【培优卷】北师大版数学八（下）第一章 三角形的证明 章末检测
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，只有一个是正确的）
1．（2023八下·保定期末）在中，，．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使为等腰三角形．下列作法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：A.由图可知是作∠BAC平分线，在ABC中，∠BAC=90°，AB≠AC，无法求出△ACD
为等腰三角形，此作图不正确，符合题意；
B.由图可得：AC=DC，则△ACD为等腰三角形，此作图正确，不符合题意；
C.由图可知是作AC边的中垂线，则AD=CD，所以△ACD为等腰三角形，此作图正确，不符合题意；
D.由图可知是作BC边的中垂线，可知AD是BC上的中线，所以AD=CD，则△ACD为等腰三角形，此作图正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形的性质，直角三角形的性质，中垂线的性质，角平分线等对每个选项进行判断求解即可。
2．（2023八下·庐阳期末）的三边长分别为，，．下列条件：；；∶∶∶∶；∶∶∶∶．其中能判断是直角三角形的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解： ∵∠A=∠B一∠C，所以∠B=∠A+∠C
又∵三角形内角和为180°
∴∠B=90°， 可得ABC是直角三角形.
故项符合题意.
②∵a2=(b+c)(b-c)
∴a2=b2-c2
∴b2=a2+c2
∴满足勾股定理，可得∠B=90°
∴ 可得△ABC是直角三角形.
故②项符合题意.
∵∠A：∠B：∠C=3：4：5
∴设∠A=3x.∠B=4x.∠C=5x
则有3x+4x+5x=180°.解得x=15°
∴∠A=45°.∠B=60°，∠C=75°
∴△ABC不是直角三角形. 故项不符合题意.
∵：b：c=5：12：13
∴设a=5x.b=12x. C=13x
此时有a2+b2=c2
∴满足勾股定理，可得C=90°
∴△ABC是直角三角形.
故项符合题意.
∴能判断△ABC是直角三角形的个数有3 个..
故答案为：C.
【分析】由勾股定理逆定理和角的运算解题即可。
3．（2023八下·宝安期末）如图，在中，的高BD、CE交于点，若，则AC的长为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，BD，CE分别是三角形的高，
∴∠AEC=∠ADB=90°.
在△ABD与△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（AAS）
∴AD=AE
∴AB-AE=AC-AD
∴BE=CD
在△PBE与△PCD中，
∴△PBE≌△PCD（AAS）
∴PE=PD=6，PB=PC=10
∴DC=
设AD=x，则AC=AD+DC=x+8，AE=AD=x
在Rt△ACE中，∵∠AEC=90°，
∴AC2=AE2+EC2
∴（x+8）2=x2+162
∴x=12
∴AC=12+8=20
故答案为：B.
【分析】先证明△ABD≌△ACE，得出AD=AE；再证明△PBE≌△PCD，得出PE=PD=6，PB=PC=10，再利用勾股定理求出DC=8.设AD=x，在Rt△ACE中，利用勾股定理列出方程即可求出x，从而求出AC的长.
4．（2021八下·丹东期末）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，点E在上，点F在上，连接，将沿折叠，点C与点恰好重合时，则的度数（ ）
A．90° B．92° C．95° D．98°
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接OB、OC．
∵，的平分线与的垂直平分线交于点O，
∴．
∵AB=AC，
∴，
∴．
在和中， ，
∴，
∴OB=OC，
∴．
由题意将沿折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】连接OB、OC，根据角平分线及中垂线的性质可得，根据等腰三角形的性质可求出，从而求出∠OBC=∠CBA-∠ABO=44°，根据SAS证明△AOB≌△AOC，可得OB=OC，从而得出，由折叠的性质可得，根据∠OEC=180°-∠EOC-∠ECO即可求解.
5．（2020八下·江干期末）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若△AEF是边长为2的等边三角形，则正方形的边长是（ ）
A． B． +1 C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】由题知：△AEF是边长为2的等边三角形，
∴∠EAF＝60°，AE＝AF，∴∠BAE+∠DAF＝30°，
又AB＝AD，AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠BAE＝∠DAF＝15°，
如图，作∠AEH＝∠BAE＝15°，交AB于H，
∴∠BHE＝30°，AH＝HE，∴HE＝2BE＝AH，BH＝ BE，∴AB＝（2+ ）BE，
∵AE2＝BE2+AB2，
∴4＝BE2+（2+ ）2×BE2，
∴BE＝ （ ﹣1）＝ ，
∴AB＝（2+ ）BE＝ ，
故答案为：D.
【分析】先运用全等三角形的判定（HL）得到Rt△ABE≌Rt△ADF，进而得到∠BAE＝∠DAF＝15°，如图，作∠AEH＝∠BAE＝15°，交AB于H，再根据直角三角形的性质得到HE＝2BE＝AH，BH＝ BE，∴AB＝（2+ ）BE，接着根据勾股定理结合题意即可求解.
6．（2018八下·凤阳期中）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角，AM=2 EF，则正方形ABCD的面积为（ ）
A．14S B．13S C．12S D．11S
【答案】B
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：设AM＝2a．BM＝b．则正方形ABCD的面积＝4a2+b2
由题意可知EF＝（2a﹣b）﹣2（a﹣b）＝2a﹣b﹣2a+2b＝b，
∵AM＝2 EF，
∴2a＝2 b，
∴a＝ b，
∵正方形EFGH的面积为S，
∴b2＝S，
∴正方形ABCD的面积＝4a2+b2＝13b2＝13S，
故答案为：B．
【分析】设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2，由题意可知EF=（2a-b）-2（a-b）=2a-b-2a+2b=b，由此即可解决问题．
7．（2020八下·襄阳开学考）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC的度数是（ ）
A．128° B．118° C．108° D．98°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO= ∠BAC= ×54°=27°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC= （180°-∠BAC）= （180°-54°）=63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=27°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°-27°=36°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
又∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴∠OCB=∠OBC=36°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
∴∠COE=∠OCB=36°，
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-36°-36°=108°，
故答案为：C.
【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.
8．（2023八下·龙岗期末）如图，在中，，，请观察尺规作图的痕迹（，，分别是连线与边的交点），则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：观察尺规作图的痕迹可得，垂直平分，平分，
垂直平分，
，
，
， ，
，，
，
平分，
，
故答案为：C.
【分析】观察尺规作图的痕迹可得DF是垂直平分线，AE是角平分线，先利用垂直平分线的性质证得等腰三角形进而得到的度数，再通过三角形内角和求得的度数，然后利用角平分线的定义求得的度数.
9．（2023八下·金牛期末）如图，在中，以点B为圆心，适当的长度为半径画弧分别交边于点P、Q，再分别以点P、Q为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点M，连接交于点E，过点E作交AB于点D，若，，则的周长为（ ）
A．8 B．11 C．10 D．13
【答案】A
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由做图知：BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠DEB，
∴DB=DE，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+DB+AE=AB+AE=5+3=8。
故答案为：A。
【分析】根据BE平分∠ABC，可得∠ABE=∠CBE，根据DE∥BC，可得∠DEB=∠CBE，从而可得∠ABE=∠DEB，根据等角对等边得出DB=DE，那么△ADE的周长就可转化为AB+AE=5+3=8。
10．（2022八下·宝鸡期中）如图，点A、B、C在一条直线上，△ABD和△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④PQ∥AC．其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：A、∵△ABD和△BCE为等边三角形，∴AB=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE，
∴∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE，即∠ABE=∠CBD，∴△ABE≌△DBC（SAS），正确；
B、由A知△ABE≌△DBC，∴∠BDC=∠BAE，∵∠BDC+∠BCD=∠ABD=60°，∴∠AMD=∠BAE+∠BCD=60°，正确；
C、∵∠PBQ=180°-∠ABD-∠CBE=180°-60°-60°=60°，由A知∠BDC=∠BAE，又∵BA=BD，∠ABD=∠PBQ=60°，∴△ABP≌△DBQ（ASA），∴PB=QB，∴△BPQ为等边三角形，正确；
D、由C知△BPQ为等边三角形，∴∠BPQ=60°，又∵∠ABD=60°，∴∠ABD=∠BPQ，∴PQ∥AC；
综上，正确的有4个.
故答案为：D.
【分析】根据等边三角形的性质得出有关角或边相等，利用SAS证明△ABE≌△DBC即可；由全等三角形的性质得出∠BDC=∠BAE，然后根据三角形外角的性质，则可推出∠AMD=∠BAE+∠BCD=60°；先求出∠PBQ，利用A的结论，∠BDC=∠BAE，利用SAS证明△ABP≌△DBQ，得出PB=QB，即可判断△BPQ为等边三角形；分别求出∠ABD=∠BPQ=60°，即可判定PQ∥AC.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2019八下·雅安期中）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为46°，则底角∠B的大小为 ．
【答案】68°或22°
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】（1）当AB的中垂线MN与AC相交时，
∵∠AMD=90°，
∴∠A=90°-46°=44°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C= =68°；
；（2）当AB的中垂线MN与CA的延长线相交时，
∴∠DAB=90°-46°=44°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C= ∠DAB=22°．
故答案为68°或22°．
【分析】此题根据△ABC中∠A为锐角与钝角分为两种情况解答．
12．（2022八下·崇阳期中）下列三个命题：①对顶角相等；②两直线平行，内错角相等；③相等的两个实数的平方也相等.它们的逆命题成立的有 .（填序号）
【答案】②
【知识点】平行线的判定；对顶角及其性质；逆命题
【解析】【解答】解：①对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，不成立；
②两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，成立；
③相等的两个实数的平方也相等的逆命题是两个实数的平方相等，则这两个数相等，不成立；
故答案为②.
【分析】把一个命题的题设和结论互换即得其逆命题，分别写出各项的逆命题，再判断即可.
13．（2023八下·罗湖期末）如图，在中，，，点是外一点，若，．，则线段的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；勾股定理的证明；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】在外作等边，过点D作EF⊥CD交CD延长线于F，连接CE，如下图：
∵等边，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
∵
∴是等边三角形，
∴，
∵，
，
∴，
，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】在外作等边，过点D作EF⊥CD交CD延长线于F，连接CE，根据等边三角形的性质得：，从而求出，再利用勾股定理求出EF=DF，CE，再证是等边三角形，得AB=BC，然后证明，得AD=CE，即可求解.
14．（2022八下·胶州期中）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点D是边BC的中点，直线MN是AB的垂直平分线，点E是MN上的一个动点，则△BDE周长的最小值是 ．
【答案】14
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AD，AE，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵△ABC是等腰三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴△BDE的周长=BD+DE+BE=BD+DE+AE≥BD+AD，
当A、E、D三点共线时，△BDE的周长最小，
∵AB=AC=10，BC=12，即BD=6，
∴AD=8，
∴△BDE的周长最小值为BD+AD=6+8=14，
∴△BDE的周长最小值为14，
故答案为：14．
【分析】连接AD，AE，由MN是AB的垂直平分线可得AE=BE，由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，可得△BDE的周长=BD+DE+BE=BD+DE+AE，由于BD时定值，可知当DE+AE最小时，△BDE的周长最小，当A、E、D三点共线时，DE+AE最小且等于AD的长，利用勾股定理求出AD的长，继而得解.
15．（2020八下·沈河期末）如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，点M是线段ON上一点.已知OM＝3，ON＝5，点D为OA上一点，若满足PD＝PM，则OD的长度为 .
【答案】3或7
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图：过点P作PE⊥OA于点E，
∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PN⊥OB，
∴PE＝PN，
∵PE＝PN，OP＝OP，
∴△OPE≌△OPN（HL），
∴OE＝ON＝5，
∵OM＝3，ON＝5，
∴MN＝2，
若点D在线段OE上，
∵PM＝PD，PE＝PN，
∴△PMN≌△PDE（HL），
∴DE＝MN＝2，
∴OD＝OE﹣DE＝3，
若点D在射线EA上，
∵PM＝PD，PE＝PN，
∴△PMN≌△PDE（HL），
∴DE＝MN＝2，
∴OD＝OE+DE＝7.
故答案为：3或7.
【分析】过点P作PE⊥OA于点E，分点D在线段OE上，点D在射线EA上两种情况讨论，利用角平分线的性质可得PN＝PE，即可求OE＝ON＝5，由题意可证△PMN≌△PDE，可求OD的长.
三、解答题(本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分)
16．（2021八下·夏邑期末）如图， 中， ，若点 从点 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线 运动，设运动时间为 秒 .
（1）若点 在 上，且满足 时，求此时 的值；
（2）若点 恰好在 的平分线上，求 的值.
【答案】（1）解：∵ ， ， ，
∴在 中， ，
由题意得PA= t，PC=8－t，
∵PA=PB，
∴PB=t，
∴在 中， ，即 ，
解得：
（2）解：作∠CAB的平分线AP，过P作PD⊥AB于D点，如图所示，
∵AP平分∠CAB， ，PD⊥AB，
∴PC=PD，
在 和 中， ，
∴ ≌ ，
∴AD=AC=8，
∴BD=AB－AD=10－8=2，
由题意得PD=PC=t－8，则PB=6－(t－8)=14－t，
∴在 中， ，即 ，
解得：
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）由勾股定理求出AC=8， 由题意得PA= t，PC=8－t， 可得PA=PB=t， 在 中，由建立关于t的方程，解之即可；
（2） 作∠CAB的平分线AP，过P作PD⊥AB于D点， 由角平分线的性质可得PC=PD，证明 ≌ ，可得AD=AC=8，从而求出BD=AB－AD=2，由题意得PD=PC=t－8，则PB=14－t，在 中，由 建立关于t的方程，解之即可.
17．（2022八下·大田期中）在中，，是的角平分线
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，若，且，求的长；
（3）如图3，当时，求证：.
【答案】（1）证明：∵，
∴
∵是的角平分线
∴
∴
∴
∴
（2）解：过D作DE⊥BC于E
∵，
∴
∴
∴
∵是的角平分线
∴
∴
∵
∴
∴
（3）证明：以BC为边作等边三角形A'BC，在A'C上截取CD'=BD，连接A'A延长交BC于H，
∵A'B=A'C，AB=AC，
∴A'H是BC垂直平分线，∠D'A'A=30°，
∵AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠ACA′=∠ABD=20°，
在△ABD和△ACD'中，
，
∴△ABD≌△ACD'（SAS），
∴AD=AD'，∠BAC=∠CAD′=100°，
∴∠AD′C=60°，连接AA′，
∴∠D'A'A=∠A'AD'=30°，
∴A'D'=AD'，
∴BC=A'C=A'D'+CD'=AD+BD，
即BC=BD+AD.
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据∠A=36°，结合等腰三角形的性质可得，根据角平分线的定义可得，从而得∠A=∠CBD，∠BDC=∠C=72°，进而得AD=BD，BD=BC，即可证明AD=BC；
（2） 过D作DE⊥BC于E，由等腰三角形性质得，从而得，再由角平分线性质得，进而得，又，代入数据即可求得AD的长；
（3）以BC为边作等边三角形A'BC，在A'C上截取CD'=BD，连接A'A延长交BC于H，由A'B=A'C，AB=AC，推出A'H是BC垂直平分线，∠D'A'A=30°，由等腰三角形性质可求得∠ACA′=∠ABD=20°，从而证得△ABD≌△ACD'，由全等三角形的性质可得AD=AD'，∠BAC=∠CAD′=100°，从而得到∠AD′C=60°，进而求得∠D'A'A=∠A'AD'=30°，即得A'D'=AD'，进而推出BC=A'C=A'D'+CD'=AD+BD，即可求证结论成立.
18．（2023八下·济南高新技术产业开发期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，是的角平分线，交直线于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）如图2，是的角平分线，过点B作的垂线交于点D，交x轴于点E求直线的解析式；
（3）在x轴上寻找点F使得为等腰三角形，请直接写出点F的坐标．
【答案】（1）解：过点C作于点M，如图所示：
根据题意，可设点C坐标为，
∴，，
∵，是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得m，
∴点C坐标为；
（2）解：∵是的角平分线，
∴，
∵于点D，
∴，
在和中，
∴，
∴，
当时，，
∴点，
则，
当时，，
∴点，
∴，
在中，根据勾股定理，得，
∴，
∴点E坐标为，
设直线的解析式为，将点和代入，得
，
解得
∴直线的解析式为；
（3）或或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：（3）设点F的坐标为，
∵，，，
∴，，
为等腰三角形，分情况讨论：
①，
∴，
，
，
，
，
或，
∴点F的坐标为或；
②，
∴，
，
，
，
或（舍），
∴点F的坐标为；
③，
∴，
，
，
，
，
∴点F的坐标为；
综上，满足条件的点F坐标为或或或．
【分析】（1） 设点C坐标为， 得出 ，， 根据角平分线性质得到，列出方程，解方程即可求出答案；
（2）根据角平分线性质及全等三角形的判定定理可得到，则，可求出OB，OA长度，根据勾股定理求出E点坐标， 设直线的解析式为 ，根据待定系数法即可求出答案；
（3）根据等腰三角形的性质分情况讨论。列方程，解方程即可求出答案。
19．（2023八下·淮安期末）是边长为2的等边三角形，点P是直线上的一点（不与B、C重合），以为边向右侧作等边，连接．
（1）如图1，点P在边上．
①请说明：；
②求出周长的最小值；
（2）当点P在点B的左侧时，在图2中画出符合题意的图形，并直接写出之间的数量关系；
（3）直接写出当为直角三角形时，的长．
【答案】（1）解：①证明：，是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
；
②，
，
的周长，
当时，取最小值，
，，
，
，
此时，
周长的最小值为；
（2）解：图形如下所示，．
理由如下：，是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
；
，
，
即；
（3）解：当为直角三角形时，分两种情况：
当点P在点B的左侧时，如下图所示，，
，，
，
，
，
，
，即，
，，
，
在中，，，
，
；
当点P在点B的右侧时，如下图所示，，
，，
，
，
，
．
综上可知，的长为1或4．
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）①由等边三角形的性质可得，，，从而得出，根据SAS证明△ABP≌△ACQ；
②由全等三角形的性质可得BP=CQ，可得的周长，由于BC为定值，当AP最小时，的周长最小，所以当时，取最小值，利用勾股定理求出AP的长，继而得解；
（2）根据SAS证明△ABP≌△ACQ，可得PB=CQ，从而得出；
（3）分两种情况：当点P在点B的左侧时，则，当点P在点B的右侧时，则，据此分别画出图形，根据等腰三角形及直角三角形的性质分别求解即可.
20．（2023八下·铜仁期末）
（1）阅读理解
由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．在如图①所示的“手拉手”图形中，小白发现若，，，则，请证明他的发现；
（2）问题解决
如图②，，试探索线段之间满足的等量关系，并证明；
（3）拓展探究
如图③，和是拥有公共顶点C的两个等边三角形，M点、N点、F点分别是的中点．当时，请直接写出的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：结论：．
理由：如图2中，连接，
由（1）得，，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴．
（3）
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：（3）∵均为等边三角形，
∴
∴
∴
∴，
∴
∵点分别为边中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，
∴，
∴
∵，
∴
∴
过点F作于点G，如图，
∴
由勾股定理得，
∴．
【分析】本题考查三角形全等的“手拉手模型”。（1）根据∠BAC=∠DAE可知：∠BAD=∠CAE，根据已知两组边分别相等的条件，用“边角边”证明 ；（2）利用（1）中结论 ，则有BD=CE，∠ACE=∠B，则有∠DCE=90°，可知，则（3）根据（1）中方法，易证，则有AD=BE，根据M、F、N为中点，可得FM=FN=5，根据中位线的性质和全等的性质可证∠MFN=120°，则三角形MFN是顶角为120°、腰长为5的等腰三角形，作底边垂线段，可得MN=.【注意】顶角120°的等腰三角形，底边是腰长的倍，这个结论可以在小题中应用。
21．（2022八下·太原期末）综合与实践：
已知，等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°．现要将其剪成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形（不能有剩余）．下面是小文借助尺规解决这一问题的过程，请阅读后完成相应任务．
作法：如图1所示， ①分别作AB，AC的垂直平分线，交于点P； ②连接PA，PB，PC． 结论：沿线段PA，PB，PC剪开，即可得到三个等腰三角形， 理由：∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴…….. （依据）． 同理，PA＝PC． ∴PA＝PB＝PC． ∴△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形
任务：
（1）上述过程中，横线上的结论为 ，括号中的依据为 ．
（2）受小文的启发，同学们想到另一种思路：如图2，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，交AB于点E．在此基础上构造两条线段（以图中标有字母的点为端点）作为裁剪线，也可解决问题！请在图2中画出一种裁剪方案，直接写出得到的三个等腰三角形及相应顶角的度数．
（3）如图3，等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，请从A，B两题中任选一题作答、我选择 题．
A．请在图3中设计出一种裁剪方案，将该三角形纸片分成三个等腰三角形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，说明裁剪线）．
B．请在图3中设计出一种裁剪方案，将该三角形纸片分成四个等腰三角形，且四个三角形互不全等（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，说明裁剪线）．
【答案】（1）PA=PB；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
（2）解：如图，连接BD、DE，
由作法知，BC=BD=BE，则△BCD、△BDE是等腰三角形，
∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵BC=BD，
∴∠BDC=∠ACB=72°，∴∠DBC=36°，
∴∠EBD=∠ABC ∠DBC=36°，
∵BD=BE，∴∠BED=∠BDE =72°，
∴∠AED=180° ∠BED=108°，
∴∠EDA=180° ∠BAC ∠AED=36°，
∴AE=DE，即△ADE是等腰三角形．
综上，△ADE的顶角为108°，△BDE的顶角为36°，△BDC的顶角为36°；
如图，连接DE、CE，则BC=BE，∴△BCE是等腰三角形，且顶角为72°，∠BEC=∠BCE=54°，∴∠DCE=∠ACB←∠BCE=18°，
连接BD，由上一种裁剪方法知，
BD平分∠ABC，则△BCD≌△BED（SAS），
∴CD=DE，即△DCE是等腰三角形，且顶角∠EDC=180° 2×18°=144°，∴∠ADE=180° ∠EDC=36°=∠BAC，
∴AE=DE，即△AED是等腰三角形，且顶角；
综上，△ADE的顶角为108°，△BCE的顶角为72°，△DCE的顶角为144°．
（3）解：选A：分别以B、C为圆心，AB长为半径画弧，两弧与BC相交于点D、E，连接AD、AE，则△ABD、△ACE、△ADE三个三角形都是等腰三角形，如下图所示；裁剪线段为AD、AE；选B：以B为圆心，AB长为半径画弧，与BC相交于D，连接AD，对于等腰△ABD，按照图1中的裁剪方法，即可得到四个等腰三角形：△ACD、△ADE、△DEF、△BEF，其中裁剪线为AD、DE、EF．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB．
同理，PA＝PC．
∴PA＝PB＝PC．
∴△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．
故答案为：PA=PB；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质解答；
（2）根据三角形内角和定理，等腰三角形的性质解答；
（3）根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质解答。
22．（2023八下·台山期末）【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．如图．
（1）【小试牛刀】
把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为，，．显然，，．请用，，分别表示出梯形，四边形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ， ， ，则它们满足的关系式为 ，经化简，可得到勾股定理．
（2）如图2，河道上，两点（看作直线上的两点）相距160米，，为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为，，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点，使得抽水点到两个菜园，的距离和最短，则该最短距离为 米．
（3）【知识迁移】
借助上面的思考过程，画图说明并求代数式的最小值．
【答案】（1）；；；
（2）200
（3）解：如下图，，，、，点为线段上一点，
设，则，
∴，
由上可得当三点共线时，距离最小，最小为，
作交延长线于点F，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴．
∴代数式的最小值为15．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的证明；勾股定理的应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（1）=；
由图1可知，BE=a-b，==；
+=+=
==；
∵=+
∴=+
∴化简后，可得+=.
故答案为：；；；；
（2）延长BC到点E，使BE=AD，并连接DE，延长CB到F，使BC=BF，如下图：
当点D、P、F三点在一条直线时，点P到C，D的距离和最短；
由题意可知，AB=160米，AD=70米，BC=50米；
∵ADAB，BCAB
∴AD//BC
又∵AD=BE
∴四边形ABFED是矩形
∴DE=AB=160米，BE=AD=70米
∴EF=BE+BF=70+50=120米
∴DF==200米
故答案为：200；
【分析】（1）根据三角形的面积公式和梯形的面积公式计算即可；
（2）根据两点之间线段最短的性质，判断P点的位置；再根据矩形的判定和性质，得出直角三角形的两个直角边的边长；最后根据勾股定理，计算出距离和最小值即可.
(3)设未知数，根据勾股定理，可得PD+PC的长；根据两点之间线段最短的性质，判断P点的位置，此时PD+PC=CD；根据矩形的判定和性质，得出直角三角形的两个直角边的边长；最后根据勾股定理，计算出距离和CD最小值，既是所求.
1 / 1【培优卷】北师大版数学八（下）第一章 三角形的证明 章末检测
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，只有一个是正确的）
1．（2023八下·保定期末）在中，，．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使为等腰三角形．下列作法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023八下·庐阳期末）的三边长分别为，，．下列条件：；；∶∶∶∶；∶∶∶∶．其中能判断是直角三角形的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
3．（2023八下·宝安期末）如图，在中，的高BD、CE交于点，若，则AC的长为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
4．（2021八下·丹东期末）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，点E在上，点F在上，连接，将沿折叠，点C与点恰好重合时，则的度数（ ）
A．90° B．92° C．95° D．98°
5．（2020八下·江干期末）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若△AEF是边长为2的等边三角形，则正方形的边长是（ ）
A． B． +1 C． D．
6．（2018八下·凤阳期中）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角，AM=2 EF，则正方形ABCD的面积为（ ）
A．14S B．13S C．12S D．11S
7．（2020八下·襄阳开学考）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC的度数是（ ）
A．128° B．118° C．108° D．98°
8．（2023八下·龙岗期末）如图，在中，，，请观察尺规作图的痕迹（，，分别是连线与边的交点），则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023八下·金牛期末）如图，在中，以点B为圆心，适当的长度为半径画弧分别交边于点P、Q，再分别以点P、Q为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点M，连接交于点E，过点E作交AB于点D，若，，则的周长为（ ）
A．8 B．11 C．10 D．13
10．（2022八下·宝鸡期中）如图，点A、B、C在一条直线上，△ABD和△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④PQ∥AC．其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2019八下·雅安期中）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为46°，则底角∠B的大小为 ．
12．（2022八下·崇阳期中）下列三个命题：①对顶角相等；②两直线平行，内错角相等；③相等的两个实数的平方也相等.它们的逆命题成立的有 .（填序号）
13．（2023八下·罗湖期末）如图，在中，，，点是外一点，若，．，则线段的长为 ．
14．（2022八下·胶州期中）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点D是边BC的中点，直线MN是AB的垂直平分线，点E是MN上的一个动点，则△BDE周长的最小值是 ．
15．（2020八下·沈河期末）如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，点M是线段ON上一点.已知OM＝3，ON＝5，点D为OA上一点，若满足PD＝PM，则OD的长度为 .
三、解答题(本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分)
16．（2021八下·夏邑期末）如图， 中， ，若点 从点 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线 运动，设运动时间为 秒 .
（1）若点 在 上，且满足 时，求此时 的值；
（2）若点 恰好在 的平分线上，求 的值.
17．（2022八下·大田期中）在中，，是的角平分线
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，若，且，求的长；
（3）如图3，当时，求证：.
18．（2023八下·济南高新技术产业开发期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，是的角平分线，交直线于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）如图2，是的角平分线，过点B作的垂线交于点D，交x轴于点E求直线的解析式；
（3）在x轴上寻找点F使得为等腰三角形，请直接写出点F的坐标．
19．（2023八下·淮安期末）是边长为2的等边三角形，点P是直线上的一点（不与B、C重合），以为边向右侧作等边，连接．
（1）如图1，点P在边上．
①请说明：；
②求出周长的最小值；
（2）当点P在点B的左侧时，在图2中画出符合题意的图形，并直接写出之间的数量关系；
（3）直接写出当为直角三角形时，的长．
20．（2023八下·铜仁期末）
（1）阅读理解
由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．在如图①所示的“手拉手”图形中，小白发现若，，，则，请证明他的发现；
（2）问题解决
如图②，，试探索线段之间满足的等量关系，并证明；
（3）拓展探究
如图③，和是拥有公共顶点C的两个等边三角形，M点、N点、F点分别是的中点．当时，请直接写出的长．
21．（2022八下·太原期末）综合与实践：
已知，等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°．现要将其剪成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形（不能有剩余）．下面是小文借助尺规解决这一问题的过程，请阅读后完成相应任务．
作法：如图1所示， ①分别作AB，AC的垂直平分线，交于点P； ②连接PA，PB，PC． 结论：沿线段PA，PB，PC剪开，即可得到三个等腰三角形， 理由：∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴…….. （依据）． 同理，PA＝PC． ∴PA＝PB＝PC． ∴△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形
任务：
（1）上述过程中，横线上的结论为 ，括号中的依据为 ．
（2）受小文的启发，同学们想到另一种思路：如图2，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，交AB于点E．在此基础上构造两条线段（以图中标有字母的点为端点）作为裁剪线，也可解决问题！请在图2中画出一种裁剪方案，直接写出得到的三个等腰三角形及相应顶角的度数．
（3）如图3，等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，请从A，B两题中任选一题作答、我选择 题．
A．请在图3中设计出一种裁剪方案，将该三角形纸片分成三个等腰三角形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，说明裁剪线）．
B．请在图3中设计出一种裁剪方案，将该三角形纸片分成四个等腰三角形，且四个三角形互不全等（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，说明裁剪线）．
22．（2023八下·台山期末）【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．如图．
（1）【小试牛刀】
把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为，，．显然，，．请用，，分别表示出梯形，四边形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ， ， ，则它们满足的关系式为 ，经化简，可得到勾股定理．
（2）如图2，河道上，两点（看作直线上的两点）相距160米，，为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为，，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点，使得抽水点到两个菜园，的距离和最短，则该最短距离为 米．
（3）【知识迁移】
借助上面的思考过程，画图说明并求代数式的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：A.由图可知是作∠BAC平分线，在ABC中，∠BAC=90°，AB≠AC，无法求出△ACD
为等腰三角形，此作图不正确，符合题意；
B.由图可得：AC=DC，则△ACD为等腰三角形，此作图正确，不符合题意；
C.由图可知是作AC边的中垂线，则AD=CD，所以△ACD为等腰三角形，此作图正确，不符合题意；
D.由图可知是作BC边的中垂线，可知AD是BC上的中线，所以AD=CD，则△ACD为等腰三角形，此作图正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形的性质，直角三角形的性质，中垂线的性质，角平分线等对每个选项进行判断求解即可。
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解： ∵∠A=∠B一∠C，所以∠B=∠A+∠C
又∵三角形内角和为180°
∴∠B=90°， 可得ABC是直角三角形.
故项符合题意.
②∵a2=(b+c)(b-c)
∴a2=b2-c2
∴b2=a2+c2
∴满足勾股定理，可得∠B=90°
∴ 可得△ABC是直角三角形.
故②项符合题意.
∵∠A：∠B：∠C=3：4：5
∴设∠A=3x.∠B=4x.∠C=5x
则有3x+4x+5x=180°.解得x=15°
∴∠A=45°.∠B=60°，∠C=75°
∴△ABC不是直角三角形. 故项不符合题意.
∵：b：c=5：12：13
∴设a=5x.b=12x. C=13x
此时有a2+b2=c2
∴满足勾股定理，可得C=90°
∴△ABC是直角三角形.
故项符合题意.
∴能判断△ABC是直角三角形的个数有3 个..
故答案为：C.
【分析】由勾股定理逆定理和角的运算解题即可。
3．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，BD，CE分别是三角形的高，
∴∠AEC=∠ADB=90°.
在△ABD与△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（AAS）
∴AD=AE
∴AB-AE=AC-AD
∴BE=CD
在△PBE与△PCD中，
∴△PBE≌△PCD（AAS）
∴PE=PD=6，PB=PC=10
∴DC=
设AD=x，则AC=AD+DC=x+8，AE=AD=x
在Rt△ACE中，∵∠AEC=90°，
∴AC2=AE2+EC2
∴（x+8）2=x2+162
∴x=12
∴AC=12+8=20
故答案为：B.
【分析】先证明△ABD≌△ACE，得出AD=AE；再证明△PBE≌△PCD，得出PE=PD=6，PB=PC=10，再利用勾股定理求出DC=8.设AD=x，在Rt△ACE中，利用勾股定理列出方程即可求出x，从而求出AC的长.
4．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接OB、OC．
∵，的平分线与的垂直平分线交于点O，
∴．
∵AB=AC，
∴，
∴．
在和中， ，
∴，
∴OB=OC，
∴．
由题意将沿折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】连接OB、OC，根据角平分线及中垂线的性质可得，根据等腰三角形的性质可求出，从而求出∠OBC=∠CBA-∠ABO=44°，根据SAS证明△AOB≌△AOC，可得OB=OC，从而得出，由折叠的性质可得，根据∠OEC=180°-∠EOC-∠ECO即可求解.
5．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】由题知：△AEF是边长为2的等边三角形，
∴∠EAF＝60°，AE＝AF，∴∠BAE+∠DAF＝30°，
又AB＝AD，AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠BAE＝∠DAF＝15°，
如图，作∠AEH＝∠BAE＝15°，交AB于H，
∴∠BHE＝30°，AH＝HE，∴HE＝2BE＝AH，BH＝ BE，∴AB＝（2+ ）BE，
∵AE2＝BE2+AB2，
∴4＝BE2+（2+ ）2×BE2，
∴BE＝ （ ﹣1）＝ ，
∴AB＝（2+ ）BE＝ ，
故答案为：D.
【分析】先运用全等三角形的判定（HL）得到Rt△ABE≌Rt△ADF，进而得到∠BAE＝∠DAF＝15°，如图，作∠AEH＝∠BAE＝15°，交AB于H，再根据直角三角形的性质得到HE＝2BE＝AH，BH＝ BE，∴AB＝（2+ ）BE，接着根据勾股定理结合题意即可求解.
6．【答案】B
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：设AM＝2a．BM＝b．则正方形ABCD的面积＝4a2+b2
由题意可知EF＝（2a﹣b）﹣2（a﹣b）＝2a﹣b﹣2a+2b＝b，
∵AM＝2 EF，
∴2a＝2 b，
∴a＝ b，
∵正方形EFGH的面积为S，
∴b2＝S，
∴正方形ABCD的面积＝4a2+b2＝13b2＝13S，
故答案为：B．
【分析】设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2，由题意可知EF=（2a-b）-2（a-b）=2a-b-2a+2b=b，由此即可解决问题．
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO= ∠BAC= ×54°=27°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC= （180°-∠BAC）= （180°-54°）=63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=27°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°-27°=36°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
又∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴∠OCB=∠OBC=36°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
∴∠COE=∠OCB=36°，
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-36°-36°=108°，
故答案为：C.
【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：观察尺规作图的痕迹可得，垂直平分，平分，
垂直平分，
，
，
， ，
，，
，
平分，
，
故答案为：C.
【分析】观察尺规作图的痕迹可得DF是垂直平分线，AE是角平分线，先利用垂直平分线的性质证得等腰三角形进而得到的度数，再通过三角形内角和求得的度数，然后利用角平分线的定义求得的度数.
9．【答案】A
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由做图知：BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠DEB，
∴DB=DE，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+DB+AE=AB+AE=5+3=8。
故答案为：A。
【分析】根据BE平分∠ABC，可得∠ABE=∠CBE，根据DE∥BC，可得∠DEB=∠CBE，从而可得∠ABE=∠DEB，根据等角对等边得出DB=DE，那么△ADE的周长就可转化为AB+AE=5+3=8。
10．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：A、∵△ABD和△BCE为等边三角形，∴AB=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE，
∴∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE，即∠ABE=∠CBD，∴△ABE≌△DBC（SAS），正确；
B、由A知△ABE≌△DBC，∴∠BDC=∠BAE，∵∠BDC+∠BCD=∠ABD=60°，∴∠AMD=∠BAE+∠BCD=60°，正确；
C、∵∠PBQ=180°-∠ABD-∠CBE=180°-60°-60°=60°，由A知∠BDC=∠BAE，又∵BA=BD，∠ABD=∠PBQ=60°，∴△ABP≌△DBQ（ASA），∴PB=QB，∴△BPQ为等边三角形，正确；
D、由C知△BPQ为等边三角形，∴∠BPQ=60°，又∵∠ABD=60°，∴∠ABD=∠BPQ，∴PQ∥AC；
综上，正确的有4个.
故答案为：D.
【分析】根据等边三角形的性质得出有关角或边相等，利用SAS证明△ABE≌△DBC即可；由全等三角形的性质得出∠BDC=∠BAE，然后根据三角形外角的性质，则可推出∠AMD=∠BAE+∠BCD=60°；先求出∠PBQ，利用A的结论，∠BDC=∠BAE，利用SAS证明△ABP≌△DBQ，得出PB=QB，即可判断△BPQ为等边三角形；分别求出∠ABD=∠BPQ=60°，即可判定PQ∥AC.
11．【答案】68°或22°
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】（1）当AB的中垂线MN与AC相交时，
∵∠AMD=90°，
∴∠A=90°-46°=44°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C= =68°；
；（2）当AB的中垂线MN与CA的延长线相交时，
∴∠DAB=90°-46°=44°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C= ∠DAB=22°．
故答案为68°或22°．
【分析】此题根据△ABC中∠A为锐角与钝角分为两种情况解答．
12．【答案】②
【知识点】平行线的判定；对顶角及其性质；逆命题
【解析】【解答】解：①对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，不成立；
②两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，成立；
③相等的两个实数的平方也相等的逆命题是两个实数的平方相等，则这两个数相等，不成立；
故答案为②.
【分析】把一个命题的题设和结论互换即得其逆命题，分别写出各项的逆命题，再判断即可.
13．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；勾股定理的证明；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】在外作等边，过点D作EF⊥CD交CD延长线于F，连接CE，如下图：
∵等边，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
∵
∴是等边三角形，
∴，
∵，
，
∴，
，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】在外作等边，过点D作EF⊥CD交CD延长线于F，连接CE，根据等边三角形的性质得：，从而求出，再利用勾股定理求出EF=DF，CE，再证是等边三角形，得AB=BC，然后证明，得AD=CE，即可求解.
14．【答案】14
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AD，AE，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵△ABC是等腰三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴△BDE的周长=BD+DE+BE=BD+DE+AE≥BD+AD，
当A、E、D三点共线时，△BDE的周长最小，
∵AB=AC=10，BC=12，即BD=6，
∴AD=8，
∴△BDE的周长最小值为BD+AD=6+8=14，
∴△BDE的周长最小值为14，
故答案为：14．
【分析】连接AD，AE，由MN是AB的垂直平分线可得AE=BE，由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，可得△BDE的周长=BD+DE+BE=BD+DE+AE，由于BD时定值，可知当DE+AE最小时，△BDE的周长最小，当A、E、D三点共线时，DE+AE最小且等于AD的长，利用勾股定理求出AD的长，继而得解.
15．【答案】3或7
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图：过点P作PE⊥OA于点E，
∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PN⊥OB，
∴PE＝PN，
∵PE＝PN，OP＝OP，
∴△OPE≌△OPN（HL），
∴OE＝ON＝5，
∵OM＝3，ON＝5，
∴MN＝2，
若点D在线段OE上，
∵PM＝PD，PE＝PN，
∴△PMN≌△PDE（HL），
∴DE＝MN＝2，
∴OD＝OE﹣DE＝3，
若点D在射线EA上，
∵PM＝PD，PE＝PN，
∴△PMN≌△PDE（HL），
∴DE＝MN＝2，
∴OD＝OE+DE＝7.
故答案为：3或7.
【分析】过点P作PE⊥OA于点E，分点D在线段OE上，点D在射线EA上两种情况讨论，利用角平分线的性质可得PN＝PE，即可求OE＝ON＝5，由题意可证△PMN≌△PDE，可求OD的长.
16．【答案】（1）解：∵ ， ， ，
∴在 中， ，
由题意得PA= t，PC=8－t，
∵PA=PB，
∴PB=t，
∴在 中， ，即 ，
解得：
（2）解：作∠CAB的平分线AP，过P作PD⊥AB于D点，如图所示，
∵AP平分∠CAB， ，PD⊥AB，
∴PC=PD，
在 和 中， ，
∴ ≌ ，
∴AD=AC=8，
∴BD=AB－AD=10－8=2，
由题意得PD=PC=t－8，则PB=6－(t－8)=14－t，
∴在 中， ，即 ，
解得：
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）由勾股定理求出AC=8， 由题意得PA= t，PC=8－t， 可得PA=PB=t， 在 中，由建立关于t的方程，解之即可；
（2） 作∠CAB的平分线AP，过P作PD⊥AB于D点， 由角平分线的性质可得PC=PD，证明 ≌ ，可得AD=AC=8，从而求出BD=AB－AD=2，由题意得PD=PC=t－8，则PB=14－t，在 中，由 建立关于t的方程，解之即可.
17．【答案】（1）证明：∵，
∴
∵是的角平分线
∴
∴
∴
∴
（2）解：过D作DE⊥BC于E
∵，
∴
∴
∴
∵是的角平分线
∴
∴
∵
∴
∴
（3）证明：以BC为边作等边三角形A'BC，在A'C上截取CD'=BD，连接A'A延长交BC于H，
∵A'B=A'C，AB=AC，
∴A'H是BC垂直平分线，∠D'A'A=30°，
∵AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠ACA′=∠ABD=20°，
在△ABD和△ACD'中，
，
∴△ABD≌△ACD'（SAS），
∴AD=AD'，∠BAC=∠CAD′=100°，
∴∠AD′C=60°，连接AA′，
∴∠D'A'A=∠A'AD'=30°，
∴A'D'=AD'，
∴BC=A'C=A'D'+CD'=AD+BD，
即BC=BD+AD.
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据∠A=36°，结合等腰三角形的性质可得，根据角平分线的定义可得，从而得∠A=∠CBD，∠BDC=∠C=72°，进而得AD=BD，BD=BC，即可证明AD=BC；
（2） 过D作DE⊥BC于E，由等腰三角形性质得，从而得，再由角平分线性质得，进而得，又，代入数据即可求得AD的长；
（3）以BC为边作等边三角形A'BC，在A'C上截取CD'=BD，连接A'A延长交BC于H，由A'B=A'C，AB=AC，推出A'H是BC垂直平分线，∠D'A'A=30°，由等腰三角形性质可求得∠ACA′=∠ABD=20°，从而证得△ABD≌△ACD'，由全等三角形的性质可得AD=AD'，∠BAC=∠CAD′=100°，从而得到∠AD′C=60°，进而求得∠D'A'A=∠A'AD'=30°，即得A'D'=AD'，进而推出BC=A'C=A'D'+CD'=AD+BD，即可求证结论成立.
18．【答案】（1）解：过点C作于点M，如图所示：
根据题意，可设点C坐标为，
∴，，
∵，是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得m，
∴点C坐标为；
（2）解：∵是的角平分线，
∴，
∵于点D，
∴，
在和中，
∴，
∴，
当时，，
∴点，
则，
当时，，
∴点，
∴，
在中，根据勾股定理，得，
∴，
∴点E坐标为，
设直线的解析式为，将点和代入，得
，
解得
∴直线的解析式为；
（3）或或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：（3）设点F的坐标为，
∵，，，
∴，，
为等腰三角形，分情况讨论：
①，
∴，
，
，
，
，
或，
∴点F的坐标为或；
②，
∴，
，
，
，
或（舍），
∴点F的坐标为；
③，
∴，
，
，
，
，
∴点F的坐标为；
综上，满足条件的点F坐标为或或或．
【分析】（1） 设点C坐标为， 得出 ，， 根据角平分线性质得到，列出方程，解方程即可求出答案；
（2）根据角平分线性质及全等三角形的判定定理可得到，则，可求出OB，OA长度，根据勾股定理求出E点坐标， 设直线的解析式为 ，根据待定系数法即可求出答案；
（3）根据等腰三角形的性质分情况讨论。列方程，解方程即可求出答案。
19．【答案】（1）解：①证明：，是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
；
②，
，
的周长，
当时，取最小值，
，，
，
，
此时，
周长的最小值为；
（2）解：图形如下所示，．
理由如下：，是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
；
，
，
即；
（3）解：当为直角三角形时，分两种情况：
当点P在点B的左侧时，如下图所示，，
，，
，
，
，
，
，即，
，，
，
在中，，，
，
；
当点P在点B的右侧时，如下图所示，，
，，
，
，
，
．
综上可知，的长为1或4．
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）①由等边三角形的性质可得，，，从而得出，根据SAS证明△ABP≌△ACQ；
②由全等三角形的性质可得BP=CQ，可得的周长，由于BC为定值，当AP最小时，的周长最小，所以当时，取最小值，利用勾股定理求出AP的长，继而得解；
（2）根据SAS证明△ABP≌△ACQ，可得PB=CQ，从而得出；
（3）分两种情况：当点P在点B的左侧时，则，当点P在点B的右侧时，则，据此分别画出图形，根据等腰三角形及直角三角形的性质分别求解即可.
20．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：结论：．
理由：如图2中，连接，
由（1）得，，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴．
（3）
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：（3）∵均为等边三角形，
∴
∴
∴
∴，
∴
∵点分别为边中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，
∴，
∴
∵，
∴
∴
过点F作于点G，如图，
∴
由勾股定理得，
∴．
【分析】本题考查三角形全等的“手拉手模型”。（1）根据∠BAC=∠DAE可知：∠BAD=∠CAE，根据已知两组边分别相等的条件，用“边角边”证明 ；（2）利用（1）中结论 ，则有BD=CE，∠ACE=∠B，则有∠DCE=90°，可知，则（3）根据（1）中方法，易证，则有AD=BE，根据M、F、N为中点，可得FM=FN=5，根据中位线的性质和全等的性质可证∠MFN=120°，则三角形MFN是顶角为120°、腰长为5的等腰三角形，作底边垂线段，可得MN=.【注意】顶角120°的等腰三角形，底边是腰长的倍，这个结论可以在小题中应用。
21．【答案】（1）PA=PB；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
（2）解：如图，连接BD、DE，
由作法知，BC=BD=BE，则△BCD、△BDE是等腰三角形，
∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵BC=BD，
∴∠BDC=∠ACB=72°，∴∠DBC=36°，
∴∠EBD=∠ABC ∠DBC=36°，
∵BD=BE，∴∠BED=∠BDE =72°，
∴∠AED=180° ∠BED=108°，
∴∠EDA=180° ∠BAC ∠AED=36°，
∴AE=DE，即△ADE是等腰三角形．
综上，△ADE的顶角为108°，△BDE的顶角为36°，△BDC的顶角为36°；
如图，连接DE、CE，则BC=BE，∴△BCE是等腰三角形，且顶角为72°，∠BEC=∠BCE=54°，∴∠DCE=∠ACB←∠BCE=18°，
连接BD，由上一种裁剪方法知，
BD平分∠ABC，则△BCD≌△BED（SAS），
∴CD=DE，即△DCE是等腰三角形，且顶角∠EDC=180° 2×18°=144°，∴∠ADE=180° ∠EDC=36°=∠BAC，
∴AE=DE，即△AED是等腰三角形，且顶角；
综上，△ADE的顶角为108°，△BCE的顶角为72°，△DCE的顶角为144°．
（3）解：选A：分别以B、C为圆心，AB长为半径画弧，两弧与BC相交于点D、E，连接AD、AE，则△ABD、△ACE、△ADE三个三角形都是等腰三角形，如下图所示；裁剪线段为AD、AE；选B：以B为圆心，AB长为半径画弧，与BC相交于D，连接AD，对于等腰△ABD，按照图1中的裁剪方法，即可得到四个等腰三角形：△ACD、△ADE、△DEF、△BEF，其中裁剪线为AD、DE、EF．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB．
同理，PA＝PC．
∴PA＝PB＝PC．
∴△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．
故答案为：PA=PB；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质解答；
（2）根据三角形内角和定理，等腰三角形的性质解答；
（3）根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质解答。
22．【答案】（1）；；；
（2）200
（3）解：如下图，，，、，点为线段上一点，
设，则，
∴，
由上可得当三点共线时，距离最小，最小为，
作交延长线于点F，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴．
∴代数式的最小值为15．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的证明；勾股定理的应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（1）=；
由图1可知，BE=a-b，==；
+=+=
==；
∵=+
∴=+
∴化简后，可得+=.
故答案为：；；；；
（2）延长BC到点E，使BE=AD，并连接DE，延长CB到F，使BC=BF，如下图：
当点D、P、F三点在一条直线时，点P到C，D的距离和最短；
由题意可知，AB=160米，AD=70米，BC=50米；
∵ADAB，BCAB
∴AD//BC
又∵AD=BE
∴四边形ABFED是矩形
∴DE=AB=160米，BE=AD=70米
∴EF=BE+BF=70+50=120米
∴DF==200米
故答案为：200；
【分析】（1）根据三角形的面积公式和梯形的面积公式计算即可；
（2）根据两点之间线段最短的性质，判断P点的位置；再根据矩形的判定和性质，得出直角三角形的两个直角边的边长；最后根据勾股定理，计算出距离和最小值即可.
(3)设未知数，根据勾股定理，可得PD+PC的长；根据两点之间线段最短的性质，判断P点的位置，此时PD+PC=CD；根据矩形的判定和性质，得出直角三角形的两个直角边的边长；最后根据勾股定理，计算出距离和CD最小值，既是所求.
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