【培优卷】2024年北师大版数学八（下）1.3线段的垂直平分线 同步练习
一、选择题
1．（2019·安次模拟）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD＝AD，∠B＝20°，则下列结论中不正确是（ ）
A．∠CAD＝40° B．∠ACD＝70°
C．点D为△ABC的外心 D．∠ACB＝90°
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，∠B＝∠BCD，
∵∠B＝20°，
∴∠B＝∠BCD＝20°，
∴∠CDA＝20°+20°＝40°．
∵CD＝AD，
∴∠ACD＝∠CAD＝ ＝70°，
∴A符合题意，B不符合题意；
∵CD＝AD，BD＝CD，
∴CD＝AD＝BD，
∴点D为△ABC的外心，故C不符合题意；
∵∠ACD＝70°，∠BCD＝20°，
∴∠ACB＝70°+20°＝90°，故D不符合题意．
故答案为：A
【分析】由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，故BN＝CN，∠B＝∠C，故可得出∠CDA的度数，根据CD＝AD可知∠DCA＝∠CAD，故可得出∠CAD的度数，进而可得出结论
2．（2023八上·东阿月考）如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，点是线段上的一个动点，当最小时，为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接，
是等边三角形，是边上的高，
是中点，即垂直平分，
，
，
即当、、三点共线时，有最小值，
点是边的中点，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题求解。连接，由等边三角形的性质，得出，进而得到，即当、、三点共线时，有最小值，再利用三线合一性质，得到，即可得到的度数．
3．（2021八上·如皋月考）如图，四边形ABCD中，AB=AD，点关于的对称点B′恰好落在CD上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AB′，BB′，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB′，
∴AB＝AB′，
∴∠BAC＝∠B′AC，
∵AB＝AD，
∴AD＝AB′，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE＝∠B'AE，
∴∠CAE＝∠BAD＝α，
又∵∠AEB′＝∠AOB′＝90°，
∴四边形AOB′E中，∠EB′O＝180° α，
∴∠ACB′＝∠E B′O ∠COB′＝180° α 90°＝90° α，
∴∠ACB＝∠ACB′＝90° α，
故答案为：D.
【分析】连接AB′，BB′，过A作AE⊥CD于E，利用轴对称的性质可证得AC垂直平分BB′，∠BAC＝∠B′AC，利用垂直平分线的性质可推出AB＝AB′，由此可推出AD=AB′；利用等腰三角形的性质可得到∠DAE=∠BAE，由此可表示出∠CAE及∠EB′O；然后根据∠ACB′＝∠E B′O ∠COB′，代入计算可表示出∠ACB的度数.
4．（2021八上·江阴期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝46°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点E在BC上，点F在AC上，连接EF.将∠C沿EF折叠，点C与点O恰好重合时，则∠OEC的度数（ ）
A．90° B．92° C．95° D．98°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：连接BO，CO，
∵∠BAC=46°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，
∴∠OAB=∠OAC=23°，
∵OD是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∵OA=OB，∠OAB=23°，
∴∠OAB=∠ABO=23°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=67°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=67°-23°=44°，
∵AB=AC，∠OAB=∠OAC，AO=AO，
∴△ABO≌△ACO（SAS），
∴BO=CO，
∴∠OBC=∠OCB=44°，
∵点C沿EF折叠后与点O重合，
∴EO=EC，
∴∠EOC=∠OCE=44°，
∴∠OEC=180°-∠EOC-∠OCE=180°-2×44°=92°.
故答案为：B.
【分析】连接BO，CO，由角平分线的概念可得∠OAB=∠OAC=23°，根据垂直平分线的性质可得OA=OB，结合等腰三角形的性质可得∠OAB=∠ABO=23°，∠ABC=∠ACB=67°，然后求出∠OBC的度数，证明△ABO≌△ACO，得到BO=CO，则∠OBC=∠OCB=44°，根据折叠的性质可得EO=EC，则∠EOC=∠OCE=44°，然后在△OEC中，应用内角和定理进行求解.
5．（2021八上·广安期末）如图，在 中， 的平分线相交于点E， 边的垂直平分线相交于点D.若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵
∴∠EBC+∠ECB=180°- ，
∵BE，CE分别 ，
∴
∴
∵ 边的垂直平分线相交于点D.
∴AD=BD=CD，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】由内角和定理可得∠EBC+∠ECB=60°，由角平分线的概念可得∠ABC=2∠EBC，∠ACB=2∠ECB，则∠ABC+∠ACB=120°，由内角和定理可得∠BAC=60°，根据垂直平分线的性质可得AD=BD=CD，由等腰三角形的性质可得∠ABD=∠BAD，∠DAC=∠DCA，则∠ADB=180°-2∠DAB，∠ADC=180°-2∠DAC，进而求出∠ADB+∠ADC=240°，接下来根据周角的概念进行计算即可.
6．（2023·克孜勒苏柯尔克孜模拟）已知锐角，如图，
在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接；
分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，；
作射线交于点．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；角平分线的定义
【解析】【解答】解：由作图可得：射线OP是∠AOB的平分线，
∴∠AOP=∠BOP，
∴选项C结论正确，不符合题意；
由作图过程（1）（2）可得：OC=OD，CP=DP，
∴OP是CD的垂直平分线，
∴CD⊥OP，
∴选项D结论正确，不符合题意；
由作图（2）可得：CD=CP=PD，
∴△CPD是等边三角形，
∵CD⊥OP，
∴CP=CD=2QC，
∴选项B结论正确，不符合题意；
∵∠AOP=∠BOP，
∴当OC=CP时，∠AOP=∠CPO，
∴当∠CPO=∠BOP时，CP//OB；
当OC≠CP时，CP//OB不成立；
∴选项A结论错误，符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据角平分线，线段垂直平分线，等边三角形的判定与性质，平行线的判定方法等，结合图形，对每个结论逐一判断求解即可。
7．（2023七下·渠县期末）如图，在R中，∠ABC=90°，以AC为边，作，满足AD=AC，E为BC上一点，连接AE，2∠BAE=∠CAD，连接DE．下列结论中正确的有( )
①AC⊥DE；②∠ADE=∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE=CE+2BE ．
A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②④
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：如图所示：延长EB到点E'，使EB=E'B，连接E'A，如图所示：
∵∠ABC=90°，
∴AB为EE'的垂直平分线，
∴EA=E'A，
∴∠5=∠3，∠2=∠1，
∵2∠BAE=∠CAD，
∴∠EAE'=2∠1=∠CAD，
∴∠DAE=∠CAE'，
∴△E'AC≌△EAD（SAS），
∴∠4=∠5， ∠ADE=∠ACB，
∴结论②正确；
∴∠4=∠3，
当∠6≠∠1时，∠1+∠3≠∠6+∠4，
∴∠EMA≠90°，
∴AC不垂直于DE，
∴结论①错误；
∵CD∥AB，
∴∠CAB=∠7，
∵CA=DA，
∴∠7=∠CDA，
∵∠CDA+∠7+∠DAC=180°，
∴，
∴∠7+∠1=90°，
∴∠7+∠2=90°，
∴∠CAE'=90°，
∵△E'AC≌△EAD（SAS），
∴E'AC=∠DAE=90°，CE'=ED，
∴AE⊥AD，ED=BE'+EB+EC=2BE+CE，
∴结论③④正确；
综上所述：正确的有②③④，
故答案为：B.
【分析】根据线段垂直平分线求出EA=E'A，再利用全等三角形的判定与性质等对每个结论逐一判断求解即可。
8．（2022·坪山模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF＝∠DFE；（2）AE＝AF；（3）AD平分∠EDF；（4）AD垂直平分EF．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵AD平分∠BAC，AB=AC，
∴BD=CD，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，
∴∠DEF=∠DFE，故（1）符合题意；
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，∠ADE=∠ADF，故（2）（3）符合题意；
∵AE=AF，AD平分∠BAC，
∴AD垂直平分EF，故（4）符合题意
故答案为：D．
【分析】利用“HL”证明Rt△ADE≌Rt△ADF，再利用全等三角形的性质逐项判断即可。
二、填空题
9．（2023八上·长岭期中）如图，△ABC中，AB＝AC， 分别以A、B为圆心， 以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E、F，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点， 若BC=4， △ABC的面积为10，则BM+MD的最小值是 ．
【答案】5
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：连接AD，AM，如图，
∵AB＝AC， D为BC的中点，
∴，
∵△ABC的面积为10，
∴，
∴AD=5，
由作法得EF垂直平分AB，
∴NA=MB，
∵MB+MD=MA+MD，
而（当且仅当A、M、D共线，即M点为EF与AD的交点时取等号），
∴MA+MD的最小值是5，
即BM+MD的最小值是 5.
故答案为：5.
【分析】连接AD，AM，利用三线合一得，结合面积公式求出AD的长度，根据三角形三边的关系得出当A、M、D共线时MA+MD最小进行求解。
10．（2023七下·西安期末）如图，在等腰中，，，是等边三角形，P是平分线上一动点连接、，则的最小值为 ．
【答案】20
【知识点】三角形三边关系；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：连接BP，如图所示，
·.·△ABC是等腰三角形，AB=AC=20，P是顶角∠BAC的平分线上一动点，
.·.AP所在直线为等腰△ABC对称轴，点B，点C关于AP对称，
∴PB=PC.
∴PC+PD=PB+PD≥BD
∴PC+PD的最小值为BD的长，
∵△ABD是等边三角形，
∴BD=AB= 20，
∴PC+PD的最小值为20.
故答案为：20.
【分析】根据已知条件确定AP是等腰三角形ABC的对称轴，从而求出PC=PB，利用三角形任意两边之和大于第三边和等量转化即可求出PC+PD的最小值.
11．（2023八下·宝安期末）如图，在中，边AB的垂直平分线交BC于点，边BC的垂直平分线交BC于点，两条垂直平分线交于点，连接PA、PB、PC，若，则的度数为 °.
【答案】140
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，设AB垂直平分线交AB于点G
∵PG是AB的垂直平分线，
∴PA=PB，PG⊥AB
∴∠APB=2∠BPG
∵PF是BC的垂直平分线，
∴PB=PC，PF⊥BC
∴∠BPC=2∠BPF=2∠FPC
∵PF⊥BC
∴∠PFC=90°
∵∠PEF=20°
∴∠FPE=90°-∠PEF=70°
∴∠GPF=180°-∠FPE=110°
∴∠GPB+∠BPF=110°
∴∠APB+∠BPC=2∠GPB+2∠FPC=220°
∴∠APC=360°-（∠APB+∠BPC）=140°.
故答案为：140.
【分析】设AB垂直平分线交AB于点G，根据线段的垂直平分线的性质可得PA=PB，PG⊥AB，PB=PC，PF⊥BC，从而利用等腰三角形的三线合一的性质可得∠APB=2∠BPG，∠BPC=2∠BPF=2∠FPC，再根据垂直的定义可得∠PFC=90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠FPE=70°，从而利用平角等于180°，求出∠GPF=110°，进而得到∠GPB+∠BPF=110°，然后利用角的和差关系可得∠APB+∠BPC=220°，最后利用圆周角等于360°即可求出∠APC=140°.
12．（2022七下·成都期末）如图，在锐角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝3，△ABC的面积为8，P为△ABC内部一点，分别作点P关于AB，BC，AC的对称点P1，P2，P3，连接P1P2，PP3，则2P1P2+PP3的最小值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接BP1，BP3，BP，
∵ P关于AB，BC，AC的对称点P1，P2，P3，
∴BP1＝BP＝BP2，OP＝OP3，PP3⊥AC，PP1⊥AB，PP2⊥BC，
∴∠PBA＝∠ABP1，∠CBP＝∠CBP2，
∵∠ABC＝30°，
∴∠P1BP2＝60°，
∴△BP1P2是等边三角形，
∴BP＝P1P2，
∴2P1P2＋PP3＝2BP＋2OP，
∴当B，P，O三点共线时，2P1P2＋PP3有最小值，其最小值是△ABC中AC边上的高OB，
∵AC＝3，△ABC的面积为8，
∴AC OB＝8，
∴×3 OB＝8
∴OB＝，
∴2P1P2＋PP3的最小值是.
故答案为：.
【分析】连接BP1，BP3，BP，利用轴对称的性质可证得BP1＝BP＝BP2，OP＝OP3，PP3⊥AC，PP1⊥AB，PP2⊥BC，利用等腰三角形的性质可推出∠PBA＝∠ABP1，∠CBP＝∠CBP2，结合已知条件求出∠P1BP2的度数，可证得△BP1P2是等边三角形，利用等边三角形的性质去证明2P1P2＋PP3＝2BP＋2OP；可得到当B，P，O三点共线时，2P1P2＋PP3有最小值，其最小值是△ABC中AC边上的高OB，利用三角形的面积公式求出OB的长，然后求出2P1P2＋PP3的最小值.
三、作图题
13．（2019七下·普陀期中）按下列要求画图并填空：
（1）过点B画出直线AC的垂线，交直线AC于点D ，那么点B到直线AC的距离是线段 的长.
（2）用直尺和圆规作出△ABC的边AB的垂直平分线EF，交边AB、AC于点M、N，联结CM .那么线段CM是△ABC的 .（保留作图痕迹）
【答案】（1）；BD
（2）；边AB的中线
【知识点】垂线；三角形的角平分线、中线和高；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】（1）如图所示，BD为所求作的垂线，点B到直线AC的距离是线段BD的长度，
故答案为：BD；（2）如图所示，EF为所求作的线段AB的垂直平分线，
线段CM是△ABC的边AB的中线，
故答案为：边AB的中线．
【分析】（1）以点B为圆心，以任意长为半径画弧，与AC的延长线相交于两点，在以这两点为圆心，以大于它们距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，连接点B与这一点与AC的延长线相交于点D，则点D即为所求，根据点到直线的距离解答；（2）分别以点A、B为圆心，以大于 AB为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线EF即可，根据线段垂直平分线的定义可得点M是AB的中点，然后根据中线的定义解答．
四、实践探究题
14．（2023八上·吴兴期中）我们定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．
（1）如图1，在△ABC中，AB=BC，且BC≠AC，请你在图1中作出△ABC的一条“等分积周线”；
（2）在图1中，过点C能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由．
（3）如图2，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，EF垂直平分AD，垂足为F，交BC于点E，已知AB=4，BC=10，CD=6．求证：直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”；
（4）如图3，在△ABC中，AB=BC=7cm，AC=10cm，请你不过△ABC的顶点，画出△ABC的一条“等分积周线”，并说明理由．
【答案】（1）解：如图1所示：作线段AC的中垂线BD即可；
（2）解：不能，
理由：如图2，若直线CD平分△ABC的面积，那么S△ADC＝S△DBC，
∴AD＝BD，
∵AC≠BC，
∴AD+AC≠BD+BC，
∴过点C不能画出一条“等分积周线”
（3）解：连接AE、DE，设BE＝x，
∵EF垂直平分AD，∴AE＝DE，AF＝DF，S△AEF＝S△DEF，
∵∠B＝∠C＝90°，AB＝4，BC＝10，CD＝6，
∴Rt△ABE和Rt△DCE中，根据勾股定理可得出：
AB2+BE2＝CE2+DC2，即42+x2＝（10﹣x）2+62，
解得：x＝6，所以BE＝6，CE＝4，
∴AB+BE＝CE+DC，
S△ABE＝S△DCE，
∴S四边形ABEF＝S△ABE+S△AEF，
S四边形DCEF＝S△DEF+S△DCE，
∴S四边形ABEF＝S四边形DCEF，
AF+AB+BE＝DF+EC+DC，
∴直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”；
（4）解：如图4，在AC上取一点F，使得FC＝AB＝7，在BC上取一点E，使得BE＝2，
作直线EF，则EF是△ABC的等分积周线，
理由：由作图可得：AF＝AC﹣FC＝10﹣7＝3，在CB上取一点G，使得CG＝AF＝3，则有AB+AF＝CF+CG，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
在△ABF和△CFG中
∴△ABF≌△CFG（SAS），
∴S△ABF＝S△CFG，
又易得BE＝EG＝2，
∴S△BFE＝S△EFG，
∴S△EFC＝S四边形ABEF，
AF+AB+BE＝CE+CF＝12，
∴EF是△ABC的等分积周线，
若如图5，当BM＝2cm，AN＝6cm时，直线MN也是△ABC的等分积周线．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；定义新运算；三角形全等的判定（SAS）；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）作出线段AC的垂直平分线，由等腰三角形三线合一的性质可得其为∠ABC的角平分线，据此解答；
（2）若直线CD平分△ABC的面积，那么S△ADC＝S△DBC，由高相等可得AD=BD，结合AC≠BC可得AD+AC≠BD+BC，据此解答；
（3）连接AE、DE，设BE＝x，由垂直平分线的性质可得AE＝DE，AF＝DF，根据三角形的面积公式可知S△AEF＝S△DEF，在Rt△ABE和Rt△DCE中，根据勾股定理可求出BE、CE的值，进而推出S△ABE=S△DCE，结合面积间的和差关系可得S四边形ABEF＝S四边形DCEF，据此证明；
（4）在AC上取一点F，使得FC＝AB＝7，在BC上取一点E，使得BE＝2，作直线EF，则AF=3，在CB上取一点G，使得CG＝AF＝3，则有AB+AF＝CF+CG，利用SAS证明△ABF≌△CFG，得到S△ABF＝S△CFG，易得S△BFE＝S△EFG，则S△EFC＝S四边形ABEF，AF+AB+BE＝CE+CF＝12，据此解答.
15．（2020八上·鞍山月考）如图
（1）（问题情境）小明遇到这样一个问题：
如图①，已知 是等边三角形，点 为 边上中点， ， 交等边三角形外角平分线 所在的直线于点 ，试探究 与 的数量关系.
小明发现：过 作 ，交 于 ，构造全等三角形，经推理论证问题得到解决.请直接写出 与 的数量关系，并说明理由.
（2）（类比探究）
如图②，当 是线段 上（除 外）任意一点时（其他条件不变）试猜想 与 的数量关系并证明你的结论.
（3）（拓展应用）
当 是线段 上延长线上，且满足 （其他条件不变）时，请判断 的形状，并说明理由.
【答案】（1）解： ，理由如下：
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∵ 是 外角平分线，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴在 与 中，
∴ ，
∴ ；
（2）解：
证明：过 作 交 于 ，
∵ 是等边三角形，
∴ 是等边三角形，
∴BF=BD
∴
∵ ， ，
∴
∵ 是 外角平分线，
∴ ，
∴ ，
∴
在 与 中，
∴ ，
∴ ；
（3）解： 是等边三角形，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形外角平分线.
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得，根据平行线的性质，可得，可证 是等边三角形，即得DF=BD，再证， ，然后根据ASA可证△AFD≌△ECD，可得AD=DE；
（2）AD=DE，理由：过 作 交 于 ，先证 是等边三角形，可得BF=BD从而求出 ， ，然后根据ASA可证△AFD≌△ECD，可得AD=DE；
（3）是等边三角形， 理由：根据等边三角形的性质及已知，可得AC=DC，根据等腰三角形三线合一的性质可得CE垂直平分AD，从而得出AE=DE，根据等边三角形的判定即证结论；
1 / 1【培优卷】2024年北师大版数学八（下）1.3线段的垂直平分线 同步练习
一、选择题
1．（2019·安次模拟）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD＝AD，∠B＝20°，则下列结论中不正确是（ ）
A．∠CAD＝40° B．∠ACD＝70°
C．点D为△ABC的外心 D．∠ACB＝90°
2．（2023八上·东阿月考）如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，点是线段上的一个动点，当最小时，为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021八上·如皋月考）如图，四边形ABCD中，AB=AD，点关于的对称点B′恰好落在CD上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021八上·江阴期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝46°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点E在BC上，点F在AC上，连接EF.将∠C沿EF折叠，点C与点O恰好重合时，则∠OEC的度数（ ）
A．90° B．92° C．95° D．98°
5．（2021八上·广安期末）如图，在 中， 的平分线相交于点E， 边的垂直平分线相交于点D.若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·克孜勒苏柯尔克孜模拟）已知锐角，如图，
在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接；
分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，；
作射线交于点．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023七下·渠县期末）如图，在R中，∠ABC=90°，以AC为边，作，满足AD=AC，E为BC上一点，连接AE，2∠BAE=∠CAD，连接DE．下列结论中正确的有( )
①AC⊥DE；②∠ADE=∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE=CE+2BE ．
A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②④
8．（2022·坪山模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF＝∠DFE；（2）AE＝AF；（3）AD平分∠EDF；（4）AD垂直平分EF．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
9．（2023八上·长岭期中）如图，△ABC中，AB＝AC， 分别以A、B为圆心， 以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E、F，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点， 若BC=4， △ABC的面积为10，则BM+MD的最小值是 ．
10．（2023七下·西安期末）如图，在等腰中，，，是等边三角形，P是平分线上一动点连接、，则的最小值为 ．
11．（2023八下·宝安期末）如图，在中，边AB的垂直平分线交BC于点，边BC的垂直平分线交BC于点，两条垂直平分线交于点，连接PA、PB、PC，若，则的度数为 °.
12．（2022七下·成都期末）如图，在锐角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝3，△ABC的面积为8，P为△ABC内部一点，分别作点P关于AB，BC，AC的对称点P1，P2，P3，连接P1P2，PP3，则2P1P2+PP3的最小值为 ．
三、作图题
13．（2019七下·普陀期中）按下列要求画图并填空：
（1）过点B画出直线AC的垂线，交直线AC于点D ，那么点B到直线AC的距离是线段 的长.
（2）用直尺和圆规作出△ABC的边AB的垂直平分线EF，交边AB、AC于点M、N，联结CM .那么线段CM是△ABC的 .（保留作图痕迹）
四、实践探究题
14．（2023八上·吴兴期中）我们定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．
（1）如图1，在△ABC中，AB=BC，且BC≠AC，请你在图1中作出△ABC的一条“等分积周线”；
（2）在图1中，过点C能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由．
（3）如图2，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，EF垂直平分AD，垂足为F，交BC于点E，已知AB=4，BC=10，CD=6．求证：直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”；
（4）如图3，在△ABC中，AB=BC=7cm，AC=10cm，请你不过△ABC的顶点，画出△ABC的一条“等分积周线”，并说明理由．
15．（2020八上·鞍山月考）如图
（1）（问题情境）小明遇到这样一个问题：
如图①，已知 是等边三角形，点 为 边上中点， ， 交等边三角形外角平分线 所在的直线于点 ，试探究 与 的数量关系.
小明发现：过 作 ，交 于 ，构造全等三角形，经推理论证问题得到解决.请直接写出 与 的数量关系，并说明理由.
（2）（类比探究）
如图②，当 是线段 上（除 外）任意一点时（其他条件不变）试猜想 与 的数量关系并证明你的结论.
（3）（拓展应用）
当 是线段 上延长线上，且满足 （其他条件不变）时，请判断 的形状，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，∠B＝∠BCD，
∵∠B＝20°，
∴∠B＝∠BCD＝20°，
∴∠CDA＝20°+20°＝40°．
∵CD＝AD，
∴∠ACD＝∠CAD＝ ＝70°，
∴A符合题意，B不符合题意；
∵CD＝AD，BD＝CD，
∴CD＝AD＝BD，
∴点D为△ABC的外心，故C不符合题意；
∵∠ACD＝70°，∠BCD＝20°，
∴∠ACB＝70°+20°＝90°，故D不符合题意．
故答案为：A
【分析】由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，故BN＝CN，∠B＝∠C，故可得出∠CDA的度数，根据CD＝AD可知∠DCA＝∠CAD，故可得出∠CAD的度数，进而可得出结论
2．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接，
是等边三角形，是边上的高，
是中点，即垂直平分，
，
，
即当、、三点共线时，有最小值，
点是边的中点，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题求解。连接，由等边三角形的性质，得出，进而得到，即当、、三点共线时，有最小值，再利用三线合一性质，得到，即可得到的度数．
3．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AB′，BB′，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB′，
∴AB＝AB′，
∴∠BAC＝∠B′AC，
∵AB＝AD，
∴AD＝AB′，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE＝∠B'AE，
∴∠CAE＝∠BAD＝α，
又∵∠AEB′＝∠AOB′＝90°，
∴四边形AOB′E中，∠EB′O＝180° α，
∴∠ACB′＝∠E B′O ∠COB′＝180° α 90°＝90° α，
∴∠ACB＝∠ACB′＝90° α，
故答案为：D.
【分析】连接AB′，BB′，过A作AE⊥CD于E，利用轴对称的性质可证得AC垂直平分BB′，∠BAC＝∠B′AC，利用垂直平分线的性质可推出AB＝AB′，由此可推出AD=AB′；利用等腰三角形的性质可得到∠DAE=∠BAE，由此可表示出∠CAE及∠EB′O；然后根据∠ACB′＝∠E B′O ∠COB′，代入计算可表示出∠ACB的度数.
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：连接BO，CO，
∵∠BAC=46°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，
∴∠OAB=∠OAC=23°，
∵OD是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∵OA=OB，∠OAB=23°，
∴∠OAB=∠ABO=23°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=67°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=67°-23°=44°，
∵AB=AC，∠OAB=∠OAC，AO=AO，
∴△ABO≌△ACO（SAS），
∴BO=CO，
∴∠OBC=∠OCB=44°，
∵点C沿EF折叠后与点O重合，
∴EO=EC，
∴∠EOC=∠OCE=44°，
∴∠OEC=180°-∠EOC-∠OCE=180°-2×44°=92°.
故答案为：B.
【分析】连接BO，CO，由角平分线的概念可得∠OAB=∠OAC=23°，根据垂直平分线的性质可得OA=OB，结合等腰三角形的性质可得∠OAB=∠ABO=23°，∠ABC=∠ACB=67°，然后求出∠OBC的度数，证明△ABO≌△ACO，得到BO=CO，则∠OBC=∠OCB=44°，根据折叠的性质可得EO=EC，则∠EOC=∠OCE=44°，然后在△OEC中，应用内角和定理进行求解.
5．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵
∴∠EBC+∠ECB=180°- ，
∵BE，CE分别 ，
∴
∴
∵ 边的垂直平分线相交于点D.
∴AD=BD=CD，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】由内角和定理可得∠EBC+∠ECB=60°，由角平分线的概念可得∠ABC=2∠EBC，∠ACB=2∠ECB，则∠ABC+∠ACB=120°，由内角和定理可得∠BAC=60°，根据垂直平分线的性质可得AD=BD=CD，由等腰三角形的性质可得∠ABD=∠BAD，∠DAC=∠DCA，则∠ADB=180°-2∠DAB，∠ADC=180°-2∠DAC，进而求出∠ADB+∠ADC=240°，接下来根据周角的概念进行计算即可.
6．【答案】A
【知识点】平行线的判定；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；角平分线的定义
【解析】【解答】解：由作图可得：射线OP是∠AOB的平分线，
∴∠AOP=∠BOP，
∴选项C结论正确，不符合题意；
由作图过程（1）（2）可得：OC=OD，CP=DP，
∴OP是CD的垂直平分线，
∴CD⊥OP，
∴选项D结论正确，不符合题意；
由作图（2）可得：CD=CP=PD，
∴△CPD是等边三角形，
∵CD⊥OP，
∴CP=CD=2QC，
∴选项B结论正确，不符合题意；
∵∠AOP=∠BOP，
∴当OC=CP时，∠AOP=∠CPO，
∴当∠CPO=∠BOP时，CP//OB；
当OC≠CP时，CP//OB不成立；
∴选项A结论错误，符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据角平分线，线段垂直平分线，等边三角形的判定与性质，平行线的判定方法等，结合图形，对每个结论逐一判断求解即可。
7．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：如图所示：延长EB到点E'，使EB=E'B，连接E'A，如图所示：
∵∠ABC=90°，
∴AB为EE'的垂直平分线，
∴EA=E'A，
∴∠5=∠3，∠2=∠1，
∵2∠BAE=∠CAD，
∴∠EAE'=2∠1=∠CAD，
∴∠DAE=∠CAE'，
∴△E'AC≌△EAD（SAS），
∴∠4=∠5， ∠ADE=∠ACB，
∴结论②正确；
∴∠4=∠3，
当∠6≠∠1时，∠1+∠3≠∠6+∠4，
∴∠EMA≠90°，
∴AC不垂直于DE，
∴结论①错误；
∵CD∥AB，
∴∠CAB=∠7，
∵CA=DA，
∴∠7=∠CDA，
∵∠CDA+∠7+∠DAC=180°，
∴，
∴∠7+∠1=90°，
∴∠7+∠2=90°，
∴∠CAE'=90°，
∵△E'AC≌△EAD（SAS），
∴E'AC=∠DAE=90°，CE'=ED，
∴AE⊥AD，ED=BE'+EB+EC=2BE+CE，
∴结论③④正确；
综上所述：正确的有②③④，
故答案为：B.
【分析】根据线段垂直平分线求出EA=E'A，再利用全等三角形的判定与性质等对每个结论逐一判断求解即可。
8．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵AD平分∠BAC，AB=AC，
∴BD=CD，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，
∴∠DEF=∠DFE，故（1）符合题意；
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，∠ADE=∠ADF，故（2）（3）符合题意；
∵AE=AF，AD平分∠BAC，
∴AD垂直平分EF，故（4）符合题意
故答案为：D．
【分析】利用“HL”证明Rt△ADE≌Rt△ADF，再利用全等三角形的性质逐项判断即可。
9．【答案】5
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：连接AD，AM，如图，
∵AB＝AC， D为BC的中点，
∴，
∵△ABC的面积为10，
∴，
∴AD=5，
由作法得EF垂直平分AB，
∴NA=MB，
∵MB+MD=MA+MD，
而（当且仅当A、M、D共线，即M点为EF与AD的交点时取等号），
∴MA+MD的最小值是5，
即BM+MD的最小值是 5.
故答案为：5.
【分析】连接AD，AM，利用三线合一得，结合面积公式求出AD的长度，根据三角形三边的关系得出当A、M、D共线时MA+MD最小进行求解。
10．【答案】20
【知识点】三角形三边关系；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：连接BP，如图所示，
·.·△ABC是等腰三角形，AB=AC=20，P是顶角∠BAC的平分线上一动点，
.·.AP所在直线为等腰△ABC对称轴，点B，点C关于AP对称，
∴PB=PC.
∴PC+PD=PB+PD≥BD
∴PC+PD的最小值为BD的长，
∵△ABD是等边三角形，
∴BD=AB= 20，
∴PC+PD的最小值为20.
故答案为：20.
【分析】根据已知条件确定AP是等腰三角形ABC的对称轴，从而求出PC=PB，利用三角形任意两边之和大于第三边和等量转化即可求出PC+PD的最小值.
11．【答案】140
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，设AB垂直平分线交AB于点G
∵PG是AB的垂直平分线，
∴PA=PB，PG⊥AB
∴∠APB=2∠BPG
∵PF是BC的垂直平分线，
∴PB=PC，PF⊥BC
∴∠BPC=2∠BPF=2∠FPC
∵PF⊥BC
∴∠PFC=90°
∵∠PEF=20°
∴∠FPE=90°-∠PEF=70°
∴∠GPF=180°-∠FPE=110°
∴∠GPB+∠BPF=110°
∴∠APB+∠BPC=2∠GPB+2∠FPC=220°
∴∠APC=360°-（∠APB+∠BPC）=140°.
故答案为：140.
【分析】设AB垂直平分线交AB于点G，根据线段的垂直平分线的性质可得PA=PB，PG⊥AB，PB=PC，PF⊥BC，从而利用等腰三角形的三线合一的性质可得∠APB=2∠BPG，∠BPC=2∠BPF=2∠FPC，再根据垂直的定义可得∠PFC=90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠FPE=70°，从而利用平角等于180°，求出∠GPF=110°，进而得到∠GPB+∠BPF=110°，然后利用角的和差关系可得∠APB+∠BPC=220°，最后利用圆周角等于360°即可求出∠APC=140°.
12．【答案】
【知识点】垂线段最短；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接BP1，BP3，BP，
∵ P关于AB，BC，AC的对称点P1，P2，P3，
∴BP1＝BP＝BP2，OP＝OP3，PP3⊥AC，PP1⊥AB，PP2⊥BC，
∴∠PBA＝∠ABP1，∠CBP＝∠CBP2，
∵∠ABC＝30°，
∴∠P1BP2＝60°，
∴△BP1P2是等边三角形，
∴BP＝P1P2，
∴2P1P2＋PP3＝2BP＋2OP，
∴当B，P，O三点共线时，2P1P2＋PP3有最小值，其最小值是△ABC中AC边上的高OB，
∵AC＝3，△ABC的面积为8，
∴AC OB＝8，
∴×3 OB＝8
∴OB＝，
∴2P1P2＋PP3的最小值是.
故答案为：.
【分析】连接BP1，BP3，BP，利用轴对称的性质可证得BP1＝BP＝BP2，OP＝OP3，PP3⊥AC，PP1⊥AB，PP2⊥BC，利用等腰三角形的性质可推出∠PBA＝∠ABP1，∠CBP＝∠CBP2，结合已知条件求出∠P1BP2的度数，可证得△BP1P2是等边三角形，利用等边三角形的性质去证明2P1P2＋PP3＝2BP＋2OP；可得到当B，P，O三点共线时，2P1P2＋PP3有最小值，其最小值是△ABC中AC边上的高OB，利用三角形的面积公式求出OB的长，然后求出2P1P2＋PP3的最小值.
13．【答案】（1）；BD
（2）；边AB的中线
【知识点】垂线；三角形的角平分线、中线和高；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】（1）如图所示，BD为所求作的垂线，点B到直线AC的距离是线段BD的长度，
故答案为：BD；（2）如图所示，EF为所求作的线段AB的垂直平分线，
线段CM是△ABC的边AB的中线，
故答案为：边AB的中线．
【分析】（1）以点B为圆心，以任意长为半径画弧，与AC的延长线相交于两点，在以这两点为圆心，以大于它们距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，连接点B与这一点与AC的延长线相交于点D，则点D即为所求，根据点到直线的距离解答；（2）分别以点A、B为圆心，以大于 AB为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线EF即可，根据线段垂直平分线的定义可得点M是AB的中点，然后根据中线的定义解答．
14．【答案】（1）解：如图1所示：作线段AC的中垂线BD即可；
（2）解：不能，
理由：如图2，若直线CD平分△ABC的面积，那么S△ADC＝S△DBC，
∴AD＝BD，
∵AC≠BC，
∴AD+AC≠BD+BC，
∴过点C不能画出一条“等分积周线”
（3）解：连接AE、DE，设BE＝x，
∵EF垂直平分AD，∴AE＝DE，AF＝DF，S△AEF＝S△DEF，
∵∠B＝∠C＝90°，AB＝4，BC＝10，CD＝6，
∴Rt△ABE和Rt△DCE中，根据勾股定理可得出：
AB2+BE2＝CE2+DC2，即42+x2＝（10﹣x）2+62，
解得：x＝6，所以BE＝6，CE＝4，
∴AB+BE＝CE+DC，
S△ABE＝S△DCE，
∴S四边形ABEF＝S△ABE+S△AEF，
S四边形DCEF＝S△DEF+S△DCE，
∴S四边形ABEF＝S四边形DCEF，
AF+AB+BE＝DF+EC+DC，
∴直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”；
（4）解：如图4，在AC上取一点F，使得FC＝AB＝7，在BC上取一点E，使得BE＝2，
作直线EF，则EF是△ABC的等分积周线，
理由：由作图可得：AF＝AC﹣FC＝10﹣7＝3，在CB上取一点G，使得CG＝AF＝3，则有AB+AF＝CF+CG，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
在△ABF和△CFG中
∴△ABF≌△CFG（SAS），
∴S△ABF＝S△CFG，
又易得BE＝EG＝2，
∴S△BFE＝S△EFG，
∴S△EFC＝S四边形ABEF，
AF+AB+BE＝CE+CF＝12，
∴EF是△ABC的等分积周线，
若如图5，当BM＝2cm，AN＝6cm时，直线MN也是△ABC的等分积周线．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；定义新运算；三角形全等的判定（SAS）；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）作出线段AC的垂直平分线，由等腰三角形三线合一的性质可得其为∠ABC的角平分线，据此解答；
（2）若直线CD平分△ABC的面积，那么S△ADC＝S△DBC，由高相等可得AD=BD，结合AC≠BC可得AD+AC≠BD+BC，据此解答；
（3）连接AE、DE，设BE＝x，由垂直平分线的性质可得AE＝DE，AF＝DF，根据三角形的面积公式可知S△AEF＝S△DEF，在Rt△ABE和Rt△DCE中，根据勾股定理可求出BE、CE的值，进而推出S△ABE=S△DCE，结合面积间的和差关系可得S四边形ABEF＝S四边形DCEF，据此证明；
（4）在AC上取一点F，使得FC＝AB＝7，在BC上取一点E，使得BE＝2，作直线EF，则AF=3，在CB上取一点G，使得CG＝AF＝3，则有AB+AF＝CF+CG，利用SAS证明△ABF≌△CFG，得到S△ABF＝S△CFG，易得S△BFE＝S△EFG，则S△EFC＝S四边形ABEF，AF+AB+BE＝CE+CF＝12，据此解答.
15．【答案】（1）解： ，理由如下：
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∵ 是 外角平分线，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴在 与 中，
∴ ，
∴ ；
（2）解：
证明：过 作 交 于 ，
∵ 是等边三角形，
∴ 是等边三角形，
∴BF=BD
∴
∵ ， ，
∴
∵ 是 外角平分线，
∴ ，
∴ ，
∴
在 与 中，
∴ ，
∴ ；
（3）解： 是等边三角形，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形外角平分线.
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得，根据平行线的性质，可得，可证 是等边三角形，即得DF=BD，再证， ，然后根据ASA可证△AFD≌△ECD，可得AD=DE；
（2）AD=DE，理由：过 作 交 于 ，先证 是等边三角形，可得BF=BD从而求出 ， ，然后根据ASA可证△AFD≌△ECD，可得AD=DE；
（3）是等边三角形， 理由：根据等边三角形的性质及已知，可得AC=DC，根据等腰三角形三线合一的性质可得CE垂直平分AD，从而得出AE=DE，根据等边三角形的判定即证结论；
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