【基础卷】北师大版数学八（下）第一章 三角形的证明 章末检测
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，只有一个是正确的）
1．（2018八下·深圳月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50°，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A．70° B．20° C．70°或20° D．40°或140°
2．（2022八下·哈尔滨开学考）满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（ ）
①有两个角是60°的三角形；②有两个外角相等的等腰三角形：③三个外角（每个顶点处取一个外角）都相等的三角形；④一边上的高也是这边中线的等腰三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2022八下·郑州期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC.工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角
B．垂线段最短
C．等腰三角形“三线合一”
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
4．（2023八下·香河期末）在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．，，
5．（2019八下·腾冲期中）以下列长度的线段不能围成直角三角形的是（ ）
A．5，12， 13 B． C． ，3，4 D．2，3，4
6．（2023八下·兴平期中）如图，，，表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（ ）
A．，两边高线的交点处
B．，两边中线的交点处
C．，两边垂直平分线的交点处
D．，两内角平分线的交点处
7．（2023八下·顺德期中）如图，为线段的垂直平分线上一点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八下·永定期中）如图，在中，，平分，，，那么点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022八下·河源期中）如图，在中，，，平分交于点D，，垂足为E，且，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023八下·泸县期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2021八下·云浮期末）面积为48的等腰三角形底边上的高为6，则腰长为 ．
12．（2023八下·阜宁期中）要用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角，应先假设 ．
13．（2021八下·北镇市期中）命题“有两个角互余的三角形是直角三角形”的逆命题是 ．
14．（2023八下·鲁甸期末）如图，在中，，平分，垂直平分，若的面积等于4，则的面积为 .
15．（2023八下·台江期末）如图，平分，于点，点在射线上，且．若，，，则的长为 ．
三、解答题(本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分)
16．（2023八下·大荔期末）如图，四边形ABCD是矩形，用直尺和圆规作出∠A的平分线与BC边的垂直平分线的交点Q（不写作法，保留作图痕迹）．连接QD，在新图形中，你发现了什么？请写出一条．
17．用反证法证明：一个三角形中不能有两个直角。
18．（2023八下·莲湖期末）如图，与相交于点O，，，．说明成立的理由．
19．（2022八下·无棣期中）勾股定理的证明方法是多样的，其中“面积法”是常用的方法．小丽发现：当四个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理．请写出勾股定理的内容，并利用给定的图形进行证明．
20．（2023八下·子洲期末）如图，∠B=∠C=90°，点E为BC的中点，DE平分∠ADC，过点E作EF⊥AD，垂足为F，连结AE、BF．
（1）求证：AE是∠DAB的平分线．
（2）求证：线段AE垂直平分BF．
21．（2023八下·潼关期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，且．延长交的延长线于点，连接．
（1）求证：；
（2）求的长．
22．（2023八下·东港期末）如图，点O是等边内一点，是外的一点，，，，，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）当时，试判断的形状，并说明理由；
（3）直接写出，当为多少度时，是等腰三角形．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①如图1，
当该等腰三角形为钝角三角形时，
∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°，
∴底角= （90°﹣50°）=20°，
②如图2，
当该等腰三角形为锐角三角形时，
∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°，
∴底角= [180°﹣（90°﹣50°）]=70°．
故答案为：C．
【分析】分2种情况：（1）当该等腰三角形为钝角三角形时，底角=（90°﹣50°）；
（2）当该等腰三角形为锐角三角形时，底角=[180°﹣（90°﹣50°）]。
2．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：①若两个角都是60°，则第三个角也是60°，是等边三角形；
②有两个外角相等的三角形只能证明为等腰三角形，无法判断是否为等边三角形；
③三个外角（每个顶点处取一个外角）都相等，则三个内角都相等，是等边三角形；
④一边上的高也是这边中线的等腰三角形，可能是底边上的高与中线，等腰三角形有“三线合一”，不能判定为等边三角形．
以上能得到等边三角形的有2个，
故答案为：B．
【分析】根据等边三角形的判定方法逐个分析即可。
3．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，BE＝CE，
∴AE⊥BC，
故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故答案为：C.
【分析】等腰三角形的顶角平分线，底边上的高和中线，三线合一，依此解答即可.
4．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】
A：∵∠A+∠B=90°，∴∠C=180°-(∠A+∠B)=90°，∴△ABC是直角三角形。A不符合；
B：∵∠A+∠B=∠C，∴∠A+∠B+∠C=∠C+∠C=2∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形。B不符合；
C：∵a：b：c=1：2：2，∴，∴△ABC不是直角三角形，C符合；
D：∵a=1，b=3， c=， ∴，∴△ABC是直角三角形，D不符合。
故答案为：C
【分析】
根据角间关系和内角和定理看是否有一内角为90°；根据边间关系及长度，用勾股定理逆定理判断是否为直角三角形。
5．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、52+122=169=132，故能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、 ，故能构成直角三角形，故B不符合题意；
C、 ，故能构成直角三角形，故C不符合题意；
D、∵22+32=13≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项符合要求；
【分析】勾股定理的逆定理：在三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，如果a2+b2=c2，那么：∠C= 90° 。然后计算两较短边的平方和，和最长边的平方，根据勾股定理的逆定理即可判断。
6．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处.
故答案为：C.
【分析】要求到三个小区的距离相等，首先思考到A小区、C小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的判定定理知：点在线段AC的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，于是到三个小区的离相等的点应是其交点，据此即可得出答案.
7．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵线段的垂直平分线上一点，
∴PD垂直平分AB，
∴
∵
∴
故答案为：D.
【分析】根据垂直平分线的性质，即可得到PA的长度.
8．【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作于E
，平分
，
点D到的距离是
故答案为：D.
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质可得DE=CD，然后根据CD=BC-BD进行计算.
9．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴，
∴ ，
∵AC＝BC，
∴AE＝BC，
∴△DEB的周长＝DE＋DB＋BE＝DC＋DB＋BE＝BC＋BE＝AE＋BE＝AB＝3cm．
故答案为：B．
【分析】先利用“HL”证出，可得AC=AE，再利用三角形的周长公式及等量代换求出△DEB的周长即可。
10．【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】
∵，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=21，
∵a2+b2=13，
∴2ab=8，
∴（a-b）2=a2+b2-2ab=13-8=5，
∴小正方形的面积=（a-b）2=5.
故答案为：C。
【分析】由题意知，本题也就是本题已知和a2+b2=13，求（a-b）2，根据完全平方公式，灵活变形，即可求得（a-b）2，也就是小正方形的面积。
11．【答案】10
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
△ABC中，AB＝AC，AD是底边BC上的高，
则 ，BD＝CD，
即 ，
∴BC＝16，
∴BD＝ BC＝8，
∴AB＝ ＝ ＝10，
故答案为：10．
【分析】先求出BC＝16，再求出BD=8，最后利用勾股定理计算求解即可。
12．【答案】等腰三角形的两底都是直角或钝角
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：要用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角，应先假设等腰三角形的两底角都是直角或钝角.
故答案为：等腰三角形的两底角都是直角或钝角.
【分析】根据反证法的步骤，直接写出题设的反面即可.
13．【答案】直角三角形两个锐角互余
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：“有两个角互余的三角形是直角三角形”的逆命题“直角三角形的两个锐角互余”．
故答案为：直角三角形的两个锐角互余．
【分析】根据逆命题的定义及书写要求求解即可。
14．【答案】6
【知识点】全等三角形的应用；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AC，
∴AE=CE，∠AED=90°，
∴S△ADE=S△CDE=S△ADC，
∵S△ADC=4，
∴S△ADE=S△CDE=S△ADC=×4=2，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAD，
在△BAD和△EAD中，
，
∴△BAD≌△EAD（AAS），
∴S△BAD=S△EAD=2，
∴S△ABC=S△EAD+S△BAD+S△CDE=6.
故答案为：6.
【分析】根据垂直平分线得点E是△ADC的中线，根据中线的性质得S△ADE=S△CDE=2，由角平分线证得△BAD≌△EAD，从而S△BAD=S△EAD=2，最后三个三角形面积之和即可求出答案.
15．【答案】6
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，过点P作PD⊥AN于点D，
∵AP平分∠MAN，PD⊥AN，PB⊥AM，
∴PB=PD=3，∠ABP=∠ADP=90°，
在Rt△PCD中，∵PD=3，PC=5，
∴CD=，
∴AD=AC+CD=2+4=6；
在Rt△ABP与Rt△ADP中，
∵AP=AP，PB=PD，
∴Rt△ABP≌Rt△ADP（HL），
∴AB=AD=6.
故答案为：6.
【分析】由角平分线上的点到角两边的距离相等得PB=PD=3，∠ABP=∠ADP=90°，在Rt△PCD中，利用勾股定理算出CD的长，进而根据线段的和差算出AD的长，然后利用HL判断出Rt△ABP≌Rt△ADP，根据全等三角形的对应边相等可得AB=AD=6.
16．【答案】解：如图所示：
连接QD，发现：DQ=AQ．
理由如下：
四边形ABCD是矩形，
，
又MN是 BC边的垂直平分线，
MN垂直平分AD，
．
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】根据角平分线的作法以及线段的垂直平分线的作法得出Q点的位置，再根据垂直平分线和角平分线的性质得出答案即可.
17．【答案】证明：假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设∠A=∠B=90°，
则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°，这与“三角形内角和为180°”矛盾，
∴∠A=∠B=90°不成立，
∴一个三角形中不能有两个直角。
【知识点】反证法
【解析】【分析】反证法的步骤：假设命题的反面，从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或与定义、公理、定理矛盾，得出假设命题不成立是错误的，即可求证命题成立；假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，利用三角形的内角和定理进行分析，从而可推出矛盾，即可求证.
18．【答案】证明：∵，（已知），
∴（垂直定义），
在和中，
∵，
∴，
∴（全等三角形的对应角相等），
∴（等角对等边）.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】根据，，得和都为直角三角形，利用"HL"证，即可得，再利用等角对等边，即可求解.
19．【答案】解：若直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，则，
如图，这个多边形的面积为
整理得ab+c2=，
故．
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【分析】利用不同的表达式表示出阴影部分的面积可得，再化简可得。
20．【答案】（1）证明：∵∠C=90°，
∴CE⊥DC，
又∵EF⊥AD，DE平分∠ADC，
∴EF=CE，
又∵点E为BC的中点，
∴EB=CE，
∴EF=EB，
∵∠B=90°，
∴EB⊥AB，
又∵EF⊥AD，
∴AE是∠DAB的平分线
（2）证明：在Rt△ABE和Rt△AFE中，
∴△ABE≌△AFE
∴AB＝AF
△ABF为等腰三角形
又∵AE是∠DAB的平分线，
∴线段AE垂直平分BF
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义可知CE⊥DC，利用角平分线的性质可证得EF=CE，从而可证得EF=EB，再利用角平分线的逆定理可证得结论.
（2）利用HL证明△ABE≌△AFE，利用全等三角形的性质可得到AB=AF，可推出△ABF是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可证得结论.
21．【答案】（1）证明：垂直平分，，
．
在中，，，，
，
，即．
（2）解：是线段的垂直平分线，
，
．
，
，
，
．
即的长为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理；直角三角形的性质
【解析】【分析】(1)先通过垂直平分线的定义得到AB的长，再利用勾股定理的逆定理判定是直角三角形，进而证得.
(2)先利用垂直平分线的性质得到AF、CF的数量关系，再通过勾股定理列出关于AF的方程，然后解方程求得AF的长.
22．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
（2）解：是直角三角形．
理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：或或时，是等腰三角形．
∵是等边三角形，
∴．
∵，，
∴，
，
∴．
①当时，，∴．
②当时，，∴．
③当时，，∴．
综上所述：当或或时，是等腰三角形．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等可得OC=DC，根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形即可证明；
（2）根据等边三角形的三个角都是60度，全等三角形的对应角相等，可得，，即可求解得到，即可求解；
（3）根据等边三角形的三个角都是60度，求得，，，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可.
1 / 1【基础卷】北师大版数学八（下）第一章 三角形的证明 章末检测
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，只有一个是正确的）
1．（2018八下·深圳月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50°，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A．70° B．20° C．70°或20° D．40°或140°
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①如图1，
当该等腰三角形为钝角三角形时，
∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°，
∴底角= （90°﹣50°）=20°，
②如图2，
当该等腰三角形为锐角三角形时，
∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°，
∴底角= [180°﹣（90°﹣50°）]=70°．
故答案为：C．
【分析】分2种情况：（1）当该等腰三角形为钝角三角形时，底角=（90°﹣50°）；
（2）当该等腰三角形为锐角三角形时，底角=[180°﹣（90°﹣50°）]。
2．（2022八下·哈尔滨开学考）满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（ ）
①有两个角是60°的三角形；②有两个外角相等的等腰三角形：③三个外角（每个顶点处取一个外角）都相等的三角形；④一边上的高也是这边中线的等腰三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：①若两个角都是60°，则第三个角也是60°，是等边三角形；
②有两个外角相等的三角形只能证明为等腰三角形，无法判断是否为等边三角形；
③三个外角（每个顶点处取一个外角）都相等，则三个内角都相等，是等边三角形；
④一边上的高也是这边中线的等腰三角形，可能是底边上的高与中线，等腰三角形有“三线合一”，不能判定为等边三角形．
以上能得到等边三角形的有2个，
故答案为：B．
【分析】根据等边三角形的判定方法逐个分析即可。
3．（2022八下·郑州期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC.工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角
B．垂线段最短
C．等腰三角形“三线合一”
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，BE＝CE，
∴AE⊥BC，
故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故答案为：C.
【分析】等腰三角形的顶角平分线，底边上的高和中线，三线合一，依此解答即可.
4．（2023八下·香河期末）在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．，，
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】
A：∵∠A+∠B=90°，∴∠C=180°-(∠A+∠B)=90°，∴△ABC是直角三角形。A不符合；
B：∵∠A+∠B=∠C，∴∠A+∠B+∠C=∠C+∠C=2∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形。B不符合；
C：∵a：b：c=1：2：2，∴，∴△ABC不是直角三角形，C符合；
D：∵a=1，b=3， c=， ∴，∴△ABC是直角三角形，D不符合。
故答案为：C
【分析】
根据角间关系和内角和定理看是否有一内角为90°；根据边间关系及长度，用勾股定理逆定理判断是否为直角三角形。
5．（2019八下·腾冲期中）以下列长度的线段不能围成直角三角形的是（ ）
A．5，12， 13 B． C． ，3，4 D．2，3，4
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、52+122=169=132，故能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、 ，故能构成直角三角形，故B不符合题意；
C、 ，故能构成直角三角形，故C不符合题意；
D、∵22+32=13≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项符合要求；
【分析】勾股定理的逆定理：在三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，如果a2+b2=c2，那么：∠C= 90° 。然后计算两较短边的平方和，和最长边的平方，根据勾股定理的逆定理即可判断。
6．（2023八下·兴平期中）如图，，，表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（ ）
A．，两边高线的交点处
B．，两边中线的交点处
C．，两边垂直平分线的交点处
D．，两内角平分线的交点处
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处.
故答案为：C.
【分析】要求到三个小区的距离相等，首先思考到A小区、C小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的判定定理知：点在线段AC的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，于是到三个小区的离相等的点应是其交点，据此即可得出答案.
7．（2023八下·顺德期中）如图，为线段的垂直平分线上一点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵线段的垂直平分线上一点，
∴PD垂直平分AB，
∴
∵
∴
故答案为：D.
【分析】根据垂直平分线的性质，即可得到PA的长度.
8．（2023八下·永定期中）如图，在中，，平分，，，那么点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作于E
，平分
，
点D到的距离是
故答案为：D.
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质可得DE=CD，然后根据CD=BC-BD进行计算.
9．（2022八下·河源期中）如图，在中，，，平分交于点D，，垂足为E，且，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴，
∴ ，
∵AC＝BC，
∴AE＝BC，
∴△DEB的周长＝DE＋DB＋BE＝DC＋DB＋BE＝BC＋BE＝AE＋BE＝AB＝3cm．
故答案为：B．
【分析】先利用“HL”证出，可得AC=AE，再利用三角形的周长公式及等量代换求出△DEB的周长即可。
10．（2023八下·泸县期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】
∵，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=21，
∵a2+b2=13，
∴2ab=8，
∴（a-b）2=a2+b2-2ab=13-8=5，
∴小正方形的面积=（a-b）2=5.
故答案为：C。
【分析】由题意知，本题也就是本题已知和a2+b2=13，求（a-b）2，根据完全平方公式，灵活变形，即可求得（a-b）2，也就是小正方形的面积。
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2021八下·云浮期末）面积为48的等腰三角形底边上的高为6，则腰长为 ．
【答案】10
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
△ABC中，AB＝AC，AD是底边BC上的高，
则 ，BD＝CD，
即 ，
∴BC＝16，
∴BD＝ BC＝8，
∴AB＝ ＝ ＝10，
故答案为：10．
【分析】先求出BC＝16，再求出BD=8，最后利用勾股定理计算求解即可。
12．（2023八下·阜宁期中）要用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角，应先假设 ．
【答案】等腰三角形的两底都是直角或钝角
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：要用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角，应先假设等腰三角形的两底角都是直角或钝角.
故答案为：等腰三角形的两底角都是直角或钝角.
【分析】根据反证法的步骤，直接写出题设的反面即可.
13．（2021八下·北镇市期中）命题“有两个角互余的三角形是直角三角形”的逆命题是 ．
【答案】直角三角形两个锐角互余
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：“有两个角互余的三角形是直角三角形”的逆命题“直角三角形的两个锐角互余”．
故答案为：直角三角形的两个锐角互余．
【分析】根据逆命题的定义及书写要求求解即可。
14．（2023八下·鲁甸期末）如图，在中，，平分，垂直平分，若的面积等于4，则的面积为 .
【答案】6
【知识点】全等三角形的应用；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AC，
∴AE=CE，∠AED=90°，
∴S△ADE=S△CDE=S△ADC，
∵S△ADC=4，
∴S△ADE=S△CDE=S△ADC=×4=2，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAD，
在△BAD和△EAD中，
，
∴△BAD≌△EAD（AAS），
∴S△BAD=S△EAD=2，
∴S△ABC=S△EAD+S△BAD+S△CDE=6.
故答案为：6.
【分析】根据垂直平分线得点E是△ADC的中线，根据中线的性质得S△ADE=S△CDE=2，由角平分线证得△BAD≌△EAD，从而S△BAD=S△EAD=2，最后三个三角形面积之和即可求出答案.
15．（2023八下·台江期末）如图，平分，于点，点在射线上，且．若，，，则的长为 ．
【答案】6
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，过点P作PD⊥AN于点D，
∵AP平分∠MAN，PD⊥AN，PB⊥AM，
∴PB=PD=3，∠ABP=∠ADP=90°，
在Rt△PCD中，∵PD=3，PC=5，
∴CD=，
∴AD=AC+CD=2+4=6；
在Rt△ABP与Rt△ADP中，
∵AP=AP，PB=PD，
∴Rt△ABP≌Rt△ADP（HL），
∴AB=AD=6.
故答案为：6.
【分析】由角平分线上的点到角两边的距离相等得PB=PD=3，∠ABP=∠ADP=90°，在Rt△PCD中，利用勾股定理算出CD的长，进而根据线段的和差算出AD的长，然后利用HL判断出Rt△ABP≌Rt△ADP，根据全等三角形的对应边相等可得AB=AD=6.
三、解答题(本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分)
16．（2023八下·大荔期末）如图，四边形ABCD是矩形，用直尺和圆规作出∠A的平分线与BC边的垂直平分线的交点Q（不写作法，保留作图痕迹）．连接QD，在新图形中，你发现了什么？请写出一条．
【答案】解：如图所示：
连接QD，发现：DQ=AQ．
理由如下：
四边形ABCD是矩形，
，
又MN是 BC边的垂直平分线，
MN垂直平分AD，
．
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】根据角平分线的作法以及线段的垂直平分线的作法得出Q点的位置，再根据垂直平分线和角平分线的性质得出答案即可.
17．用反证法证明：一个三角形中不能有两个直角。
【答案】证明：假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设∠A=∠B=90°，
则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°，这与“三角形内角和为180°”矛盾，
∴∠A=∠B=90°不成立，
∴一个三角形中不能有两个直角。
【知识点】反证法
【解析】【分析】反证法的步骤：假设命题的反面，从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或与定义、公理、定理矛盾，得出假设命题不成立是错误的，即可求证命题成立；假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，利用三角形的内角和定理进行分析，从而可推出矛盾，即可求证.
18．（2023八下·莲湖期末）如图，与相交于点O，，，．说明成立的理由．
【答案】证明：∵，（已知），
∴（垂直定义），
在和中，
∵，
∴，
∴（全等三角形的对应角相等），
∴（等角对等边）.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】根据，，得和都为直角三角形，利用"HL"证，即可得，再利用等角对等边，即可求解.
19．（2022八下·无棣期中）勾股定理的证明方法是多样的，其中“面积法”是常用的方法．小丽发现：当四个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理．请写出勾股定理的内容，并利用给定的图形进行证明．
【答案】解：若直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，则，
如图，这个多边形的面积为
整理得ab+c2=，
故．
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【分析】利用不同的表达式表示出阴影部分的面积可得，再化简可得。
20．（2023八下·子洲期末）如图，∠B=∠C=90°，点E为BC的中点，DE平分∠ADC，过点E作EF⊥AD，垂足为F，连结AE、BF．
（1）求证：AE是∠DAB的平分线．
（2）求证：线段AE垂直平分BF．
【答案】（1）证明：∵∠C=90°，
∴CE⊥DC，
又∵EF⊥AD，DE平分∠ADC，
∴EF=CE，
又∵点E为BC的中点，
∴EB=CE，
∴EF=EB，
∵∠B=90°，
∴EB⊥AB，
又∵EF⊥AD，
∴AE是∠DAB的平分线
（2）证明：在Rt△ABE和Rt△AFE中，
∴△ABE≌△AFE
∴AB＝AF
△ABF为等腰三角形
又∵AE是∠DAB的平分线，
∴线段AE垂直平分BF
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义可知CE⊥DC，利用角平分线的性质可证得EF=CE，从而可证得EF=EB，再利用角平分线的逆定理可证得结论.
（2）利用HL证明△ABE≌△AFE，利用全等三角形的性质可得到AB=AF，可推出△ABF是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可证得结论.
21．（2023八下·潼关期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，且．延长交的延长线于点，连接．
（1）求证：；
（2）求的长．
【答案】（1）证明：垂直平分，，
．
在中，，，，
，
，即．
（2）解：是线段的垂直平分线，
，
．
，
，
，
．
即的长为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理；直角三角形的性质
【解析】【分析】(1)先通过垂直平分线的定义得到AB的长，再利用勾股定理的逆定理判定是直角三角形，进而证得.
(2)先利用垂直平分线的性质得到AF、CF的数量关系，再通过勾股定理列出关于AF的方程，然后解方程求得AF的长.
22．（2023八下·东港期末）如图，点O是等边内一点，是外的一点，，，，，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）当时，试判断的形状，并说明理由；
（3）直接写出，当为多少度时，是等腰三角形．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
（2）解：是直角三角形．
理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：或或时，是等腰三角形．
∵是等边三角形，
∴．
∵，，
∴，
，
∴．
①当时，，∴．
②当时，，∴．
③当时，，∴．
综上所述：当或或时，是等腰三角形．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等可得OC=DC，根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形即可证明；
（2）根据等边三角形的三个角都是60度，全等三角形的对应角相等，可得，，即可求解得到，即可求解；
（3）根据等边三角形的三个角都是60度，求得，，，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可.
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