【提升卷】2024年北师大版数学八（下）1.1等腰三角形 同步练习
一、选择题
1．（2023八下·渠县月考）如图，AD是等边的中线，，则的度数为（ ）
A．30° B．20° C．25° D．15°
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AD是等边△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC=30°，
∴∠ADC=90°，
∵AE=AD，
∴∠ADE=∠AED=（180°-30°）=75°，
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°.
故答案为：D.
【分析】根据等边三角形的三线合一得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC=30°，进而根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得∠ADE=∠AED=（180°-30°）=75°，最后根据∠EDC=∠ADC-∠ADE即可算出答案.
2．（2022八下·丹东期末）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE 分别是∠ABC、∠ACB 的平分线，则图中的等腰三角形有（ ）
A．5 个 B．6 个 C．7 个 D．8 个
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=，
∵BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=∠BCE=∠A=36°，
∴AE=CE，AD=BD，BO=CO，
∴△ABC，△ABD，△ACE，△BOC是等腰三角形，
∵∠BEC=180°-∠ABC-∠BCE=72°，∠CDB=180°-∠BCD-∠CBD=72°，
∠EOB=∠DOC=∠CBD+∠BCE=72°，
∴∠BEO=∠BOE=∠ABC=∠ACB=∠CDO=∠COD=72°，
∴BE=BO，CO=CD，BC=BD=CE，
∴△BEO，△CDO，△BCD，△CBE是等腰三角形．
∴图中的等腰三角形有8个．
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的判定方法求解即可。
3．（2022八下·萍乡期末）如图的网格中，点A、B在格点上，在网格上找到点C，使为等腰三角形，这样的点C共有（ ）
A．8个 B．9个 C．10个 D．11个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AB=，如图所示：
∴①若BA=AC，则符合要求的有：C1，C2共2个点；
②若CB=AC，则符合要求的有：C3，C4共2个点；
③若CA=CB，则符合要求的有：C5，C6，C7，C8，C9，C10共6个点，
这样的C点有10个．
故答案为：C．
【分析】先求出AB=，再结合图形，分类讨论计算求解即可。
4．（2022八下·本溪期末）如图，在中，，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线，交于点F，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接，，，
由作图可得，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】连接，，，根据题意可得，，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和求出，然后根据等边对等角的性质可得，最后利用角的运算可得。
5．（2023八下·连平期末）如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，点是上的一个动点，当最小时，的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接BE交AD于点P，此时PC+PE最小，
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE=BE，即BE是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，
∴∠EBC=∠ABC=30°，
∴∠PBC=∠PCB=30°，
∴∠EPC=∠PBC+∠PCB=60°.
故答案为：C.
【分析】连接BE，根据轴对称的性质可得BE是PE+PC的最小值，且PC=PB，再根据等腰三角形的三线合一可得∠EBC=∠ABC=30°，进而根据三角形外角性质可算出答案.
6．（2023八下·南宁月考）如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是线段AD上的动点，E是AC边上一点. 若AE=2，当EF＋CF取得最小值时，∠ECF的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．45°
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过E作EM∥BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是边上的中线，是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴E和M关于AD对称，
则此时EF+CF的值最小，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：C.
【分析】过E作EM∥BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，易得点E是AC的中点，根据三角形中位线定理得出点M也是AB的中点，推出点E和M关于AD对称，此时EF+CF的值最小，进而根据等边三角形的三线合一即可解决问题.
7．（2023八下·菏泽月考）已知点C在线段上，分别以、为边作等边三角形和等边三角形，、相交于点O，连接与相交于点N，连接与相交于点M，连接、，则①；②；③；④是等边三角形；⑤平分；⑥；以上结论正确的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：和都是等边三角形，
，，，
，
，
，故①符合题意；
，
又，
，
，故③符合题意；
，，，
，故②符合题意；
，
又，
是等边三角形，故④符合题意；
如图，过C作，，
，
中边上的高与中边上的高对应相等，
即，
点C在的角平分线上，
即平分，故⑤符合题意；
如图，在上截取，则是等边三角形，
，，
又，，
，
，
，故⑥符合题意；
故答案为：D．
【分析】结合图形，利用全等三角形的判定与性质对每个结论一一判断即可。
8．（2023八下·江北期末）用反证法证明“在中，若，则”时，以下三个步骤正确的排列顺序是（ ）
步骤如下：
①假设在△ABC中，∠B≥90° .
②因此假设不成立，：∴∠B<90°.
③由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，∴∠A+∠B+∠C> 180°，这与“三角形三个内角的和等于180°”产生矛盾.
A．①③② B．①②③ C．③①② D．③②①
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【解答】解：由题意知，第2步是反证法的结论，
∴排除B和D选项，
所以B和D选项，错误.
∵第3步既有原因又有结果，不能作为假设的结果，
∴C选项错误.
故答案为：A.
【分析】根据反证法的一般步骤即可求出，一般步骤为：假设命题成立；根据假设出发，推理论证，得出矛盾；由矛盾判断假设不成立，原命题正确.
二、填空题
9．（2023八下·长春期末）如图，已知A（4，0），B（4，4），直线y＝kx+4与x轴正半轴交于点C，与y轴交于点D，将线段CD绕着点C顺时针旋转90°，点D落在点E处，连接AE，BE，若△AEB为等腰三角形，则k的值为_ ．
【答案】-2
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
过点E作EF⊥AB于F，作EM⊥X轴于M
∵ 点A（4，0），点B（4，4）
∴ AB=4，AB⊥X轴
∴ 四边形AFEM为矩形
∵△AEB为等腰三角形
∴ EM=AF=2
∵将线段CD绕着点C顺时针旋转90°
∴ ∠DCE=90°
∴ ∠OCD+∠ECM= ∠OCD+∠ODC=90°
∴ ∠ODC=∠ECM
∵ DC=EC
∴
∴ OC=ME=2
则点C（2，0）
∵直线y＝kx+4与x轴正半轴交于点C，
∴ 2k+4=0
解得k=-2
故答案为：k=-2.
【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形全等的判定（一线三等角模型）、矩形的性质和待定系数法求函数解析式。等腰三角形三线合一的性质很重要。“一线三等角”模型如图所示：
有∠B=∠ACD=∠E=90°，AC=DC，则有，BE=AB+DE.熟练掌握一些经典模型很重要。
10．（2023八下·二道期末）如图，等边中，点是边的中点，的平分线交边于点，，点是线段上的任意一点，连接、，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；等边三角形的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，CD为∠BCA的角平分线，
∴DB=DA=1，BA⊥DC，
∴AB关于DC对称，
∴BA=BC=AC=2，
连接PB，QB，如图所示：
∴PA=PB，
∴=PB+QP≥QB，
∴的最小值为QB的长，
∵点是边的中点，
∴QC=1，
由勾股定理得
故答案为：
【分析】先根据等边三角形的性质结合角平分线的性质即可得到DB=DA=1，BA⊥DC，进而得到AB关于DC对称，BA=BC=AC=2，连接PB，QB，进而根据轴对称-最短路径问题即可得到的最小值为QB的长，再结合题意运用勾股定理即可求解。
11．（2023八下·正定期中）如图，等边三角形的顶点，，则点C的坐标为 ；若规定把等边“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，则这样连续经过2023次变换后，等边的顶点C的坐标为 ．
【答案】；
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB，
∵，，
∴AB=2，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=CB=2，AD=1，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，
∴点C的坐标为，
∵规定把等边“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，
一次变换后C1为；
二次变换后C2为；
三次变换后C3为......
∴连续经过2023次变换后，C坐标变为，
故答案为：；
【分析】先根据等边三角形的性质结合勾股定理求出点C的坐标，再根据题意进行翻折变换，进而即可得到规律求解。
12．（2022八下·兰溪月考）如图，已知AGCF，AB⊥CF，垂足为 B，AB=BC=3 ，点 P 是射线AG 上的动点 （点 P 不与点 A 重合），点 Q是线段 CB上的动点，点 D是线段 AB的中点，连接 PD 并延长交BF于点 E，连接PQ，设AP=2t ，CQ=t，当△PQE 是以 PE为腰的等腰三角形时，t的值为 .
【答案】或
【知识点】一元二次方程的其他应用；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，如图，
∵，AB⊥CF，
∴AB⊥AG，
∴∠GAB=∠ABF=90°，
∵D点为AB中点，
∴AD=BD，
∴结合∠ADP=∠BDE可得△APD≌△BED，
∴AP=BE，
∵AP=2t，
∴BE=2t，
∴E点坐标为(2t，0)，
∵AB=BC=3，
∴CQ=t，即BQ=3-t，P点坐标为(-2t，3)，C点坐标为(-3，0)，A点坐标为(0，3)，
∴Q点坐标为(t-3，0)，
∵Q点在线段BC上，P点不与A点重合，
∴0＜t＜3，
∵BE=2t，BQ=3-t，
∴QE=BQ+EB=3+t，
∴利用勾股定理有：，，，
根据△PQE是以为腰的等腰三角形，分类讨论：
当PQ=PE时，有，
整理：，
解得（负值舍去），
当QE=PE时，有，
整理：，
解得（0舍去），
综上所述：t的值可以为，.
故答案为：，.
【分析】以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，如图，证明△APD≌△BED，可得BE=AP=2t，即得E点坐标为(2t，0)，CQ=t，即BQ=3-t，P(-2t，3)，C(-3，0)，A(0，3)，从而求出Q(t-3，0)，由Q点在线段BC上，P点不与A点重合，可得0＜t＜3，从而求出QE=BQ+EB=3+t，利用勾股定理求，，根据△PQE是以为腰的等腰三角形，分两种情况：①当PQ=PE时，②当QE=PE时，据此分别列出方程并解之即可.
三、综合题
13．（2023八下·高州月考）如图，已知在中，，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为t，连接．
（1）当秒时，求的长度；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
（3）过点D作于点E，连接，在点P的运动过程中，当平分时，直接写出t的值．
【答案】（1）解：根据题意，得 BP=2t ，
∴ ，
在 中， ，
由勾股定理，得 ；
（2）解：在 中， ，
由勾股定理，得 ．
若 ，则 ，解得 ；
若 ，则 ， ，解得 ；
若 ，则 ，解得 ．
答：当 为等腰三角形时，t的值为 、16、5；
（3）解：①点P在线段 BC 上时，过点D作 于E，如图1所示：
则 ，
∴ ，
∵ PD 平分 ，
∴ ，
又∵ PD=PD ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ；
②点P在线段 BC 的延长线上时，过点D作 于E，如图2所示：
同①得： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ；
综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，PD平分 ．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据题意得BP=2t，则PC=16-2t=16-2×3=10，然后利用勾股定理就可求出AP；
（2）由勾股定理可得AB的值，然后分BP=AB、AP=AB、PB=PA，求解可得t的值；
（3）①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，根据角平分线的概念可得∠EPD=∠CPD，利用AAS证明△PDE≌△PDC，得到ED=CD=3，PE=PC=16-2t，则AD=AC-CD=5，由勾股定理可得AE，然后根据AP=AE+PE可得AP，在Rt△APC中，利用勾股定理可得t的值；②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，同理进行求解.
14．（2023八下·常平期中）是等边三角形，点是边上动点，，把沿对折，得到．
（1）如图1，若，则 ．
（2）如图2，点在延长线上，且．
①连接，试探究，，之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．
②连接，若，，三点共线，，，求的长．
【答案】（1）30
（2）解：①，理由如下：
在上取一点，使得，连接，
是等边三角形，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
；
②由折叠的性质可知，，，
，，
，
在和中，
，
，
，
由①可知，，
，，
，
，
，，三点共线，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（1）解：是等边三角形，
，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
故答案为：30；
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，由折叠的性质可知，，进而求出；
（2）① 在上取一点，使得，连接， 根据等边三角形的性质证明， 再证 是等边三角形， 进而可证结论； ②由折叠的性质可证 ， 根据①的结论进行求解即可。
15．（2023八下·顺德期末）如图，是等边三角形，，点F是的平分线上一动点，将线段绕点A顺时针方向旋转得到，连接、．
（1）尺规作图：在的上方找点D，使得且；
（2）在（1）的条件下，连接．
①求证：；
②求证：是等边三角形；
③当是等腰三角形时，求的长度？
【答案】（1）解：如图1，点即为所求；
（2）解：①证明：如图2，连接、，记与的交点为，与的交点为，
由（1）可知，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
由题意知，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴；
②由①可证是等边三角形；
③解：由题意知，，，当是等腰三角形时，分 ，，，三种情况求解：
情况一、当时，
∴，
∵，
∴此情况不成立；
情况二、当时，，
∴；
情况三、当时，，如图3，记与交点为，
则，，，
由勾股定理得，
∴，解得，
∴；
综上所述，当是等腰三角形时，的值为或1．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；尺规作图-垂线；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用尺规作图作ME⊥AF，再在DM上截取DE=AC，画出图形即可.
（2）①连接AD，DE与AC交于点N，DF与AC交于点H，利用等边三角形的性质可求出∠CAF=30°，利用旋转的性质可知△AEF是等边三角形，可推出∠CAF=∠DEF=30°，利用SAS证明△CAF≌△DEF，利用全等三角形的性质可得到CF=DF，∠ACF=∠EDF；再证明∠DFC=∠DNH=60°，可推出△CDF是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到CD=CF，然后利用三角形的内角和定理可证得结论； ② 由①可知△CDF是等边三角形；③根据题意可知∠DEF=30°，∠AFE=60°，利用等腰三角形的性质，分情况讨论：当DE=DF时；当DE=EF时，可求出AF的长；当DF=EF时；分别设AF与DE的交点为点P，可求出EP的长，利用勾股定理求出PF的长，即可求出AF的长；综上所述可得到符合题意的AF的值.
1 / 1【提升卷】2024年北师大版数学八（下）1.1等腰三角形 同步练习
一、选择题
1．（2023八下·渠县月考）如图，AD是等边的中线，，则的度数为（ ）
A．30° B．20° C．25° D．15°
2．（2022八下·丹东期末）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE 分别是∠ABC、∠ACB 的平分线，则图中的等腰三角形有（ ）
A．5 个 B．6 个 C．7 个 D．8 个
3．（2022八下·萍乡期末）如图的网格中，点A、B在格点上，在网格上找到点C，使为等腰三角形，这样的点C共有（ ）
A．8个 B．9个 C．10个 D．11个
4．（2022八下·本溪期末）如图，在中，，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线，交于点F，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八下·连平期末）如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，点是上的一个动点，当最小时，的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八下·南宁月考）如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是线段AD上的动点，E是AC边上一点. 若AE=2，当EF＋CF取得最小值时，∠ECF的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．45°
7．（2023八下·菏泽月考）已知点C在线段上，分别以、为边作等边三角形和等边三角形，、相交于点O，连接与相交于点N，连接与相交于点M，连接、，则①；②；③；④是等边三角形；⑤平分；⑥；以上结论正确的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
8．（2023八下·江北期末）用反证法证明“在中，若，则”时，以下三个步骤正确的排列顺序是（ ）
步骤如下：
①假设在△ABC中，∠B≥90° .
②因此假设不成立，：∴∠B<90°.
③由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，∴∠A+∠B+∠C> 180°，这与“三角形三个内角的和等于180°”产生矛盾.
A．①③② B．①②③ C．③①② D．③②①
二、填空题
9．（2023八下·长春期末）如图，已知A（4，0），B（4，4），直线y＝kx+4与x轴正半轴交于点C，与y轴交于点D，将线段CD绕着点C顺时针旋转90°，点D落在点E处，连接AE，BE，若△AEB为等腰三角形，则k的值为_ ．
10．（2023八下·二道期末）如图，等边中，点是边的中点，的平分线交边于点，，点是线段上的任意一点，连接、，则的最小值为 ．
11．（2023八下·正定期中）如图，等边三角形的顶点，，则点C的坐标为 ；若规定把等边“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，则这样连续经过2023次变换后，等边的顶点C的坐标为 ．
12．（2022八下·兰溪月考）如图，已知AGCF，AB⊥CF，垂足为 B，AB=BC=3 ，点 P 是射线AG 上的动点 （点 P 不与点 A 重合），点 Q是线段 CB上的动点，点 D是线段 AB的中点，连接 PD 并延长交BF于点 E，连接PQ，设AP=2t ，CQ=t，当△PQE 是以 PE为腰的等腰三角形时，t的值为 .
三、综合题
13．（2023八下·高州月考）如图，已知在中，，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为t，连接．
（1）当秒时，求的长度；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
（3）过点D作于点E，连接，在点P的运动过程中，当平分时，直接写出t的值．
14．（2023八下·常平期中）是等边三角形，点是边上动点，，把沿对折，得到．
（1）如图1，若，则 ．
（2）如图2，点在延长线上，且．
①连接，试探究，，之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．
②连接，若，，三点共线，，，求的长．
15．（2023八下·顺德期末）如图，是等边三角形，，点F是的平分线上一动点，将线段绕点A顺时针方向旋转得到，连接、．
（1）尺规作图：在的上方找点D，使得且；
（2）在（1）的条件下，连接．
①求证：；
②求证：是等边三角形；
③当是等腰三角形时，求的长度？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AD是等边△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC=30°，
∴∠ADC=90°，
∵AE=AD，
∴∠ADE=∠AED=（180°-30°）=75°，
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°.
故答案为：D.
【分析】根据等边三角形的三线合一得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC=30°，进而根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得∠ADE=∠AED=（180°-30°）=75°，最后根据∠EDC=∠ADC-∠ADE即可算出答案.
2．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=，
∵BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=∠BCE=∠A=36°，
∴AE=CE，AD=BD，BO=CO，
∴△ABC，△ABD，△ACE，△BOC是等腰三角形，
∵∠BEC=180°-∠ABC-∠BCE=72°，∠CDB=180°-∠BCD-∠CBD=72°，
∠EOB=∠DOC=∠CBD+∠BCE=72°，
∴∠BEO=∠BOE=∠ABC=∠ACB=∠CDO=∠COD=72°，
∴BE=BO，CO=CD，BC=BD=CE，
∴△BEO，△CDO，△BCD，△CBE是等腰三角形．
∴图中的等腰三角形有8个．
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的判定方法求解即可。
3．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AB=，如图所示：
∴①若BA=AC，则符合要求的有：C1，C2共2个点；
②若CB=AC，则符合要求的有：C3，C4共2个点；
③若CA=CB，则符合要求的有：C5，C6，C7，C8，C9，C10共6个点，
这样的C点有10个．
故答案为：C．
【分析】先求出AB=，再结合图形，分类讨论计算求解即可。
4．【答案】D
【知识点】角的运算；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接，，，
由作图可得，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】连接，，，根据题意可得，，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和求出，然后根据等边对等角的性质可得，最后利用角的运算可得。
5．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接BE交AD于点P，此时PC+PE最小，
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE=BE，即BE是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，
∴∠EBC=∠ABC=30°，
∴∠PBC=∠PCB=30°，
∴∠EPC=∠PBC+∠PCB=60°.
故答案为：C.
【分析】连接BE，根据轴对称的性质可得BE是PE+PC的最小值，且PC=PB，再根据等腰三角形的三线合一可得∠EBC=∠ABC=30°，进而根据三角形外角性质可算出答案.
6．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过E作EM∥BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是边上的中线，是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴E和M关于AD对称，
则此时EF+CF的值最小，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：C.
【分析】过E作EM∥BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，易得点E是AC的中点，根据三角形中位线定理得出点M也是AB的中点，推出点E和M关于AD对称，此时EF+CF的值最小，进而根据等边三角形的三线合一即可解决问题.
7．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：和都是等边三角形，
，，，
，
，
，故①符合题意；
，
又，
，
，故③符合题意；
，，，
，故②符合题意；
，
又，
是等边三角形，故④符合题意；
如图，过C作，，
，
中边上的高与中边上的高对应相等，
即，
点C在的角平分线上，
即平分，故⑤符合题意；
如图，在上截取，则是等边三角形，
，，
又，，
，
，
，故⑥符合题意；
故答案为：D．
【分析】结合图形，利用全等三角形的判定与性质对每个结论一一判断即可。
8．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【解答】解：由题意知，第2步是反证法的结论，
∴排除B和D选项，
所以B和D选项，错误.
∵第3步既有原因又有结果，不能作为假设的结果，
∴C选项错误.
故答案为：A.
【分析】根据反证法的一般步骤即可求出，一般步骤为：假设命题成立；根据假设出发，推理论证，得出矛盾；由矛盾判断假设不成立，原命题正确.
9．【答案】-2
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
过点E作EF⊥AB于F，作EM⊥X轴于M
∵ 点A（4，0），点B（4，4）
∴ AB=4，AB⊥X轴
∴ 四边形AFEM为矩形
∵△AEB为等腰三角形
∴ EM=AF=2
∵将线段CD绕着点C顺时针旋转90°
∴ ∠DCE=90°
∴ ∠OCD+∠ECM= ∠OCD+∠ODC=90°
∴ ∠ODC=∠ECM
∵ DC=EC
∴
∴ OC=ME=2
则点C（2，0）
∵直线y＝kx+4与x轴正半轴交于点C，
∴ 2k+4=0
解得k=-2
故答案为：k=-2.
【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形全等的判定（一线三等角模型）、矩形的性质和待定系数法求函数解析式。等腰三角形三线合一的性质很重要。“一线三等角”模型如图所示：
有∠B=∠ACD=∠E=90°，AC=DC，则有，BE=AB+DE.熟练掌握一些经典模型很重要。
10．【答案】
【知识点】角平分线的性质；等边三角形的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，CD为∠BCA的角平分线，
∴DB=DA=1，BA⊥DC，
∴AB关于DC对称，
∴BA=BC=AC=2，
连接PB，QB，如图所示：
∴PA=PB，
∴=PB+QP≥QB，
∴的最小值为QB的长，
∵点是边的中点，
∴QC=1，
由勾股定理得
故答案为：
【分析】先根据等边三角形的性质结合角平分线的性质即可得到DB=DA=1，BA⊥DC，进而得到AB关于DC对称，BA=BC=AC=2，连接PB，QB，进而根据轴对称-最短路径问题即可得到的最小值为QB的长，再结合题意运用勾股定理即可求解。
11．【答案】；
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB，
∵，，
∴AB=2，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=CB=2，AD=1，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，
∴点C的坐标为，
∵规定把等边“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，
一次变换后C1为；
二次变换后C2为；
三次变换后C3为......
∴连续经过2023次变换后，C坐标变为，
故答案为：；
【分析】先根据等边三角形的性质结合勾股定理求出点C的坐标，再根据题意进行翻折变换，进而即可得到规律求解。
12．【答案】或
【知识点】一元二次方程的其他应用；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，如图，
∵，AB⊥CF，
∴AB⊥AG，
∴∠GAB=∠ABF=90°，
∵D点为AB中点，
∴AD=BD，
∴结合∠ADP=∠BDE可得△APD≌△BED，
∴AP=BE，
∵AP=2t，
∴BE=2t，
∴E点坐标为(2t，0)，
∵AB=BC=3，
∴CQ=t，即BQ=3-t，P点坐标为(-2t，3)，C点坐标为(-3，0)，A点坐标为(0，3)，
∴Q点坐标为(t-3，0)，
∵Q点在线段BC上，P点不与A点重合，
∴0＜t＜3，
∵BE=2t，BQ=3-t，
∴QE=BQ+EB=3+t，
∴利用勾股定理有：，，，
根据△PQE是以为腰的等腰三角形，分类讨论：
当PQ=PE时，有，
整理：，
解得（负值舍去），
当QE=PE时，有，
整理：，
解得（0舍去），
综上所述：t的值可以为，.
故答案为：，.
【分析】以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，如图，证明△APD≌△BED，可得BE=AP=2t，即得E点坐标为(2t，0)，CQ=t，即BQ=3-t，P(-2t，3)，C(-3，0)，A(0，3)，从而求出Q(t-3，0)，由Q点在线段BC上，P点不与A点重合，可得0＜t＜3，从而求出QE=BQ+EB=3+t，利用勾股定理求，，根据△PQE是以为腰的等腰三角形，分两种情况：①当PQ=PE时，②当QE=PE时，据此分别列出方程并解之即可.
13．【答案】（1）解：根据题意，得 BP=2t ，
∴ ，
在 中， ，
由勾股定理，得 ；
（2）解：在 中， ，
由勾股定理，得 ．
若 ，则 ，解得 ；
若 ，则 ， ，解得 ；
若 ，则 ，解得 ．
答：当 为等腰三角形时，t的值为 、16、5；
（3）解：①点P在线段 BC 上时，过点D作 于E，如图1所示：
则 ，
∴ ，
∵ PD 平分 ，
∴ ，
又∵ PD=PD ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ；
②点P在线段 BC 的延长线上时，过点D作 于E，如图2所示：
同①得： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ；
综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，PD平分 ．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据题意得BP=2t，则PC=16-2t=16-2×3=10，然后利用勾股定理就可求出AP；
（2）由勾股定理可得AB的值，然后分BP=AB、AP=AB、PB=PA，求解可得t的值；
（3）①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，根据角平分线的概念可得∠EPD=∠CPD，利用AAS证明△PDE≌△PDC，得到ED=CD=3，PE=PC=16-2t，则AD=AC-CD=5，由勾股定理可得AE，然后根据AP=AE+PE可得AP，在Rt△APC中，利用勾股定理可得t的值；②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，同理进行求解.
14．【答案】（1）30
（2）解：①，理由如下：
在上取一点，使得，连接，
是等边三角形，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
；
②由折叠的性质可知，，，
，，
，
在和中，
，
，
，
由①可知，，
，，
，
，
，，三点共线，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（1）解：是等边三角形，
，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
故答案为：30；
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，由折叠的性质可知，，进而求出；
（2）① 在上取一点，使得，连接， 根据等边三角形的性质证明， 再证 是等边三角形， 进而可证结论； ②由折叠的性质可证 ， 根据①的结论进行求解即可。
15．【答案】（1）解：如图1，点即为所求；
（2）解：①证明：如图2，连接、，记与的交点为，与的交点为，
由（1）可知，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
由题意知，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴；
②由①可证是等边三角形；
③解：由题意知，，，当是等腰三角形时，分 ，，，三种情况求解：
情况一、当时，
∴，
∵，
∴此情况不成立；
情况二、当时，，
∴；
情况三、当时，，如图3，记与交点为，
则，，，
由勾股定理得，
∴，解得，
∴；
综上所述，当是等腰三角形时，的值为或1．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；尺规作图-垂线；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用尺规作图作ME⊥AF，再在DM上截取DE=AC，画出图形即可.
（2）①连接AD，DE与AC交于点N，DF与AC交于点H，利用等边三角形的性质可求出∠CAF=30°，利用旋转的性质可知△AEF是等边三角形，可推出∠CAF=∠DEF=30°，利用SAS证明△CAF≌△DEF，利用全等三角形的性质可得到CF=DF，∠ACF=∠EDF；再证明∠DFC=∠DNH=60°，可推出△CDF是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到CD=CF，然后利用三角形的内角和定理可证得结论； ② 由①可知△CDF是等边三角形；③根据题意可知∠DEF=30°，∠AFE=60°，利用等腰三角形的性质，分情况讨论：当DE=DF时；当DE=EF时，可求出AF的长；当DF=EF时；分别设AF与DE的交点为点P，可求出EP的长，利用勾股定理求出PF的长，即可求出AF的长；综上所述可得到符合题意的AF的值.
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