沛县第二中学高三下期初考试（数学）答案与解析
选择题
题号 1. 2. 3. 4. 5. 6.
答案 D D A B B B
题号 7. 8. 9. 10. 11.
答案 D B ABC ACD ABC
6．由圆的方程可知，圆心，半径.
，
当时，最小，此时最小.
对于选项A，，所以，故A错误；
对于选项B，，即，解得，故B正确；
对于选项C，因为，，所以，所以，故C错误；
对于选项D，四边形的面积，
所以当最小时，四边形的面积最小，，故D错误.
7．方法一：，，，即，.
方法二，即，，，.
8．因为，所以三点共线，
又，所以为直角三角形，
记，则，
由双曲线定义和对称性可得，
则有，即，
解得或（舍去）.
记，则，
在中，由余弦定理得，
整理得，得.
双曲线过焦点的三角形问题，关键是充分利用双曲线定义，结合余弦定理、勾股定理得到关于a、b、c的齐次式，然后可求离心率.
9．对于A，
，正确；
对于B，
，正确；
对于C，因为为偶函数，所以，，
即，，则，，
所以
，所以，
因为，所以，所以，
当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为4，正确；
对于D，作出函数和的图象，如图：
则方程的根的个数为函数和的图象交点个数，
而,
结合图知，两函数共有10个交点，故方程的根的个数为10个，错误；
10．对于A中，若，因为，则，可得，
设，则，所以A正确；
对于B中，由A得，设，若，
则，
只要或，选项B就不正确；
例如：，此时，
可表示为或，
所以表示方法不唯一，所以B错误.
对于C中，若，则，可得，
则，所以且，
设，则，其中，
则复数对应的向量与复数对应的向量方向共线，且长度是倍，
故在复平面内对应的点的轨迹是射线（且与方向共线），所以C正确.
对于D中，若，可得，同理，
由，即，可得，
即，
即，即，
即，
因为，所以成立，
所以成立，所以D正确.
11．设，且，，则，
而
，
又当时，恒成立，即，，
函数是R上的增函数，A正确；
由，
令可得，解得，
令可得，即，而，
，而函数的定义域为R，
故函数是奇函数，B正确；
令可得，解得，所以
因为函数是上的增函数，
由，可得，所以，C正确；
令，易知定义域为R，
因为，显然不恒成立，所以不是偶函数，D错误.
填空题
12． 13.； 14．
13.将正四面体放置于正方体中，如图所示，可得正方体的外接球就是正四面体的外接球，外接球的球心O为正方体的体对角线DF的中点，
设正四面体的棱长为，则正方体的棱长为，
因为外接球的直径等于正方体的对角线长，
所以外接球的半径为，
E为BC边的中点，过E作该正四面体外接球的截面，
当截面过球心O时，截面面积最大，最大值为，
当截面到球心O的距离最大时，截面圆的面积取最小值，
此时球心O到截面的距离为，可得截面圆的半径为，
从而截面面积的最小值为．所以；
设正四面体内切球的球心为G，半径为，
取底面BCD的中心H，连接AH，则AH为正四面体的高，G在AH上，H在DE上，
正四面体的每个面的面积为，
，正四面体的高，
故正四面体的体积为，
连接G与正四面体的4个顶点可以得到4个的正三棱锥，每个正三棱锥体积为，则，
所以，求得，
故正四面体内切球的体积，
正四面体外接球的半径为，外接球的体积为，
．
14.设，
、，
，，，
即，，可得，
，
，
即有m的最小值为，
15．（1）当时，，则
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故在上单调递增，在上单调递减，
（2）（法一）当时，
由（1）可知，即，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在单调递减，在单调递增，
因此，（当且仅当时取得等号）
（法二）当时，
令，可知
于是在单调递减，在单调递增，
因此，（当且仅当时取得等号）．
令，则由（1）知：故在单调递增，
因此．所以．
16．(1)(i)设事件A=“该同学有购买意向”，事件Bi=“该同学来自i班”
由题意可知,
所以，由全概率公式可得 8分
(2)由题意可得每次叫价增加1元的概率为,每次叫价增加2元的概率为.
设叫价为元的概率为,叫价出现元的情况只有下列两种：
①叫价为元，且骰子点数大于2，其概率为
②叫价为元，且骰子点数小于3，其概率为
于是得到,易得
由于
于是当时,数列是以首项为公比为的等比数列,
故.
于是=
$
于是，甲同学能够获得笔记本购买资格的概率约为0.75. 15分
17．（1）因为为等边三角形，所以，
又，为公共边，故≌.
作，垂足为，连接，由三角形全等易知.
设，则，由题意得，且
所以，解得，故，
故.
在中，因为，所以.
又因为，平面，，
所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
设点，则，
因为，
所以，解得，所以，
则.
设平面的法向量为，
则，
解得，取，则，
故.
又因为平面的一个法向量为，
所以，
二面角为锐二面角，
故二面角的余弦值为.
18．（1）抛物线的准线方程为，依题意，，解得，
所以抛物线的标准方程为.
（2）①设，显然不垂直于y轴，设直线方程为，
由消去x得：，由，得或，
，即，
直线的斜率，即，
同理直线的斜率，直线的方程为，
整理得，即，
又，于是，由及，
得，则，
因此直线：过定点，
所以直线过定点.
②显然轴，
，则，
解得或，而直线斜率的，则或，
所以直线斜率的取值范围是.
19．（1）若，
则由集合新定义可知.
（2）设有个元素，下证.
一方面，，则，
所以，即，
而，，
这表明了满足题意，此时，故；
另一方面：若，不妨设且，
由题意可知，
而最多含有个元素，当且仅当两两不同且时，等号成立，
但这与有100个元素矛盾，
所以.
综上所述：非空整数集合B的元素个数的最小值是34.
（3）一方面：先来证明，
，
因此只要，就有，
而，，，
所以，
所以，
即，
从而.
另一方面：如果，，，
那么，，，
从而，同理，
因此由定义可得，
即满足距离的三角不等式；
所以在本题中，，，即，
取，可知可能成立，
取，可知可能成立，
取，可知可能成立，
综上所述，所有可能取值为3或4或5.
答案第1页，共2页沛县第二中学2024届高三下学期期初测试
数学试题
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：；乙组：，若这两组数据的第30百分位数，第50百分位数都分别对应相等，则（ ）
A．60 B．65 C．70 D．71
2．已知椭圆的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三个顶点，则椭圆C的离心率为( )
A． B． C． D．
3．已知为数列的前项和，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知两条不重合的直线和，两个不重合的平面和，下列四个说法：
①若，，，则 ②若，，，则
③若，，，则 ④若，，，则
其中所有正确的序号为（ ）
A．②④ B．③④ C．④ D．①③
5．今年暑期，《八角笼中》、《长安三万里》、《封神榜》、《孤注一掷》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这四部电影，若小明要看《长安三万里》，则恰有两人看同一部影片的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆，点在直线上运动，直线与圆相切，切点为，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为2
B．最小时，弦长为
C．最小时，弦所在直线的斜率为
D．四边形的面积最小值为
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，．点A在上，点在轴上，，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题中，正确的是（ ）
A．
B．
C．，其中，，函数的图像向右平移个单位长度后，得到为偶函数，则的最小值为4
D．方程的根的个数为12个
10．设复数，且,其中为确定的复数，下列说法正确的是（ ）.
A．若，则是实数
B．若，则存在唯一实数对使得
C．若 ，则 在复平面内对应的点的轨迹是射线
D．若，则
11．已知函数的定义域为，且对任意a，，都有，且当时，恒成立，则（ ）
A．函数是上的增函数 B．函数是奇函数
C．若，则的解集为 D．函数为偶函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合，若，且，则实数的取值范围是__________．
13．在正四面体中，为边的中点，过点作该正四面体外接球的截面，记最大的截面面积，最小的截面面积为，则 ；若记该正四面体内切球和外接球的体积分别为和，则 ．
14．定义表示，，，中的最小值，表示，，，中的最大值则对任意的，，的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，证明：．
16．（15分）为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，所得善款将用于捐赠“圆梦困境学生”计划.活动共计50多个班级参与，1000余件物品待出售.摄影社从中选取了20件物品，用于拍照宣传，这些物品中，最引人注目的当属优秀毕业生们的笔记本，已知高三1，2,3班分别有的同学有购买意向.假设三个班的人数比例为6：7:8
(1)现从三个班中随机抽取一位同学：
(i)求该同学有购买意向的概率；
(ii)如果该同学有购买意向，求此人来自2班的概率；
(2)对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式：统一以0元为初始叫价，通过掷骰子确定新叫价，若点数大于2，则在已叫价格基础上增加1元更新叫价，若点数小于3，则在已叫价格基础上增加2元更新叫价；重复上述过程，能叫到10元，即获得以10元为价格的购买资格，未出现叫价为10元的情况则失去购买资格，并结束叫价.若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本，试估计其获得该笔记本购买资格的概率(精确到0.01).
17．如图，三棱锥中，，为等边三角形，为上的一个动点.
(1)证明：平面平面；
(2)当时，求二面角的余弦值.
18．已知点在抛物线的准线上，过点作直线与抛物线交于两点，斜率为2的直线与抛物线交于两点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)① 求证：直线过定点；
② 若的面积为，且满足，求直线斜率的取值范围．
19．对非空整数集合M及，定义，对于非空整数集合A，B，定义.
(1)设，请直接写出集合；
(2)设，，求出非空整数集合B的元素个数的最小值；
(3)对三个非空整数集合A，B，C，若且，求所有可能取值.
