开远市重点中学 2024 年春季学期高二年级开学考试 1 1 1
（2）由（1）可得：bn 4n 1 4n 34 an a ，n 1 4n 3 4n 1
数学参考答案
5 所以
Tn b1 b b b一、二、选择题（每题 分） 2 3 n
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1
5 1 ( 9 5) L 4 n 1 4 n 3 答案 A C D C D D B A AD ACD ACD ABD 4
4n 1 1
，
三、填空题（每题 5分） 4
13. 5 14. 640 15. 70 16. 19.(1)由频率分布直方图可知,
四、解答题（17题 10分，其他题各 12分）
,所以 .
17．解析：(1)由正弦定理可得： BC 2 AC 2 AB2 AC AB，
(2)该 名学生的数学成绩的平均分约为
AC2 AB2 BC2 1 .
cos A ，
2 AC AB 2 (3)由(1)知, ,所以一模数学成绩在区间 与 的人数之比为 ,
A 0, ， A 2 所以抽取的 人中有 人的数学成绩在区间 内,
3 .
所以 的所有可能取值为 ,
(2)由余弦定理得： BC 2 AC 2 AB2 2AC AB cos A AC 2 AB2 AC AB 9，
, , ,
AC AB 2即 AC AB 9．
所以 的分布列为
2
AC AB AC AB 2
(当且仅当 AC AB时取等号)，
2
9 AC AB 2 AC AB AC AB 2 AC AB 3 AC AB
2
，
2 4
.
解得： AC AB 2 3 (当且仅当 AC AB时取等号)，
ABC周长 L AC AB BC 3 2 3， ABC周长的最大值为3 2 3． 20.解(1)在梯形 中, , , , ,
∴ , , ,
18.解（1）因为点 n,Sn n N 均在二次函数 y 2x2 x的图象上， 取 的中点 ,连接 、 ,则 ,且 ,
则四边形 为平行四边形,∴ ,
可得 S 2 ∵ 平面 , 平面 ,∴ 平面 .n 2n n，则有：
(2)∵ ,平面 平面 ,面 面 , 面 ,∴ 面
当 n 1时， a ,1 1；
以 为坐标原点,以 、 、 分别为 、 、 轴,建立空间直角坐标系如图,
当 n 2时， a 2n Sn Sn 1 2n n 2(n 1)
2 (n 1) 4n 3； 则 , , , , ,
且 a1 1也符合 an 4n 3，所以 an 4n 3．
{#{QQABBQQEoggAAABAAQgCAwGqCkAQkAECCKoOAAAAsAAByRNABAA=}#}
2
则 , , , 则Δ 12k 2 4 3 4k 2 9k 2 12 84k 2 144 0，
2 2
, 12k 9k 12设平面 的法向量为 由韦达定理得， x1 x2= ， x x3 4k 2 1 2
3 4k 2
，
k x 3 3
, , , , y y 1 2
k x2
则由 令 则 即 所以 k k 1 2 2 AM AN x1 2 x2 2 x1 2 x2 2
设直线 与平面 所成的角为 ,
2 3 9 k 2
9k 2 12 3 12k 2 9
k x x x x 2 则 1 2 2 1 2 4 3 4k 2 3 4k 2 4 3 ，
x1 x2 2 x1 x2 4 9k 2 12 2 12k
2
2 2 4
28
. 3 4k 3 4k
3
综上所述，直线 AM与直线 AN的斜率之积为 .
28
22.解（1）当 a= -1时， f x ln x 1 x ln x x 1，
21.解（1）设椭圆焦距为2c c 0 ，
所以 f 1 0, f x 1 1，所以 f 1 2，
1 c 1 x
因为椭圆离心率为 ，所以 e 2 ，a 2
故曲线在 1, f 1 处的切线方程为 y 2 x 1 ，即为 y 2x 2，
因为椭圆经过 A 2,0 4， 2 1，所以a 2，a
（2）由 f x ln x a 1 x ，知 f x 1 a ，定义域为 0, ，
x
所以 c 1，b a2 c2 3，
当a 0时， f
2 2 (x) > 0恒成立，所以 f x 在 0, 上单调递增；x y
所以椭圆的方程为 1 .
4 3 1 1 1 1
当a 0时，令 f (x) > 0，则0 x ， f x 在
0,
上单调递增；令 f x 0，则 x ， f x 在 ,
3 a a a a
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为 x ，
2 上单调递减；
3 21 3 21
与椭圆方程联立得M , ， N , ， 综上所述，当 a 0时， f x 在 0, 上单调递增；
2 4 2 4
1 1
21 21 当a 0时， f x 在
0,
上单调递增，在
,
a a
上单调递减．
又因为 A 2,0 ，所以 k 4 21 21AM 3 , k
4
AN ，
( 2) 14 3 ( 2) 14 （3）由（2）知，若 f x 有最大值，则 a 0，且 f x f
1
lna a 1max ，
2 2 a
因为 f x 的最大值大于 2a 2，
21 21 3
所以 kAM kAN ；14 14 28 所以 ln a a 1 2a 2，即 a ln a 1 0在 a 0, 上恒成立，
3
当直线的斜率存在时，设直线的方程为 y k x ，M x , y ， N x , y ，
2 1 1 2 2 设 g a a lna 1，问题转化为 g a 0在 a 0, 上恒成立，
因为 g a 1 1 0恒成立，所以 g a 在 a 0, 上单调递增，
a
y k
x
3
2
联立方程 ，消去 y得： 3 4k 2 x2 12k 2x 9k 2 12 0， 又 g 1 0，所以 g a 0 g 1 ，所以 0 a 1，
x2 y2
1 4 3
故 a的取值范围为 0,1 .
{#{QQABBQQEoggAAABAAQgCAwGqCkAQkAECCKoOAAAAsAAByRNABAA=}#}开远市重点中学2024年春季学期高二年级开学考试
数学试卷
1.本试满分150分，考试时间120分钟。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效。
一 选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数Z满足则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3．已知直线与圆交于，两点，且，则实数（ ）
A． B． C． D．
4．某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面边长分别为的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知数列为等差数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．我国周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．在3，4，5，6，8，10，12，13这8个数中任取3个数，这3个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．若为偶函数，则（ ）．
A． B．0 C． D．1
8．已知是双曲线的两个焦点，为上除顶点外的一点，，且，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列命题正确的是( )
A. “”是“”的既不充分也不必要条件
B. 命题“”的否定为”
C. 若,则
D. 的最大值为
10.已知，则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
11. 设函数,给出下列命题,正确的是( )
A. 的图象关于点对称 B. 若,则
C. 的图象向左平移个长度,得到一个偶函数的图象 D. 在内使的所有的和
12.已知函数,则( )
A. 为偶函数 B. 的最小值为
C. 函数有两个零点 D. 直线是曲线的切线
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知是非零向量，则 ．
14.某校高二年级人参加了期中数学考试,若数学成绩,统计结果显示数学考试成绩在分以上的人数为总人数的,则此次期中考试中数学成绩在分到分之间的学生有__________人.
15.的展开式中的系数为__________.(用数字作答).
16.三棱锥内接于球,球的表面积是,,则三棱锥的最大体积是__________.
四、解答题：本题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
(1)求A；
(2)若BC=3，求周长的最大值．
18.已知数列的前项和为，点在函数的图象上．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
19.某校高三名学生的一模考试数学成绩频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是,,,,,.
(1)求图中的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这名学生的一模考试数学成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);
(3)从一模数学成绩位于,的学生中采用分层抽样抽取人,再从这人中随机抽取人,该人中一模数学成绩在区间的人数记为,求的分布列及数学期望.
20. 如图,在等腰梯形中,,,,,将沿折起,使平面平面.
(1)若是侧棱中点,求证:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
21．已知椭圆E：离心率为,且经过点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与椭圆C交于M,N两点,证明：直线与直线的斜率之积为定值.
22．设函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)当有最大值，且最大值大于时，求a的取值范围．
