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6．1 平面向量的概念
学习指导 核心素养
1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义． 2.理解平面向量的几何表示和基本要素． 1.数学抽象：平面向量的定义及几种特殊向量． 2.直观想象：平面向量的几何表示．
知识点一 向量的定义及表示
(1)定义：既有大小又有方向的量叫做向量．
(2)表示：
①有向线段：具有方向的线段．它包含三个要素：起点、方向、长度．
②向量的表示：
(1)书写向量时带箭头．
(2)向量强调长度和方向两个元素．
(3)有向线段与向量不是同一个概念，有向线段有起点、长度、方向三个要素，而向量强调的是有大小和方向的量．
一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．
(1)作出向量，，；
(2)求||.
【解】 (1)向量，，如图所示．
(2)由题意，可知||＝||，
在四边形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD，
所以四边形ABCD为平行四边形，
所以||＝||＝200 km.
用有向线段表示向量的方法
(1)画图思路
在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．
(2)具体步骤
已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地．
(1)作出向量，，，.
(2)问：D地在A地的什么方向？D地距A地多远？
解：(1)由题意，作出向量，，，，如图所示．
(2)依题意知，△ABC为正三角形，所以AC＝2 000 km.因为∠ACD＝45°，CD＝1 000 km，所以△ACD为等腰直角三角形，所以AD＝1 000 km，∠CAD＝45°，所以D地在A地的东南方向，距A地1 000 km.
知识点二 向量的有关概念
向量名称 定义
零向量 长度为0的向量，记作0
单位向量 长度等于1个单位长度的向量
平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量．向量a与b平行，记作a∥b.规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a
相等向量 长度相等且方向相同的向量．向量a与b相等，记作a＝b
(1)零向量的长度为0，方向不确定．
(2)单位向量只规定了向量的大小(长度为1)，并没有规定向量的方向，所以同一起点的单位向量有无数个，它们的终点构成一个单位圆．
(多选)下列说法正确的是( )
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．零向量的长度都为0
D．两个单位向量的长度相等
【解析】 向量与向量只是方向不同，长度相等；两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的长度都是0；单位向量的长度都是1.故A，C，D正确．
【答案】 ACD
(1)理解零向量和单位向量应注意的问题
①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．
②单位向量不一定相等，不要忽略其方向．
(2)共线向量与平行向量
①平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．
②共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．
③平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．
下列说法中正确的是( )
A．向量的模都是正实数
B．单位向量只有一个
C．向量的大小与方向无关
D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
解析：选C.零向量的模为0，故A不正确；单位向量有无数个，故B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确；不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故D不正确．
考点 相等向量与共线向量的应用
如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，在每两点所确定的向量中．
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)与a共线的向量有哪些？
【解】 (1)与a的长度相等、方向相反的向量有，，，.
(2)与a共线的向量有，，，，，，，，.
1．(变设问)若本例条件不变，写出与共线的向量．
解：与共线的向量有，，，，，，，，.
2．(变条件、变设问)在本例中，若|a|＝1，求正六边形的边长．
解：因为在正六边形中，相邻两顶点与中心连接成的三角形均为正三角形，所以△FOA为等边三角形，所以边长AF＝|a|＝1，即正六边形的边长为1.
相等向量与共线向量的探求方法
(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．
(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再确定同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点、起点为终点的向量．
1．下列说法中正确的是( )
A．向量与是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上
B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
C．向量与向量是两个平行向量
D．单位向量都相等
解析：选C.线段共线要求线段必须在同一直线上，而向量共线时，表示向量的有向线段可以在两条平行直线上，不一定在同一直线上，故A项错误；由于零向量与任一向量平行，因此若a，b中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故B项错误；由于与方向相反，
所以二者是平行向量，故C项正确；单位向量的长度都相等，方向任意，而向量相等不仅要求长度相等，还要求方向相同，故D项错误．
2．(多选)如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则下列说法正确的是( )
A．＝
B．||＝||
C．>
D．∥
解析：选BD.与大小相等，方向不同，故A项错误，B项正确；向量不能比较大小，故C项错误；等腰梯形的上底BC与下底AD平行，所以∥，故D项正确．故选BD.
1.(多选)下列说法正确的是( )
A．向量的模是一个非负实数
B．任何一个非零向量都可以平行移动
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D．两个有共同起点且共线的向量终点也必相同
解析：选ABC.显然，选项A，B，C说法正确．方向相同或相反的向量都是共线向量，当两向量起点相同，方向相反时，其终点不相同，所以选项D说法不正确．
2．下列结论正确的是( )
A．温度含零上和零下温度，所以温度是向量
B．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
C．若|a|>|b|，则a>b
D．|a|＝|b|，则a与b的方向相同或相反
解析：选B.温度没有方向，所以不是向量，故A错误；若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，故a与b不共线，则应均为非零向量，故B正确；向量不可以比较大小，故C错误；a与b的方向不一定相同或相反，故D错误．
3．若＝，则四边形ABCD的形状为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
解析：选A.因为＝，ABCD为四边形，
所以BA＝CD且BA∥CD，
所以四边形ABCD为平行四边形．
4．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：
(1)与相等的向量；
(2)与共线的向量．
解：画出图形，如图所示．
(1)易知BC∥AD，BC＝AD，且与方向相同，
所以与相等的向量为.
(2)与共线的向量为，，.
[A 基础达标]
1．若|a|＝|b|，那么要使a＝b，两向量还需要具备( )
A．方向相反
B．方向相同
C．共线
D．方向任意
答案：B
2．数轴上点A，B分别对应－1，2，则向量的长度是( )
A．－1 B．2
C．1 D．3
解析：选D.求出线段AB的长度，从而求出向量的模．数轴上点A，B分别对应－1，2，则向量的长度为||＝3.
3．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则的值为( )
A． B．
C．1 D．2
解析：选C.因为四边形ABPC是平行四边形，D为对角线BC与AP的交点，所以D为PA的中点，所以的值为1.
4．如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则( )
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
解析：选D.由平面几何知识知，与方向不同，故≠；与方向不同，故≠；与的模相等而方向相反，故≠；与的模相等且方向相同，所以＝.
5．(多选)设a0，b0分别是a，b方向上的单位向量，则下列结论中一定正确的是( )
A．a0＝b0 B．|a0|＝|b0|
C．|a0|＋|b0|＝2 D．a0∥b0
解析：选BC.因为a0，b0是单位向量，所以|a0|＝|b0|＝1，所以|a0|＋|b0|＝2，故B，C正确；a，b的方向不确定，故a0，b0的方向不确定，故A，D不一定正确．
6．(多选)下列说法正确的是( )
A．若a≠b，则a，b一定不共线
B．在 ABCD中，一定有＝
C．若a＝b，b＝c，则a＝c
D．共线向量是在一条直线上的向量
解析：选BC.对于A，两个向量不相等，可能是长度不相等，但方向相同或相反，所以a与b有共线的可能，故A不正确．对于B，在 ABCD中，||＝||，与平行且方向相同，所以＝，故B正确．对于C，a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，所以a与c方向相同且模相等，故a＝c，故C正确．对于D，共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D不正确．故选BC.
7．如图所示，E，F分别为△ABC的边AB，AC的中点，则与向量共线的向量有________．(写出图中所有符合条件的向量)
解析：因为E，F分别为△ABC的边AB，AC的中点，所以EF∥BC，
所以符合条件的向量有，，.
答案：，，
8．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________．
解析：因为A，B，C不共线，所以与不共线．
又m与，都共线，所以m＝0.
答案：0
9．在四边形ABCD中，若＝且||＝||，则四边形ABCD的形状为________．
解析：因为＝，所以AB＝DC，AB∥DC，
所以四边形ABCD是平行四边形．
因为||＝||，所以四边形ABCD是菱形．
答案：菱形
10．如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点．
(1)写出图中所示与向量长度相等的向量；
(2)写出图中所示与向量相等的向量；
(3)分别写出图中所示与向量，共线的向量．
解：(1)与长度相等的向量是，，，，，，，.
(2)与相等的向量是，.
(3)与共线的向量是，，；与共线的向量是，，.
[B 能力提升]
11．(多选)在下列结论中，正确的结论为( )
A．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件
B．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的既不充分也不必要条件
C．a与b方向相同且|a|＝|b|是a＝b的充要条件
D．a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件
解析：选ACD.若a＝b，则a与b方向相同，模相等，所以A对，B错，C对，D对．
12．(多选)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的是( )
A．与相等的向量只有1个(不含)
B．与的模相等的向量有9个(不含)
C．的模恰为的模的倍
D．与不共线
解析：选ABC.由于＝，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，，共9个，因此选项A，B正确．在Rt△AOD中，
由题意得∠ADO＝30°，
所以||＝||，
故||＝||，因此选项C正确．由于＝，因此与是共线的，故选项D不正确．故选ABC.
13．如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．
(1)与向量相等的向量为________；
(2)若||＝3，则||＝________．
解析：(1)在 ABCD中和 ABDE中，
因为＝，＝，所以＝.
(2)由(1)知，＝＝，
所以||＝||＝||，E，D，C三点共线，
所以||＝||＋||＝2||＝6.
答案：(1)， (2)6
14．一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地沿北偏东30°方向行驶2 km到达D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6 km到达C地，从C地又沿南偏西30°方向行驶2 km到达B地．
(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出，，，；
(2)求B地相对于A地的位置．
解：(1)，，，，如图所示．
(2)由题意知＝，
所以四边形ABCD为平行四边形，所以＝，
所以B地在A地北偏东60°方向，距离A地6 km处．
[C 拓展冲刺]
15．(多选)已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等、方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列说法中，正确的是( )
A．C?A B．A∩B＝{a}
C．C?B D．A∩B?C
解析：选ACD.因为A∩B中除了含有与a长度相等、方向相反的向量还包含与a长度相等、方向相同的向量，所以C?A∩B，所以A，C，D选项正确，B选项错误．
16．在如图所示的方格图(每个小方格的边长为1)上，已知向量a.
(1)试以点B为起点画一个向量b，使a＝b；
(2)画一个以点C为起点的向量c，使|c|＝2，并画出c的终点的轨迹．
解：(1)根据相等向量的定义．所作的向量b应与a同向，且长度相等，如图所示．
(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c，如图(答案不唯一)，向量c的终点的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆．如图所示．
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6．1 平面向量的概念
学习指导 核心素养
1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义． 2.理解平面向量的几何表示和基本要素． 1.数学抽象：平面向量的定义及几种特殊向量． 2.直观想象：平面向量的几何表示．
知识点一 向量的定义及表示
(1)定义：既有大小又有方向的量叫做向量．
(2)表示：
①有向线段：具有方向的线段．它包含三个要素：起点、方向、长度．
②向量的表示：
(1)书写向量时带箭头．
(2)向量强调长度和方向两个元素．
(3)有向线段与向量不是同一个概念，有向线段有起点、长度、方向三个要素，而向量强调的是有大小和方向的量．
一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．
(1)作出向量，，；
(2)求||.
用有向线段表示向量的方法
(1)画图思路
在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．
(2)具体步骤
已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地．
(1)作出向量，，，.
(2)问：D地在A地的什么方向？D地距A地多远？
知识点二 向量的有关概念
向量名称 定义
零向量 长度为0的向量，记作0
单位向量 长度等于1个单位长度的向量
平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量．向量a与b平行，记作a∥b.规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a
相等向量 长度相等且方向相同的向量．向量a与b相等，记作a＝b
(1)零向量的长度为0，方向不确定．
(2)单位向量只规定了向量的大小(长度为1)，并没有规定向量的方向，所以同一起点的单位向量有无数个，它们的终点构成一个单位圆．
(多选)下列说法正确的是( )
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．零向量的长度都为0
D．两个单位向量的长度相等
(1)理解零向量和单位向量应注意的问题
①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．
②单位向量不一定相等，不要忽略其方向．
(2)共线向量与平行向量
①平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．
②共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．
③平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．
下列说法中正确的是( )
A．向量的模都是正实数
B．单位向量只有一个
C．向量的大小与方向无关
D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
考点 相等向量与共线向量的应用
如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，在每两点所确定的向量中．
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)与a共线的向量有哪些？
1．(变设问)若本例条件不变，写出与共线的向量．
2．(变条件、变设问)在本例中，若|a|＝1，求正六边形的边长．
相等向量与共线向量的探求方法
(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．
(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再确定同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点、起点为终点的向量．
1．下列说法中正确的是( )
A．向量与是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上
B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
C．向量与向量是两个平行向量
D．单位向量都相等
2．(多选)如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则下列说法正确的是( )
A．＝
B．||＝||
C．>
D．∥
1.(多选)下列说法正确的是( )
A．向量的模是一个非负实数
B．任何一个非零向量都可以平行移动
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D．两个有共同起点且共线的向量终点也必相同
2．下列结论正确的是( )
A．温度含零上和零下温度，所以温度是向量
B．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
C．若|a|>|b|，则a>b
D．|a|＝|b|，则a与b的方向相同或相反
3．若＝，则四边形ABCD的形状为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
4．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：
(1)与相等的向量；
(2)与共线的向量．
[A 基础达标]
1．若|a|＝|b|，那么要使a＝b，两向量还需要具备( )
A．方向相反
B．方向相同
C．共线
D．方向任意
2．数轴上点A，B分别对应－1，2，则向量的长度是( )
A．－1 B．2
C．1 D．3
3．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则的值为( )
A． B．
C．1 D．2
4．如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则( )
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
5．(多选)设a0，b0分别是a，b方向上的单位向量，则下列结论中一定正确的是( )
A．a0＝b0 B．|a0|＝|b0|
C．|a0|＋|b0|＝2 D．a0∥b0
6．(多选)下列说法正确的是( )
A．若a≠b，则a，b一定不共线
B．在 ABCD中，一定有＝
C．若a＝b，b＝c，则a＝c
D．共线向量是在一条直线上的向量
7．如图所示，E，F分别为△ABC的边AB，AC的中点，则与向量共线的向量有________．(写出图中所有符合条件的向量)
8．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________．
9．在四边形ABCD中，若＝且||＝||，则四边形ABCD的形状为________．
10．如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点．
(1)写出图中所示与向量长度相等的向量；
(2)写出图中所示与向量相等的向量；
(3)分别写出图中所示与向量，共线的向量．
[B 能力提升]
11．(多选)在下列结论中，正确的结论为( )
A．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件
B．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的既不充分也不必要条件
C．a与b方向相同且|a|＝|b|是a＝b的充要条件
D．a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件
12．(多选)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的是( )
A．与相等的向量只有1个(不含)
B．与的模相等的向量有9个(不含)
C．的模恰为的模的倍
D．与不共线
13．如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．
(1)与向量相等的向量为________；
(2)若||＝3，则||＝________．
14．一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地沿北偏东30°方向行驶2 km到达D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6 km到达C地，从C地又沿南偏西30°方向行驶2 km到达B地．
(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出，，，；
(2)求B地相对于A地的位置．
[C 拓展冲刺]
15．(多选)已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等、方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列说法中，正确的是( )
A．C?A B．A∩B＝{a}
C．C?B D．A∩B?C
16．在如图所示的方格图(每个小方格的边长为1)上，已知向量a.
(1)试以点B为起点画一个向量b，使a＝b；
(2)画一个以点C为起点的向量c，使|c|＝2，并画出c的终点的轨迹．
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6．1 平面向量的概念
第六章 平面向量及其应用
学习指导 核心素养
1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义． 2.理解平面向量的几何表示和基本要素． 1.数学抽象：平面向量的定义及几种特殊向量．
2.直观想象：平面向量的几何表示．
01
必备知识 落实
知识点一 向量的定义及表示
(1)定义：既有_____又有_____的量叫做向量．
(2)表示：
①有向线段：具有_____的线段．它包含三个要素：_____、方向、长度．
②向量的表示：
大小
方向
方向
起点
(1)书写向量时带箭头．
(2)向量强调长度和方向两个元素．
(3)有向线段与向量不是同一个概念，有向线段有起点、长度、方向三个要素，而向量强调的是有大小和方向的量．
一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．
用有向线段表示向量的方法
(1)画图思路
在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．
(2)具体步骤
(2)问：D地在A地的什么方向？D地距A地多远？
知识点二 向量的有关概念
向量名称 定义
零向量 长度为__的向量，记作__
单位向量 长度等于__________长度的向量
平行向量 (共线向量) 方向_____________的非零向量．向量a与b平行，记作a∥b.规定：零向量与任意向量_____，即对于任意向量a，都有0∥a
相等向量 长度_____且方向_____的向量．向量a与b相等，记作a＝b
0
0
1个单位
相同或相反
平行
相等
相同
(1)零向量的长度为0，方向不确定．
(2)单位向量只规定了向量的大小(长度为1)，并没有规定向量的方向，所以同一起点的单位向量有无数个，它们的终点构成一个单位圆．
(多选)下列说法正确的是( )
A．向量 与向量 的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．零向量的长度都为0
D．两个单位向量的长度相等
【解析】 向量 与向量 只是方向不同，长度相等；两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的长度都是0；单位向量的长度都是1.故A，C，D正确．
√
√
√
(1)理解零向量和单位向量应注意的问题
①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．
②单位向量不一定相等，不要忽略其方向．
(2)共线向量与平行向量
①平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．
②共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．
③平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．
√
下列说法中正确的是( )
A．向量的模都是正实数
B．单位向量只有一个
C．向量的大小与方向无关
D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
解析：零向量的模为0，故A不正确；
单位向量有无数个，故B不正确；
向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度,与方向无关,故C正确；
不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故D不正确．
02
关键能力 提升
考点 相等向量与共线向量的应用
如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且 ＝a，在每两点所确定的向量中．
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)与a共线的向量有哪些？
2．(变条件、变设问)在本例中，若|a|＝1，求正六边形的边长．
解：因为在正六边形中，相邻两顶点与中心连接成的三角形均为正三角形，所以△FOA为等边三角形，所以边长AF＝|a|＝1，即正六边形的边长为1.
相等向量与共线向量的探求方法
(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．
(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再确定同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点、起点为终点的向量．
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解析：线段共线要求线段必须在同一直线上，而向量共线时，表示向量的有向线段可以在两条平行直线上，不一定在同一直线上，故A项错误；
由于零向量与任一向量平行，因此若a，b中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故B项错误；
由于 与 方向相反，所以二者是平行向量，故C项正确；
单位向量的长度都相等，方向任意，而向量相等不仅要求长度相等，还要求方向相同，故D项错误．
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03
课堂巩固 自测
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1.(多选)下列说法正确的是( )
A．向量的模是一个非负实数
B．任何一个非零向量都可以平行移动
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D．两个有共同起点且共线的向量终点也必相同
解析：显然，选项A，B，C说法正确．方向相同或相反的向量都是共线向量，当两向量起点相同，方向相反时，其终点不相同，所以选项D说法不正确．
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2．下列结论正确的是( )
A．温度含零上和零下温度，所以温度是向量
B．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
C．若|a|>|b|，则a>b
D．|a|＝|b|，则a与b的方向相同或相反
解析：温度没有方向，所以不是向量，故A错误；
若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，故a与b不共线，则应均为非零向量，故B正确；
向量不可以比较大小，故C错误；
a与b的方向不一定相同或相反，故D错误．
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4．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：
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04
课后达标 检测
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[A 基础达标]
1．若|a|＝|b|，那么要使a＝b，两向量还需要具备( )
A．方向相反
B．方向相同
C．共线
D．方向任意
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5．(多选)设a0，b0分别是a，b方向上的单位向量，则下列结论中一定正确的是( )
A．a0＝b0 B．|a0|＝|b0|
C．|a0|＋|b0|＝2 D．a0∥b0
解析：因为a0，b0是单位向量，所以|a0|＝|b0|＝1，所以|a0|＋|b0|＝2，故B，C正确；
a，b的方向不确定，故a0，b0的方向不确定，故A，D不一定正确．
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菱形
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[B 能力提升]
11．(多选)在下列结论中，正确的结论为( )
A．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件
B．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的既不充分也不必要条件
C．a与b方向相同且|a|＝|b|是a＝b的充要条件
D．a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件
解析：若a＝b，则a与b方向相同，模相等，所以A对，B错，C对，D对．
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14．一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地沿北偏东30°方向行驶2 km到达D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6 km到达C地，从C地又沿南偏西30°方向行驶2 km到达B地．
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(2)求B地相对于A地的位置．
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[C 拓展冲刺]
15．(多选)已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等、方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列说法中，正确的是( )
A．C?A B．A∩B＝{a}
C．C?B D．A∩B?C
解析：因为A∩B中除了含有与a长度相等、方向相反的向量还包含与a长度相等、方向相同的向量，所以C?A∩B，所以A，C，D选项正确，B选项错误．
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16．在如图所示的方格图(每个小方格的边长为1)上，已知向量a.
(1)试以点B为起点画一个向量b，使a＝b；
解：根据相等向量的定义．所作的向量b应与a同向，且长度相等，如图所示．
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(2)画一个以点C为起点的向量c，使|c|＝2，并画出c的终点的轨迹．
解：由平面几何知识可作满足条件的向量c，如图(答案不唯一)，向量c的终点的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆．如图所示．
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