【提升卷】2024年北师大版数学八（下）1.3线段的垂直平分线 同步练习
一、选择题
1．（2022八下·宝鸡期末）某地兴建的幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在 （ ）
A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处
C．三个角的平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处
2．（2023八下·淮安期末）如图，在一个直角三角形中，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023八下·泗县月考）如图，已知△ABD是等边三角形，，E是AD上的点，，与BD交于点F．则下列结论正确的有（ ）
①连接AC，则AC垂直平分线段BD；②△DEF是等边三角形；③若，则；④若AB＝8，DE＝2，则CF＝4．
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④
4．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使点C和点A重合，则折痕EF的长为（ ）
A． B． C．15 D．16
5．（2017八下·钦北期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于 AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC＝3，AB＝5，则DE等于（ ）
A．2 B． C． D．
6．（2023八下·梅州期末）如图，为内一点，过点的直线与边，分别交于点，，若点，点恰好分别在，的垂直平分线上，记，，则，满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023八下·萍乡期末）如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交、于点，，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八下·南山期末）如图，锐角按下列步骤作图：①在射线OA上取一点，以点O为圆心，OC长为半径作圆弧DE，交射线OB于点F，连接；②以点F为圆心，CF长为半径作圆弧，交弧DE于点；③连接FG、CG，作射线OG.根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．OG=OC B．
C．OF垂直平分CG D．OC=2FG
二、填空题
9．（2019八下·顺德期末）如图，等腰△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交边AC于点D，且∠DBC=15°，则∠A的度数是 .
10．（2023八下·台山期末）如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点P，Q，过P，Q两点作直线交于点D，则的长是 ．
11．（2023八下·温江期末）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F；②作直线交于点P．若，，．则的长为 ．
12．（2023八下·崂山期末）如图，在中，，点为上一点，的垂直平分线交于点，将沿着折叠，点恰好和点重合，则的度数为 ．
三、作图题
13．（2023八下·鄠邑期末）已知，为边AB上一点，请用尺规作图的方法在边AC上求作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹）
四、解答题
14．（2023八下·顺德期中）在中，，平分，交于点．
（1）如图，若，求的度数；
（2）如图，在上取点，连接交于点，连接、．
给出四个关系：
①；
②；
③平分；
④．
请从中选择一个作为条件，证明垂直平分．
你选的条件是 ▲ ，请写出推理的过程．
15．（2023八下·定边期末）如图，在中，，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，点D是BE的中点.
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的周长.
16．（2023八下·龙岗期中）如图，AD为等腰△ABC的顶角∠BAC的平分线，∠ABC＝50°，在线段AD上取一点E．使得∠ACE＝20°，在线段CE上取一点F，使得∠FBC＝10°，连接BE，AF．
（1）∠EBF＝ 度，∠EBA＝ 度，∠BFE＝ 度；
（2）求证：BA＝BF；
（3）BE与AF的位置关系为 （直接写出）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，
∴充电桩应该在△ABC的三条边的垂直平分线上.
故答案为：D.
【分析】利用线段垂直平分线上的点到线段的两端点的距离相等，可得答案.
2．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：对选项逐项进行标注，如下：
A、由作法可知：，∴为等腰三角形，本项不符合题意；
B、由作法可知：所作直线为AC的垂直平分线，无法得出线段相等，故无法推出等腰三角形，本项符合题意；
C、由作法可知：所作直线为AB的垂直平分线，∴，∴为等腰三角形，本项不符合题意；
D、由作法可知：所作直线为AC的垂直平分线，∴，∴为等腰三角形，本项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】对尺规作图分析，再根据等腰三角形的判定逐项分析即可.
3．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，连接AC，
∵△ABD是等边三角形，
∴AB=AD，∠ABD=∠DAB=∠EDF=60°，
∵，
∴点A、C都在线段BD的垂直平分线上，
∴连接AC，则AC垂直平分线段BD，故①符合题意，
∵，
∴∠ABD=∠EFD=60°，∠DEF=∠DAB=60°，
∴△DEF是等边三角形，故②符合题意，
∵BC=BD，，
∴∠CDB=∠CBD=40°，
∵∠DFE=60°，
∴∠DCE=∠DFE-∠CDB=60°-40°=20°，故③不符合题意，
∵AC垂直平分BD，AB=AD，∠BAD=60°，
∴∠CAB=∠CAD=30°，
∵AB//CE，
∴∠ACE=∠CAB=∠CAD，
∴CE=AE，
∵△ABD和△DEF都是等边三角形，AB＝8，DE＝2，
∴AD=AB=8，EF=DE=2，
∴CF=CE-EF=AE-EF=AD-DE-EF=8-2-2=4，故④符合题意，
故答案为：B．
【分析】连接AC，由等边三角形的性质可得AB=AD，∠ABD=∠DAB=∠EDF=60°，结合BC=CD，可得AC垂直平分线段BD，据此判断①；由CE∥AB可得∠ABD=∠EFD=60°，∠DEF=∠DAB=60°，据此判断②；利用等腰三角形的性质可得∠CDB=∠CBD=40°，从而求出∠DCE=∠DFE-∠CDB=20°，据此判断③；先求出CE=AE，由等边三角形的性质可得AD=AB=8，EF=DE=2，从而求出CF=CE-EF=AE-EF=AD-DE-EF=4，据此判断④.
4．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接AF
由题意得EF为AC的垂直平分线，
∴AF=CF
设CF=x，则BF=4-x
在中，由勾股定理得，即，解得，
在中，，，
在中，由勾股定理得，
.
故答案为：A.
【分析】连接AF，由题意得EF为AC的垂直平分线，得AF=CF，设CF=x，在中，根据勾股定理得，在中，由勾股定理得，，在中，由勾股定理得，，即可得解.
5．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：在RtABC中，由勾股定理得：BC= =4，
连接AE，
从作法可知：DE是AB的垂直评分线，
根据性质AE=BE，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC +CE =AE ，
即3 +（4-AE） =AE ，
解得：AE= ，
在Rt△ADE中，AD= AB= ，由勾股定理得：DE +( ) =( ) ，
解得：DE= .
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理求出BC的长，从作法可知DE是AB的垂直评分线，根据垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等，得到AE=BE，再由勾股定理求出AE、DE的长.
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵点E、F恰好分别在CD、BD的垂直平分线上，
∴FB=FD。ED=EC，
∴∠BDF=∠DBF=α，∠CDE=∠DCE，
∴∠AFE=∠BDF+∠DBF=2α，∠AEF=∠CDE+∠DCE=2∠DCE.
∵∠A+∠AFE+∠AEF=180°，
∴∠A+2α+2∠DCE=180°.
∵∠A+2∠DCE=β，
∴2α+β=180°.
故答案为：C.
【分析】根据垂直平分线的性质可得FB=FD。ED=EC，由等腰三角形的性质可得∠BDF=∠DBF=α，∠CDE=∠DCE，结合外角的性质可得∠AFE=2α，∠AEF=2∠DCE，由内角和定理可得∠A+∠AFE+∠AEF=180°，代入可得∠A+2α+2∠DCE=180°，然后结合已知条件可得结果.
7．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：在△PMN中，
∵∠ABC=52°，
∴∠BMN+∠BNM=180°-52°=128°，
∵点M在AP的垂直平分线上，
∴MA=MP，
∴∠MAP=∠MPA，
∴∠BMN=2∠MPA，
同理可得：∠BNM=2∠NPC，
∴∠BMN+∠BNM=2∠MPA+2∠NPC=128°，
∴∠MPA+∠NPC=64°，
∴∠APC=180°-（∠MPA+∠NPC）=180°-64°=116°。
故答案为：B。
【分析】首先根据三角形内角和求得∠BMN+∠BNM=128°，然后根据中垂线的性质得出△AMP和△CNP都是等腰三角形，从而得出∠BMN=2∠MPA，∠BNM=2∠NPC，进一步可得∠MPA+∠NPC=64°，最后根据平角定义求得∠APC=116°即可。
8．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：由作法得OC=OF=OG，FG=FC，∴OF垂直平分CG，A、C选项的结论正确，不符合题意；
∵OC=OG，OF=OF，CF=GF，∴△OCF≌△OGF（SSS），∴∠OCF=∠OGF，B选项正确，不符合题意；
不能证出OC=2CF，由于CF=FG，∴也不能证出OC=2FG，D选项错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】由作法得OC=OF=OG，FG=FC，据此可直接判断A选项；根据到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上可得点O、F都在线段CG的垂直平分线上，进而根据过两点有且只有一条直线可得OF是CG的垂直平分线，据此可判断C选项；用SSS判断出△OCF≌△OGF，由全等三角形的对应角相等得∠OCF=∠OGF，据此可判断B选项；不能证出OC=2CF，由于CF=FG，故也不能证出OC=2FG，据此判断D选项
9．【答案】50
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵∠DBC=15°，
∴∠ABC=∠A+15°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=∠A+15°，
∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，
解得∠A=50°．
故答案为：50°
【分析】根据线段垂直平分线的含义，即可得到AD=BD，根据等量代换即可得到∠A的度数。
10．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：连接AD，如右图：
由题意可知，BC==8，QP是线段AB的垂直平分线；
∴AD=BD
设CD=x，则AD=8-x；
∵∠C=90°
∴
∴，解得x=
故答案为：.
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD；根据勾股定理，可得CD的值.
11．【答案】7
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意作出图象，如图所示：
根据题意可得：EF是线段BC的垂直平分线，
∴PC=PB，
∴∠B=∠PCB=45°，
∴∠APC=∠B+∠PCB=45°+45°=90°，
∴，
∴PB=PC=4，
∴AB=AP+PB=3+4=7，
故答案为：7.
【分析】先利用勾股定理求出PC的长，再利用垂直平分线的性质可得PB=PC=4，再利用线段的和差求出AB的长即可.
12．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】由折叠知△BCD≌△BED，
∴∠C=∠BED，
由垂直平分线段AD可知ED=EA，
∴∠A=∠EDA，
∵∠BED=∠A+∠EDA，
∴∠C=2∠A，
∵∠C+∠A+∠ABC=180°，且∠ABC=135°，
∴3∠A=45°，
∴∠A=15°.
故答案为：15°.
【分析】考查折叠以及线段垂直平分线的知识，由折叠可知折叠前后两三角形全等，所以对应角相等，又由线段的垂直平分线性质可知ED等于EA，据等边对等角可得三角形AED两底角相等，再利用三角形外角知识最终可得角C和角A的数量关系，再根据三角形内角和求角A即可。
13．【答案】解：如图，
点E即为所求
【知识点】作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】利用垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知将PE转化为CE即可，因此连接PC，作出PC的垂直平分线交AC于点E，连接PE即可.
14．【答案】（1）解：设的度数为，则，，，
，
解得，
的度数为；
（2）解：①；推理过程如下：
，
，
，，
≌，
，，
，
，
又，，
，
又，
≌，
，
垂直平分，
故答案为：①
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）设的度数为，分别表示出的度数，根据三角形的内角和定理，列方程，即可求解；
（2）任选一个，根据三角形全等的性质，得出：最后根据垂直平分线的性质即可求解.
15．【答案】（1）解：∵垂直平分，
∴，∴，
∴.
∵点是的中点，，
∴垂直平分，
∴，∴，
∴；
（2）解：∵垂直平分，垂直平分，
∴，，，
∴
，
即的周长是18cm.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）由垂直平分线的性质可得EA=EC，则∠EAC=∠C=40°，由外角的性质可得∠AEB=∠EAC+∠C=80°，易得AD垂直平分BE，则∠ABE=∠AEB=80°，然后根据内角和定理进行计算；
（2）由垂直平分线的性质可得AC=2CF=8，CE=AE=AB，DB=DE，据此可将△ABC的周长转化为AC+2CD，进而进行计算.
16．【答案】（1）20；20；40
（2）证明：∵AD为等腰△ABC的顶角∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝ ∠BAC，
∵∠ABC＝∠ACB＝50°，
∴∠BAC＝80°，
∴∠BAE＝40°，
∴∠BAE＝∠BFE＝40°，
∵∠ABE＝∠EBF＝20°，BE＝BE，
∴△ABE≌△FBE（AAS），
∴AB＝BF；
（3）BE⊥AF
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）∵ AD为等腰△ABC的顶角∠BAC的平分线 ，AB=AC
∴AD垂直平分BC，∠ABC=∠ACB，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∴∠ABE=∠ACE=20°，
∵∠ABC=50°， ∠FBC＝10°
∴∠ECB=∠EBC=∠ABC-∠ABE=30°，∠EBF=∠ABC-∠ABE-∠FBC=50°-20°-10°=20°，
∴∠BFE=∠ACB+∠FBC=30°+10°=40°；
故答案为：20，20，40.
（3）由（2）知AB＝BF，∠ABE＝∠EBF，
∴BE⊥AF；
故答案为：BE⊥AF.
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD垂直平分BC，∠ABC=∠ACB，利用线段垂直平分线的性质可推出∠EBC=∠ECB，从而得出∠ABE=∠ACE=20°，利用角的和差求出∠ECB、∠EBF的度数，再利用三角形外角和的性质求出∠BFE即可；
（2）证明△ABE≌△FBE（AAS）， 利用全等三角形的对应边相等即可求解.
（3）由（2）知AB＝BF，∠ABE＝∠EBF，利用等腰三角形的性质即得BE⊥AF.
1 / 1【提升卷】2024年北师大版数学八（下）1.3线段的垂直平分线 同步练习
一、选择题
1．（2022八下·宝鸡期末）某地兴建的幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在 （ ）
A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处
C．三个角的平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，
∴充电桩应该在△ABC的三条边的垂直平分线上.
故答案为：D.
【分析】利用线段垂直平分线上的点到线段的两端点的距离相等，可得答案.
2．（2023八下·淮安期末）如图，在一个直角三角形中，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：对选项逐项进行标注，如下：
A、由作法可知：，∴为等腰三角形，本项不符合题意；
B、由作法可知：所作直线为AC的垂直平分线，无法得出线段相等，故无法推出等腰三角形，本项符合题意；
C、由作法可知：所作直线为AB的垂直平分线，∴，∴为等腰三角形，本项不符合题意；
D、由作法可知：所作直线为AC的垂直平分线，∴，∴为等腰三角形，本项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】对尺规作图分析，再根据等腰三角形的判定逐项分析即可.
3．（2023八下·泗县月考）如图，已知△ABD是等边三角形，，E是AD上的点，，与BD交于点F．则下列结论正确的有（ ）
①连接AC，则AC垂直平分线段BD；②△DEF是等边三角形；③若，则；④若AB＝8，DE＝2，则CF＝4．
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，连接AC，
∵△ABD是等边三角形，
∴AB=AD，∠ABD=∠DAB=∠EDF=60°，
∵，
∴点A、C都在线段BD的垂直平分线上，
∴连接AC，则AC垂直平分线段BD，故①符合题意，
∵，
∴∠ABD=∠EFD=60°，∠DEF=∠DAB=60°，
∴△DEF是等边三角形，故②符合题意，
∵BC=BD，，
∴∠CDB=∠CBD=40°，
∵∠DFE=60°，
∴∠DCE=∠DFE-∠CDB=60°-40°=20°，故③不符合题意，
∵AC垂直平分BD，AB=AD，∠BAD=60°，
∴∠CAB=∠CAD=30°，
∵AB//CE，
∴∠ACE=∠CAB=∠CAD，
∴CE=AE，
∵△ABD和△DEF都是等边三角形，AB＝8，DE＝2，
∴AD=AB=8，EF=DE=2，
∴CF=CE-EF=AE-EF=AD-DE-EF=8-2-2=4，故④符合题意，
故答案为：B．
【分析】连接AC，由等边三角形的性质可得AB=AD，∠ABD=∠DAB=∠EDF=60°，结合BC=CD，可得AC垂直平分线段BD，据此判断①；由CE∥AB可得∠ABD=∠EFD=60°，∠DEF=∠DAB=60°，据此判断②；利用等腰三角形的性质可得∠CDB=∠CBD=40°，从而求出∠DCE=∠DFE-∠CDB=20°，据此判断③；先求出CE=AE，由等边三角形的性质可得AD=AB=8，EF=DE=2，从而求出CF=CE-EF=AE-EF=AD-DE-EF=4，据此判断④.
4．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使点C和点A重合，则折痕EF的长为（ ）
A． B． C．15 D．16
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接AF
由题意得EF为AC的垂直平分线，
∴AF=CF
设CF=x，则BF=4-x
在中，由勾股定理得，即，解得，
在中，，，
在中，由勾股定理得，
.
故答案为：A.
【分析】连接AF，由题意得EF为AC的垂直平分线，得AF=CF，设CF=x，在中，根据勾股定理得，在中，由勾股定理得，，在中，由勾股定理得，，即可得解.
5．（2017八下·钦北期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于 AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC＝3，AB＝5，则DE等于（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：在RtABC中，由勾股定理得：BC= =4，
连接AE，
从作法可知：DE是AB的垂直评分线，
根据性质AE=BE，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC +CE =AE ，
即3 +（4-AE） =AE ，
解得：AE= ，
在Rt△ADE中，AD= AB= ，由勾股定理得：DE +( ) =( ) ，
解得：DE= .
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理求出BC的长，从作法可知DE是AB的垂直评分线，根据垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等，得到AE=BE，再由勾股定理求出AE、DE的长.
6．（2023八下·梅州期末）如图，为内一点，过点的直线与边，分别交于点，，若点，点恰好分别在，的垂直平分线上，记，，则，满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵点E、F恰好分别在CD、BD的垂直平分线上，
∴FB=FD。ED=EC，
∴∠BDF=∠DBF=α，∠CDE=∠DCE，
∴∠AFE=∠BDF+∠DBF=2α，∠AEF=∠CDE+∠DCE=2∠DCE.
∵∠A+∠AFE+∠AEF=180°，
∴∠A+2α+2∠DCE=180°.
∵∠A+2∠DCE=β，
∴2α+β=180°.
故答案为：C.
【分析】根据垂直平分线的性质可得FB=FD。ED=EC，由等腰三角形的性质可得∠BDF=∠DBF=α，∠CDE=∠DCE，结合外角的性质可得∠AFE=2α，∠AEF=2∠DCE，由内角和定理可得∠A+∠AFE+∠AEF=180°，代入可得∠A+2α+2∠DCE=180°，然后结合已知条件可得结果.
7．（2023八下·萍乡期末）如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交、于点，，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：在△PMN中，
∵∠ABC=52°，
∴∠BMN+∠BNM=180°-52°=128°，
∵点M在AP的垂直平分线上，
∴MA=MP，
∴∠MAP=∠MPA，
∴∠BMN=2∠MPA，
同理可得：∠BNM=2∠NPC，
∴∠BMN+∠BNM=2∠MPA+2∠NPC=128°，
∴∠MPA+∠NPC=64°，
∴∠APC=180°-（∠MPA+∠NPC）=180°-64°=116°。
故答案为：B。
【分析】首先根据三角形内角和求得∠BMN+∠BNM=128°，然后根据中垂线的性质得出△AMP和△CNP都是等腰三角形，从而得出∠BMN=2∠MPA，∠BNM=2∠NPC，进一步可得∠MPA+∠NPC=64°，最后根据平角定义求得∠APC=116°即可。
8．（2023八下·南山期末）如图，锐角按下列步骤作图：①在射线OA上取一点，以点O为圆心，OC长为半径作圆弧DE，交射线OB于点F，连接；②以点F为圆心，CF长为半径作圆弧，交弧DE于点；③连接FG、CG，作射线OG.根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．OG=OC B．
C．OF垂直平分CG D．OC=2FG
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：由作法得OC=OF=OG，FG=FC，∴OF垂直平分CG，A、C选项的结论正确，不符合题意；
∵OC=OG，OF=OF，CF=GF，∴△OCF≌△OGF（SSS），∴∠OCF=∠OGF，B选项正确，不符合题意；
不能证出OC=2CF，由于CF=FG，∴也不能证出OC=2FG，D选项错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】由作法得OC=OF=OG，FG=FC，据此可直接判断A选项；根据到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上可得点O、F都在线段CG的垂直平分线上，进而根据过两点有且只有一条直线可得OF是CG的垂直平分线，据此可判断C选项；用SSS判断出△OCF≌△OGF，由全等三角形的对应角相等得∠OCF=∠OGF，据此可判断B选项；不能证出OC=2CF，由于CF=FG，故也不能证出OC=2FG，据此判断D选项
二、填空题
9．（2019八下·顺德期末）如图，等腰△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交边AC于点D，且∠DBC=15°，则∠A的度数是 .
【答案】50
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵∠DBC=15°，
∴∠ABC=∠A+15°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=∠A+15°，
∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，
解得∠A=50°．
故答案为：50°
【分析】根据线段垂直平分线的含义，即可得到AD=BD，根据等量代换即可得到∠A的度数。
10．（2023八下·台山期末）如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点P，Q，过P，Q两点作直线交于点D，则的长是 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：连接AD，如右图：
由题意可知，BC==8，QP是线段AB的垂直平分线；
∴AD=BD
设CD=x，则AD=8-x；
∵∠C=90°
∴
∴，解得x=
故答案为：.
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD；根据勾股定理，可得CD的值.
11．（2023八下·温江期末）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F；②作直线交于点P．若，，．则的长为 ．
【答案】7
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意作出图象，如图所示：
根据题意可得：EF是线段BC的垂直平分线，
∴PC=PB，
∴∠B=∠PCB=45°，
∴∠APC=∠B+∠PCB=45°+45°=90°，
∴，
∴PB=PC=4，
∴AB=AP+PB=3+4=7，
故答案为：7.
【分析】先利用勾股定理求出PC的长，再利用垂直平分线的性质可得PB=PC=4，再利用线段的和差求出AB的长即可.
12．（2023八下·崂山期末）如图，在中，，点为上一点，的垂直平分线交于点，将沿着折叠，点恰好和点重合，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】由折叠知△BCD≌△BED，
∴∠C=∠BED，
由垂直平分线段AD可知ED=EA，
∴∠A=∠EDA，
∵∠BED=∠A+∠EDA，
∴∠C=2∠A，
∵∠C+∠A+∠ABC=180°，且∠ABC=135°，
∴3∠A=45°，
∴∠A=15°.
故答案为：15°.
【分析】考查折叠以及线段垂直平分线的知识，由折叠可知折叠前后两三角形全等，所以对应角相等，又由线段的垂直平分线性质可知ED等于EA，据等边对等角可得三角形AED两底角相等，再利用三角形外角知识最终可得角C和角A的数量关系，再根据三角形内角和求角A即可。
三、作图题
13．（2023八下·鄠邑期末）已知，为边AB上一点，请用尺规作图的方法在边AC上求作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】解：如图，
点E即为所求
【知识点】作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】利用垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知将PE转化为CE即可，因此连接PC，作出PC的垂直平分线交AC于点E，连接PE即可.
四、解答题
14．（2023八下·顺德期中）在中，，平分，交于点．
（1）如图，若，求的度数；
（2）如图，在上取点，连接交于点，连接、．
给出四个关系：
①；
②；
③平分；
④．
请从中选择一个作为条件，证明垂直平分．
你选的条件是 ▲ ，请写出推理的过程．
【答案】（1）解：设的度数为，则，，，
，
解得，
的度数为；
（2）解：①；推理过程如下：
，
，
，，
≌，
，，
，
，
又，，
，
又，
≌，
，
垂直平分，
故答案为：①
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）设的度数为，分别表示出的度数，根据三角形的内角和定理，列方程，即可求解；
（2）任选一个，根据三角形全等的性质，得出：最后根据垂直平分线的性质即可求解.
15．（2023八下·定边期末）如图，在中，，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，点D是BE的中点.
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的周长.
【答案】（1）解：∵垂直平分，
∴，∴，
∴.
∵点是的中点，，
∴垂直平分，
∴，∴，
∴；
（2）解：∵垂直平分，垂直平分，
∴，，，
∴
，
即的周长是18cm.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）由垂直平分线的性质可得EA=EC，则∠EAC=∠C=40°，由外角的性质可得∠AEB=∠EAC+∠C=80°，易得AD垂直平分BE，则∠ABE=∠AEB=80°，然后根据内角和定理进行计算；
（2）由垂直平分线的性质可得AC=2CF=8，CE=AE=AB，DB=DE，据此可将△ABC的周长转化为AC+2CD，进而进行计算.
16．（2023八下·龙岗期中）如图，AD为等腰△ABC的顶角∠BAC的平分线，∠ABC＝50°，在线段AD上取一点E．使得∠ACE＝20°，在线段CE上取一点F，使得∠FBC＝10°，连接BE，AF．
（1）∠EBF＝ 度，∠EBA＝ 度，∠BFE＝ 度；
（2）求证：BA＝BF；
（3）BE与AF的位置关系为 （直接写出）．
【答案】（1）20；20；40
（2）证明：∵AD为等腰△ABC的顶角∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝ ∠BAC，
∵∠ABC＝∠ACB＝50°，
∴∠BAC＝80°，
∴∠BAE＝40°，
∴∠BAE＝∠BFE＝40°，
∵∠ABE＝∠EBF＝20°，BE＝BE，
∴△ABE≌△FBE（AAS），
∴AB＝BF；
（3）BE⊥AF
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）∵ AD为等腰△ABC的顶角∠BAC的平分线 ，AB=AC
∴AD垂直平分BC，∠ABC=∠ACB，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∴∠ABE=∠ACE=20°，
∵∠ABC=50°， ∠FBC＝10°
∴∠ECB=∠EBC=∠ABC-∠ABE=30°，∠EBF=∠ABC-∠ABE-∠FBC=50°-20°-10°=20°，
∴∠BFE=∠ACB+∠FBC=30°+10°=40°；
故答案为：20，20，40.
（3）由（2）知AB＝BF，∠ABE＝∠EBF，
∴BE⊥AF；
故答案为：BE⊥AF.
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD垂直平分BC，∠ABC=∠ACB，利用线段垂直平分线的性质可推出∠EBC=∠ECB，从而得出∠ABE=∠ACE=20°，利用角的和差求出∠ECB、∠EBF的度数，再利用三角形外角和的性质求出∠BFE即可；
（2）证明△ABE≌△FBE（AAS）， 利用全等三角形的对应边相等即可求解.
（3）由（2）知AB＝BF，∠ABE＝∠EBF，利用等腰三角形的性质即得BE⊥AF.
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