【基础卷】2024年北师大版数学八（下）1.2直角三角形 同步练习
一、选择题
1．（2023八上·黄陂期中）一个三角形的三个内角度数之比为，则这个三角形是（ ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【答案】B
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵180°÷（2+5+7）=
∴×7=90°
∴三角形为直角三角形
故答案为：B.
【分析】有一个角为90°的三角形为直角三角形.
2．如图，在Rt中，CD是斜边AB上的中线，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴BD=CD=AD，
∴∠A=∠DCA=26°，
∴∠BDC=∠A+∠DCA=26°+26°=52°．
故选：C．
【分析】考查直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的两个内角和等于和它不相邻的一个外角。
3．（2023八上·深圳期中）下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A=∠B+∠C B．a：b：c=5：12：I3
C．a2=(b+c)(b-c) D．∠A：∠B：∠C= 3：4：5
【答案】D
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：A、三角形的内角和是，∠A+∠B+∠C=，当∠A=∠B+∠C时，2∠A=，所以∠A=， △ABC 是直角三角形，A不符合题意；
B、三角形三条边设为5x，12x和13x，+=，根据勾股定理的逆向证明△ABC 是直角三角形，B不符合题意；
C、 a2=(b+c)(b-c)=-=+，根据勾股定理的逆向证明△ABC 是直角三角形，C不符合题意；
D、三角形的内角和是，∠A+∠B+∠C=， ∠A：∠B：∠C= 3：4：5 ，可以得到∠A=，∠B=，∠C=，△ABC 不是直角三角形，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形的判定规则，有一个是直角的三角形或者三角形的三条边满足勾股定理的就是直角三角形.
4．（2020七下·长沙期末）在一个直角三角形中，有一个锐角等于 ，则另一个锐角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在一个直角三角形中，有一个锐角等于25°，
∴另一个锐角的度数是90°-25°=65°.
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的的两个锐角互余的性质解答即可.
5．（2024八上·榆阳期末）下列各组数中，以它们为边长能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．1，2， C．2，2， D．，，
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A选项：，不能构成直角三角形，故选项A错误；
B选项：，不能构成直角三角形，故选项B错误；
C选项：，可以构成直角三角形，故选项C正确；
D选项：，不能构成直角三角形，故选项D错误．
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理逆定理：若两条短边的平方和等于最长边的平方，该三角形为直角三角形，否则不是直角三角形，据此逐项判断即可．
6．（2023七下·莲湖月考）在中，，，，（ ）
A．40° B．50° C．45° D．60°
【答案】A
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：A.
【分析】本题考查了直角三角形的性质，利用角之间的数量关系求的度数.
7．（2019八上·合肥月考）两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．一个锐角对应相等 B．一条边对应相等
C．两条直角边对应相等 D．两个角对应相等
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：A、一个锐角对应相等，不能判定两个直角三角形全等，故此选项错误；
B、一条边对应相等，不能判定两个直角三角形全等，故此选项错误；
C、两条直角边对应相等，可利用SAS判定两个直角三角形全等，故此选项正确；
D、两个角对应相等，不能判定两个直角三角形全等，故此选项错误；
故选：C．
【分析】根据直角三角形的判定方法：AAS、ASA、SAS、HL分别进行分析即可．
8．（2023八上·杭州期中）“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（ ）
A．在同一个三角形中，等边对等角
B．两个角互余的三角形是等腰三角形
C．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形
D．如果一个三角形有两个底角相等，那么这个三角形是等腰三角形
【答案】C
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：“等腰三角形的两个底角相等”可以写成“如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等”，
根据逆命题的定义可知，“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”.
故答案为：C.
【分析】根据逆命题的定义，交换原命题的题设和结论即可.
二、填空题
9．勾股定理的验证一般用 法，其基本思想是借助于图形的 来验证，依据是对图形进行 、 后面积 的原理．
【答案】拼图；面积；割补；拼接；不变
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：勾股定理的验证一般是用拼图法来验证，其基本思想是借助于图形的面积来验证，依据是对图形进行割补、拼接后面积不变的原理.
故答案为：拼图，面积，割补，拼接，不变.
【分析】根据勾股定理的证明方法解答即可，勾股定理的验证用拼图法来验证，借助于图形的面积来验证，对图形进行割补、拼接后面积保持不变.
10．如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的面积是12，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，那么 .
【答案】22
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：解：由勾股定理可知a2+b2=12，
又∵小正方形的面积为2，
∴（b-a)2=2，即b2+a2-2ab=2，
∴ab=(12-2)÷2=5，
∴(a+b)2=a2+2ab+b2=12+2×5=22.
故答案为：22.
【分析】先由勾股定理得出a2+b2=12，再由题意得出（b-a)2=2，即可求出（a+b)2的值.
11．（2023八上·从江开学考）如图，在中，，，，为直线上一动点，连接，则线段长度的最小值是 ．
【答案】
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：当CP垂直AB时PC最短
由勾股定理：AB=
利用面积相等可得：5PC=3×4，即PC=
故答案为：.
【分析】先由勾股定理求出斜边，再由三角形面积公式求解，即两直角边乘积等于斜边与斜边高的积即可求解。
12．（2020七下·惠山期末）命题“如果两个角是直角，那么它们相等”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）.
【答案】假
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：命题“如果两个角是直角，那么它们相等” 的逆命题是“如果两个角相等，那么它们是直角”，此逆命题是假命题.
故答案为假.
【分析】先交换原命题的题设与结论部分得到其逆命题，然后判断逆命题的真假.
三、解答题
13．（2023八上·平潭月考）如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，∠A＝∠D＝90°．求证：∠B＝∠C．
【答案】证明：∵BE=FC，
∴BE+EF=CF+EF，
即BF=CE，
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABF和△DCE都是直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），
∴∠B=∠C．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】根据线段间的数量关系得到结合题意利用"HL"证明，进而即可求证.
14．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=20，BD=16，DC=9，AD=12．找出图中所有的直角，并说明理由．
【答案】解：∵ AB=20，BD=16，DC=9，AD=12．
∴BC=BD+CD=16+9=25，
∵AB2=202=400，AD2+BD2=122+162=400，
∴AB2=AD2+BD2，
∴AD⊥BD，即∠ADC=∠ADB=90°，
∴AC2=AD2+CD2=122+92=225，
∴AC=15，
∵AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90°，
∴ 图中所有的直角有： ∠BAC，∠ADB，∠ADC .
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】利用勾股定理的逆定理可得AD⊥BD，再利用勾股定理求出AC的长，然后利用勾股定理的逆定理可得∠BAC=90°.
15．（2019八下·东莞期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝13cm，D是AB上一点，且CD＝12cm，BD＝8cm．
（1）求证：△ADC是直角三角形；
（2）求BC的长
【答案】（1）证明：∵AB＝13ccm，BD＝8cm，
∴AD＝AB﹣BD＝5cm，
∴AC＝13cm，CD＝12cm，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
即△ADC是直角三角形
（2）解：在Rt△BDC中，∠BDC＝180°﹣90°＝90°，BD＝8cm，CD＝12cm，
由勾股定理得：BC＝ ＝ ＝4 （cm），
即BC的长是4 cm．
【知识点】勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行判断，得到直角三角形即可。
（2）在直角三角形中，根据勾股定理计算得到BC的长度即可。
1 / 1【基础卷】2024年北师大版数学八（下）1.2直角三角形 同步练习
一、选择题
1．（2023八上·黄陂期中）一个三角形的三个内角度数之比为，则这个三角形是（ ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
2．如图，在Rt中，CD是斜边AB上的中线，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八上·深圳期中）下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A=∠B+∠C B．a：b：c=5：12：I3
C．a2=(b+c)(b-c) D．∠A：∠B：∠C= 3：4：5
4．（2020七下·长沙期末）在一个直角三角形中，有一个锐角等于 ，则另一个锐角的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·榆阳期末）下列各组数中，以它们为边长能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．1，2， C．2，2， D．，，
6．（2023七下·莲湖月考）在中，，，，（ ）
A．40° B．50° C．45° D．60°
7．（2019八上·合肥月考）两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．一个锐角对应相等 B．一条边对应相等
C．两条直角边对应相等 D．两个角对应相等
8．（2023八上·杭州期中）“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（ ）
A．在同一个三角形中，等边对等角
B．两个角互余的三角形是等腰三角形
C．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形
D．如果一个三角形有两个底角相等，那么这个三角形是等腰三角形
二、填空题
9．勾股定理的验证一般用 法，其基本思想是借助于图形的 来验证，依据是对图形进行 、 后面积 的原理．
10．如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的面积是12，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，那么 .
11．（2023八上·从江开学考）如图，在中，，，，为直线上一动点，连接，则线段长度的最小值是 ．
12．（2020七下·惠山期末）命题“如果两个角是直角，那么它们相等”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）.
三、解答题
13．（2023八上·平潭月考）如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，∠A＝∠D＝90°．求证：∠B＝∠C．
14．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=20，BD=16，DC=9，AD=12．找出图中所有的直角，并说明理由．
15．（2019八下·东莞期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝13cm，D是AB上一点，且CD＝12cm，BD＝8cm．
（1）求证：△ADC是直角三角形；
（2）求BC的长
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵180°÷（2+5+7）=
∴×7=90°
∴三角形为直角三角形
故答案为：B.
【分析】有一个角为90°的三角形为直角三角形.
2．【答案】C
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴BD=CD=AD，
∴∠A=∠DCA=26°，
∴∠BDC=∠A+∠DCA=26°+26°=52°．
故选：C．
【分析】考查直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的两个内角和等于和它不相邻的一个外角。
3．【答案】D
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：A、三角形的内角和是，∠A+∠B+∠C=，当∠A=∠B+∠C时，2∠A=，所以∠A=， △ABC 是直角三角形，A不符合题意；
B、三角形三条边设为5x，12x和13x，+=，根据勾股定理的逆向证明△ABC 是直角三角形，B不符合题意；
C、 a2=(b+c)(b-c)=-=+，根据勾股定理的逆向证明△ABC 是直角三角形，C不符合题意；
D、三角形的内角和是，∠A+∠B+∠C=， ∠A：∠B：∠C= 3：4：5 ，可以得到∠A=，∠B=，∠C=，△ABC 不是直角三角形，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形的判定规则，有一个是直角的三角形或者三角形的三条边满足勾股定理的就是直角三角形.
4．【答案】C
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在一个直角三角形中，有一个锐角等于25°，
∴另一个锐角的度数是90°-25°=65°.
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的的两个锐角互余的性质解答即可.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A选项：，不能构成直角三角形，故选项A错误；
B选项：，不能构成直角三角形，故选项B错误；
C选项：，可以构成直角三角形，故选项C正确；
D选项：，不能构成直角三角形，故选项D错误．
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理逆定理：若两条短边的平方和等于最长边的平方，该三角形为直角三角形，否则不是直角三角形，据此逐项判断即可．
6．【答案】A
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：A.
【分析】本题考查了直角三角形的性质，利用角之间的数量关系求的度数.
7．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：A、一个锐角对应相等，不能判定两个直角三角形全等，故此选项错误；
B、一条边对应相等，不能判定两个直角三角形全等，故此选项错误；
C、两条直角边对应相等，可利用SAS判定两个直角三角形全等，故此选项正确；
D、两个角对应相等，不能判定两个直角三角形全等，故此选项错误；
故选：C．
【分析】根据直角三角形的判定方法：AAS、ASA、SAS、HL分别进行分析即可．
8．【答案】C
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：“等腰三角形的两个底角相等”可以写成“如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等”，
根据逆命题的定义可知，“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”.
故答案为：C.
【分析】根据逆命题的定义，交换原命题的题设和结论即可.
9．【答案】拼图；面积；割补；拼接；不变
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：勾股定理的验证一般是用拼图法来验证，其基本思想是借助于图形的面积来验证，依据是对图形进行割补、拼接后面积不变的原理.
故答案为：拼图，面积，割补，拼接，不变.
【分析】根据勾股定理的证明方法解答即可，勾股定理的验证用拼图法来验证，借助于图形的面积来验证，对图形进行割补、拼接后面积保持不变.
10．【答案】22
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：解：由勾股定理可知a2+b2=12，
又∵小正方形的面积为2，
∴（b-a)2=2，即b2+a2-2ab=2，
∴ab=(12-2)÷2=5，
∴(a+b)2=a2+2ab+b2=12+2×5=22.
故答案为：22.
【分析】先由勾股定理得出a2+b2=12，再由题意得出（b-a)2=2，即可求出（a+b)2的值.
11．【答案】
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：当CP垂直AB时PC最短
由勾股定理：AB=
利用面积相等可得：5PC=3×4，即PC=
故答案为：.
【分析】先由勾股定理求出斜边，再由三角形面积公式求解，即两直角边乘积等于斜边与斜边高的积即可求解。
12．【答案】假
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：命题“如果两个角是直角，那么它们相等” 的逆命题是“如果两个角相等，那么它们是直角”，此逆命题是假命题.
故答案为假.
【分析】先交换原命题的题设与结论部分得到其逆命题，然后判断逆命题的真假.
13．【答案】证明：∵BE=FC，
∴BE+EF=CF+EF，
即BF=CE，
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABF和△DCE都是直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），
∴∠B=∠C．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】根据线段间的数量关系得到结合题意利用"HL"证明，进而即可求证.
14．【答案】解：∵ AB=20，BD=16，DC=9，AD=12．
∴BC=BD+CD=16+9=25，
∵AB2=202=400，AD2+BD2=122+162=400，
∴AB2=AD2+BD2，
∴AD⊥BD，即∠ADC=∠ADB=90°，
∴AC2=AD2+CD2=122+92=225，
∴AC=15，
∵AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90°，
∴ 图中所有的直角有： ∠BAC，∠ADB，∠ADC .
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】利用勾股定理的逆定理可得AD⊥BD，再利用勾股定理求出AC的长，然后利用勾股定理的逆定理可得∠BAC=90°.
15．【答案】（1）证明：∵AB＝13ccm，BD＝8cm，
∴AD＝AB﹣BD＝5cm，
∴AC＝13cm，CD＝12cm，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
即△ADC是直角三角形
（2）解：在Rt△BDC中，∠BDC＝180°﹣90°＝90°，BD＝8cm，CD＝12cm，
由勾股定理得：BC＝ ＝ ＝4 （cm），
即BC的长是4 cm．
【知识点】勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行判断，得到直角三角形即可。
（2）在直角三角形中，根据勾股定理计算得到BC的长度即可。
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