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A4B4A5的边长是 ．
12．（2023八上·杭州期中）如图，已知等边△ABC的边长为4，点P是边BC上一点，BP＝1，则AP＝ ，若点Q是边AC上一点，BQ＝AP，则AQ＝ ．
三、实践探究题
13．（2023八上·余姚期中）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点.
（1）特例感知
等腰直角三角形 勾股高三角形(填“是”或“不是”)；
（2）如图①，为勾股高三角形，其中为勾股顶点，是边上的高.若，试求线段的长度.
（3）深入探究
如图②，为勾股高三角形，其中为勾股顶点且，是边上的高.试探究线段与的数量关系，并给予证明.
（4）推广应用
如图③，等腰三角形为勾股高三角形，其中，为边上的高，过点向边引平行线与边交于点.若，试求线段的长度.
14．（2023八上·石家庄期中） 情境学习：
（1）小明在预习时，涉及到一个知识点：“两个角相等的三角形是等腰三角形”，下面是两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.
已知：如图，在中，. 求证：.
方法一 证明：如图，作的高线AD. 图1 方法二 证明：如图，作的角平分线AD. 图2
（2）应用
如图，在中，，，AD是BC边上的高，点E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接CE交AD于点F.作且，连接AG.
①如图3，当CE是的角平分线时，求证：.
②依题意借助图4，直接写出用等式表示线段AF，BC，AG之间的数量关系的式子.
15．（2023八下·揭东期末）已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且．
（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： （填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由． ▲ （填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作，交于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（直接写出结果）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF=CF，
∵等边△ABC中，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），
∴C和B关于直线AD对称，
∴CF=BF，即BF+EF=CF+EF，
∴当C、E、F共线且CE⊥AB时CF+EF有最小值CE，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
在△ADB和△CEB中，
，
∴△ADB≌△CEB（AAS），
∴CE=AD=5，
即BF+EF=5．
故答案为：B．
【分析】过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF=CE最小，证明△ADB≌△CEB（AAS），可得CE=AD=5，即BF+EF=5．
2．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】
解：如图延长BM，交AC于E，
∵AD平分∠BAC，BM⊥AD，
∴∠BAM＝∠EAM，∠AMB＝∠AME＝90°，
在△ABM和△AEM中，
∴△ABM≌△AEM（ASA），
∴BM＝ME=2，AE＝AB=6，∠AEB＝∠ABE，
BE=4.
是的外角.
.
=3，
，
.
故A符合题意，B，C，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】延长BM，交AC于E，由ASA易证△ABM≌△AEM得出BM＝ME，AE＝AB，∠AEB＝∠ABE，求出BE＝4，AE＝6，由得出∠EBC＝∠ACB，EC=BE=4即可求出AC.
3．【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解： ∵△BDE和△FGH是等边三角形，△BDE≌△FGH，
∴DE=FH=BE，
∴DE+EC=BE+EC=BC，FH+FD=BD+DF=BF，
∵∠EHG=60°，
∴∠AHF+∠GHC=120°，
∵∠A=60°，
∴∠AFH+∠AHF=120°，
∴∠AFH=∠GHC，
∵FH=GH，∠A=∠C，
∴△AFH≌△CHC（AAS），
∴HC=FA，
∴FH+FD+HC=BF+FA=BA，
∴五边形DECHF的周长=DE+EC+HC+FH+FD=BC+BA= △ABC的周长 ，
故答案为：A.
【分析】根据等边三角形的性质，结合全等三角形的性质和等式的性质可得DE+EC=BC，FH+FD=BF，再利用角角边定理证明△AFH≌△CHC可得HC=FA，推出FH+FD+HC=BA，最后可得五边形DECHF的周长是△ABC的周长的，据此可知答案.
4．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：
①AP平分；
即AP平分
故①结论成立
②AS＝AR；
和中
≌(HL)
AS=AR
故②结论成立
③QP∥AR
≌
AQ＝PQ
故③结论成立
④≌△QSP
△ABC为等边三角形
∴△BRP≌△QSP(AAS)
故④结论成立
综上，4个结论都正确
故答案为：D
【分析】根据等腰三角形三线合一定理可判断结论正确；根据线段所在三角形全等判定结论正确；根据全等得到对应角相等，等边对等角定理得到等角，等量代换后根据内错角相等两直线平行进行判定；通过等边三角形性质推导全等条件，由AAS定理判定全等。
5．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
，为中点，
，，
，
如图，设与交于点，
把纸片沿折叠，
，
∵，
，
，
，
，
，
∵，
∴，
由图可知，
．
故答案为：A.
【分析】结合图形，根据等腰三角形的性质，折叠的性质以及四边形的内角和等计算求解即可。
6．【答案】A
【知识点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ．
∵在△PFD和△QCD中，
∠PDF＝∠QDC，∠PFD＝∠QCD，PF＝CQ，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DE= AC，
∵AC=1，
∴DE= ．
故答案为：A.
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
7．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA，PN=DN，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=6，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=6，
∵∠POC=∠POD，
∴OP⊥CD，OQ=6×，
∴PQ=，
设MQ=x，则PM=CM=3-x，
∴（3-x）2-x2=（6-）2，
解得：x=，
∴MN=2x=12-18，
故答案为：B.
【分析】先作出图象，证出△COD是等边三角形，可得CD=OC=OD=6，再求出PQ=，设MQ=x，则PM=CM=3-x，利用勾股定理可得（3-x）2-x2=（6-）2，求出x的值，再求出MN的长即可.
8．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；一次函数的性质
【解析】【解答】解：延长交x轴于D，交x轴于E，如下图：
∵，
∴，
∵直线的解析式为 ，
∴∠BOD=30°，
对于 直线的解析式为 ，当x=0时，y=1，
∴点A坐标为（0，1），
∴OA=OB=1，
，
∴，
∴点B坐标为，
对于 ，当时，，
∴点坐标为，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴点坐标，
对于 直线的解析式为 ，当时，，
∴，
∴，
同理得：，……
以此类推，第n个等边三角形的边长为，
∴第2020个等边三角形的边长为
故答案为：A.
【分析】延长交x轴于D，交x轴于E，根据等边三角形的性质得：OA=OB，，，直线b的解析式为： ，得∠BOD=30°，由直线a的解析式 ，得第一个等边三角形的边长为1，解，得：，，把代入 求得的纵坐标，即可求得第二个等边三角形的边长，从而找出规律，按照此规律即可求得第2020个等边三角形的边长.
9．【答案】36°或126°或72°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
第一种情况，当AB=BD1时，∵∠CAB=108°，∴ ∠ABC=36°，
∵ AB=BD1，∴ ∠D1AB=∠D1=18°，∴ ∠D1AC=∠D1AB+∠CAB=126°；
第二种情况，当AB=BD2时，∵∠CAB=108°，∴ ∠ABC=36°，
∵AB=BD2，∴ ∠BAD2=72°，∴ ∠D2AC=∠CAB-∠BAD2=36°；
第三种情况，当AD3=BD3时，∵∠CAB=108°，∴ ∠ABC=36°，
∵AC=BD3，∴ ∠BAD3=36°，∴∠D3AC=∠CAB-∠BAD3=72°；
综上∠DAC=36°或126°或72°.
故答案为：36°或126°或72°.
【分析】分三种情况，画出图形，根据等腰三角形的性质分别计算即可求出.
10．【答案】8
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】如图所示
当AB=BC时，有C1和C2满足条件
当AB=AC时，有C3和C4满足条件
当AC=BC时，有C5和C6、C7、C8满足条件
综上，满足条件的C点有8个。
故填：8
【分析】根据题意，当给定边AB分别是等腰三角形的腰和底时有三种具体的情况，找到每种情况下符合条件的C的个数累加即可。
11．【答案】16
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2＝60°，B1A1＝A1A2.
∵∠MON＝30°，
∴∠OB1A1＝∠B1A1A2- ∠MON＝30°.
∴B1A1＝OA1＝2.
∴OA2＝OA1+A1A2＝OA1+B1A1＝4.
同理可得A2B2＝4=22，A3B3＝8=23，
∴△A4B4A5的边长是A4B4=24＝816.
故答案为：16.
【分析】根据等边三角形的性质得∠B1A1A2＝60°，然后根据三角形的外角的性质求得∠MON＝∠OB1A1，进而根据等角对等边和线段的和差得OA2的长，最后根据规律即可得结果.
12．【答案】；3或1
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过A作AD⊥BC于D，如图：
∵为等边三角形，
∴
∴
∵
∴
在中，
过B作BH⊥AC于H，
①当点Q在线段CH之间时，连接BQ，如图：
∴
∴
∴
∴
②当点Q'在线段CH之间时，如图：
同理得：
∴
故答案为：3或1.
【分析】过A作AD⊥BC于D，根据等边三角形的性质得进而根据含30°角的直角三角形的性质即可求出AD的长，进而根据勾股定理算出AP的长；过B作BH⊥AC于H，由题意知需分两种情况，①当点Q在线段CH之间时，②当点Q'在线段CH之间时，分别根据勾股定理和线段间的数量关系即可求出AQ的长.
13．【答案】（1）是
（2）解：设，根据勾股定理可得：
，
∴根据题意可得：
∵
∴
（3）解：
理由如下：
根据题意可得：
∴
根据勾股定理得：
∴
即
（4）解：过点向引垂线，垂足为，
∵“勾股高三角形”为等腰三角形
且，
∴
∴由上题结论可得：
∵∥
∴
在与中
∵
∴
∴
易得与均为等腰三角形
∴
又∵，
∴
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）设等腰直角三角形的直角边长为a，则斜边长=a；
∵=
∴等腰直角三角形的两直角边的平方差等于一条直角边上高的平方
∴等腰直角三角形是勾股高三角形；
故答案为：是；
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质、勾股定理和勾股高三角形的定义解题即可；
（2）根据勾股定理，可得CB2=CD2+4，CA2=CD2+1，根据勾股高三角形的定义计算即可；
（3）根据勾股高三角形的定义、勾股定理和等量代换原则计算即可；
（4）根据勾股高三角形的定义，可得AC2-BC2=CD2，进而可得AD=BC，根据两直线平行，同位角相等，可得∠1=∠B ；从而用AAS判断出△AGD≌△CDB，得DG=BD，易得△ADE与△ABC都是等腰三角形，由等腰三角形的三线合一得ED=2GD=2BD，进而即可得ED的值.
14．【答案】（1）解：证明：方法一：
∵的高线AD，
∴，
∵，
∴
∴；
方法二：
∵的角平分线AD，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①∵CE是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
②依题意补全图形如图所示
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：(2)②依题意补全图形如图所示
，
理由如下，
证明：过点C作交AD延长线于一点M，
∵，，AD是BC边上的高，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在与中
，
∴，
∴，
∵，
∴；
【分析】（1） 利用角平分线的定义和垂线的性质，分别根据AAS和ASA证明全等；
（2） ①根据角平分线定义和垂线的性质证明 ，根据等腰三角形的判定证明；
② 先补全图形，过点C作交AD延长线于一点M，根据等腰直角三角形的判定和性质，利用SAS证明，根据全等边三角形对应边相等进行证明。
15．【答案】（1）=
（2）；
理由如下：过点E作，交于点F，
则，，，
为等边三角形，
，，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）点E在延长线上时，作，
同（2）可得则为等边三角形，
如图所示，同理可得，
∵，，
∴，
，
∵，
则．
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，E是AB的中点，
∴∠BCE=∠ACB=30°，∠ABC=60°，AE=EB，
∵ED=EC，
∴∠D=∠BCE=30°，
∵∠ABC=∠D+∠DEB，
∴∠DEB=30°，即∠D=∠DEB，
∴BD=BE，
∴BD=AE，
故答案为：=.
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠BCE=∠ACB=30°，∠ABC=60°，再利用三角形外角的性质求出∠DEB=30°，即∠D=∠DEB，利用等角对等边可得BD=BE，即得BD=AE；
（2）理由：过点E作，交于点F，先证△AEF为等边三角形，可得∠EFC=120°，AE=EF，由ED=EC及平行线的性质可得∠D=∠ECD=∠FEC，根据AAS证明△DBE≌△EFC，可得DB=EF，继而得解；
（3）点E在延长线上时，作，先证为等边三角形，再证，从而得出BF=BE=1，利用线段的和差即可求解.
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