【提升卷】2024年北师大版数学八（下）1.4角平分线 同步练习
一、选择题
1．（2023八下·东港期末）如图，平分，，，，，则的长为（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于F，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CF=CE，∠DFC=∠BEC=90°，
在Rt△DFC和Rt△BEC中，
，
∴Rt△DFC≌Rt△BEC（HL），
∴BE=DF，
在Rt△AFC和Rt△AEC中，
，
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），
∴AF=AE，
∵AB=17，AD=9，
∴AB+AD=AE+BE+AF-DF=AE+AF=2AE，
即2AE=AB+AD=17+9=26，
∴AE=13.
故答案为：A.
【分析】根据角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CF=CE，根据斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等可得Rt△DFC≌Rt△BEC，得BE=DF，进而再根据HL证Rt△AFC≌Rt△AEC，根据全等三角形的对应边相等，得AF=AE，根据线段的和与差可推得AB+AD=2AE，即可求解.
2．（2023八下·洋县期末）如图，点P是内部的一点，点P到三边的距离，，则的度数为（ ）
A．65° B．80° C．100° D．70°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵∠BPC=130°，
∴∠PBC+∠PCB=180°-130°=50°，
∵PD⊥AB，PF⊥BC，且PD=PF，
∴BP平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠PBC，
同理∠ACB=2∠PCB，
∴∠ABC+∠ACB=2∠PBC+2∠PCB=2（∠PBC+∠PCB）=100°，
∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-100°=80°.
故答案为：B.
【分析】首先根据三角形的内角和定理算出∠PBC+∠PCB=50°，然后根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可得BP平分∠ABC，则∠ABC=2∠PBC，同理∠ACB=2∠PCB，进而推出∠ABC+∠ACB=100°，最后再根据三角形的内角和定理可算出∠A的度数.
3．（2023八下·双鸭山期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA，BC于M，N两点；②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于点D.若，，则线段CD的长为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：如图，作DE⊥AB于点E
根据作图特征，射线BD为∠ABC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE
设DC=DE=x，
在Rt△ABC中，AB=10，BC=6
∴AC=8
∴AD=8-x，BE=BC=6，AE=AB-BE=4
在Rt△ADE中，（8-x）2=x2+42
解得x=3，
故答案为A.
【分析】根据作图断这是角平分线尺规作图，所以BD为∠ABC的角平分线，结合∠C=90°（即DC⊥BC），添加角平分线常用辅助线DE⊥AB，根据角平分线的性质，得到DC=DE，进而可判断BE=BC=6，AE=AB-BE=10-6=4.又通过勾股定理可得AC=8，设DC=DE=x，则AD=8-x.所以对于Rt△ADE来说，三边分别为8-x，x，4，利用勾股定理建立方程求解即可. .
4．（2023八下·西安月考）如图，在中，，，，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，则的长度为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：过点D作，如图所示：
根据题意可得：，
∴平分，
∵，，，
又∵，
∴为直角三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
即的长度为，故C正确.
故答案为：C.
【分析】过点D作DE⊥AC，由题意可得∠BAD=∠CAD，由勾股定理逆定理知△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°，由角平分线的性质可得DE=BD，利用HL证明△ADB≌△ADE，得到AE=AB=4，则CE=AC-AE=1，设DB=DE=x，则CD=3-x，然后在Rt△CDE中，由勾股定理进行计算.
5．（2022八下·义乌开学考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于
MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：如图，过点E作ET⊥AB交AB与点T
∵ 由作图可得，AE平分∠CAB
∴CE=ET，
在Rt△ACE与Rt△ATE中，
AE=AE，CE=TE，
∴Rt△ACE≌Rt△ATE
∴AC=AT
∵CE＝3
∴ET=3
∵BE＝5，ET⊥AB
∴BT=4
设AC=x，则AT=x
∵在△ABC中，∠C＝90°
∴AC2+BC2=AB2
∴
解得，x=6
故答案为：C.
【分析】根据作图过程可得AE平分∠CAB，由角平分线的性质可过点E作ET⊥AB交AB与点T，并得到CE=ET，AC=AT，之后运用勾股定理，可建立AC相关的等式，解出可得到答案.
6．（2023八下·高州月考）如图，在Rt中，是的平分线，若，则：为（ ）
A．5：13 B．12：13 C．12：5 D．13：5
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵AC=5，BC=12，∠C=90°，
∴，
过点D作DE⊥AB于点E，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DC=DE，
∴.
故答案为：A.
【分析】首先根据勾股定理算出AB的长，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等得DC=DE，进而根据等高三角形的面积之比就是底之比可得答案.
7．（2023八下·丰南期中）如图，在中，，，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，则的值为（ ）
A．1 B．2.4 C．3 D．2.5
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，由题意可知AP为∠CAB的平分线，
∵∠C=90°，
∴DE=DC，AE=AC=12。
设DE=DC=x，
在△ABC中，
AB=
=13
∴EB=AB-AE=1
在△DEB中，
DE2=DB2-EB2
即：x2=(5-x)2-12
解得：x=2.4.。
即CD=2.4
故选：B
【分析】由题意可知AP为∠CAB的平分线，过点D作DE⊥AB于点E，可得DE=DC，设DC=x，在△DEB中，根据勾股定理即可求。
8．（2022八下·乾县期末）如图，AD是的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，交ED的延长线于点F，若DE＝DF，AE＝2BF．下列四个结论：①BC平分∠ABF；②；③AD⊥BC；④AB＝3BF．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行线的性质；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，过D点作DG⊥AB于G，
①∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，DG⊥AB，
∴DE＝DG，
又∵DE＝DF，
∴DF＝DG，
∵BF∥AC，DE⊥AC，
∴DF⊥BF，
∴BC平分∠ABF，
∴①说法符合题意；
②∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∵∠BAC的度数不确定，
∴∠DEC不一定等于∠BAC，
∴EF与AB不一定平行，
∴②说法不符合题意；
③∵AC∥BF，
∴∠C＝∠DBF，
由①可知：BC平分∠ABF，
∴∠DBF＝∠ABD，
∴∠C＝∠ABD，
∴AB＝AC，
又∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴③说法符合题意；
④∵DE=DG，AD=DA，
∴Rt△ADG≌Rt△ADE（HL），
∴AG＝AE，
又∵DG=DF，BD=DB，
∴Rt△BDG≌Rt△BDF（HL），
∴BG＝BF，
∴AB＝AG+BG＝AE+BF，
又∵AE＝2BF，
∴AB＝2BF+BF＝3BF，
∴④说法符合题意，
∴正确的结论有：①③④.
故答案为：C.
【分析】如图，过D点作DG⊥AB于G，由角平分线的性质得DE＝DG，则DF＝DG，再由平行线的性质证得DF⊥BF，根据角平分线的判定定理可对①说法进行判断；由于∠BAC的度数不确定，无法对∠DEC和∠BAC数量关系作出判断，则无法对②说法中EF与AB平行关系进行判断；易得∠C＝∠ABD，从而得AB＝AC，再根据等腰三角形的性质可对③进行判断；证出Rt△ADG≌Rt△ADE，得AG＝AE，证出Rt△BDG≌Rt△BDF，得BG＝BF，再通过线段的等量关系代换得AB＝3BF，从而可对④进行判断．
二、填空题
9．（2023八下·新都期末）如图，在中，，，分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，并与的平分线交于点，连接，与相交于点，则 度．
【答案】73
【知识点】角的运算；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠B=36°，∠ACB=74°，
∴∠BAC=180°-36°-74°=70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠BAC=×70°=35°，
∵DF垂直平分BC，
∴BF=CF，
∴∠FCB=∠B=36°，
∴∠AFM=∠B+∠FCB=72°，
∴∠AMF=180°-35°-72°=73°，
故答案为：73.
【分析】先利用角平分线的定义求出∠BAD=∠BAC=×70°=35°，再利用垂直平分线的性质可得∠FCB=∠B=36°，再利用角的运算求出∠AMF的度数即可.
10．（2023八下·辽阳期末）如图，在中，，是角平分线，若，，则的面积为 ．
【答案】18
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PF⊥AB与于点F，如图所示：
∵AP是角平分线，∠C=90°，
∴PF=PC，
∵CP=3
∵AB=12，
∴
故答案为：18.
【分析】根据角平分线的性质：角平分线的点到两边距离相等，可以得出PF，即可运用三角形的面积公式计算即可.
11．（2023八下·内江期末）如图，四边形是矩形，的平分线交延长线于点E，若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB．
∴∠CDE=∠E．
又∵∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，
∴∠DCE=∠BCE．
∴∠BCE=∠E．
∴BE=BD．
∵AE=10，
∴BD=BE=10-AB．
在Rt△ABD中，AD=4，BD=10-AB，
∵BD2=AB2+AD2，
即(10-AB)2=AB2+42．
解得：AB=．
故答案为：.
【分析】根据角平分线的定义，平行线的性质可得∠BCE=∠E，则BE=BD，然后在Rt△ABD中利用勾股定理，即可求解．
12．（2023八下·高州期末）如图，在四边形中，对角线平分，，，若点是边上一动点，则的最小值为 ．
【答案】7
【知识点】垂线段最短；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴CD==7，
过点C作CH⊥AB，
∴CE的最小值，即为CH的长，
∵平分 ，∠D=90°，
∴CD=CH=7，
∴CE的最小值为7.
故答案为：7.
【分析】先由勾股定理求出CD=7，过点C作CH⊥AB，可知CE的最小值，即为CH的长，利用角平分线的性质可得CD=CH=7，继而得解.
三、作图题
13．（2023八下·秦淮期末）如图，在△ABC中，D是AB边上一点，且BC＝BD．按下列要求完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法，请标明字母）．
⑴作∠ABC的角平分线交CD于点E；
⑵作线段AD的垂直平分线交AD于点F；
⑶连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系．
【答案】解：⑴如图，射线BE即为所求作．
⑵如图，直线MN即为所求作．
⑶结论：EFAC，EF＝．
理由：∵BC＝BD，BE平分∠ABC，
∴DE＝EC，
∵MN垂直平分线段AD，
∴AF＝DF，
∴EFAC，EF＝＝．
【知识点】等腰三角形的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的尺规作图的方法进行作图即可；
（2）根据线段垂直平分线的尺规作图作出线段AD的垂直平分线MN，交AD于点F即可；
（3）根据尺规作图可知点E和点F分别是CD，AD的中点，进而得出三角形的中位线，利用三角形中位线性质：三角形中位线平行于第三边并等于第三边的一半进行求解即可.
四、综合题
14．（2018八下·深圳月考）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP．
（1）求证：PA平分∠BAC的外角∠CAM；
（2）过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延长CE交BM于点D．求证：CE=ED．
【答案】（1）证明：过P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，如图，∵在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，
∴PQ=PT，PS=PT，
∴PQ=PS，
∴AP平分∠DAC，
即PA平分∠BAC的外角∠CAM
（2）证明：∵PA平分∠BAC的外角∠CAM，∴∠DAE=∠CAE，
∵CE⊥AP，
∴∠AED=∠AEC=90°，
在△AED和△AEC中
∴△AED≌△AEC，
∴CE=ED．
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）由题意可作辅助线，过P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，如图，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PQ=PT，PS=PT，所以PQ=PS，根据角平分线的判定可得AP平分∠DAC，即PA平分∠BAC的外角∠CAM。
（2）由（1）知PA平分∠BAC的外角∠CAM，所以∠DAE=∠CAE，而CE⊥AP，所以∠AED=∠AEC=90°，用角角边可证△AED≌△AEC，于是可得CE=ED．
15．（2022八下·成都月考）如图，点A是射线OE：y＝x（x≥0）上的一个动点，过点A作x轴的垂线，垂足为B，过点B作OA的平行线交∠AOB的平分线于点C
（1）若A点坐标为（2，2），求BC的长度；
（2）如图2，过点C作CG⊥AB于点G，CH⊥OE于点H，求证：AC平分∠BAE.
（3）在（1）的条件下，射线OC与AB交于点D，在第一象限内是否存在一点P使得△PCA≌△BDC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：如图所示，过点C作CF⊥x轴于F，CG⊥OE于G，
∵点A的坐标为（2，2），AB⊥x轴，
∴OA=OB=2，
∴∠AOB=∠OAB=45°，，
∵，
∴∠CBF=∠AOB=45°，，
∴∠CBF=∠BCF=45°，即BF=CF，
∴，
∴，
∵OC平分∠AOB，CG⊥OA，CF⊥OB，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，过点C作CF⊥x轴于F，
∵OC平分∠AOB，CH⊥OA，CF⊥OB，
∴CH=CF，
由（1）得∠CBF=45°，
又∵∠ABF=90°，
∴∠ABC=∠CBF=45°，
∴BC平分∠ABF，
∵CG⊥AB，CF⊥BF，
∴CG=CF，
∴CG=CH，
又∵CG⊥AB，CH⊥AH，
∴AC平分∠BAE；
（3）解：在第一象限内存在一点P使得△PCA≌△BDC，理由如下：
∵OC平分∠AOB，∠AOB=45°，
∴∠BOD=22.5°，
∴∠BDC=∠DOB+∠DBO=112.5°，
∵CA平分∠BAE，
∴，
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=67.5°，
∴∠ACF=180°-∠ACB=112.5°，
∵△PCA≌△BDC，
∴∠PCA=∠BDC=112.5°，∠APC=∠CBD=45°，
∴∠PCA=∠FCA=112.5°，
∴点在BC的延长线上，如图所示，
∵，
∴，，
∴，
∴点的坐标为（4，2）；
如图所示，将沿AC翻折得到，则，
∴，，
∴，
∴，
由（1）可知点C的坐标为（，），
在中，，
∴，
∴，
∴点P的坐标为（，），即（，），
综上所述，在第一象限内存在一点P（4，2）或（，）使得△PCA≌△BDC.
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；角平分线的性质；翻折变换（折叠问题）；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）过点C作CF⊥x轴于F，CG⊥OE于G，根据点A的坐标可得OA=OB=2，则∠AOB=∠OAB=45°，利用勾股定理可得OA，根据平行线的性质可得∠CBF=∠AOB=45°，S△AOB=S△AOC，结合三角形的面积公式可得CG的值，由角平分线的性质可得CF=CG=BF，然后利用勾股定理进行计算；
（2）过点C作CF⊥x轴于F，根据角平分线的性质可得CH=CF，由（1）得∠CBF=45°，则∠ABC=∠CBF=45°，推出BC平分∠ABF，同理可得CG=CF，则CG=CH，据此证明；
（3）根据角平分线的概念可得∠BOD=22.5°，则∠BDC=∠DOB+∠DBO=112.5°，然后求出∠CAD、∠ACB、∠ACF的度数，根据全等三角形的性质可得∠PCA=∠BDC=112.5°，∠APC=∠CBD=45°，则∠PCA=∠FCA=112.5°，推出点P1在BC的延长线上，易得AP1∥OB，据此不难求出点P1的坐标；将△AP1C沿AC翻折得到△AP2C，则△P2CA≌△P1CA≌△BDC，推出AB∥CP2，然后求出BP1、CP1、CP2的值，进而可得点P2的坐标.
1 / 1【提升卷】2024年北师大版数学八（下）1.4角平分线 同步练习
一、选择题
1．（2023八下·东港期末）如图，平分，，，，，则的长为（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
2．（2023八下·洋县期末）如图，点P是内部的一点，点P到三边的距离，，则的度数为（ ）
A．65° B．80° C．100° D．70°
3．（2023八下·双鸭山期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA，BC于M，N两点；②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于点D.若，，则线段CD的长为（ ）
A．3 B． C． D．
4．（2023八下·西安月考）如图，在中，，，，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，则的长度为（ ）
A．2 B． C． D．
5．（2022八下·义乌开学考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于
MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
6．（2023八下·高州月考）如图，在Rt中，是的平分线，若，则：为（ ）
A．5：13 B．12：13 C．12：5 D．13：5
7．（2023八下·丰南期中）如图，在中，，，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，则的值为（ ）
A．1 B．2.4 C．3 D．2.5
8．（2022八下·乾县期末）如图，AD是的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，交ED的延长线于点F，若DE＝DF，AE＝2BF．下列四个结论：①BC平分∠ABF；②；③AD⊥BC；④AB＝3BF．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2023八下·新都期末）如图，在中，，，分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，并与的平分线交于点，连接，与相交于点，则 度．
10．（2023八下·辽阳期末）如图，在中，，是角平分线，若，，则的面积为 ．
11．（2023八下·内江期末）如图，四边形是矩形，的平分线交延长线于点E，若，则的长为 ．
12．（2023八下·高州期末）如图，在四边形中，对角线平分，，，若点是边上一动点，则的最小值为 ．
三、作图题
13．（2023八下·秦淮期末）如图，在△ABC中，D是AB边上一点，且BC＝BD．按下列要求完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法，请标明字母）．
⑴作∠ABC的角平分线交CD于点E；
⑵作线段AD的垂直平分线交AD于点F；
⑶连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系．
四、综合题
14．（2018八下·深圳月考）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP．
（1）求证：PA平分∠BAC的外角∠CAM；
（2）过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延长CE交BM于点D．求证：CE=ED．
15．（2022八下·成都月考）如图，点A是射线OE：y＝x（x≥0）上的一个动点，过点A作x轴的垂线，垂足为B，过点B作OA的平行线交∠AOB的平分线于点C
（1）若A点坐标为（2，2），求BC的长度；
（2）如图2，过点C作CG⊥AB于点G，CH⊥OE于点H，求证：AC平分∠BAE.
（3）在（1）的条件下，射线OC与AB交于点D，在第一象限内是否存在一点P使得△PCA≌△BDC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于F，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CF=CE，∠DFC=∠BEC=90°，
在Rt△DFC和Rt△BEC中，
，
∴Rt△DFC≌Rt△BEC（HL），
∴BE=DF，
在Rt△AFC和Rt△AEC中，
，
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），
∴AF=AE，
∵AB=17，AD=9，
∴AB+AD=AE+BE+AF-DF=AE+AF=2AE，
即2AE=AB+AD=17+9=26，
∴AE=13.
故答案为：A.
【分析】根据角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CF=CE，根据斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等可得Rt△DFC≌Rt△BEC，得BE=DF，进而再根据HL证Rt△AFC≌Rt△AEC，根据全等三角形的对应边相等，得AF=AE，根据线段的和与差可推得AB+AD=2AE，即可求解.
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵∠BPC=130°，
∴∠PBC+∠PCB=180°-130°=50°，
∵PD⊥AB，PF⊥BC，且PD=PF，
∴BP平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠PBC，
同理∠ACB=2∠PCB，
∴∠ABC+∠ACB=2∠PBC+2∠PCB=2（∠PBC+∠PCB）=100°，
∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-100°=80°.
故答案为：B.
【分析】首先根据三角形的内角和定理算出∠PBC+∠PCB=50°，然后根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可得BP平分∠ABC，则∠ABC=2∠PBC，同理∠ACB=2∠PCB，进而推出∠ABC+∠ACB=100°，最后再根据三角形的内角和定理可算出∠A的度数.
3．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：如图，作DE⊥AB于点E
根据作图特征，射线BD为∠ABC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE
设DC=DE=x，
在Rt△ABC中，AB=10，BC=6
∴AC=8
∴AD=8-x，BE=BC=6，AE=AB-BE=4
在Rt△ADE中，（8-x）2=x2+42
解得x=3，
故答案为A.
【分析】根据作图断这是角平分线尺规作图，所以BD为∠ABC的角平分线，结合∠C=90°（即DC⊥BC），添加角平分线常用辅助线DE⊥AB，根据角平分线的性质，得到DC=DE，进而可判断BE=BC=6，AE=AB-BE=10-6=4.又通过勾股定理可得AC=8，设DC=DE=x，则AD=8-x.所以对于Rt△ADE来说，三边分别为8-x，x，4，利用勾股定理建立方程求解即可. .
4．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：过点D作，如图所示：
根据题意可得：，
∴平分，
∵，，，
又∵，
∴为直角三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
即的长度为，故C正确.
故答案为：C.
【分析】过点D作DE⊥AC，由题意可得∠BAD=∠CAD，由勾股定理逆定理知△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°，由角平分线的性质可得DE=BD，利用HL证明△ADB≌△ADE，得到AE=AB=4，则CE=AC-AE=1，设DB=DE=x，则CD=3-x，然后在Rt△CDE中，由勾股定理进行计算.
5．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：如图，过点E作ET⊥AB交AB与点T
∵ 由作图可得，AE平分∠CAB
∴CE=ET，
在Rt△ACE与Rt△ATE中，
AE=AE，CE=TE，
∴Rt△ACE≌Rt△ATE
∴AC=AT
∵CE＝3
∴ET=3
∵BE＝5，ET⊥AB
∴BT=4
设AC=x，则AT=x
∵在△ABC中，∠C＝90°
∴AC2+BC2=AB2
∴
解得，x=6
故答案为：C.
【分析】根据作图过程可得AE平分∠CAB，由角平分线的性质可过点E作ET⊥AB交AB与点T，并得到CE=ET，AC=AT，之后运用勾股定理，可建立AC相关的等式，解出可得到答案.
6．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵AC=5，BC=12，∠C=90°，
∴，
过点D作DE⊥AB于点E，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DC=DE，
∴.
故答案为：A.
【分析】首先根据勾股定理算出AB的长，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等得DC=DE，进而根据等高三角形的面积之比就是底之比可得答案.
7．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，由题意可知AP为∠CAB的平分线，
∵∠C=90°，
∴DE=DC，AE=AC=12。
设DE=DC=x，
在△ABC中，
AB=
=13
∴EB=AB-AE=1
在△DEB中，
DE2=DB2-EB2
即：x2=(5-x)2-12
解得：x=2.4.。
即CD=2.4
故选：B
【分析】由题意可知AP为∠CAB的平分线，过点D作DE⊥AB于点E，可得DE=DC，设DC=x，在△DEB中，根据勾股定理即可求。
8．【答案】C
【知识点】平行线的性质；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，过D点作DG⊥AB于G，
①∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，DG⊥AB，
∴DE＝DG，
又∵DE＝DF，
∴DF＝DG，
∵BF∥AC，DE⊥AC，
∴DF⊥BF，
∴BC平分∠ABF，
∴①说法符合题意；
②∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∵∠BAC的度数不确定，
∴∠DEC不一定等于∠BAC，
∴EF与AB不一定平行，
∴②说法不符合题意；
③∵AC∥BF，
∴∠C＝∠DBF，
由①可知：BC平分∠ABF，
∴∠DBF＝∠ABD，
∴∠C＝∠ABD，
∴AB＝AC，
又∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴③说法符合题意；
④∵DE=DG，AD=DA，
∴Rt△ADG≌Rt△ADE（HL），
∴AG＝AE，
又∵DG=DF，BD=DB，
∴Rt△BDG≌Rt△BDF（HL），
∴BG＝BF，
∴AB＝AG+BG＝AE+BF，
又∵AE＝2BF，
∴AB＝2BF+BF＝3BF，
∴④说法符合题意，
∴正确的结论有：①③④.
故答案为：C.
【分析】如图，过D点作DG⊥AB于G，由角平分线的性质得DE＝DG，则DF＝DG，再由平行线的性质证得DF⊥BF，根据角平分线的判定定理可对①说法进行判断；由于∠BAC的度数不确定，无法对∠DEC和∠BAC数量关系作出判断，则无法对②说法中EF与AB平行关系进行判断；易得∠C＝∠ABD，从而得AB＝AC，再根据等腰三角形的性质可对③进行判断；证出Rt△ADG≌Rt△ADE，得AG＝AE，证出Rt△BDG≌Rt△BDF，得BG＝BF，再通过线段的等量关系代换得AB＝3BF，从而可对④进行判断．
9．【答案】73
【知识点】角的运算；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠B=36°，∠ACB=74°，
∴∠BAC=180°-36°-74°=70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠BAC=×70°=35°，
∵DF垂直平分BC，
∴BF=CF，
∴∠FCB=∠B=36°，
∴∠AFM=∠B+∠FCB=72°，
∴∠AMF=180°-35°-72°=73°，
故答案为：73.
【分析】先利用角平分线的定义求出∠BAD=∠BAC=×70°=35°，再利用垂直平分线的性质可得∠FCB=∠B=36°，再利用角的运算求出∠AMF的度数即可.
10．【答案】18
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PF⊥AB与于点F，如图所示：
∵AP是角平分线，∠C=90°，
∴PF=PC，
∵CP=3
∵AB=12，
∴
故答案为：18.
【分析】根据角平分线的性质：角平分线的点到两边距离相等，可以得出PF，即可运用三角形的面积公式计算即可.
11．【答案】
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB．
∴∠CDE=∠E．
又∵∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，
∴∠DCE=∠BCE．
∴∠BCE=∠E．
∴BE=BD．
∵AE=10，
∴BD=BE=10-AB．
在Rt△ABD中，AD=4，BD=10-AB，
∵BD2=AB2+AD2，
即(10-AB)2=AB2+42．
解得：AB=．
故答案为：.
【分析】根据角平分线的定义，平行线的性质可得∠BCE=∠E，则BE=BD，然后在Rt△ABD中利用勾股定理，即可求解．
12．【答案】7
【知识点】垂线段最短；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴CD==7，
过点C作CH⊥AB，
∴CE的最小值，即为CH的长，
∵平分 ，∠D=90°，
∴CD=CH=7，
∴CE的最小值为7.
故答案为：7.
【分析】先由勾股定理求出CD=7，过点C作CH⊥AB，可知CE的最小值，即为CH的长，利用角平分线的性质可得CD=CH=7，继而得解.
13．【答案】解：⑴如图，射线BE即为所求作．
⑵如图，直线MN即为所求作．
⑶结论：EFAC，EF＝．
理由：∵BC＝BD，BE平分∠ABC，
∴DE＝EC，
∵MN垂直平分线段AD，
∴AF＝DF，
∴EFAC，EF＝＝．
【知识点】等腰三角形的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的尺规作图的方法进行作图即可；
（2）根据线段垂直平分线的尺规作图作出线段AD的垂直平分线MN，交AD于点F即可；
（3）根据尺规作图可知点E和点F分别是CD，AD的中点，进而得出三角形的中位线，利用三角形中位线性质：三角形中位线平行于第三边并等于第三边的一半进行求解即可.
14．【答案】（1）证明：过P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，如图，∵在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，
∴PQ=PT，PS=PT，
∴PQ=PS，
∴AP平分∠DAC，
即PA平分∠BAC的外角∠CAM
（2）证明：∵PA平分∠BAC的外角∠CAM，∴∠DAE=∠CAE，
∵CE⊥AP，
∴∠AED=∠AEC=90°，
在△AED和△AEC中
∴△AED≌△AEC，
∴CE=ED．
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）由题意可作辅助线，过P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，如图，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PQ=PT，PS=PT，所以PQ=PS，根据角平分线的判定可得AP平分∠DAC，即PA平分∠BAC的外角∠CAM。
（2）由（1）知PA平分∠BAC的外角∠CAM，所以∠DAE=∠CAE，而CE⊥AP，所以∠AED=∠AEC=90°，用角角边可证△AED≌△AEC，于是可得CE=ED．
15．【答案】（1）解：如图所示，过点C作CF⊥x轴于F，CG⊥OE于G，
∵点A的坐标为（2，2），AB⊥x轴，
∴OA=OB=2，
∴∠AOB=∠OAB=45°，，
∵，
∴∠CBF=∠AOB=45°，，
∴∠CBF=∠BCF=45°，即BF=CF，
∴，
∴，
∵OC平分∠AOB，CG⊥OA，CF⊥OB，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，过点C作CF⊥x轴于F，
∵OC平分∠AOB，CH⊥OA，CF⊥OB，
∴CH=CF，
由（1）得∠CBF=45°，
又∵∠ABF=90°，
∴∠ABC=∠CBF=45°，
∴BC平分∠ABF，
∵CG⊥AB，CF⊥BF，
∴CG=CF，
∴CG=CH，
又∵CG⊥AB，CH⊥AH，
∴AC平分∠BAE；
（3）解：在第一象限内存在一点P使得△PCA≌△BDC，理由如下：
∵OC平分∠AOB，∠AOB=45°，
∴∠BOD=22.5°，
∴∠BDC=∠DOB+∠DBO=112.5°，
∵CA平分∠BAE，
∴，
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=67.5°，
∴∠ACF=180°-∠ACB=112.5°，
∵△PCA≌△BDC，
∴∠PCA=∠BDC=112.5°，∠APC=∠CBD=45°，
∴∠PCA=∠FCA=112.5°，
∴点在BC的延长线上，如图所示，
∵，
∴，，
∴，
∴点的坐标为（4，2）；
如图所示，将沿AC翻折得到，则，
∴，，
∴，
∴，
由（1）可知点C的坐标为（，），
在中，，
∴，
∴，
∴点P的坐标为（，），即（，），
综上所述，在第一象限内存在一点P（4，2）或（，）使得△PCA≌△BDC.
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；角平分线的性质；翻折变换（折叠问题）；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）过点C作CF⊥x轴于F，CG⊥OE于G，根据点A的坐标可得OA=OB=2，则∠AOB=∠OAB=45°，利用勾股定理可得OA，根据平行线的性质可得∠CBF=∠AOB=45°，S△AOB=S△AOC，结合三角形的面积公式可得CG的值，由角平分线的性质可得CF=CG=BF，然后利用勾股定理进行计算；
（2）过点C作CF⊥x轴于F，根据角平分线的性质可得CH=CF，由（1）得∠CBF=45°，则∠ABC=∠CBF=45°，推出BC平分∠ABF，同理可得CG=CF，则CG=CH，据此证明；
（3）根据角平分线的概念可得∠BOD=22.5°，则∠BDC=∠DOB+∠DBO=112.5°，然后求出∠CAD、∠ACB、∠ACF的度数，根据全等三角形的性质可得∠PCA=∠BDC=112.5°，∠APC=∠CBD=45°，则∠PCA=∠FCA=112.5°，推出点P1在BC的延长线上，易得AP1∥OB，据此不难求出点P1的坐标；将△AP1C沿AC翻折得到△AP2C，则△P2CA≌△P1CA≌△BDC，推出AB∥CP2，然后求出BP1、CP1、CP2的值，进而可得点P2的坐标.
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