【培优卷】2024年北师大版数学八（下）1.2直角三角形 同步练习
一、选择题
1．（2023八上·任丘期中）已知下列命题，其中原命题与逆命题均为真命题的有（ ）
①若，则； ②两直线平行，内错角相等；
③直角三角形的两个锐角互余； ④全等三角形的周长相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023八下·肃宁期中）已知命题甲：等角的余角相等；命题乙：若，则，则下列判断正确的是（ ）
A．命题甲的逆命题的题设是两个角相等
B．命题乙的逆命题的结论是
C．命题甲的逆命题是假命题
D．命题乙的逆命题是假命题
3．（2023八上·浙江期中）在△ABC中，它的三边分别为a，b，c，下列条件：①∠A=∠B=∠C，②∠A=∠B-∠C，③∠A：∠B：∠C=3：4：5，④a：b：c=2：3：其中，能确定△ABC是直角三角形的条件为（ ）
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
4．如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F.若∠CFB=α，则∠ABE等于（ ）
A．180°-α B．180°-2a C．9o°+α D．90°+2α
5．（2023八上·织金期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四条线段，其中能组成直角三角形三边的一组线段是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八上·长沙月考）如图，在中，，平分交于点，于点，则下列结论：①平分；②；③平分；④若，则．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023八下·珠山期中）如图，在中，，为的角平分线，为的中点，与相交于点，过点作垂直于点，过点作交于点，有下列说法：①．②，③为的中点，④．其中，正确的是（ ）
A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
8．（2023八上·广州期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4.若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，则下列四个说法：①x2+y2=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9.其中正确的是（ ）
A．①③④ B．②④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题
9．（2023八上·青羊月考）在中，，，，点D在线段上从点C向点B移动，同时，点E在线段上由点A向点B移动，当点D与点B重合时运动停止，已知它们的运动速度相同，连接，，则的最小值为 ．
10．（2023九上·锦江期中）定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为： ．
11．（2020·柯桥模拟）如图，在等腰三角形ABC中，AC＝BC＝4，∠A＝30°，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点F处.当直线EF与直线AC垂直时，则AE的长为 .
12．（2020八上·遂川期末）在平面直角坐标系中，一次函数 的图象分别与 轴， 轴交于点 ， ，点 在一次函数 的图象上，则当 为直角三角形时，点 的坐标是 ．
三、解答题
13．（2023八上·长春期中）1876年，菲尔德利用下图验证了勾股定理．
（1）请用含a、b、c的代数式通过两种不同的方法表示直角梯形的面积（不需要化简） ：
方法1：
方法2：
（2）利用”等面积法”。推导a、b、c之间满足的数量关系，完成勾股定理的验证．
14．（2022九下·长春月考）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，动点P从点A出发沿折线AC-CB向终点B运动，在AC上的速度为每秒小个单位长度，在BC上的速度为每秒1个单位长度．当点P不与点C重合时，以CP为边在点C的右上方作等边△CPQ，设点P的运动时间为t(秒)，点P到AB的距离为h．
（1） AC=
（2）求h与1的函数关系式，并写出t的取值范围．
（3）当点P在AC边上运动，且点Q到AB的距离为h时，求t的值．
（4）作点Q关于直线AB的对称点为Q'，当以C、P、Q'为顶点的三角形为锐角三角形时，直接写出h的取值范围．
15．（2017九下·盐城期中）阅读材料并解答问题：
关于勾股定理的研究有一个很重要的内容是勾股数组，在数学课本中我们已经了解到，“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”，以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法：
方法1：若m为奇数（m≥3），则a=m，b= （m2﹣1）和c= （m2+1）是勾股数．
方法2：若任取两个正整数m和n（m＞n），则a=m2﹣n2，b=2mn，c=m2+n2是勾股数．
（1）在以上两种方法中任选一种，证明以a，b，c为边长的△ABC是直角三角形；
（2）某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如下图所示的图案景观，该图案由四个全等的直角三角形组成，要求每个三角形顶点处都植一棵树，各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，且每个三角形的各边长之比为5：12：13，那么这四个直角三角形的边长共需植树 棵．
（3）某家俱市场现有大批如图所示的梯形边角余料(单位：cm)，实验初中数学兴趣小组决定将其加工成等腰三角形，且方案如下：
三角形中至少有一边长为10 cm； 三角形中至少有一边上的高为8 cm，
请设计出三种面积不同的方案并在图上画出分割线，求出相应图形面积.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；直角三角形的性质；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：
①若，只有当时，所以原命题是假命题；
②根据平行的性质得出“两直线平行，内错角相等”正确，再得出逆命题是“内错角相等，两直线平行”正确，所以其原命题与逆命题均为真命题；
③根据直角三角形的性质得出“直角三角形的两锐角互余”正确，再得出逆命题是“若一个三角形的两个锐角互余，则这个三角形是直角三角形”正确，所以其原命题与逆命题均为真命题；
④根据全等三角形的性质得出“全等三角形的周长相等”正确，是真命题，再得出逆命题“周长相等的三角形是全等三角形”错误，是假命题
∴ 原命题与逆命题均为真命题的有两个，
故答案为：B
【分析】根据原命题和逆命题结合不等式的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质对选项逐一分析即可求解。
2．【答案】D
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A、命题甲的逆命题：如果两个角的余角相等，那么这两个角相等，故A错误；
B、命题乙的逆命题的条件是，结论是， 故B错误；
C、命题甲的逆命题是真命题，故C错误；
D、命题乙的逆命题是假命题 ，故D正确；
故答案为：D.
【分析】分别求出两个命题的逆命题，然后判断真假，再逐一判断即可.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：因三角形内角和等于180°，所以 ∠A+∠B+∠C=180°，
①∠A =∠C，∠B =∠C，代入∠A+∠B+∠C=180°得∠C+∠C+∠C=180°，解得∠C=90°，△ABC是直角三角形；
② 把 ∠A=∠B-∠C 代入∠A+∠B+∠C=180°得∠B-∠C+∠B+∠C=180°，化简得2∠B=180°，∠B=90°，△ABC是直角三角形；
③ 3+4+5=12，180°平均分为12份， ∠A ==45°，∠B==60°，∠C==75°，排除；
④a：b：c=2：3： ，a2：b2：c2=4：9：5，可见a2+c2=b2，△ABC是直角三角形.
故答案为： ①②④ ，选C.
【分析】①②均可用等量代换的方法将三角形的内角大小求出，根据角的大小判断；③根据比例关系求出各个角的大小判断；④ 可用直角三角形三边长度满足勾股定理判断.
4．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：如图，过B点作BG∥CD，连接EG，
∵BG∥CD，
∴∠ABG＝∠CFB＝α．
∵BG2＝12+42＝17，BE2＝12+42＝17，EG2＝32+52＝34，
∴BG2+BE2＝EG2，
∴△BEG是直角三角形，
∴∠GBE＝90°，
∴∠ABE＝∠GBE+∠ABG＝90°+α．
故答案为：C．
【分析】过B点作BG∥CD，连接EG，根据平行线的性质得出∠ABG＝∠CFB＝α．然后根据勾股定理求出BG2＝17，BE2＝17，EG2＝34，从而得出BG2+BE2＝EG2，根据勾股定理的逆定理可得∠GBE＝90°，由∠ABE＝∠GBE+∠ABG即可求出∠ABE的度数．
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：由图可得：A：即故A能组成直角三角形，符合题意；
B：即故不能组成直角三角形，不符合题意；
C：即故不能组成直角三角形，不符合题意；
D：即故不能组成直角三角形，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据图形利用勾股定理求出各边的长，再利用勾股定理逆定理直接求证即可.
6．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：平分，，，
，
又，
，
，
①平分正确；
，，
，
②正确；
，
若平分，则，现有条件无法证明，
③平分错误；
，，，
，，
，，
，
④错误；
综上，正确的有①②，共2个．
故答案为：B．
【分析】利用角平分线的性质可得，结合已知可判断，根据全等三角形的性质得到平分，故①正确；利用余角的性质可判断②正确；利用假设法结合已知条件无法判断平分，故③错误；利用，，，可得，，进而得到，，从而判断④错误；据此，得出结论.
7．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AC=BC， 为的中点 ，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD，即∠ADC=90°，
∴∠+∠2=90°，故①错误；
∵AC=BC，∠ACP=∠BCP，CP=CP，
∴△ACP≌△BCP（SAS），
∴ ，故④正确.
如图，延长DE交AC于点F，则∠AED=∠AEF=90°，
∵为∠BAC的平分线 ，
∴∠ADE=∠AFE，
∵∠AFE=∠ACD+∠FDC，
∴∠ADE=∠ACD+∠EDC，故②正确；
∵，
∴∠NEN=∠CAM=∠1，
∴AN=EN，
∵∠1+∠ADE=∠AEN+∠DEN=90°，
∴∠NDE=∠DEN，
∴DN=EN，
∴DN=AN，即 为的中点 ，故③正确；
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形三线合一的性质可得CD⊥AB，∠ACD=∠BCD，可得∠+∠2=90°，根据SAS证明△ACP≌△BCP（SAS），可得 ，据此判断①④；延长DE交AC于点F，则∠AED=∠AEF=90°，由角平分线的定义可得∠ADE=∠AFE，根据三角形外角的性质可得∠ADE=∠AFE=∠ACD+∠FDC，据此判断②；由平行线的性质及角平分线的定义可得∠NEN=∠CAM=∠1，可得AN=EN，再利用余角的性质可得∠NDE=∠DEN，可得DN=EN，即得DN=AN，据此判断③.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：∵大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，x，y表示直角三角形的两直角边长（x＞y），∴x2+y2=49，
故①正确，
∵小正方形的面积为4，
∴（x-y）2=4，
∵x＞y，
∴x-y=2，
故②正确，
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，可得 ∴2xy+4=49，故③正确；
∴2xy=45，
∴（x+y）2=x2+y2+2xy=49+45=94，
∴x+y=（负值舍去）≠9.
故④错误，
故答案为：①②③.
【分析】由大正方形面积是边长的平方和勾股定理可判断①是正确的；利用小正方形面积可求出小正方形边长，再利用线段和差可判断②是正确的；利用大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积之和，可判断③是正确的，结合①③可利用完全平方公式的变形可判断④是错误的.
9．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，，，则，
∴为直角三角形，则，
作交于，作，并使得，过点作交延长线于点，连接，则，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
又∵，
∴，
则，，
∴，
∵点，点运动速度相同，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，当点在上时，取等号，
∴的最小值为：．
【分析】先根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，则，作交于，作，并使得，过点作交延长线于点，连接，则，，进而结合题意运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，，再结合题意运用勾股定理得到，进而证明即可得到，从而结合题意即可求解。
10．【答案】
【知识点】勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：由题可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM=90°或∠CMP=90°
设点P(3，a)，则AP=a，BP=4-a
①若∠CPM=90°，在Rt△BCP中，
在Rt△MPA中，
在Rt△MCP中，
又∵
∴2a2-8a+26=20
即(a-3)(a-1)=0
解得a=3或a=1
∴P(3，3)或(3，1)
②若∠CMP=90°，在Rt△BCP中
在Rt△MPA中，
∵
在Rt△MCP中，
即
∴
综上所述，点P的坐标为或(3，1)或(3，3)
故答案为：或(3，1)或(3，3).
【分析】由题可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM=90°或∠CMP=90°，设点P(3，a)，则AP=a，BP=4-a，进而分类讨论：①若∠CPM=90°，②若∠CMP=90°，从而运用勾股定理结合题意即可求解。
11．【答案】 或2
【知识点】等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AC＝4，点D为AC的中点，
∴AD＝ AC＝2，
①当直线EF与直线AC垂直时，如图1，
∵将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点F处，
∴∠F＝∠A＝30°，∠AED＝∠FED，
∵∠AGE＝90°，
∴∠AEG＝60°，
∴∠AED＝∠FED＝30°，
∴AD＝DE＝2，
过D作DM⊥AE与M，
∴AE＝2AM＝2× ×2＝2 ；
当直线EF与直线AC垂直时，如图2，
∵将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点F处，
∴∠F＝∠A＝30°，∠ADE＝∠FDE，
∵∠AGE＝∠FGE＝90°，
∴∠FGD＝90°，
∴∠ADE＝∠FDE＝30°，
∴∠A＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴AG＝ AD＝1，
∴AE＝ ，
综上所述， 或2 ，
故答案为： 或2 .
【分析】当直线EF与直线AC垂直时，如图1，如图2，根据折叠的性质得到和等腰三角形的判定和性质定理以及直角三角形的性质健康得到结论.
12．【答案】(0，0)或(2，2)或(-2，-2)
【知识点】勾股定理；一次函数的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】令 ，则 ，令 ，则 ，
∴A( ，0)，B( ，4)，
∵点P在一次函数 的图象上，
∴设点 的坐标为(x，x)，
= ，
，
= ，
①当∠ABP=90 时，
根据勾股定理得： ，即 ，
解得：
∴点 的坐标为(2，2)；
②当∠BAP=90 时，
根据勾股定理得： ，即 ，
解得：
∴点 的坐标为(-2，-2)；
③当∠APB=90 时，此时点P与点O重合，
∴点 的坐标为(0，0)；
综上，点 的坐标为(0，0)或(2，2)或(-2，-2)．
【分析】先求出A( ，0)，B( ，4)，再分类讨论，利用勾股定理进行计算求解即可。
13．【答案】（1）；
（2）解：=
∴ 在直角三角形中，两条直角边分别为a，b，斜边为c，则a，b，c之间满足
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】
(1)解：如图所示：
间接计算：
直接计算：
【分析】本题考查勾股定理的几何证明。根据面积分割法和直角梯形的公式，可得出面积，根据等面积法，推出勾股定理。
（1）用图形拼凑的方法得，用整体图形的面积得；
（2）等面积法得： =
去括号，移项，合并同类项得，可知在直角三角形中，两条直角边分别为a，b，斜边为c，则a，b，c之间满足.
14．【答案】（1）
（2）解：分两种情况：
过点F作FH⊥AB于H，
①当0≤t＜2时，点F在边AC上，如图1，
由题意得：AF＝t，
Rt△AFH中，∠A＝30°，
∴FH＝h＝AF＝t；
②当2＜t≤4时，点F在边BC上，如图2，
由题意得：CF＝t-2，
∴BF＝BC-CF＝2-（t-2）＝4-t，
Rt△BFH中，∠BFH＝30°，
∴BH＝BF＝，
∴FH＝h＝BH＝
综上，h与t的函数关系式为：h＝；
（3）解：设直线CQ与AB交于点P，
如图3，点D在CQ上，
∵△CFQ是等边三角形，
∴∠FCQ＝∠Q＝∠CFQ＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCQ＝30°，
∵∠B＝60°，
∴∠CPE＝30°+60°＝90°，
∴∠PEQ＝30°，
∵当点F在AC边上运动，且点Q到AB的距离为h时，即QP＝h，
∴QE＝2PQ＝h，
∵∠CFQ＝60°，∠A＝30°，
∴∠A＝∠AEF＝30°，
∴EF＝AF＝t，
∵CF＝FQ＝2-t，
∴2-t＝t+h＝t+t，
∴t＝；
（4）解：
【知识点】勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，
∴AC＝＝＝，
故答案为：
【分析】（1）根据含30°的直角三角形和勾股定理可得AC的长；
（2）分两种情况：F在AC上和BC上，根据含30°角的直角三角形和勾股定理可得h与t的函数关系式；
（3）设直线CQ与AB交于点P，①如图3，点P在CQ上
（4） 作点Q关于直线AB的对称点为Q'，当以C、P、Q'为顶点的三角形为锐角三角形时h的取值范围为
15．【答案】（1）解：方法1、c-a= （m2+1）-m= （m2-2m+1）= （m-1）2＞0，c-b=1＞0，
所以c＞a，c＞b．而a2+b2=m2+[ （m2-1）]2=（ m4-2m2+1）+m2
= （m4+2m2+1）=[ （m2+1）]2=c2，
所以以a、b、c为边的三角形是直角三角形
（2）解：120
（3）解： 由勾股定理得：AB= 则
如图（1）AD=AB=10 cm时，BD=6 cm，S = =48 cm ；
如图（2）BD=AB=10 cm时，S = =40cm ； 如图（3）线段AB的垂直平分线交BC延长线于点D，则AB=10，设DC=x，则AD=BD=6+x，在Rt△ACD中 ，S = = ；答：面积分别为48 cm 、40cm 和 cm 的等腰三角形
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【解答】（2）∵各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，
∴三角形最短边为5米，
又∵各边长之比为5：12：13，
∴其他两边分别为12、13米．
∴每个三角形的边长可植树5+12+13=30棵，
∴四个直角三角形的边长共需植树120棵．
【分析】（1）用求差法判断a、b、c的大小，再计算a2+b2=m2+[ （m2-1）]2=（m4-2m2+1）+m2= （m4+2m2+1）=[ （m2+1）]2=c2，根据勾股定理的逆定理可得，以a、b、c为边的三角形是直角三角形；
（2）由题意各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，可得三角形最短边为5米，而各边长之比为5：12：13，所以其他两边分别为12、13米．每个三角形的边长可植树5+12+13=30棵，则四个直角三角形的边长共需植树120棵；
（3）由勾股定理得：AB=10，如图（1）AD=AB=10 cm时，BD=6 cm，S = =48 cm ；
如图（2）BD=AB=10 cm时，S = =40cm ；
如图（3）线段AB的垂直平分线交BC延长线于点D，则AB=10，设DC=x，则AD=BD=6+x，
在Rt△ACD中 ，S = = 。
1 / 1【培优卷】2024年北师大版数学八（下）1.2直角三角形 同步练习
一、选择题
1．（2023八上·任丘期中）已知下列命题，其中原命题与逆命题均为真命题的有（ ）
①若，则； ②两直线平行，内错角相等；
③直角三角形的两个锐角互余； ④全等三角形的周长相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；直角三角形的性质；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：
①若，只有当时，所以原命题是假命题；
②根据平行的性质得出“两直线平行，内错角相等”正确，再得出逆命题是“内错角相等，两直线平行”正确，所以其原命题与逆命题均为真命题；
③根据直角三角形的性质得出“直角三角形的两锐角互余”正确，再得出逆命题是“若一个三角形的两个锐角互余，则这个三角形是直角三角形”正确，所以其原命题与逆命题均为真命题；
④根据全等三角形的性质得出“全等三角形的周长相等”正确，是真命题，再得出逆命题“周长相等的三角形是全等三角形”错误，是假命题
∴ 原命题与逆命题均为真命题的有两个，
故答案为：B
【分析】根据原命题和逆命题结合不等式的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质对选项逐一分析即可求解。
2．（2023八下·肃宁期中）已知命题甲：等角的余角相等；命题乙：若，则，则下列判断正确的是（ ）
A．命题甲的逆命题的题设是两个角相等
B．命题乙的逆命题的结论是
C．命题甲的逆命题是假命题
D．命题乙的逆命题是假命题
【答案】D
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A、命题甲的逆命题：如果两个角的余角相等，那么这两个角相等，故A错误；
B、命题乙的逆命题的条件是，结论是， 故B错误；
C、命题甲的逆命题是真命题，故C错误；
D、命题乙的逆命题是假命题 ，故D正确；
故答案为：D.
【分析】分别求出两个命题的逆命题，然后判断真假，再逐一判断即可.
3．（2023八上·浙江期中）在△ABC中，它的三边分别为a，b，c，下列条件：①∠A=∠B=∠C，②∠A=∠B-∠C，③∠A：∠B：∠C=3：4：5，④a：b：c=2：3：其中，能确定△ABC是直角三角形的条件为（ ）
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：因三角形内角和等于180°，所以 ∠A+∠B+∠C=180°，
①∠A =∠C，∠B =∠C，代入∠A+∠B+∠C=180°得∠C+∠C+∠C=180°，解得∠C=90°，△ABC是直角三角形；
② 把 ∠A=∠B-∠C 代入∠A+∠B+∠C=180°得∠B-∠C+∠B+∠C=180°，化简得2∠B=180°，∠B=90°，△ABC是直角三角形；
③ 3+4+5=12，180°平均分为12份， ∠A ==45°，∠B==60°，∠C==75°，排除；
④a：b：c=2：3： ，a2：b2：c2=4：9：5，可见a2+c2=b2，△ABC是直角三角形.
故答案为： ①②④ ，选C.
【分析】①②均可用等量代换的方法将三角形的内角大小求出，根据角的大小判断；③根据比例关系求出各个角的大小判断；④ 可用直角三角形三边长度满足勾股定理判断.
4．如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F.若∠CFB=α，则∠ABE等于（ ）
A．180°-α B．180°-2a C．9o°+α D．90°+2α
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：如图，过B点作BG∥CD，连接EG，
∵BG∥CD，
∴∠ABG＝∠CFB＝α．
∵BG2＝12+42＝17，BE2＝12+42＝17，EG2＝32+52＝34，
∴BG2+BE2＝EG2，
∴△BEG是直角三角形，
∴∠GBE＝90°，
∴∠ABE＝∠GBE+∠ABG＝90°+α．
故答案为：C．
【分析】过B点作BG∥CD，连接EG，根据平行线的性质得出∠ABG＝∠CFB＝α．然后根据勾股定理求出BG2＝17，BE2＝17，EG2＝34，从而得出BG2+BE2＝EG2，根据勾股定理的逆定理可得∠GBE＝90°，由∠ABE＝∠GBE+∠ABG即可求出∠ABE的度数．
5．（2023八上·织金期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四条线段，其中能组成直角三角形三边的一组线段是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：由图可得：A：即故A能组成直角三角形，符合题意；
B：即故不能组成直角三角形，不符合题意；
C：即故不能组成直角三角形，不符合题意；
D：即故不能组成直角三角形，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据图形利用勾股定理求出各边的长，再利用勾股定理逆定理直接求证即可.
6．（2023八上·长沙月考）如图，在中，，平分交于点，于点，则下列结论：①平分；②；③平分；④若，则．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：平分，，，
，
又，
，
，
①平分正确；
，，
，
②正确；
，
若平分，则，现有条件无法证明，
③平分错误；
，，，
，，
，，
，
④错误；
综上，正确的有①②，共2个．
故答案为：B．
【分析】利用角平分线的性质可得，结合已知可判断，根据全等三角形的性质得到平分，故①正确；利用余角的性质可判断②正确；利用假设法结合已知条件无法判断平分，故③错误；利用，，，可得，，进而得到，，从而判断④错误；据此，得出结论.
7．（2023八下·珠山期中）如图，在中，，为的角平分线，为的中点，与相交于点，过点作垂直于点，过点作交于点，有下列说法：①．②，③为的中点，④．其中，正确的是（ ）
A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AC=BC， 为的中点 ，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD，即∠ADC=90°，
∴∠+∠2=90°，故①错误；
∵AC=BC，∠ACP=∠BCP，CP=CP，
∴△ACP≌△BCP（SAS），
∴ ，故④正确.
如图，延长DE交AC于点F，则∠AED=∠AEF=90°，
∵为∠BAC的平分线 ，
∴∠ADE=∠AFE，
∵∠AFE=∠ACD+∠FDC，
∴∠ADE=∠ACD+∠EDC，故②正确；
∵，
∴∠NEN=∠CAM=∠1，
∴AN=EN，
∵∠1+∠ADE=∠AEN+∠DEN=90°，
∴∠NDE=∠DEN，
∴DN=EN，
∴DN=AN，即 为的中点 ，故③正确；
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形三线合一的性质可得CD⊥AB，∠ACD=∠BCD，可得∠+∠2=90°，根据SAS证明△ACP≌△BCP（SAS），可得 ，据此判断①④；延长DE交AC于点F，则∠AED=∠AEF=90°，由角平分线的定义可得∠ADE=∠AFE，根据三角形外角的性质可得∠ADE=∠AFE=∠ACD+∠FDC，据此判断②；由平行线的性质及角平分线的定义可得∠NEN=∠CAM=∠1，可得AN=EN，再利用余角的性质可得∠NDE=∠DEN，可得DN=EN，即得DN=AN，据此判断③.
8．（2023八上·广州期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4.若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，则下列四个说法：①x2+y2=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9.其中正确的是（ ）
A．①③④ B．②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：∵大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，x，y表示直角三角形的两直角边长（x＞y），∴x2+y2=49，
故①正确，
∵小正方形的面积为4，
∴（x-y）2=4，
∵x＞y，
∴x-y=2，
故②正确，
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，可得 ∴2xy+4=49，故③正确；
∴2xy=45，
∴（x+y）2=x2+y2+2xy=49+45=94，
∴x+y=（负值舍去）≠9.
故④错误，
故答案为：①②③.
【分析】由大正方形面积是边长的平方和勾股定理可判断①是正确的；利用小正方形面积可求出小正方形边长，再利用线段和差可判断②是正确的；利用大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积之和，可判断③是正确的，结合①③可利用完全平方公式的变形可判断④是错误的.
二、填空题
9．（2023八上·青羊月考）在中，，，，点D在线段上从点C向点B移动，同时，点E在线段上由点A向点B移动，当点D与点B重合时运动停止，已知它们的运动速度相同，连接，，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，，，则，
∴为直角三角形，则，
作交于，作，并使得，过点作交延长线于点，连接，则，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
又∵，
∴，
则，，
∴，
∵点，点运动速度相同，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，当点在上时，取等号，
∴的最小值为：．
【分析】先根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，则，作交于，作，并使得，过点作交延长线于点，连接，则，，进而结合题意运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，，再结合题意运用勾股定理得到，进而证明即可得到，从而结合题意即可求解。
10．（2023九上·锦江期中）定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为： ．
【答案】
【知识点】勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：由题可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM=90°或∠CMP=90°
设点P(3，a)，则AP=a，BP=4-a
①若∠CPM=90°，在Rt△BCP中，
在Rt△MPA中，
在Rt△MCP中，
又∵
∴2a2-8a+26=20
即(a-3)(a-1)=0
解得a=3或a=1
∴P(3，3)或(3，1)
②若∠CMP=90°，在Rt△BCP中
在Rt△MPA中，
∵
在Rt△MCP中，
即
∴
综上所述，点P的坐标为或(3，1)或(3，3)
故答案为：或(3，1)或(3，3).
【分析】由题可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM=90°或∠CMP=90°，设点P(3，a)，则AP=a，BP=4-a，进而分类讨论：①若∠CPM=90°，②若∠CMP=90°，从而运用勾股定理结合题意即可求解。
11．（2020·柯桥模拟）如图，在等腰三角形ABC中，AC＝BC＝4，∠A＝30°，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点F处.当直线EF与直线AC垂直时，则AE的长为 .
【答案】 或2
【知识点】等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AC＝4，点D为AC的中点，
∴AD＝ AC＝2，
①当直线EF与直线AC垂直时，如图1，
∵将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点F处，
∴∠F＝∠A＝30°，∠AED＝∠FED，
∵∠AGE＝90°，
∴∠AEG＝60°，
∴∠AED＝∠FED＝30°，
∴AD＝DE＝2，
过D作DM⊥AE与M，
∴AE＝2AM＝2× ×2＝2 ；
当直线EF与直线AC垂直时，如图2，
∵将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点F处，
∴∠F＝∠A＝30°，∠ADE＝∠FDE，
∵∠AGE＝∠FGE＝90°，
∴∠FGD＝90°，
∴∠ADE＝∠FDE＝30°，
∴∠A＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴AG＝ AD＝1，
∴AE＝ ，
综上所述， 或2 ，
故答案为： 或2 .
【分析】当直线EF与直线AC垂直时，如图1，如图2，根据折叠的性质得到和等腰三角形的判定和性质定理以及直角三角形的性质健康得到结论.
12．（2020八上·遂川期末）在平面直角坐标系中，一次函数 的图象分别与 轴， 轴交于点 ， ，点 在一次函数 的图象上，则当 为直角三角形时，点 的坐标是 ．
【答案】(0，0)或(2，2)或(-2，-2)
【知识点】勾股定理；一次函数的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】令 ，则 ，令 ，则 ，
∴A( ，0)，B( ，4)，
∵点P在一次函数 的图象上，
∴设点 的坐标为(x，x)，
= ，
，
= ，
①当∠ABP=90 时，
根据勾股定理得： ，即 ，
解得：
∴点 的坐标为(2，2)；
②当∠BAP=90 时，
根据勾股定理得： ，即 ，
解得：
∴点 的坐标为(-2，-2)；
③当∠APB=90 时，此时点P与点O重合，
∴点 的坐标为(0，0)；
综上，点 的坐标为(0，0)或(2，2)或(-2，-2)．
【分析】先求出A( ，0)，B( ，4)，再分类讨论，利用勾股定理进行计算求解即可。
三、解答题
13．（2023八上·长春期中）1876年，菲尔德利用下图验证了勾股定理．
（1）请用含a、b、c的代数式通过两种不同的方法表示直角梯形的面积（不需要化简） ：
方法1：
方法2：
（2）利用”等面积法”。推导a、b、c之间满足的数量关系，完成勾股定理的验证．
【答案】（1）；
（2）解：=
∴ 在直角三角形中，两条直角边分别为a，b，斜边为c，则a，b，c之间满足
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】
(1)解：如图所示：
间接计算：
直接计算：
【分析】本题考查勾股定理的几何证明。根据面积分割法和直角梯形的公式，可得出面积，根据等面积法，推出勾股定理。
（1）用图形拼凑的方法得，用整体图形的面积得；
（2）等面积法得： =
去括号，移项，合并同类项得，可知在直角三角形中，两条直角边分别为a，b，斜边为c，则a，b，c之间满足.
14．（2022九下·长春月考）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，动点P从点A出发沿折线AC-CB向终点B运动，在AC上的速度为每秒小个单位长度，在BC上的速度为每秒1个单位长度．当点P不与点C重合时，以CP为边在点C的右上方作等边△CPQ，设点P的运动时间为t(秒)，点P到AB的距离为h．
（1） AC=
（2）求h与1的函数关系式，并写出t的取值范围．
（3）当点P在AC边上运动，且点Q到AB的距离为h时，求t的值．
（4）作点Q关于直线AB的对称点为Q'，当以C、P、Q'为顶点的三角形为锐角三角形时，直接写出h的取值范围．
【答案】（1）
（2）解：分两种情况：
过点F作FH⊥AB于H，
①当0≤t＜2时，点F在边AC上，如图1，
由题意得：AF＝t，
Rt△AFH中，∠A＝30°，
∴FH＝h＝AF＝t；
②当2＜t≤4时，点F在边BC上，如图2，
由题意得：CF＝t-2，
∴BF＝BC-CF＝2-（t-2）＝4-t，
Rt△BFH中，∠BFH＝30°，
∴BH＝BF＝，
∴FH＝h＝BH＝
综上，h与t的函数关系式为：h＝；
（3）解：设直线CQ与AB交于点P，
如图3，点D在CQ上，
∵△CFQ是等边三角形，
∴∠FCQ＝∠Q＝∠CFQ＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCQ＝30°，
∵∠B＝60°，
∴∠CPE＝30°+60°＝90°，
∴∠PEQ＝30°，
∵当点F在AC边上运动，且点Q到AB的距离为h时，即QP＝h，
∴QE＝2PQ＝h，
∵∠CFQ＝60°，∠A＝30°，
∴∠A＝∠AEF＝30°，
∴EF＝AF＝t，
∵CF＝FQ＝2-t，
∴2-t＝t+h＝t+t，
∴t＝；
（4）解：
【知识点】勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，
∴AC＝＝＝，
故答案为：
【分析】（1）根据含30°的直角三角形和勾股定理可得AC的长；
（2）分两种情况：F在AC上和BC上，根据含30°角的直角三角形和勾股定理可得h与t的函数关系式；
（3）设直线CQ与AB交于点P，①如图3，点P在CQ上
（4） 作点Q关于直线AB的对称点为Q'，当以C、P、Q'为顶点的三角形为锐角三角形时h的取值范围为
15．（2017九下·盐城期中）阅读材料并解答问题：
关于勾股定理的研究有一个很重要的内容是勾股数组，在数学课本中我们已经了解到，“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”，以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法：
方法1：若m为奇数（m≥3），则a=m，b= （m2﹣1）和c= （m2+1）是勾股数．
方法2：若任取两个正整数m和n（m＞n），则a=m2﹣n2，b=2mn，c=m2+n2是勾股数．
（1）在以上两种方法中任选一种，证明以a，b，c为边长的△ABC是直角三角形；
（2）某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如下图所示的图案景观，该图案由四个全等的直角三角形组成，要求每个三角形顶点处都植一棵树，各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，且每个三角形的各边长之比为5：12：13，那么这四个直角三角形的边长共需植树 棵．
（3）某家俱市场现有大批如图所示的梯形边角余料(单位：cm)，实验初中数学兴趣小组决定将其加工成等腰三角形，且方案如下：
三角形中至少有一边长为10 cm； 三角形中至少有一边上的高为8 cm，
请设计出三种面积不同的方案并在图上画出分割线，求出相应图形面积.
【答案】（1）解：方法1、c-a= （m2+1）-m= （m2-2m+1）= （m-1）2＞0，c-b=1＞0，
所以c＞a，c＞b．而a2+b2=m2+[ （m2-1）]2=（ m4-2m2+1）+m2
= （m4+2m2+1）=[ （m2+1）]2=c2，
所以以a、b、c为边的三角形是直角三角形
（2）解：120
（3）解： 由勾股定理得：AB= 则
如图（1）AD=AB=10 cm时，BD=6 cm，S = =48 cm ；
如图（2）BD=AB=10 cm时，S = =40cm ； 如图（3）线段AB的垂直平分线交BC延长线于点D，则AB=10，设DC=x，则AD=BD=6+x，在Rt△ACD中 ，S = = ；答：面积分别为48 cm 、40cm 和 cm 的等腰三角形
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【解答】（2）∵各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，
∴三角形最短边为5米，
又∵各边长之比为5：12：13，
∴其他两边分别为12、13米．
∴每个三角形的边长可植树5+12+13=30棵，
∴四个直角三角形的边长共需植树120棵．
【分析】（1）用求差法判断a、b、c的大小，再计算a2+b2=m2+[ （m2-1）]2=（m4-2m2+1）+m2= （m4+2m2+1）=[ （m2+1）]2=c2，根据勾股定理的逆定理可得，以a、b、c为边的三角形是直角三角形；
（2）由题意各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，可得三角形最短边为5米，而各边长之比为5：12：13，所以其他两边分别为12、13米．每个三角形的边长可植树5+12+13=30棵，则四个直角三角形的边长共需植树120棵；
（3）由勾股定理得：AB=10，如图（1）AD=AB=10 cm时，BD=6 cm，S = =48 cm ；
如图（2）BD=AB=10 cm时，S = =40cm ；
如图（3）线段AB的垂直平分线交BC延长线于点D，则AB=10，设DC=x，则AD=BD=6+x，
在Rt△ACD中 ，S = = 。
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