湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三下学期2月联考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三下学期2月联考数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-20 16:59:11 | ||
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文档简介
长沙市部分中学2023-2024学年高三下学期2月联考
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．某班的全体学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，，，．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是（ ）
A．40 B．45 C．50 D．60
3．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．20 B．23 C．24 D．28
4．已知平面向量，满足，，并且当时，取得最小值，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知一个圆锥的高与其底面圆的半径相等，且体积为．在该圆锥内有一个正方体，其下底面的四个顶点在圆锥的底面内，上底面的四个顶点在圆锥的侧面上，则该正方体的棱长为（ ）
A． B．1 C． D．
6．已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是，空气的温度是，则后物体的温度满足公式（其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）．某天小明同学将温度是的牛奶放在空气中，冷却2min后牛奶的温度是，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．牛奶的温度降至还需4min D．牛奶的温度降至还需2min
7．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
8．双曲线的右支上一点在第一象限，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若内切圆的半径为1，则的面积等于（ ）
A．24 B．12 C． D．
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．已知为复数，设，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中为坐标原点，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知A，C两点位于直线两侧，B，D是直线上两点，且的面积是的面积的2倍，若，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数
B．在单调递减
C．在有且仅有两个零点
D．是周期函数
11．若是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，且对任意，，都有，则下列说法正确的是（ ）
A．一定为正数
B．2是的一个周期
C．若，则
D．若在上单调递增，则
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．二项式的展开式中，的系数为_________．
13．已知样本数据、、、、都为正数，其方差，则样本数据、、、、的平均数为_________．
14．已知椭圆的右焦点为，过点作倾斜角为的直线交椭圆于，两点，弦的垂直平分线交轴于点，若，则椭圆的离心率_________．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分13分）
某学校进行班级之间的中国历史知识竞赛活动，甲、乙两位同学代表各自班级以抢答的形式展开，共五道题，抢到并回答正确者得一分，答错则对方得一分，先得三分者获胜．每一次抢题且甲、乙两人抢到每道题的概率都是，甲、乙正确回答每道题的概率分别为，，且两人各道题是否回答正确均相互独立．
（1）比赛开始，求甲先得一分的概率；
（2）求甲获胜的概率．
16．（本小题满分15分）
已知函数．
（1）若，求在区间上的最小值和最大值；
（2）若，求证：在处取得极小值．
17．（本小题满分15分）
如图1，已知正方形的边长为4，E，F分别为，的中点，将正方形沿折成如图2所示的二面角，且二面角的大小为，点在线段上（包含端点）运动，连接．
（1）若M为的中点，直线与平面的交点为，试确定点的位置，并证明直线平面；
（2）是否存在点M，使得直线与平面所成的角为？若存在，确定出点的位置；若不存在，请说明理由．
18．（本小题满分17分）
已知M，N为椭圆和双曲线的公共顶点，，分别为和的离心率．
（1）若．
（i）求的渐近线方程；
（ii）过点的直线交的右支于A，B两点，直线，与直线相交于，两点，记A，B，，的坐标分别为，求证：；
（2）从上的动点引的两条切线，经过两个切点的直线与的两条渐近线围成三角形的面积为，试判断是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
19．（本小题满分17分）
已知是个正整数组成的行列的数表，当，时，记．设，若满足如下两个性质：
①（；）；
②对任意，存在，，使得，则称为数表．
（1）判断是否为数表，并求的值；
（2）若数表满足，求中各数之和的最小值；
（3）证明：对任意数表，存在，，使得．
长沙市部分中学2023-2024学年高三下学期2月联考
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B C D B D D D C AB ABC BCD
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）
1．B
2．C
3．D
4．B
5．D【解析】因为圆锥的高与其底面圆的半径相等，设圆锥的高为，底面圆的半径为，则，又因为圆锥的体积为，可得，解得，则，
设圆锥的顶点为，底面圆心为，则高为，与正方体的上底面交点为，
在该圆锥内有一个正方体，其下底面的四个顶点在圆锥的底面内，上底面的四个顶点在圆锥的侧面上，取其轴截面，如图所示，设正方体的棱长为，可得，
由，可得，即，
解得，所以该正方体的棱长为．
6．D【解析】80℃的牛奶放在20℃的空气中，冷却2分钟以后物体的温度是50℃，
则，，两边取以为底的对数，
得，解得，所以，
当牛奶的温度从50℃降至35℃时，，即，解得，
所以牛奶的温度降至35℃还需2min．
7．D【解析】，，所以，解得，
即，所以，故，，．
8．C【解析】由双曲线的，，，由题意可得的纵坐标为1，即，
又，，可得两底角和的一半的正切为，所以面积为．
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．）
9．AB【解析】设，，，，
，，，，，，
对于A，，，故选项A正确；
对于B，，，故选项B正确；
对于C，（时），不等于，故选项C错误；
对于D，（时），不平行于，故选项D错误．
10．ABC【解析】设与直线交于，由题可得，
又，
，
、E、D三点共线，
，
，函数的定义域为，又，
函数为奇函数，故A正确；
因为函数，在上为减函数，
所以在上单调递减，故B正确；
由，可得，
所以函数在的零点数即为与的交点数，
结合函数的图象可得在有且仅有两个零点，故C正确；
因为，函数为周期函数，而函数不是周期函数，
故不是周期函数，故D错误．
11．BCD【解析】因为符合条件，故A错误；
因为偶函数的图象关于直线对称，所以，则2是的一个周期，故B正确；因为对任意，，都有，所以对任意，取得；若，即，故，
由2是的周期得，故C正确；
假设，由及，，
得，，故，这与在上单调递增矛盾，故D正确．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．10
13．11【解析】根据题意，设样本数据、、、、的平均数为，
其方差
又，则有，解得，
则样本数据、、、、的平均数为．
14．【解析】设粗圆半焦距为，则，则过点，倾斜角为的直线的方程为：，
设，，线段的中点．联立
化为．
，，，
的垂直平分线的方程为：，令，解得，
．，，则，椭圆的离心率为．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．【解析】（1）每道题的抢答中，记甲得一分为事件，
由题意得的发生有两种可能：甲抢到题且答对，乙抢到题且答错，
所以，
故比赛开始，甲先得一分的概率为．
（2）由（1）知，在每道题的抢答中甲、乙得一分的概率分别，，
设两人共抢答了道题比赛结束，且甲获胜，根据比赛规则，的所有可能取值为3，4，5，
则，
，
，
所以甲获胜的概率．
16．【解析】（1）当时，，则，
在上，即在上单调递增，
所以最小值为，最大值为．
（2）由题意，则，
令，则，且．
所以，即在处有递增趋势，
综上，若且无限趋向于0，
在上，递减，
在上，递增，
所以在处取得极小值．
17．【解析】（1）因为直线平面，故点在平面内，也在平面内，
所以点在平面与平面的交线（即直线）上，
延长，交于点，连接（如图所示），
证明：因为，M为的中点，所以，
所以，即是的中点，则，
故点在的延长线上且与点间的距离为2；
连接交于点，因为四边形为矩形，所以是的中点，
又因为是的中点，
连接，则为的中位线，所以，又平面，平面，
所以直线平面．
（2）由题意知，又，且平面，
所以平面，且，所以平面平面，因为，，
所以为等边三角形，取的中点，连接，则，
而平面平面，且平面，所以平面，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设，则，
设平面的法向量为，则即
取，则，，所以平面的一个法向量为，
要使直线与平面所成的角为，
则，
即，整理得，解得或，
所以存在点，即为线段上靠近或的一个四等分点，使得直线与平面所成的角为．
18．【解析】（1）由题意得，，
所以，
又，解得，
（ii）设直线的方程为，
则消元得，，，
且，所以，，
故，
又直线的方程为，所以，同理，
所以，
故．
（2）设两个切点，，由题意知，斜率存在，
直线的方程为，
联立由得，所以，
同理直线方程为，
由，过点可得可得直线的方程为，
不妨设，直线与双曲线两渐近线交于两点，，
则围成三角形的面积，
因为在双曲线上，，则为定值．
19．【解析】（1）是数表，
．
（2）由题可知．
当时，有，
所以．
当时，有，
所以．
所以．
所以，，．
或者，
或者，
或，或，
故各数之和，
当时，各数之和取得最小值22．
（3）由于数表中共100个数字，
必然存在，使得数表中的个数满足．
设第行中的个数为．
当时，将横向相邻两个用从左向右的有向线段连接，
则该行有条有向线段，
所以横向有向线段的起点总数．
设第列中的个数为．
当时，将纵向相邻两个用从上到下的有向线段连接，
则该列有条有向线段，
所以纵向有向线段的起点总数．
所以，
因为，所以．
所以必存在某个既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的终点，
即存在，．
使得，
所以，
则命题得证．
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．某班的全体学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，，，．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是（ ）
A．40 B．45 C．50 D．60
3．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．20 B．23 C．24 D．28
4．已知平面向量，满足，，并且当时，取得最小值，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知一个圆锥的高与其底面圆的半径相等，且体积为．在该圆锥内有一个正方体，其下底面的四个顶点在圆锥的底面内，上底面的四个顶点在圆锥的侧面上，则该正方体的棱长为（ ）
A． B．1 C． D．
6．已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是，空气的温度是，则后物体的温度满足公式（其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）．某天小明同学将温度是的牛奶放在空气中，冷却2min后牛奶的温度是，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．牛奶的温度降至还需4min D．牛奶的温度降至还需2min
7．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
8．双曲线的右支上一点在第一象限，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若内切圆的半径为1，则的面积等于（ ）
A．24 B．12 C． D．
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．已知为复数，设，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中为坐标原点，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知A，C两点位于直线两侧，B，D是直线上两点，且的面积是的面积的2倍，若，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数
B．在单调递减
C．在有且仅有两个零点
D．是周期函数
11．若是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，且对任意，，都有，则下列说法正确的是（ ）
A．一定为正数
B．2是的一个周期
C．若，则
D．若在上单调递增，则
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．二项式的展开式中，的系数为_________．
13．已知样本数据、、、、都为正数，其方差，则样本数据、、、、的平均数为_________．
14．已知椭圆的右焦点为，过点作倾斜角为的直线交椭圆于，两点，弦的垂直平分线交轴于点，若，则椭圆的离心率_________．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分13分）
某学校进行班级之间的中国历史知识竞赛活动，甲、乙两位同学代表各自班级以抢答的形式展开，共五道题，抢到并回答正确者得一分，答错则对方得一分，先得三分者获胜．每一次抢题且甲、乙两人抢到每道题的概率都是，甲、乙正确回答每道题的概率分别为，，且两人各道题是否回答正确均相互独立．
（1）比赛开始，求甲先得一分的概率；
（2）求甲获胜的概率．
16．（本小题满分15分）
已知函数．
（1）若，求在区间上的最小值和最大值；
（2）若，求证：在处取得极小值．
17．（本小题满分15分）
如图1，已知正方形的边长为4，E，F分别为，的中点，将正方形沿折成如图2所示的二面角，且二面角的大小为，点在线段上（包含端点）运动，连接．
（1）若M为的中点，直线与平面的交点为，试确定点的位置，并证明直线平面；
（2）是否存在点M，使得直线与平面所成的角为？若存在，确定出点的位置；若不存在，请说明理由．
18．（本小题满分17分）
已知M，N为椭圆和双曲线的公共顶点，，分别为和的离心率．
（1）若．
（i）求的渐近线方程；
（ii）过点的直线交的右支于A，B两点，直线，与直线相交于，两点，记A，B，，的坐标分别为，求证：；
（2）从上的动点引的两条切线，经过两个切点的直线与的两条渐近线围成三角形的面积为，试判断是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
19．（本小题满分17分）
已知是个正整数组成的行列的数表，当，时，记．设，若满足如下两个性质：
①（；）；
②对任意，存在，，使得，则称为数表．
（1）判断是否为数表，并求的值；
（2）若数表满足，求中各数之和的最小值；
（3）证明：对任意数表，存在，，使得．
长沙市部分中学2023-2024学年高三下学期2月联考
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B C D B D D D C AB ABC BCD
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）
1．B
2．C
3．D
4．B
5．D【解析】因为圆锥的高与其底面圆的半径相等，设圆锥的高为，底面圆的半径为，则，又因为圆锥的体积为，可得，解得，则，
设圆锥的顶点为，底面圆心为，则高为，与正方体的上底面交点为，
在该圆锥内有一个正方体，其下底面的四个顶点在圆锥的底面内，上底面的四个顶点在圆锥的侧面上，取其轴截面，如图所示，设正方体的棱长为，可得，
由，可得，即，
解得，所以该正方体的棱长为．
6．D【解析】80℃的牛奶放在20℃的空气中，冷却2分钟以后物体的温度是50℃，
则，，两边取以为底的对数，
得，解得，所以，
当牛奶的温度从50℃降至35℃时，，即，解得，
所以牛奶的温度降至35℃还需2min．
7．D【解析】，，所以，解得，
即，所以，故，，．
8．C【解析】由双曲线的，，，由题意可得的纵坐标为1，即，
又，，可得两底角和的一半的正切为，所以面积为．
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．）
9．AB【解析】设，，，，
，，，，，，
对于A，，，故选项A正确；
对于B，，，故选项B正确；
对于C，（时），不等于，故选项C错误；
对于D，（时），不平行于，故选项D错误．
10．ABC【解析】设与直线交于，由题可得，
又，
，
、E、D三点共线，
，
，函数的定义域为，又，
函数为奇函数，故A正确；
因为函数，在上为减函数，
所以在上单调递减，故B正确；
由，可得，
所以函数在的零点数即为与的交点数，
结合函数的图象可得在有且仅有两个零点，故C正确；
因为，函数为周期函数，而函数不是周期函数，
故不是周期函数，故D错误．
11．BCD【解析】因为符合条件，故A错误；
因为偶函数的图象关于直线对称，所以，则2是的一个周期，故B正确；因为对任意，，都有，所以对任意，取得；若，即，故，
由2是的周期得，故C正确；
假设，由及，，
得，，故，这与在上单调递增矛盾，故D正确．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．10
13．11【解析】根据题意，设样本数据、、、、的平均数为，
其方差
又，则有，解得，
则样本数据、、、、的平均数为．
14．【解析】设粗圆半焦距为，则，则过点，倾斜角为的直线的方程为：，
设，，线段的中点．联立
化为．
，，，
的垂直平分线的方程为：，令，解得，
．，，则，椭圆的离心率为．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．【解析】（1）每道题的抢答中，记甲得一分为事件，
由题意得的发生有两种可能：甲抢到题且答对，乙抢到题且答错，
所以，
故比赛开始，甲先得一分的概率为．
（2）由（1）知，在每道题的抢答中甲、乙得一分的概率分别，，
设两人共抢答了道题比赛结束，且甲获胜，根据比赛规则，的所有可能取值为3，4，5，
则，
，
，
所以甲获胜的概率．
16．【解析】（1）当时，，则，
在上，即在上单调递增，
所以最小值为，最大值为．
（2）由题意，则，
令，则，且．
所以，即在处有递增趋势，
综上，若且无限趋向于0，
在上，递减，
在上，递增，
所以在处取得极小值．
17．【解析】（1）因为直线平面，故点在平面内，也在平面内，
所以点在平面与平面的交线（即直线）上，
延长，交于点，连接（如图所示），
证明：因为，M为的中点，所以，
所以，即是的中点，则，
故点在的延长线上且与点间的距离为2；
连接交于点，因为四边形为矩形，所以是的中点，
又因为是的中点，
连接，则为的中位线，所以，又平面，平面，
所以直线平面．
（2）由题意知，又，且平面，
所以平面，且，所以平面平面，因为，，
所以为等边三角形，取的中点，连接，则，
而平面平面，且平面，所以平面，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设，则，
设平面的法向量为，则即
取，则，，所以平面的一个法向量为，
要使直线与平面所成的角为，
则，
即，整理得，解得或，
所以存在点，即为线段上靠近或的一个四等分点，使得直线与平面所成的角为．
18．【解析】（1）由题意得，，
所以，
又，解得，
（ii）设直线的方程为，
则消元得，，，
且，所以，，
故，
又直线的方程为，所以，同理，
所以，
故．
（2）设两个切点，，由题意知，斜率存在，
直线的方程为，
联立由得，所以，
同理直线方程为，
由，过点可得可得直线的方程为，
不妨设，直线与双曲线两渐近线交于两点，，
则围成三角形的面积，
因为在双曲线上，，则为定值．
19．【解析】（1）是数表，
．
（2）由题可知．
当时，有，
所以．
当时，有，
所以．
所以．
所以，，．
或者，
或者，
或，或，
故各数之和，
当时，各数之和取得最小值22．
（3）由于数表中共100个数字，
必然存在，使得数表中的个数满足．
设第行中的个数为．
当时，将横向相邻两个用从左向右的有向线段连接，
则该行有条有向线段，
所以横向有向线段的起点总数．
设第列中的个数为．
当时，将纵向相邻两个用从上到下的有向线段连接，
则该列有条有向线段，
所以纵向有向线段的起点总数．
所以，
因为，所以．
所以必存在某个既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的终点，
即存在，．
使得，
所以，
则命题得证．
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