【培优卷】2024年北师大版数学八（下）1.4角平分线 同步练习
一、选择题
1．（2021八上·奉化期末）如图，在等腰△ 中， ， ，O是△ 外一点，O到三边的垂线段分别为 ， ， ，且 ，则 的长度为（ ）
A．5 B．6 C． D．
2．（2023八上·丰南期中）如图，在中，，，、是的两条角平分线，，是上的一个动点，则线段最小值的是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2023八下·浦江月考）由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成的大正方形ABCD如图所示．连结CF，并延长交AB于点N．若AB＝3，EF＝3，则FN的长为（ ）
A．2 B． C． D．3
4．（2023八上·拜城期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠CAB的内部相交于点P，画射线AP与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E．则下列结论错误的是（ ）
A．∠CAD＝∠BAD B．CD＝DE
C． D．
5．（2023八上·江夏期中）如图，在中，的垂直平分线与的外角平分线交于点D，于点E，交的延长线于点F，则下列结论：①；②；③；④若，，则，其中一定成立的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2022八上·乐清期中）如图， 在△ABC中，，的平分线与的平分线交于点，得，的平分线与的平分线交于点，得，…，的平分线与的平分线交于点，得，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022七下·海伦期末）如图，点E在CA延长线上，DE，AB交于点F，且∠BDE=∠AEF，∠B=∠C，∠EFA比∠FDC的余角小10°，P为线段DC上一动点，Q为PC上一点，且满足∠FQP=∠QFP，FM为∠EFP的平分线．下列结论：①CEBD；②ABCD；③FQ平分∠AFP；④∠B+∠E=140°；⑤∠QFM=20°．其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③④⑤ B．①②③④ C．②③④ D．①⑤
8．（2020八上·黄石港期中）如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补.若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题
9．（2023八上·大冶期中）如图，在四边形中，对角线平分，，则 ．
10．（2021八上·江汉月考）如图，AP，BP分别平分△ABC内角∠CAB和外角∠CBD，连接CP，若∠ACP＝130°，则∠APB＝ ．
11．（2021八上·建华期末）小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC中，
，
，
的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点C沿直线EF折叠后与点O重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：① ；②图中没有60°的角；③D、O、C三点共线．请你直接写出其中正确的结论序号：
12．（2020八上·龙岗期末）如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，
第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，
第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，
第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．
若∠En＝1度，那∠BEC等于 度。
三、作图题
13．（2023八上·潼南期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）尺规作图：在斜边AB上找一点D，使AD＝AC，作∠BAC的平分线，交BC于点E，连结DE；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求证：△BDE是直角三角形．
证明：∵AE平分∠BAC，
∴ ▲ ＝ ▲ ，
在△ACE和△ADE中，
，
∴△ACE≌△ADE，
∵∠ACB＝90°，
∴ ▲ ＝∠ACB＝90°，
∴∠BDE＝90°，△BDE是直角三角形．
四、解答题
14．（2023·安庆模拟）已知和都是等边三角形，分别连接．
（1）如图1，若．
①求的度数；
②延长交于点F，求证：；
（2）如图2，若点D在边上，延长交于点G，连接．求证：平分．
15．（2022八上·运城月考）综合与实践
如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8.
（1）猜想：请判断△ABC的形状并说明理由.
（2）探究：如果点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿折线A-C-B-A方向运动，运动到点A停止，设运动时间为t（）秒.
①若点P在AC上，且满足PA＝PB，求此时t的值.
②若点P恰好在△BAC的平分线上，求t的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；角平分线的判定
【解析】【解答】解：连接OA，OB，OC，
由OD：OE：OF=1：4：4，设OD=x，OE=4x，OF=4x，
∵OE=OF，
∴AO为∠BAC的角平分线，
又∵AB=AC，
∴AO⊥BC，
∴AD为△ABC的中线，
∴A、D、O三点共线，
∴BD=3，
在Rt△ABD中，
AD= =4，
∴
∴12=10x+10x 3x，
∴x=
∴AO=4+ = .
故答案为：D.
【分析】由OD：OE：OF=1：4：4，设OD=x，OE=4x，OF=4x，根据OE=OF，得到AO为∠BAC的角平分线，再由三线合一得AO⊥BC，由勾股定理得AD=4，再根据 ，得到方程求解即可.
2．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：
连接，如图所示：
∵，平分，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴P、C、E共线时，的值最小，最小值为的长度，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴线段的最小值是6，
故答案为：D
【分析】连接，先根据角平分线的性质结合题意得到，进而得到，从而结合题意得到P、C、E共线时，的值最小，最小值为的长度，进而根据角平分线的性质结合题意进行运算即可求解。
3．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：正方形，正方形，
∴
∵四个全等的直角三角形，
∴设
整理得：
解得：（负根不合题意，舍去）
如图，过作于
则
由，
可得：
解得：，
故答案为：C
【分析】根据勾股定理求出 AE 的长，根据角平分线性质定理得到△ AFN 和△ BFN 的面积比，进而求出 AN 和 NB 的比，再由勾股定理求出 CF 和 FN ，作差即可．
4．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】
A：∠CAD＝∠BAD，根据作图过程知AP平分∠BAC，结论正确，不符合题意
B：CD＝DE，根据作图过程知AP平分∠BAC，角平分线上的点到角的两边距离相等，结论正确，不符合题意
C：，由勾股定理得BC=4，根据得出CD=，进而算出BD=，结论正确，不符合题意
D：，根据勾股定理，结论不正确，符合题意
故选：D
【分析】根据题中描述的作图过程，得知AP是∠BAC的平分线，根据角平分线定理和勾股定理逐一进行判定。
5．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DC为的外角平分线，，，
∴
∵D在的垂直平分线上，
∴则①正确；
在EA上截取，如图：
∵，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴则④正确；
∵
∴
∴
∵
∴则③正确；
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴，则②正确；
综上所述，正确的有：①②③④，共四个.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的性质和垂直平分线的性质得DE=DF，∠F=∠AED，AD=BD，再利用"HL"判断出Rt△ADE≌Rt△BDF，即可判断①；利用三角形外角的性质和全等三角形的性质即可得到∠DCF=∠ABD据此即可判断②；根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可判断③；在EA上截取EM=EC，再利用"AAS"证明△AMD≌△ACD进而即可判断④.
6．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CA＝∠ACD，
∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，
∴∠ACD＝∠A1+∠ABC，
∴∠A1＝（∠ACD-∠ABC），
∵∠A+∠ABC＝∠ACD，
∴∠A＝∠ACD-∠ABC，
∴∠A1＝∠A，
∴∠A2＝∠A1，
∴∠A2＝∠A，
以此类推可知：∠A2023＝∠A，
∵∠A＝α，
∴∠A2023＝.
故答案为：D．
【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易得∠A1＝∠A，∠A2＝∠A1，从而得∠A2＝∠A，以此类推可得∠A2023＝∠A.
7．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：
①∵∠BDE=∠AEF，
∴CEBD，故①正确；
②∵CEBD，
∴∠B=∠EAB，
∵∠B=∠C，
∴∠C=∠EAB，
∴ABCD，故②正确；
③∵ABCD，
∴∠FQP=∠AFQ，
∵∠FQP=∠QFP，
∴∠QFP=∠AFQ，
∴FQ平分∠AFP，故③正确；
④∵ABCD，
∴∠EFA=∠FDC，
∵∠EFA比∠FDC的余角小10°，
∴∠EFA=40°，
∵CEBD，
∴∠B=∠EAB，
∴∠B+∠E=∠EAB+∠E=180°-40°=140°，故③正确；
④∵FM为∠EFP的平分线，
∴，
∵∠QFP=∠AFQ，
∴，
∴∠QFM=∠PFM-∠QFP=20°，故④正确；
故答案为：A
【分析】根据平行线的性质和判定即可判断①②，再结合角平分线的判定即可得到③，再结合题意和平行线的性质即可判断③，最后根据角平分线的性质得到，再结合题意即可得到∠QFM的度数。
8．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F.
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在△POE和△POF中，
，
∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴EM=NF，PM=PN，故①正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故④正确，
OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故②正确，
在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，顶角∠MPN是定值，因为腰PM的长度是变化的，所以底边MN的长度是变化的，故③错误，
故答案为：B.
【分析】作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F.利用同角的补角相等，可证得∠EPF=∠MPN，从而可推出∠EPM=∠FPN，利用角平分线的性质可得到PE=PF，利用HL证明Rt△POE≌Rt△POF利用全等三角形的性质可得到OE=OF；再利用AAS证明△PEM≌△PFN，利用全等三角形的性质可证得EM=NF，PM=PN，可对①作出判断；利用全等三角形的面积相等，可推出S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，可对④作出判断；再证明OM+ON=2OE，可对②作出判断；在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，顶角∠MPN是定值，因为腰PM的长度是变化的，所以底边MN的长度是变化的，可对③作出判断。综上所述可得到正确结论的序号。
9．【答案】50°
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过点D作点DE⊥AB，DF⊥BC，DG⊥AC分别交BA延长线、BC延长线、AC与点E、F、G，如图所示，
∵ 对角线BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴ ∠FBD=∠EBD，DE=DF，
∵ ∠BCD=140°，∠ACD=40°，
∴ ∠DCF=40°，∠ACB=100°，
∴ ∠ACD=∠DCF，
又∵ DF⊥CB，DG⊥AC，
∴ DF=DG，
∴DE=DG，
又DE⊥AB，DG⊥AC，
∴ AD平分∠CAE，
∴ ∠DAE=∠CAE，
∴ ∠ADB=∠DAE-∠EBD，
=∠CAE-∠EBF，
=（∠EBF+∠ACB）-∠EBF，
=∠ACB=50°.
故答案为：50°.
【分析】根据角平分线的性质得DE=DF，再计算出∠DCF=40°再根据角平分线的性质得DE=DG，进而推出AD平分∠CAE，再根据外角的性质得 ∠ADB=∠ACB.
10．【答案】40°
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵平分，平分，
∴，，
又∵，，
∴
∴
∴
如图示，过P作于点，于点，延长线于点，
∵平分，平分，
∴，，
即
∴平分，
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：40°．
【分析】过P作于点，于点，延长线于点，由角平分线的性质（角平分线上的点，到角的两边的距离相等）及判定（到角两边距离相等的点，在角的角平分线上）可得CP平分，进而可求解∠ACB的度数，根据三角形外角的性质（三角形的一个外角的度数等于与它不相邻的两个内角的和）可推知∠APB=∠ACB，进而可求解.
11．【答案】①
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO=
∠BAC=
×50°=25°．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°．
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=25°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°．
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴直线AO垂直平分BC，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE．
∴∠COE=∠OCB=40°；
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠OEF=
∠CEO=50°，①符合题意；
∵∠OCB=∠OBC=∠COE=40°，
∴∠BOE=180°-∠OBC-∠COE-∠OCB =180°-40°-40°-40°=60°， ②不符合题意；
∵∠ABO=∠BAO=25°，DO是AB的垂直平分线，
∴∠DOB=90°-∠ABO=75°，
∵∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=180°-∠OBC -∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠DOC=∠DOB+∠BOC=75°+100°=175°，即D、O、C三点不共线，③不符合题意.
故答案为：①．
【分析】根据等腰三角形的性质，角平分线，垂直平分线的定义对每个结论一一判断即可。
12．【答案】2n
【知识点】角平分线的性质；探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：如图①，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B＝∠1，∠C＝∠2，
∵∠BEC＝∠1+∠2，
∴∠BEC＝∠ABE+∠DCE；
如图②，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
∴∠CE1B＝∠ABE1+∠DCE1＝ ∠ABE+ ∠DCE＝ ∠BEC．
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，
∴∠BE2C＝∠ABE2+∠DCE2＝ ∠ABE1+ ∠DCE1＝ ∠CE1 B＝ ∠BEC；
如图②，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3C＝∠ABE3+∠DCE3＝ ∠ABE2+ ∠DCE2＝ ∠CE2B＝ ∠BEC；
…
以此类推，∠En＝ ∠BEC．
∴当∠En＝1度时，∠BEC等于2n度．
故答案为：2n．
【分析】根据平行线的性质结合角平分线的性质，计算得到规律，利用规律求出答案即可。
13．【答案】（1）解：如图所示．
（2）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠DAE，
在△ACE和△ADE中，
，
∴△ACE≌△ADE（SAS），
∵∠ACB＝90°，
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，
∴∠BDE＝90°，
∴△BDE是直角三角形．
故答案为：∠CAE；∠DAE；AC；AD；CAE；DAE；∠ADE．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）尺规作图画∠BAC平分线的作法为：以A为圆心任意长为半径画圆弧，与AC、AB相交，以两个交点为圆心，以相等的长度分别画圆弧相交于一点，连接顶点A与该交点并延长交BC于点E，AE即∠BAC的平分线；在AB边上用圆规截取AD=AC， 连结DE ，即得到题目所求作图形.
(2)此题为填空题，基本思路为，现由（1）中的AE是∠BAC的平分线，得∠CAE ＝∠DAE，又已知AC=AD，AE=AE，由SAS可证得△ACE≌△ADE ， ∠ADE＝∠ACB＝90°，可得△BDE是直角三角形 .
14．【答案】（1）①解： 和 都是等边三角形，
，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 为 ．
②证明：如图1，过点C作 ，交 的延长线于点H，则 ，
由①知， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
（2）证明：如图2，过点A分别作 于点P， 于点Q，
，
∴ ，
∴ ， ，即 ，解得 ，
∵ ， ，
∴ 平分 ．
【知识点】等边三角形的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）①根据SAS证明△ABD≌△ACE，可得=90°， 从而得出 ；
② 过点C作 ，交 的延长线于点H，则 ， 易求 可得 ，由（1）知△ABD≌△ACE，可得BD=CE=CH，根据AAS证明△BDF≌△CHF，利用全等三角形的对应边相等即得结论；
（2） 过点A分别作 于点P， 于点Q，根据SAS证明△ABD≌△ACE，可得 ， ， 利用三角形的面积公式可求AP=AQ，根据角平分线的判定定理即证结论.
15．【答案】（1）解：△ABC是直角三角形.
理由：因为，，
所以，所以，
所以△ABC是直角三角形.
（2）解：①如图1，连接BP，由（1）可知.
因为PA＝PB，所以PC＝8－PA.
在Rt△BCP中，由勾股定理，得，
即，解得，
所以.
②当点P在BC上时，如图2，过点P作PG⊥AB于点G
因为AP平分∠BAC，所以PG＝PC.
易得△APC≌△APG，所以AG＝AC＝8，BG＝10－8＝2.
设CP＝PG＝x，则BP＝6－x，
在Rt△BGP中，，
即，解得，
所以，
所以.
当点P运动到终点A时，点P也在∠BAC的平分线上，此时.
综上所述，若点P恰好在∠BAC的平分线上，t的值为或6.
【知识点】角平分线的性质；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据AB＝10，BC＝6，AC＝8，利用勾股定理的逆定理即可出结论；
（2）①连接BP，由（1）可知 .因为PA＝PB，所以PC＝8－PA，利用勾股定理列出关于t的方程，求解t的值即可得出结论；
②根据题意，可过点P作PG⊥AB于点G，因为AP平分∠BAC，根据角平分线的性质可得PG＝PC，可证明△APC≌△APG，将线段进行转化得AG=AC，进一步得BG=2，设CP＝PG＝x，则BP＝6－x，利用勾股定理列出关于x的方程解之即可得出结论.
1 / 1【培优卷】2024年北师大版数学八（下）1.4角平分线 同步练习
一、选择题
1．（2021八上·奉化期末）如图，在等腰△ 中， ， ，O是△ 外一点，O到三边的垂线段分别为 ， ， ，且 ，则 的长度为（ ）
A．5 B．6 C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；角平分线的判定
【解析】【解答】解：连接OA，OB，OC，
由OD：OE：OF=1：4：4，设OD=x，OE=4x，OF=4x，
∵OE=OF，
∴AO为∠BAC的角平分线，
又∵AB=AC，
∴AO⊥BC，
∴AD为△ABC的中线，
∴A、D、O三点共线，
∴BD=3，
在Rt△ABD中，
AD= =4，
∴
∴12=10x+10x 3x，
∴x=
∴AO=4+ = .
故答案为：D.
【分析】由OD：OE：OF=1：4：4，设OD=x，OE=4x，OF=4x，根据OE=OF，得到AO为∠BAC的角平分线，再由三线合一得AO⊥BC，由勾股定理得AD=4，再根据 ，得到方程求解即可.
2．（2023八上·丰南期中）如图，在中，，，、是的两条角平分线，，是上的一个动点，则线段最小值的是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：
连接，如图所示：
∵，平分，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴P、C、E共线时，的值最小，最小值为的长度，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴线段的最小值是6，
故答案为：D
【分析】连接，先根据角平分线的性质结合题意得到，进而得到，从而结合题意得到P、C、E共线时，的值最小，最小值为的长度，进而根据角平分线的性质结合题意进行运算即可求解。
3．（2023八下·浦江月考）由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成的大正方形ABCD如图所示．连结CF，并延长交AB于点N．若AB＝3，EF＝3，则FN的长为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：正方形，正方形，
∴
∵四个全等的直角三角形，
∴设
整理得：
解得：（负根不合题意，舍去）
如图，过作于
则
由，
可得：
解得：，
故答案为：C
【分析】根据勾股定理求出 AE 的长，根据角平分线性质定理得到△ AFN 和△ BFN 的面积比，进而求出 AN 和 NB 的比，再由勾股定理求出 CF 和 FN ，作差即可．
4．（2023八上·拜城期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠CAB的内部相交于点P，画射线AP与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E．则下列结论错误的是（ ）
A．∠CAD＝∠BAD B．CD＝DE
C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】
A：∠CAD＝∠BAD，根据作图过程知AP平分∠BAC，结论正确，不符合题意
B：CD＝DE，根据作图过程知AP平分∠BAC，角平分线上的点到角的两边距离相等，结论正确，不符合题意
C：，由勾股定理得BC=4，根据得出CD=，进而算出BD=，结论正确，不符合题意
D：，根据勾股定理，结论不正确，符合题意
故选：D
【分析】根据题中描述的作图过程，得知AP是∠BAC的平分线，根据角平分线定理和勾股定理逐一进行判定。
5．（2023八上·江夏期中）如图，在中，的垂直平分线与的外角平分线交于点D，于点E，交的延长线于点F，则下列结论：①；②；③；④若，，则，其中一定成立的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DC为的外角平分线，，，
∴
∵D在的垂直平分线上，
∴则①正确；
在EA上截取，如图：
∵，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴则④正确；
∵
∴
∴
∵
∴则③正确；
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴，则②正确；
综上所述，正确的有：①②③④，共四个.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的性质和垂直平分线的性质得DE=DF，∠F=∠AED，AD=BD，再利用"HL"判断出Rt△ADE≌Rt△BDF，即可判断①；利用三角形外角的性质和全等三角形的性质即可得到∠DCF=∠ABD据此即可判断②；根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可判断③；在EA上截取EM=EC，再利用"AAS"证明△AMD≌△ACD进而即可判断④.
6．（2022八上·乐清期中）如图， 在△ABC中，，的平分线与的平分线交于点，得，的平分线与的平分线交于点，得，…，的平分线与的平分线交于点，得，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CA＝∠ACD，
∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，
∴∠ACD＝∠A1+∠ABC，
∴∠A1＝（∠ACD-∠ABC），
∵∠A+∠ABC＝∠ACD，
∴∠A＝∠ACD-∠ABC，
∴∠A1＝∠A，
∴∠A2＝∠A1，
∴∠A2＝∠A，
以此类推可知：∠A2023＝∠A，
∵∠A＝α，
∴∠A2023＝.
故答案为：D．
【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易得∠A1＝∠A，∠A2＝∠A1，从而得∠A2＝∠A，以此类推可得∠A2023＝∠A.
7．（2022七下·海伦期末）如图，点E在CA延长线上，DE，AB交于点F，且∠BDE=∠AEF，∠B=∠C，∠EFA比∠FDC的余角小10°，P为线段DC上一动点，Q为PC上一点，且满足∠FQP=∠QFP，FM为∠EFP的平分线．下列结论：①CEBD；②ABCD；③FQ平分∠AFP；④∠B+∠E=140°；⑤∠QFM=20°．其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③④⑤ B．①②③④ C．②③④ D．①⑤
【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：
①∵∠BDE=∠AEF，
∴CEBD，故①正确；
②∵CEBD，
∴∠B=∠EAB，
∵∠B=∠C，
∴∠C=∠EAB，
∴ABCD，故②正确；
③∵ABCD，
∴∠FQP=∠AFQ，
∵∠FQP=∠QFP，
∴∠QFP=∠AFQ，
∴FQ平分∠AFP，故③正确；
④∵ABCD，
∴∠EFA=∠FDC，
∵∠EFA比∠FDC的余角小10°，
∴∠EFA=40°，
∵CEBD，
∴∠B=∠EAB，
∴∠B+∠E=∠EAB+∠E=180°-40°=140°，故③正确；
④∵FM为∠EFP的平分线，
∴，
∵∠QFP=∠AFQ，
∴，
∴∠QFM=∠PFM-∠QFP=20°，故④正确；
故答案为：A
【分析】根据平行线的性质和判定即可判断①②，再结合角平分线的判定即可得到③，再结合题意和平行线的性质即可判断③，最后根据角平分线的性质得到，再结合题意即可得到∠QFM的度数。
8．（2020八上·黄石港期中）如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补.若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F.
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在△POE和△POF中，
，
∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴EM=NF，PM=PN，故①正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故④正确，
OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故②正确，
在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，顶角∠MPN是定值，因为腰PM的长度是变化的，所以底边MN的长度是变化的，故③错误，
故答案为：B.
【分析】作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F.利用同角的补角相等，可证得∠EPF=∠MPN，从而可推出∠EPM=∠FPN，利用角平分线的性质可得到PE=PF，利用HL证明Rt△POE≌Rt△POF利用全等三角形的性质可得到OE=OF；再利用AAS证明△PEM≌△PFN，利用全等三角形的性质可证得EM=NF，PM=PN，可对①作出判断；利用全等三角形的面积相等，可推出S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，可对④作出判断；再证明OM+ON=2OE，可对②作出判断；在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，顶角∠MPN是定值，因为腰PM的长度是变化的，所以底边MN的长度是变化的，可对③作出判断。综上所述可得到正确结论的序号。
二、填空题
9．（2023八上·大冶期中）如图，在四边形中，对角线平分，，则 ．
【答案】50°
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过点D作点DE⊥AB，DF⊥BC，DG⊥AC分别交BA延长线、BC延长线、AC与点E、F、G，如图所示，
∵ 对角线BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴ ∠FBD=∠EBD，DE=DF，
∵ ∠BCD=140°，∠ACD=40°，
∴ ∠DCF=40°，∠ACB=100°，
∴ ∠ACD=∠DCF，
又∵ DF⊥CB，DG⊥AC，
∴ DF=DG，
∴DE=DG，
又DE⊥AB，DG⊥AC，
∴ AD平分∠CAE，
∴ ∠DAE=∠CAE，
∴ ∠ADB=∠DAE-∠EBD，
=∠CAE-∠EBF，
=（∠EBF+∠ACB）-∠EBF，
=∠ACB=50°.
故答案为：50°.
【分析】根据角平分线的性质得DE=DF，再计算出∠DCF=40°再根据角平分线的性质得DE=DG，进而推出AD平分∠CAE，再根据外角的性质得 ∠ADB=∠ACB.
10．（2021八上·江汉月考）如图，AP，BP分别平分△ABC内角∠CAB和外角∠CBD，连接CP，若∠ACP＝130°，则∠APB＝ ．
【答案】40°
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵平分，平分，
∴，，
又∵，，
∴
∴
∴
如图示，过P作于点，于点，延长线于点，
∵平分，平分，
∴，，
即
∴平分，
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：40°．
【分析】过P作于点，于点，延长线于点，由角平分线的性质（角平分线上的点，到角的两边的距离相等）及判定（到角两边距离相等的点，在角的角平分线上）可得CP平分，进而可求解∠ACB的度数，根据三角形外角的性质（三角形的一个外角的度数等于与它不相邻的两个内角的和）可推知∠APB=∠ACB，进而可求解.
11．（2021八上·建华期末）小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC中，
，
，
的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点C沿直线EF折叠后与点O重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：① ；②图中没有60°的角；③D、O、C三点共线．请你直接写出其中正确的结论序号：
【答案】①
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO=
∠BAC=
×50°=25°．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°．
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=25°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°．
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴直线AO垂直平分BC，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE．
∴∠COE=∠OCB=40°；
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠OEF=
∠CEO=50°，①符合题意；
∵∠OCB=∠OBC=∠COE=40°，
∴∠BOE=180°-∠OBC-∠COE-∠OCB =180°-40°-40°-40°=60°， ②不符合题意；
∵∠ABO=∠BAO=25°，DO是AB的垂直平分线，
∴∠DOB=90°-∠ABO=75°，
∵∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=180°-∠OBC -∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠DOC=∠DOB+∠BOC=75°+100°=175°，即D、O、C三点不共线，③不符合题意.
故答案为：①．
【分析】根据等腰三角形的性质，角平分线，垂直平分线的定义对每个结论一一判断即可。
12．（2020八上·龙岗期末）如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，
第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，
第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，
第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．
若∠En＝1度，那∠BEC等于 度。
【答案】2n
【知识点】角平分线的性质；探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：如图①，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B＝∠1，∠C＝∠2，
∵∠BEC＝∠1+∠2，
∴∠BEC＝∠ABE+∠DCE；
如图②，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
∴∠CE1B＝∠ABE1+∠DCE1＝ ∠ABE+ ∠DCE＝ ∠BEC．
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，
∴∠BE2C＝∠ABE2+∠DCE2＝ ∠ABE1+ ∠DCE1＝ ∠CE1 B＝ ∠BEC；
如图②，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3C＝∠ABE3+∠DCE3＝ ∠ABE2+ ∠DCE2＝ ∠CE2B＝ ∠BEC；
…
以此类推，∠En＝ ∠BEC．
∴当∠En＝1度时，∠BEC等于2n度．
故答案为：2n．
【分析】根据平行线的性质结合角平分线的性质，计算得到规律，利用规律求出答案即可。
三、作图题
13．（2023八上·潼南期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）尺规作图：在斜边AB上找一点D，使AD＝AC，作∠BAC的平分线，交BC于点E，连结DE；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求证：△BDE是直角三角形．
证明：∵AE平分∠BAC，
∴ ▲ ＝ ▲ ，
在△ACE和△ADE中，
，
∴△ACE≌△ADE，
∵∠ACB＝90°，
∴ ▲ ＝∠ACB＝90°，
∴∠BDE＝90°，△BDE是直角三角形．
【答案】（1）解：如图所示．
（2）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠DAE，
在△ACE和△ADE中，
，
∴△ACE≌△ADE（SAS），
∵∠ACB＝90°，
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，
∴∠BDE＝90°，
∴△BDE是直角三角形．
故答案为：∠CAE；∠DAE；AC；AD；CAE；DAE；∠ADE．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）尺规作图画∠BAC平分线的作法为：以A为圆心任意长为半径画圆弧，与AC、AB相交，以两个交点为圆心，以相等的长度分别画圆弧相交于一点，连接顶点A与该交点并延长交BC于点E，AE即∠BAC的平分线；在AB边上用圆规截取AD=AC， 连结DE ，即得到题目所求作图形.
(2)此题为填空题，基本思路为，现由（1）中的AE是∠BAC的平分线，得∠CAE ＝∠DAE，又已知AC=AD，AE=AE，由SAS可证得△ACE≌△ADE ， ∠ADE＝∠ACB＝90°，可得△BDE是直角三角形 .
四、解答题
14．（2023·安庆模拟）已知和都是等边三角形，分别连接．
（1）如图1，若．
①求的度数；
②延长交于点F，求证：；
（2）如图2，若点D在边上，延长交于点G，连接．求证：平分．
【答案】（1）①解： 和 都是等边三角形，
，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 为 ．
②证明：如图1，过点C作 ，交 的延长线于点H，则 ，
由①知， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
（2）证明：如图2，过点A分别作 于点P， 于点Q，
，
∴ ，
∴ ， ，即 ，解得 ，
∵ ， ，
∴ 平分 ．
【知识点】等边三角形的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）①根据SAS证明△ABD≌△ACE，可得=90°， 从而得出 ；
② 过点C作 ，交 的延长线于点H，则 ， 易求 可得 ，由（1）知△ABD≌△ACE，可得BD=CE=CH，根据AAS证明△BDF≌△CHF，利用全等三角形的对应边相等即得结论；
（2） 过点A分别作 于点P， 于点Q，根据SAS证明△ABD≌△ACE，可得 ， ， 利用三角形的面积公式可求AP=AQ，根据角平分线的判定定理即证结论.
15．（2022八上·运城月考）综合与实践
如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8.
（1）猜想：请判断△ABC的形状并说明理由.
（2）探究：如果点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿折线A-C-B-A方向运动，运动到点A停止，设运动时间为t（）秒.
①若点P在AC上，且满足PA＝PB，求此时t的值.
②若点P恰好在△BAC的平分线上，求t的值.
【答案】（1）解：△ABC是直角三角形.
理由：因为，，
所以，所以，
所以△ABC是直角三角形.
（2）解：①如图1，连接BP，由（1）可知.
因为PA＝PB，所以PC＝8－PA.
在Rt△BCP中，由勾股定理，得，
即，解得，
所以.
②当点P在BC上时，如图2，过点P作PG⊥AB于点G
因为AP平分∠BAC，所以PG＝PC.
易得△APC≌△APG，所以AG＝AC＝8，BG＝10－8＝2.
设CP＝PG＝x，则BP＝6－x，
在Rt△BGP中，，
即，解得，
所以，
所以.
当点P运动到终点A时，点P也在∠BAC的平分线上，此时.
综上所述，若点P恰好在∠BAC的平分线上，t的值为或6.
【知识点】角平分线的性质；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据AB＝10，BC＝6，AC＝8，利用勾股定理的逆定理即可出结论；
（2）①连接BP，由（1）可知 .因为PA＝PB，所以PC＝8－PA，利用勾股定理列出关于t的方程，求解t的值即可得出结论；
②根据题意，可过点P作PG⊥AB于点G，因为AP平分∠BAC，根据角平分线的性质可得PG＝PC，可证明△APC≌△APG，将线段进行转化得AG=AC，进一步得BG=2，设CP＝PG＝x，则BP＝6－x，利用勾股定理列出关于x的方程解之即可得出结论.
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