开远市重点中学校2024年春季学期高一年级开学考试
数 学
2024.02
考生注意： 1.本试满分150分，考试时间120分钟。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效。
单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合,,则（ ）.
A. B. C. D.
2．若点在角的终边上，则（ ）.
A. B. C. D.
3．已知，，，则（ ）.
A. B. C. D.
4．为了得到函数的图象，只要把的图象上的所有的点（ ）.
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
5．设△ABC的内角，，所对的边分别为，，，若，则（ ）.
A. B. C. D.
6．函数的零点所在的区间为（ ）.
A. B. C. D.
7．如图所示，四边形是正方形，分别，的中点，若，则的值为（ ）.
A. B. C. D.
8．已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则下列结论错误的是（ ）.
A. 是以4为周期的周期函数 B.
C. 函数有3个零点 D. 当时，
多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知向量，则下列结论正确的是（ ）.
A. B. C. D.
10. 下列说法正确的是（ ）.
A. 命题“，”的否定是“，” B. 命题“，”是假命题
C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分不必要条件
11．下列命题正确的是（ ）.
A. 若,,则 B. 若正数、满足,则
C. 若,则的最大值是 D. 若,,,则的最小值是
12. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）.
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在上单调递增
D. 恒成立
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．化简： .
若幂函数在上单调递增，则 .
已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积为 .
某人在点C测得某塔底B在南偏西80°方向，塔顶A的仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10 m到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知集合，集合.
(1) 求；
(2) 若集合,,求实数的取值范围.
计算：(1) ；
(2) 已知,求的值.
已知函数.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）求函数在上的值域.
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足.
求B的大小；
(2) 若b=4，△ABC的面积为，求的值.
21．已知函数，.
(1) 用单调性的定义证明在上是减函数；
(2) 若关于x的不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围.
22．正安县是中国白茶之乡．在饮用中发现，茶水的口感与水的温度有关．经实验表明，用100℃的水泡制，待茶水温度降至60℃时，饮用口感最佳．某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表：
时间 0 1 2 3 4 5
水温℃ 100 91 82.9 78.37 72.53 67.27
设茶水温度从100℃经过后温度变为，现给出以下三种函数模型：
①；②；③．
从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式；
(2) 根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到）；
(3) 考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少．（参考数据：）开远市重点中学校2024年春季学期高一年级开学考
数学答案
2024.02
（参考答案）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A A C D B B D B AC ABD BC BCD
13. 14. 15. 16. 10 m
17.（1）；（2）.
解：(1)因为集合,集合,所以.
因为,所以,当时,,无解,当时,则,解得
,所以实数的取值范围是.
18．（1）；（2）
解：（1）原式=；
（2）由,得,
于是
19．（1）的单调递减区间为; （2）.
解：（1）
令，解得.
故的单调递减区间为
∵，
∴函数在上的值域为
20．（1） ；（2）
解：(1)由正弦定理及bcos A=(2c+a)cos(π-B),得sin Bcos A=(2sin C+sin A)(-cos B),
即sin Bcos A+cos Bsin A=-2sin Ccos B,得sin(B+A)=-2sin Ccos B.
∵B+A=π-C,∴sin C=-2sin Ccos B, 又sin C≠0,∴cos B=-. ∵0(2)由S△ABC=acsin B=ac·,得ac=4. 由余弦定理,得42=a2+c2-2accos,
即16=(a+c)2-ac, 即(a+c)2=20,解得a+c=2.
21．(1)证明见解析 (2)
解：（1）任取，且，则，
又，，，，，即，
在上是减函数．
（2）在上单调递减且恒有，
不等式对任意恒成立，即为，对于任意恒成立，
，
当时取得最小值，， 所以的取值范围是．
22．(1)选模型②，且；(2)；(3)约为10℃.
解：（1）由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合，
选模型②，则，即，可得，所以且.
（2）令，则.
所以泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间为.
（3）由，即，所以进行实验时的室温约为10℃.
