【基础卷】2024年北师大版数学八（下）1.3线段的垂直平分线 同步练习
一、选择题
1．（2024八上·浏阳期中）在如图所示的尺规作图中，与AD相等的线段是（ ）
A．线段AC B．线段BD C．线段DC D．线段DE
2．（2023八上·丰南期中） 已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022八下·浑南期末）如图，有A、B、C三个居民点，现要选址建一个新冠疫苗接种点方便居民接种疫苗，要求接种点到三个居民点的距离相等，接种点应建在（ ）
A．的三条中线的交点处
B．三边的垂直平分线的交点处
C．三条角平分线的交点处
D．三条高所在直线的交点处
4．（2024八上·合江期末）如图，是的角平分线，是的垂直平分线，的周长为12，则的周长为（ ）
A．16 B． C．20 D．
5．下列条件中，不能判定直线MN是线段AB（M，N不在AB上）的垂直平分线的是（ ）
A．MA=MB，NA=NB B．MA=MB，MN⊥AB
C．MA=NA，MB=NB D．MA=MB，MN平分AB
6．（2020八上·昭平期末）已知：C、D是线段AB外的两点，AC＝BC，AD＝BD，点P在直线CD上，若AP＝5，则BP的长为（ ）
A．2.5 B．5 C．10 D．25
7．（2018八上·镇江月考）如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（ ）
A．20° B．40° C．50° D．60°
8．（2024八上·榆树期末）如图，在△ABC中，AC = 10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
二、填空题
9．（2023八上·吉林期中）如图，平面内不共线三点A，B，C，操作如下：（1）连接BC，以点B为圆心，以CB的长为半径画弧（2）连接AC，以点A为圆心，以AC的长为半径画弧，两弧相交于点D；（3）连接CD，且过A，B作直线则A，B一定在线段CD的垂直平分线上，依据是： ．
10．（2020八上·金坛期中）如图，点 在 的边 上，且 ，则点 在 的垂直平分线上.
11．（2022八上·滨海期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为18cm，则BC的长为 ．
12．（2019八上·芜湖期中）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，则AE的长为 ．
三、作图题
13．（2024八上·乾安期末）如图，在某河道l的同侧有两个村庄A，B，现要在河道上建一个水泵站P，这个水泵站建在什么位置，能使两个村庄到水泵站的距离相等？请你画出点P．（不写作法，保留痕迹）
四、解答题
14．（2020八上·延庆期末）已知，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，连接AC，BD．
（1）请补全图形，并说明AC，BD的位置关系；
（2）证明（1）中的结论.
15．（2023八上·东阿月考）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接．
（1）求的度数；
（2）已知，的周长为，求的周长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图痕迹可知：DE垂直平分AB，所以BD=AD.
故答案为：B。
【分析】首先根据基本作图得出：DE垂直平分AB，再根据垂直平分线的性质得出BD=AD，即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：
∵，，
∴，
∴在线段的垂直平分线上，
由作图可得：C符合题意；
故答案为：C
【分析】根据作图-垂直平分线结合题意即可求解。
3．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
则接种点应建在△ABC三条边的垂直平分线的交点处．
故答案为：B．
【分析】根据线段垂直平分线的性质对每个选项一一判断即可。
4．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是BC的垂直平分行，
∴CD=BD,CE=BE,
∵△ABD的周长为12，即AB+BD+AD=12,
∴AB+CD+AD=12,
∵△ABC=AB+AD+CD+CE+BE
∴△ABC=12+CE+BE,
∵CE=BE=4,
∴△ABC=12+4+4=20,
故答案为：C.
【分析】根据DE是BC的垂直平分行，可得CD=BD,CE=BE；由△ABD的周长为12，即AB+BD+AD=12,等量代换得△ABC=12+CE+BE,由CE=BE=4,得△ABC=12+4+4=20。
5．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵MA=MB，NA=NB，
∴直线MN是线段AB的垂直平分线；
∵MA=MB，MN⊥AB，
∴直线MN是线段AB的垂直平分线；
当MA=NA，MB=NB时，直线MN不一定是线段AB的垂直平分线；
∵MA=MB，MN平分AB，
∴直线MN是线段AB的垂直平分线，
故选：C．
【分析】根据线段垂直平分线的判定定理进行判断即可．
6．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，
∵AC=BC，
∴点C在AB的垂直平分线上，
∵DC=DB，
∴点D在在AB的垂直平分线上，
∴CD是垂直平分AB，
∴PA=PB=5.
故答案为：B.
【分析】因为到线段的两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可得C、D都在AB的垂直平分线上，则CD垂直平分AB，可得PA=PB，从而得出BP的长.
7．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC=110°，
∴∠B+∠C=70°，
又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，
∴∠BAP=∠B，∠QAC=∠C，
∴∠BAP+∠CAQ=70°，
∴∠PAQ=∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ=110°﹣70°=40°
故选：B．
【分析】由∠BAC的大小可得∠B与∠C的和，再由线段垂直平分线，可得∠BAP=∠B，∠QAC=∠C，进而可得∠PAQ的大小．
8．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵MN垂直平分AB，
∴，
∴△BDC的周长，
∵，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，再利用△BDC的周长为18即求解．
9．【答案】到线段CD两端点距离相等的点在CD的垂直平分线上．
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：由作图可知BC=BD，AC=AD，
可知点A、B两点都在线段CD的垂直平分线上，（到线段两端点C、D距离相等的点在线段CD的垂直平分线上）
故答案为： 到线段CD两端点距离相等的点在CD的垂直平分线上．
【分析】由同一圆上半径处处相等可知BD等于BC，AD等于AC，再结合“线段垂直平分线的判定“易知，点B和点A都在线段CD的垂直平分线上。
10．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵BC=BD+AD，
∴AD=BC-BD，
∵CD=BC-BD，
∴AD=CD，
∴点D在线段AC的垂直平分线上.
故答案为：AC.
【分析】根据BC=BD+AD，结合线段的和差关系推出AD=CD，则可得出点D在线段AC的垂直平分线上.
11．【答案】8cm
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵△DBC的周长＝BC+BD+CD＝18cm，
又∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
故BC+AD+CD＝18cm，
∵AC＝AD+DC＝10cm，
∴BC＝18-10＝8（cm）．
故答案为：8cm．
【分析】由垂直平分线的性质可得AD＝BD，从而得出△DBC的周长＝BC+BD+CD=BC+AD+CD＝BC+AC=18cm，继而得解.
12．【答案】3cm
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC的周长为19cm，
∴AB+AC+BC=19cm，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，AE=EC，
∵△ABD的周长为13cm，
∴AB+BD+DA=AB+BD+DC=AB+BC=13cm，
∴AC=6cm，
∴AE=3cm，
故答案为：3cm．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC，AE=EC，根据三角形的周长公式计算即可．
13．【答案】解：如图，点P即为所求．
【知识点】作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】作线段AB的垂直平分线，垂直平分线与直线l的交点是点P.
14．【答案】（1）解：补图如下：
结论：AC⊥BD
（2）解：∵AB=AD
∴点A在线段BD的垂直平分线上
∵CB=CD
∴点C在线段BD的垂直平分线上
∵两点确定一条直线
∴AC是线段BD的垂直平分线
即AC⊥BD
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）根据垂直平分线的判定定理证出点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，即可得出结论.
15．【答案】（1）解：在中，，，
，，
的垂直平分线交于点，
，
，
；
（2）解：的周长为，
，
，
的垂直平分线交于点，
，
的周长．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）由AB=AC，∠C=70°求出∠A的度数与∠ABC的度数，再根据MN为AB的垂直平分线得AD=BD，进而可求出∠DBC的度数。
（2）由垂直平分线得性质可得BD+DC=AC，进而可求△BDC的周长。
1 / 1【基础卷】2024年北师大版数学八（下）1.3线段的垂直平分线 同步练习
一、选择题
1．（2024八上·浏阳期中）在如图所示的尺规作图中，与AD相等的线段是（ ）
A．线段AC B．线段BD C．线段DC D．线段DE
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图痕迹可知：DE垂直平分AB，所以BD=AD.
故答案为：B。
【分析】首先根据基本作图得出：DE垂直平分AB，再根据垂直平分线的性质得出BD=AD，即可得出答案。
2．（2023八上·丰南期中） 已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：
∵，，
∴，
∴在线段的垂直平分线上，
由作图可得：C符合题意；
故答案为：C
【分析】根据作图-垂直平分线结合题意即可求解。
3．（2022八下·浑南期末）如图，有A、B、C三个居民点，现要选址建一个新冠疫苗接种点方便居民接种疫苗，要求接种点到三个居民点的距离相等，接种点应建在（ ）
A．的三条中线的交点处
B．三边的垂直平分线的交点处
C．三条角平分线的交点处
D．三条高所在直线的交点处
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
则接种点应建在△ABC三条边的垂直平分线的交点处．
故答案为：B．
【分析】根据线段垂直平分线的性质对每个选项一一判断即可。
4．（2024八上·合江期末）如图，是的角平分线，是的垂直平分线，的周长为12，则的周长为（ ）
A．16 B． C．20 D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是BC的垂直平分行，
∴CD=BD,CE=BE,
∵△ABD的周长为12，即AB+BD+AD=12,
∴AB+CD+AD=12,
∵△ABC=AB+AD+CD+CE+BE
∴△ABC=12+CE+BE,
∵CE=BE=4,
∴△ABC=12+4+4=20,
故答案为：C.
【分析】根据DE是BC的垂直平分行，可得CD=BD,CE=BE；由△ABD的周长为12，即AB+BD+AD=12,等量代换得△ABC=12+CE+BE,由CE=BE=4,得△ABC=12+4+4=20。
5．下列条件中，不能判定直线MN是线段AB（M，N不在AB上）的垂直平分线的是（ ）
A．MA=MB，NA=NB B．MA=MB，MN⊥AB
C．MA=NA，MB=NB D．MA=MB，MN平分AB
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵MA=MB，NA=NB，
∴直线MN是线段AB的垂直平分线；
∵MA=MB，MN⊥AB，
∴直线MN是线段AB的垂直平分线；
当MA=NA，MB=NB时，直线MN不一定是线段AB的垂直平分线；
∵MA=MB，MN平分AB，
∴直线MN是线段AB的垂直平分线，
故选：C．
【分析】根据线段垂直平分线的判定定理进行判断即可．
6．（2020八上·昭平期末）已知：C、D是线段AB外的两点，AC＝BC，AD＝BD，点P在直线CD上，若AP＝5，则BP的长为（ ）
A．2.5 B．5 C．10 D．25
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，
∵AC=BC，
∴点C在AB的垂直平分线上，
∵DC=DB，
∴点D在在AB的垂直平分线上，
∴CD是垂直平分AB，
∴PA=PB=5.
故答案为：B.
【分析】因为到线段的两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可得C、D都在AB的垂直平分线上，则CD垂直平分AB，可得PA=PB，从而得出BP的长.
7．（2018八上·镇江月考）如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（ ）
A．20° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC=110°，
∴∠B+∠C=70°，
又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，
∴∠BAP=∠B，∠QAC=∠C，
∴∠BAP+∠CAQ=70°，
∴∠PAQ=∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ=110°﹣70°=40°
故选：B．
【分析】由∠BAC的大小可得∠B与∠C的和，再由线段垂直平分线，可得∠BAP=∠B，∠QAC=∠C，进而可得∠PAQ的大小．
8．（2024八上·榆树期末）如图，在△ABC中，AC = 10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵MN垂直平分AB，
∴，
∴△BDC的周长，
∵，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，再利用△BDC的周长为18即求解．
二、填空题
9．（2023八上·吉林期中）如图，平面内不共线三点A，B，C，操作如下：（1）连接BC，以点B为圆心，以CB的长为半径画弧（2）连接AC，以点A为圆心，以AC的长为半径画弧，两弧相交于点D；（3）连接CD，且过A，B作直线则A，B一定在线段CD的垂直平分线上，依据是： ．
【答案】到线段CD两端点距离相等的点在CD的垂直平分线上．
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：由作图可知BC=BD，AC=AD，
可知点A、B两点都在线段CD的垂直平分线上，（到线段两端点C、D距离相等的点在线段CD的垂直平分线上）
故答案为： 到线段CD两端点距离相等的点在CD的垂直平分线上．
【分析】由同一圆上半径处处相等可知BD等于BC，AD等于AC，再结合“线段垂直平分线的判定“易知，点B和点A都在线段CD的垂直平分线上。
10．（2020八上·金坛期中）如图，点 在 的边 上，且 ，则点 在 的垂直平分线上.
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵BC=BD+AD，
∴AD=BC-BD，
∵CD=BC-BD，
∴AD=CD，
∴点D在线段AC的垂直平分线上.
故答案为：AC.
【分析】根据BC=BD+AD，结合线段的和差关系推出AD=CD，则可得出点D在线段AC的垂直平分线上.
11．（2022八上·滨海期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为18cm，则BC的长为 ．
【答案】8cm
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵△DBC的周长＝BC+BD+CD＝18cm，
又∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
故BC+AD+CD＝18cm，
∵AC＝AD+DC＝10cm，
∴BC＝18-10＝8（cm）．
故答案为：8cm．
【分析】由垂直平分线的性质可得AD＝BD，从而得出△DBC的周长＝BC+BD+CD=BC+AD+CD＝BC+AC=18cm，继而得解.
12．（2019八上·芜湖期中）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，则AE的长为 ．
【答案】3cm
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC的周长为19cm，
∴AB+AC+BC=19cm，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，AE=EC，
∵△ABD的周长为13cm，
∴AB+BD+DA=AB+BD+DC=AB+BC=13cm，
∴AC=6cm，
∴AE=3cm，
故答案为：3cm．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC，AE=EC，根据三角形的周长公式计算即可．
三、作图题
13．（2024八上·乾安期末）如图，在某河道l的同侧有两个村庄A，B，现要在河道上建一个水泵站P，这个水泵站建在什么位置，能使两个村庄到水泵站的距离相等？请你画出点P．（不写作法，保留痕迹）
【答案】解：如图，点P即为所求．
【知识点】作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】作线段AB的垂直平分线，垂直平分线与直线l的交点是点P.
四、解答题
14．（2020八上·延庆期末）已知，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，连接AC，BD．
（1）请补全图形，并说明AC，BD的位置关系；
（2）证明（1）中的结论.
【答案】（1）解：补图如下：
结论：AC⊥BD
（2）解：∵AB=AD
∴点A在线段BD的垂直平分线上
∵CB=CD
∴点C在线段BD的垂直平分线上
∵两点确定一条直线
∴AC是线段BD的垂直平分线
即AC⊥BD
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）根据垂直平分线的判定定理证出点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，即可得出结论.
15．（2023八上·东阿月考）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接．
（1）求的度数；
（2）已知，的周长为，求的周长．
【答案】（1）解：在中，，，
，，
的垂直平分线交于点，
，
，
；
（2）解：的周长为，
，
，
的垂直平分线交于点，
，
的周长．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）由AB=AC，∠C=70°求出∠A的度数与∠ABC的度数，再根据MN为AB的垂直平分线得AD=BD，进而可求出∠DBC的度数。
（2）由垂直平分线得性质可得BD+DC=AC，进而可求△BDC的周长。
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