(共45张PPT)
章末综合检测(一)
第六章 平面向量及其应用
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2．对于任意非零向量a，b，下列说法正确的是( )
A．若|a|＞|b|，则a＞b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若a＝b，则a∥b
D．若a≠b，则a，b不是共线向量
解析：向量不能比较大小，所以A不正确；
a＝b需满足两个条件：a，b同向且|a|＝|b|，所以B不正确；C正确；
若a，b是共线向量，则只需a，b方向相同或相反，D不正确．
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4．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a，b的夹角为( )
A．150° B．120°
C．60° D．30°
解析：设向量a，b的夹角为θ，
|c|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos θ，
则cos θ＝－ ，又θ∈[0°，180°]，
所以θ＝120°，故选B.
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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知向量a＝(1，0)，b＝(2，2)，则下列结论正确的是( )
A．a＋2b＝(5，4) B．|b|＝2
C．a与b的夹角为45° D．a∥(a＋2b)
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12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，则下列结论正确的是( )
A．sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6
B．△ABC是钝角三角形
C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍
D．若c＝6，则△ABC的外接圆的半径为
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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量a＝(1，k)，b＝(2，2)，且a＋b与a共线，那么a·b＝________．
解析：依题意得a＋b＝(3，k＋2)，由a＋b与a共线，得3×k－1×(k＋2)＝0，解得k＝1，所以a·b＝2＋2k＝4.
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15．如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距15 n mile的C处．现甲船以35 n mile/h的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25 n mile的B处的乙船，则甲船到达B处需要的时间为________h.
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解析：在△OBC中，由余弦定理，得CB2＝CO2＋OB2－2CO·OB cos 120°＝152＋252＋15×25＝352，因此CB＝35 n mile，由 ＝1(h)，因此甲船到达B处需要的时间为1 h.
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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知e1，e2是两个单位向量，其夹角为60°，a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2.
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18.(本小题满分12分)如图，已知向量a与b，其中|a|＝3，|b|＝4，且a与b的夹角θ＝150°.
(1)求a·b；
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20．(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a cos B＝(4c－b)cos A.
(1)求cos A的值；
解：因为a cos B＝(4c－b)cos A，
由正弦定理得sin A cos B＝(4sin C－sin B)cos A，
即sin A cos B＋cos A sin B＝4sin C cos A，
则sin C＝4cos A sin C，
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12中小学教育资源及组卷应用平台
章末综合检测(一)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝( )
A．(－2，－1) B．(－2，1)
C．(－1，0) D．(－1，2)
解析：选D.因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a－b＝－＝＝(－1，2).故选D.
2．对于任意非零向量a，b，下列说法正确的是( )
A．若|a|＞|b|，则a＞b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若a＝b，则a∥b
D．若a≠b，则a，b不是共线向量
解析：选C.向量不能比较大小，所以A不正确；a＝b需满足两个条件：a，b同向且|a|＝|b|，所以B不正确；C正确；若a，b是共线向量，则只需a，b方向相同或相反，D不正确．
3．已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，设＝a，＝b，则(a－b)＝( )
A． B．
C． D．
解析：选B.因为a－b＝－＝－＝，所以(a－b)＝＝.
4．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a，b的夹角为( )
A．150° B．120°
C．60° D．30°
解析：选B.设向量a，b的夹角为θ，
|c|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos θ，
则cos θ＝－，又θ∈[0°，180°]，
所以θ＝120°，故选B.
5．已知A(1，2)，B(3，4)，C(－2，2)，D(－3，5)，则向量在向量上的投影向量的坐标为( )
A． B．
C． D．
解析：选B.＝(2，2)，＝(－1，3)，||＝，·＝－2＋6＝4，则向量在向量上的投影向量为·＝，故选B.
6．在△ABC中，a＝1，B＝45°，△ABC的面积为2，则三角形外接圆的半径为( )
A．2 B．4
C． D．3
解析：选C.由三角形的面积公式，
得2＝ac sin B＝c×，
所以c＝4.
又b2＝a2＋c2－2ac cos B＝1＋32－2×1×4×＝25，
所以b＝5.
又因为＝2R，所以R＝＝＝.
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c cos A＋a cos C＝2c，若a＝b，则sin B等于( )
A． B．
C． D．
解析：选A.因为c cos A＋a cos C＝2c，
所以由正弦定理，可得sin C cos A＋sin A cos C＝2sin C，
所以sin (A＋C)＝2sin C，所以sin B＝2sin C，
所以b＝2c，又a＝b，所以a＝2c.
所以cos B＝＝＝，
因为B∈(0，π)，所以sin B＝＝.
8．设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝( )
A．20 B．15
C．9 D．6
解析：选C.如图所示，由题设知，＝＋＝＋，＝－，
所以·＝·
＝||2－||2＋·－·
＝×36－×16＝9.故选C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知向量a＝(1，0)，b＝(2，2)，则下列结论正确的是( )
A．a＋2b＝(5，4) B．|b|＝2
C．a与b的夹角为45° D．a∥(a＋2b)
解析：选AC.由向量a＝(1，0)，b＝(2，2)，
得a＋2b＝(1，0)＋2(2，2)＝(5，4)，故A中结论正确；
|b|＝＝2，故B中结论错误；
设a与b的夹角为θ，
则cosθ＝＝＝，
又θ∈[0°，180°]，所以θ＝45°，即a与b的夹角为45°，故C中结论正确；
因为a＝(1，0)，a＋2b＝(5，4)，1×4－0×5＝4≠0，所以D中结论错误．故选AC.
10．下列说法中，正确的是( )
A．(＋＋)－(－－)＝0
B．若a·b＜0，则a与b的夹角是钝角
C．若向量e1＝(2，－3)，e2＝，则{e1，e2}能作为平面内所有向量的一个基底
D．若a⊥b，则a在b上的投影向量为0
解析：选AD.(＋＋)－(－－)＝(＋)－(－)＝－＝0，A正确；
当|a|＝|b|＝1，且a与b反向时，a·b＝－1＜0，此时a与b的夹角为180°，B不正确；因为e1＝4e2，
所以e1∥e2，所以{e1，e2}不能作为基底，C不正确；
由投影向量的定义知D正确．故选AD.
11．在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况．假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F1，F2，若|F1|＝|F2|且F1与F2的夹角为θ，则以下结论正确的是( )
A．|F1|的最小值为|G|
B．θ的范围为[0，π]
C．当θ＝时，|F1|＝|G|
D．当θ＝时，|F1|＝|G|
解析：选ACD.由题意知，F1＋F2＋G＝0，可得F1＋F2＝－G，两边同时平方得|G|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cos θ＝2|F1|2＋2|F1|2 cos θ，所以|F1|2＝.当θ＝0时，|F1|min＝|G|；当θ＝时，|F1|＝|G|；当θ＝时，|F1|＝|G|，故A，C，D正确．当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B错误．
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，则下列结论正确的是( )
A．sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6
B．△ABC是钝角三角形
C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍
D．若c＝6，则△ABC的外接圆的半径为
解析：选ACD.对于A，因为(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，所以可设(其中x＞0)，解得a＝4x，b＝5x，c＝6x，所以sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝4∶5∶6，所以A正确；对于B，a，b，c中c最大，所以角A，B，C中角C最大，又由余弦定理得cos C＝＝＝＞0，所以C为锐角，所以B错误；
对于C，a，b，c中a最小，所以角A，B，C中角A最小，又cos A＝＝＝，
所以cos 2A＝2cos2A－1＝，所以cos2A＝cos C，
因为角A，B，C中角C最大且C为锐角，所以2A∈(0，π)，C∈，所以2A＝C，所以C正确；
对于D，因为2R＝(R为△ABC外接圆的半径)，sin C＝＝，所以2R＝，解得R＝，所以D正确．故选ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量a＝(1，k)，b＝(2，2)，且a＋b与a共线，那么a·b＝________．
解析：依题意得a＋b＝(3，k＋2)，由a＋b与a共线，得3×k－1×(k＋2)＝0，解得k＝1，所以a·b＝2＋2k＝4.
答案：4
14．已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________．
解析：由题意，得cos 〈a，c〉＝＝＝＝.
答案：
15．如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距15 n mile的C处．现甲船以35 n mile/h的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25 n mile的B处的乙船，则甲船到达B处需要的时间为________h．
解析：在△OBC中，由余弦定理，得CB2＝CO2＋OB2－2CO·OB cos 120°＝152＋252＋15×25＝352，因此CB＝35 n mile，由＝1(h)，因此甲船到达B处需要的时间为1 h.
答案：1
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝2，cos B＝，△ABC的周长为5，则b的长为________．
解析：由正弦定理及＝2得c＝2a，由余弦定理及cos B＝得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋4a2－4a2×＝4a2，所以b＝2a.又a＋b＋c＝5，所以a＝1，因此b＝2.
答案：2
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知e1，e2是两个单位向量，其夹角为60°，a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2.
(1)求|a|，|b|；
(2)求a与b的夹角．
解：(1)因为e1，e2是两个单位向量，其夹角为60°，则|e1|＝1，|e2|＝1，e1·e2＝.
又a2＝(2e1＋e2)2＝4e＋4e1·e2＋e＝7，
所以|a|＝，
同理b2＝(－3e1＋2e2)2＝9e－12e1·e2＋4e＝7，
所以|b|＝.
(2)由题得，a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)
＝－6e＋e1·e2＋2e＝－.
设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝－.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝，
则向量a与b的夹角为.
18.
(本小题满分12分)如图，已知向量a与b，其中|a|＝3，|b|＝4，且a与b的夹角θ＝150°.
(1)求a·b；
(2)求向量b在a方向上的投影向量，并画图解释．
解：(1)a·b＝|a||b|cos θ＝3×4×cos 150°＝12×＝－6.
(2)如图，作＝a，＝b，过点B作直线OA的垂线，垂足为点B1，则OB1＝|b|cos (π－θ)＝4×＝2，
向量a的单位向量为＝，所以向量b在a方向上的投影向量是－2×＝－.
19．(本小题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系中，||＝2||＝2，∠OAB＝，＝(－1，).
(1)求点B，C的坐标；
(2)求证：四边形OABC为等腰梯形．
解：(1)连接OB(图略)，设B(xB，yB)，
则xB＝||＋||·cos (π－∠OAB)＝，
yB＝||·sin (π－∠OAB)＝，
所以＝＋＝＋(－1，)＝，
所以B，C.
(2)证明：因为＝，＝，
所以＝3，所以∥.
又易知OA与BC不平行，||＝||＝2，
所以四边形OABC为等腰梯形．
20．(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a cos B＝(4c－b)cos A.
(1)求cos A的值；
(2)若b＝4，点M在线段BC上，＋＝2，||＝，求△ABC的面积．
解：(1)因为a cos B＝(4c－b)cos A，
由正弦定理得sin A cos B＝(4sin C－sin B)cos A，
即sin A cos B＋cos A sin B＝4sin C cos A，
则sin C＝4cos A sin C，
在△ABC中，sin C≠0，所以cos A＝.
(2)＋＝2，
两边平方得2＋2＋2·＝42，
由b＝4，||＝，cos A＝，sin A＝，
得c2＋b2＋2×c×b×＝4×10，
所以c2＋2c－24＝0，解得c＝4或c＝－6(舍去)，
所以△ABC的面积S＝bc sin A＝2.
21．(本小题满分12分)某市正在规划一条如图所示的五边形自行车赛道，ED，DC，CB，BA，AE为赛道(不考虑宽度)，BD，BE为赛道内的两条服务通道，∠BCD＝∠BAE＝，∠CBD＝，CD＝2 km，DE＝8 km.
(1)从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE的长度；
①∠CDE＝；②cos ∠DBE＝.
(2)请问在(1)的条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE最长(即BA＋AE最大)
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
解：(1)若选①，在△BCD中，由正弦定理知＝，
则BD＝×sin ∠BCD＝6 km.
因为∠CDE＝，∠CDB＝π－(∠BCD＋∠CBD)＝，所以∠BDE＝，
所以BE＝＝10 km.
若选②，在△BCD中，由正弦定理知＝，
则BD＝×sin ∠BCD＝6 km.
在△BED中，由余弦定理知DE2＝BD2＋BE2－2BD·BE cos ∠DBE，
即5BE2－36BE－140＝0，
所以BE＝10 km(负值舍去).
(2)在△BAE中，∠BAE＝，BE＝10 km.
由余弦定理知BE2＝AB2＋AE2－2AB·AE cos ∠BAE，
即100＝AB2＋AE2＋AB·AE，
故(AB＋AE)2－100＝AB·AE≤，
从而(AB＋AE)2≤100，
即AB＋AE≤，当且仅当AB＝AE＝ km时，等号成立，
即设计为AB＝AE＝ km时，折线段赛道BAE最长．
22．(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin ＝b sin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
解：(1)由题设及正弦定理得sin A·sin ＝sin B·sin A.
因为sin A≠0，所以sin ＝sin B.
由A＋B＋C＝180°，可得sin ＝cos ，
故cos ＝2sin cos .
因为cos ≠0，
所以sin ＝，所以B＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.
由(1)知A＋C＝120°，
由正弦定理得a＝＝＝＋.
由于△ABC为锐角三角形，
故0°＜A＜90°，0°＜C＜90°.
由(1)知，A＋C＝120°，所以30°＜C＜90°，
故＜a＜2，从而＜S△ABC＜.
因此，△ABC面积的取值范围是.
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章末综合检测(一)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝( )
A．(－2，－1) B．(－2，1)
C．(－1，0) D．(－1，2)
2．对于任意非零向量a，b，下列说法正确的是( )
A．若|a|＞|b|，则a＞b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若a＝b，则a∥b
D．若a≠b，则a，b不是共线向量
3．已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，设＝a，＝b，则(a－b)＝( )
A． B．
C． D．
4．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a，b的夹角为( )
A．150° B．120°
C．60° D．30°
5．已知A(1，2)，B(3，4)，C(－2，2)，D(－3，5)，则向量在向量上的投影向量的坐标为( )
A． B．
C． D．
6．在△ABC中，a＝1，B＝45°，△ABC的面积为2，则三角形外接圆的半径为( )
A．2 B．4
C． D．3
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c cos A＋a cos C＝2c，若a＝b，则sin B等于( )
A． B．
C． D．
8．设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝( )
A．20 B．15
C．9 D．6
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知向量a＝(1，0)，b＝(2，2)，则下列结论正确的是( )
A．a＋2b＝(5，4) B．|b|＝2
C．a与b的夹角为45° D．a∥(a＋2b)
10．下列说法中，正确的是( )
A．(＋＋)－(－－)＝0
B．若a·b＜0，则a与b的夹角是钝角
C．若向量e1＝(2，－3)，e2＝，则{e1，e2}能作为平面内所有向量的一个基底
D．若a⊥b，则a在b上的投影向量为0
11．在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况．假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F1，F2，若|F1|＝|F2|且F1与F2的夹角为θ，则以下结论正确的是( )
A．|F1|的最小值为|G|
B．θ的范围为[0，π]
C．当θ＝时，|F1|＝|G|
D．当θ＝时，|F1|＝|G|
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，则下列结论正确的是( )
A．sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6
B．△ABC是钝角三角形
C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍
D．若c＝6，则△ABC的外接圆的半径为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量a＝(1，k)，b＝(2，2)，且a＋b与a共线，那么a·b＝________．
14．已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________．
15．如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距15 n mile的C处．现甲船以35 n mile/h的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25 n mile的B处的乙船，则甲船到达B处需要的时间为________h．
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝2，cos B＝，△ABC的周长为5，则b的长为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知e1，e2是两个单位向量，其夹角为60°，a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2.
(1)求|a|，|b|；
(2)求a与b的夹角．
18.
(本小题满分12分)如图，已知向量a与b，其中|a|＝3，|b|＝4，且a与b的夹角θ＝150°.
(1)求a·b；
(2)求向量b在a方向上的投影向量，并画图解释．
19．(本小题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系中，||＝2||＝2，∠OAB＝，＝(－1，).
(1)求点B，C的坐标；
(2)求证：四边形OABC为等腰梯形．
20．(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a cos B＝(4c－b)cos A.
(1)求cos A的值；
(2)若b＝4，点M在线段BC上，＋＝2，||＝，求△ABC的面积．
21．(本小题满分12分)某市正在规划一条如图所示的五边形自行车赛道，ED，DC，CB，BA，AE为赛道(不考虑宽度)，BD，BE为赛道内的两条服务通道，∠BCD＝∠BAE＝，∠CBD＝，CD＝2 km，DE＝8 km.
(1)从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE的长度；
①∠CDE＝；②cos ∠DBE＝.
(2)请问在(1)的条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE最长(即BA＋AE最大)
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
22．(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin ＝b sin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
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