【基础卷】2024年北师大版数学八（下）1.4角平分线 同步练习
一、选择题
1．（2022八下·榆次期中）小明同学发现，只用两把宽度相同的长方形直尺就可以画一个角的平分线．如图，一把直尺压住∠AOB的一边OB，另一把直尺压住∠AOB的另一边OA，并且与第一直尺交于点P，则射线OP就是∠AOB的平分线．他这样做的依据是（ ）
A．角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
C．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
D．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
2．（2021八下·龙华期末）甲、乙两位同学分别用尺规作图法作∠AOB的平分线OC，则他们两人的作图方法（ ）
A．甲、乙两人均正确 B．甲正确，乙不正确
C．甲不正确，乙正确 D．甲、乙两人均不正确
3．（2023八上·安宁期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．（2024八上·石碣期末）如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE＝5，点F是射线OB上的任意一点，则DF的长度不可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2024八上·昆明期中）如图，在中，平分，，垂足为．若，，，则的面积为（ ）
A． B．3 C．5 D．6
6．（2023八上·禹城月考）如图，在中，，是的角平分线，是边上一点，若，则的长可能是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
7．（2023八下·泸县期末）如图，，点C是内一点，于点D，于点E．且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2018八上·岳池期末）如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E.若PE＝3，则两平行线AD与BC间的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
9．利用直尺和圆规作出一个角的角平分线的作法，其理论依据是全等三角形判定方法 ．
10．（2023八上·北京市月考） 在9×7的网格中，∠AOB的位置如图所示，则到∠AOB两边距离相等的点是 ．
11．（2020八上·抚顺期中）如图，点P到∠AOB两边的距离相等，若∠POB＝30°，则∠AOB＝ .
12． 如图所示，BD为∠ABC的角平分线，∠C＝90°，CD=3，则点D到AB的距离是 ．
三、作图题
13．用直尺和圆规作如图△ABC的角平分线BD．（只要求作出图形，保留作图痕迹，不写作法）
四、解答题
14．（2022八上·文峰月考）如图，已知F、G是上两点，M、N是上两点，且，，试问：点P是否在的平分线上？
15．（2021七下·浦江期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，若AD平分∠BAC交BC于点D，求BD的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE=PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上），
故答案为：A．
【分析】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据PE=PF，即可得到OP平分∠AOB。
2．【答案】A
【知识点】作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由图知，甲、乙两位同学分别用尺规作图法作∠AOB的平分线OC，则他们两人的作图方法均正确，
故答案为：A．
【分析】根据作角平分线的方法判断求解即可。
3．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由作法得平分，
点到的距离等于的长，即点到的距离为，
所以的面积．
故答案为：C.
【分析】依据基本作图得到AG平分∠BAC，根据角平分线的性质得到G点到AC的距离为1，然后根据三角形面积公式计算△ACG的面积．
4．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意OD平分，于点E，，
∴D到OB的距离等于5，
∴
故答案为：A.
【分析】根据角平分线的性质，可知点D到OB和OA的距离相等，并且点到直线的线段中，垂线段最短，逐项判断即可．
5．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵△AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE=1，
∴△ACD边AC上的高为1
∴S△ABC=S△ABD+S△ADC=3×1×+2×1×=2.5
故答案为：A.
【分析】根据AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE=1，可知角平分线上的点D到角两边的距离相等可得△ADC的AC边上的高为1，在把△ABC分成S△ABD与S△ADC，计算求解即可。
6．【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】
如图，过D作DF⊥AB，交AB于F点，由角平分线性质可知，DF=CD=6，在中，∵DE为斜边，∴DE>DF，即DE>6，D选项正确。
故答案为：D。
【分析】根据角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，通过作图，恰巧把DE放到直角三角形内，而DE又是斜边，也为直角三角形中最长的边，从而确定DE的取值范围。
7．【答案】B
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵点C是内一点，于点D，于点E．且，
∴OC平分∠AOB，
∴，
∵∠AOB=70°，
∴∠DOC=35°。
故答案为：B。
【分析】首先根据角平分线的判定，得出OC平分∠AOB，即可得出∠DOC的度数。
8．【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】过点P作PM⊥AD于点M，交BC于点N，
∴∠AMP=90°，
∵AD∥BC
，∴∠BNP=∠AMP=90°，
∵PM⊥AD，PE⊥AB，AP是∠DAB的角平分线，
∴PM=PE=3，同理PM=PE=3，
∴MN=PM+PN=6
故答案为：D.
【分析】过点P作PM⊥AD于点M，交BC于点N，根据二直线平行，同旁内角互补得出∠BNP=∠AMP=90°，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出PM=PE=3，PM=PE=3，然后根据线段的和差，由MN=PM+PN，即可算出答案。
9．【答案】SSS
【知识点】作图-角的平分线
【解析】【解答】解：如图所示：
作法：①以O为圆心，任意长为半径画弧，交AO、BO于点F、E，
②再分别以F、E为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧交于点M，
③画射线OM，
射线OM即为所求．
由作图过程可得用到的三角形全等的判定方法是SSS．
故答案为：SSS．
【分析】根据作图过程可知用到的三角形全等的判定方法是SSS．
10．【答案】M
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】∵点M在∠AOB的角平分线上，
∴点M到∠AOB两边距离相等，
故答案为：M.
【分析】利用角平分线的性质分析求解即可.
11．【答案】60°
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：已知点P到∠AOB两边的距离相等，根据角平分线的判定可知，点P在∠AOB的平分线上，又因∠POB＝30°，所以∠AOB＝2∠POB＝60°.
故答案为：60°.
【分析】由角平分线的判定可知，OP是∠AOB的角平分线，由此可得答案.
12．【答案】3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解： 过点D作DE⊥AB于E
因为∠C= 90° ，
所以DC⊥BC
因为BD是∠ABC的角平分线 ，
∴DE=CD=3
所以点D到AB的距离为3
故答案为：3.
【分析】首先过点D作DE⊥AB于E 在△ABC中，∠C= 90°，AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质，即可得DE= CD.
13．【答案】解：如图，
【知识点】作图-角的平分线
【解析】【分析】1、以B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、BC于两点；2、分别以两个交点为圆心，大于二分之一两点连线段长为半径画弧，交于点D，射线BD即为所求.
14．【答案】解：点P在的平分线上.
理由：过点P分别向，作垂线，
∵，，，，
∴，
∴点P是在的平分线上.
【知识点】角平分线的判定
【解析】【分析】 点P在∠AOB的平分线上，理由：过点P分别向OA，OB作垂线，根据三角形的面积计算公式，当两个三角形的面积相等的时候，如果其底相等，则高也相等可得PH=PE，进而根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，可得结论.
15．【答案】解：DE⊥AC于E，DF垂直AB于F，AG⊥BC于BC，
则
由 得：DE=DF=
由 ，得：
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】 DE⊥AC于E，DF垂直AB于F，AG⊥BC于BC， 先利用等积法求出AG，再利用割补法和等积法及角平分线性质求出 DE=DF= ，接着在Rt△ABD中用等积法即可求出BD.
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一、选择题
1．（2022八下·榆次期中）小明同学发现，只用两把宽度相同的长方形直尺就可以画一个角的平分线．如图，一把直尺压住∠AOB的一边OB，另一把直尺压住∠AOB的另一边OA，并且与第一直尺交于点P，则射线OP就是∠AOB的平分线．他这样做的依据是（ ）
A．角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
C．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
D．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
【答案】A
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE=PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上），
故答案为：A．
【分析】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据PE=PF，即可得到OP平分∠AOB。
2．（2021八下·龙华期末）甲、乙两位同学分别用尺规作图法作∠AOB的平分线OC，则他们两人的作图方法（ ）
A．甲、乙两人均正确 B．甲正确，乙不正确
C．甲不正确，乙正确 D．甲、乙两人均不正确
【答案】A
【知识点】作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由图知，甲、乙两位同学分别用尺规作图法作∠AOB的平分线OC，则他们两人的作图方法均正确，
故答案为：A．
【分析】根据作角平分线的方法判断求解即可。
3．（2023八上·安宁期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由作法得平分，
点到的距离等于的长，即点到的距离为，
所以的面积．
故答案为：C.
【分析】依据基本作图得到AG平分∠BAC，根据角平分线的性质得到G点到AC的距离为1，然后根据三角形面积公式计算△ACG的面积．
4．（2024八上·石碣期末）如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE＝5，点F是射线OB上的任意一点，则DF的长度不可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意OD平分，于点E，，
∴D到OB的距离等于5，
∴
故答案为：A.
【分析】根据角平分线的性质，可知点D到OB和OA的距离相等，并且点到直线的线段中，垂线段最短，逐项判断即可．
5．（2024八上·昆明期中）如图，在中，平分，，垂足为．若，，，则的面积为（ ）
A． B．3 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵△AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE=1，
∴△ACD边AC上的高为1
∴S△ABC=S△ABD+S△ADC=3×1×+2×1×=2.5
故答案为：A.
【分析】根据AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE=1，可知角平分线上的点D到角两边的距离相等可得△ADC的AC边上的高为1，在把△ABC分成S△ABD与S△ADC，计算求解即可。
6．（2023八上·禹城月考）如图，在中，，是的角平分线，是边上一点，若，则的长可能是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】
如图，过D作DF⊥AB，交AB于F点，由角平分线性质可知，DF=CD=6，在中，∵DE为斜边，∴DE>DF，即DE>6，D选项正确。
故答案为：D。
【分析】根据角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，通过作图，恰巧把DE放到直角三角形内，而DE又是斜边，也为直角三角形中最长的边，从而确定DE的取值范围。
7．（2023八下·泸县期末）如图，，点C是内一点，于点D，于点E．且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵点C是内一点，于点D，于点E．且，
∴OC平分∠AOB，
∴，
∵∠AOB=70°，
∴∠DOC=35°。
故答案为：B。
【分析】首先根据角平分线的判定，得出OC平分∠AOB，即可得出∠DOC的度数。
8．（2018八上·岳池期末）如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E.若PE＝3，则两平行线AD与BC间的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】过点P作PM⊥AD于点M，交BC于点N，
∴∠AMP=90°，
∵AD∥BC
，∴∠BNP=∠AMP=90°，
∵PM⊥AD，PE⊥AB，AP是∠DAB的角平分线，
∴PM=PE=3，同理PM=PE=3，
∴MN=PM+PN=6
故答案为：D.
【分析】过点P作PM⊥AD于点M，交BC于点N，根据二直线平行，同旁内角互补得出∠BNP=∠AMP=90°，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出PM=PE=3，PM=PE=3，然后根据线段的和差，由MN=PM+PN，即可算出答案。
二、填空题
9．利用直尺和圆规作出一个角的角平分线的作法，其理论依据是全等三角形判定方法 ．
【答案】SSS
【知识点】作图-角的平分线
【解析】【解答】解：如图所示：
作法：①以O为圆心，任意长为半径画弧，交AO、BO于点F、E，
②再分别以F、E为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧交于点M，
③画射线OM，
射线OM即为所求．
由作图过程可得用到的三角形全等的判定方法是SSS．
故答案为：SSS．
【分析】根据作图过程可知用到的三角形全等的判定方法是SSS．
10．（2023八上·北京市月考） 在9×7的网格中，∠AOB的位置如图所示，则到∠AOB两边距离相等的点是 ．
【答案】M
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】∵点M在∠AOB的角平分线上，
∴点M到∠AOB两边距离相等，
故答案为：M.
【分析】利用角平分线的性质分析求解即可.
11．（2020八上·抚顺期中）如图，点P到∠AOB两边的距离相等，若∠POB＝30°，则∠AOB＝ .
【答案】60°
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：已知点P到∠AOB两边的距离相等，根据角平分线的判定可知，点P在∠AOB的平分线上，又因∠POB＝30°，所以∠AOB＝2∠POB＝60°.
故答案为：60°.
【分析】由角平分线的判定可知，OP是∠AOB的角平分线，由此可得答案.
12． 如图所示，BD为∠ABC的角平分线，∠C＝90°，CD=3，则点D到AB的距离是 ．
【答案】3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解： 过点D作DE⊥AB于E
因为∠C= 90° ，
所以DC⊥BC
因为BD是∠ABC的角平分线 ，
∴DE=CD=3
所以点D到AB的距离为3
故答案为：3.
【分析】首先过点D作DE⊥AB于E 在△ABC中，∠C= 90°，AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质，即可得DE= CD.
三、作图题
13．用直尺和圆规作如图△ABC的角平分线BD．（只要求作出图形，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图，
【知识点】作图-角的平分线
【解析】【分析】1、以B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、BC于两点；2、分别以两个交点为圆心，大于二分之一两点连线段长为半径画弧，交于点D，射线BD即为所求.
四、解答题
14．（2022八上·文峰月考）如图，已知F、G是上两点，M、N是上两点，且，，试问：点P是否在的平分线上？
【答案】解：点P在的平分线上.
理由：过点P分别向，作垂线，
∵，，，，
∴，
∴点P是在的平分线上.
【知识点】角平分线的判定
【解析】【分析】 点P在∠AOB的平分线上，理由：过点P分别向OA，OB作垂线，根据三角形的面积计算公式，当两个三角形的面积相等的时候，如果其底相等，则高也相等可得PH=PE，进而根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，可得结论.
15．（2021七下·浦江期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，若AD平分∠BAC交BC于点D，求BD的长．
【答案】解：DE⊥AC于E，DF垂直AB于F，AG⊥BC于BC，
则
由 得：DE=DF=
由 ，得：
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】 DE⊥AC于E，DF垂直AB于F，AG⊥BC于BC， 先利用等积法求出AG，再利用割补法和等积法及角平分线性质求出 DE=DF= ，接着在Rt△ABD中用等积法即可求出BD.
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