(共52张PPT)
第2课时 向量的数量积(二)
第六章 平面向量及其应用
01
必备知识 落实
知识点 向量数量积的运算律
已知向量a，b，c和实数λ，则
(1)交换律：a·b＝_______；
(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝______________；
(3)分配律：(a＋b)·c＝_________________．
b·a
a·(λb)
a·c＋b·c
(1)向量的数量积不满足消除律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，得不到a＝b.
(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．
已知|a|＝3，|b|＝4，|c|＝5，向量a，b的夹角是120°，a，c的夹角是45°.求：
(1)(a－2b)·(3a＋b)；
【解】 (a－2b)·(3a＋b)＝3a2＋a·b－6a·b－2b2＝3|a|2－5a·b－2|b|2＝3×32－5×3×4×cos 120°－2×42＝25.
求向量的数量积的两个关键点
求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角．若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简．
1．已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，则(a＋2b)·(a＋3b)＝________
解析：(a＋2b)·(a＋3b)
＝a·a＋5a·b＋6b·b
＝|a|2＋5a·b＋6|b|2
＝|a|2＋5|a||b|cos 60°＋6|b|2
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关键能力 提升
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【解析】 因为3a＋2b与ka－b互相垂直，
所以(3a＋2b)·(ka－b)＝0.
所以3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0.
因为a⊥b，所以a·b＝0，
(1)求向量夹角θ的基本步骤
(2)向量垂直问题的处理思路
解决与垂直相关问题的依据是a⊥b a·b＝0，利用数量积的运算公式，与向量的模、夹角相关的知识结合解题．
√
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03
课堂巩固 自测
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1.已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．0
解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3.
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4．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝( )
A．2 B．4
C．6 D．12
解析：因为(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2
＝|a|2－|a||b|cos 60°－6|b|2
＝|a|2－2|a|－96＝－72.
所以|a|2－2|a|－24＝0.
解得|a|＝6或|a|＝－4(舍去).故选C.
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13．已知向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2，则向量a＋b在向量a上的投影向量是________．
解析：因为向量a，b的夹角为120°，
且|a|＝1，|b|＝2，
所以(a＋b)·a＝a2＋a·b＝12＋1×2×cos 120°＝0，
所以向量a＋b在向量a上的投影向量是0.
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14．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求|a＋b|；
解：(2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－3b2－4a·b
＝4×16－3×9－4a·b＝61，
解得a·b＝－6，
所以|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝16＋9－12＝13，
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第2课时 向量的数量积(二)
知识点 向量数量积的运算律
已知向量a，b，c和实数λ，则
(1)交换律：a·b＝b·a；
(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
(1)向量的数量积不满足消除律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，得不到a＝b.
(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．
已知|a|＝3，|b|＝4，|c|＝5，向量a，b的夹角是120°，a，c的夹角是45°.求：
(1)(a－2b)·(3a＋b)；
(2)a·(a－4b＋c).
【解】 (1)(a－2b)·(3a＋b)＝3a2＋a·b－6a·b－2b2＝3|a|2－5a·b－2|b|2＝3×32－5×3×4×cos 120°－2×42＝25.
(2)a·(a－4b＋c)＝a2－4a·b＋a·c＝|a|2－4|a||b|cos 120°＋|a||c|cos 45°
＝32－4×3×4×＋×3×5×＝48.
求向量的数量积的两个关键点
求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角．若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简．
1．已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，则(a＋2b)·(a＋3b)＝________
解析：(a＋2b)·(a＋3b)
＝a·a＋5a·b＋6b·b
＝|a|2＋5a·b＋6|b|2
＝|a|2＋5|a||b|cos 60°＋6|b|2
＝62＋5×6×4×＋6×42＝192.
答案：192
2．如图，在 ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，则·＝________．
解析：因为＝＋，＝－，
所以·＝(＋)·(－)
＝2－2＝9－16＝－7.
答案：－7
考点一 向量模的有关计算
(1)已知平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝( )
A． B．2
C．4 D．12
(2)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a与b的夹角为60°，则|b|＝( )
A． B．
C． D．
【解析】 (1)|a＋2b|＝＝
＝
＝ ＝2.
(2)由题意得|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos 60°＝，即1＋|b|2－|b|＝，解得|b|＝.
【答案】 (1)B (2)B
求向量的模的常见思路及方法
(1)求模的问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a＋b|＝( )
A．6 B．4
C． D．
解析：选C.因为a·(a－2b)＝0，所以a2－2a·b＝0.
因为|a|＝1，所以a·b＝，又|b|＝2，
所以|a＋b|＝＝＝.
考点二 向量的夹角与垂直
(1)已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且(4a－b)·(a＋3b)＝2，则向量a，b的夹角θ为( )
A． B．
C． D．
(2)已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与ka－b互相垂直，则k的值为( )
A．－ B．
C．± D．1
【解析】 (1)(4a－b)·(a＋3b)＝4a2－3b2＋11a·b＝2，
由|a|＝2，|b|＝1，得a·b＝－1.
由a·b＝|a||b|cos θ＝2cos θ＝－1，
得cos θ＝－，又0≤θ≤π，所以θ＝.
(2)因为3a＋2b与ka－b互相垂直，
所以(3a＋2b)·(ka－b)＝0.
所以3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0.
因为a⊥b，所以a·b＝0，
又|a|＝2，|b|＝3，所以12k－18＝0，解得k＝.
【答案】 (1)D (2)B
(1)求向量夹角θ的基本步骤
(2)向量垂直问题的处理思路
解决与垂直相关问题的依据是a⊥b a·b＝0，利用数量积的运算公式，与向量的模、夹角相关的知识结合解题．
1．已知非零向量a，b，若|a|＝|b|，且a⊥(a－2b)，则a与b的夹角为( )
A． B．
C． D．
解析：选B.因为a⊥(a－2b)，所以a·(a－2b)＝|a|2－2a·b＝|a|2－2|a||b|cos 〈a，b〉＝0，
因为|a|＝|b|，所以cos 〈a，b〉＝＝＝，因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.故选B.
2．在△ABC中，·(＋)＝0，则△ABC的形状为( )
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
解析：选B.因为·(＋)＝·＝0，即BC⊥AC，所以△ABC为直角三角形．故选B.
1.已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．0
解析：选B.a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3.
2．已知a，b为非零向量，若a＋2b与a－2b互相垂直，则＝( )
A． B．4
C． D．2
解析：选D.由题意得(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2＝0，所以|a|＝2|b|，所以＝2.
3．已知正方形ABCD的边长为2，则·(＋)＝( )
A．2 B．3
C．4 D．3
解析：选C.因为四边形ABCD为正方形，且边长为2，
所以·(＋)
＝·＋·
＝||||cos 45°＝2×2×＝4.
4．已知|a|＝1，|b|＝.
(1)若a，b的夹角为60°，求|a＋b|；
(2)若a－b与a垂直，求a与b的夹角．
解：(1)因为|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3＋，
所以|a＋b|＝.
(2)由(a－b)·a＝0，得a2＝a·b，
设a与b的夹角为θ，
所以cos θ＝＝，又θ∈[0°，180°]，故θ＝45°.
[A 基础达标]
1．已知|a|＝9，|b|＝6，a·b＝－54，则a与b的夹角θ为( )
A．45° B．135°
C．120° D．150°
解析：选B.因为cos θ＝＝＝－，又0°≤θ≤180°，所以θ＝135°.
2．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选C.因为(2a＋b)·b＝2a·b＋b·b＝0，
所以a·b＝－|b|2.设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝－，故θ＝120°.
3．已知平面向量a，b满足|a|＝，|b|＝2，a·b＝－3，则|a＋2b|＝( )
A．1 B．
C．4＋ D．2
解析：选B.根据题意，得|a＋2b|＝＝.故选B.
4．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝( )
A．2 B．4
C．6 D．12
解析：选C.因为(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2
＝|a|2－|a||b|cos 60°－6|b|2
＝|a|2－2|a|－96＝－72.
所以|a|2－2|a|－24＝0.
解得|a|＝6或|a|＝－4(舍去).故选C.
5．(多选)在△ABC中，下列命题正确的是( )
A．－＝
B．＋＋＝0
C．若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形
D．若·>0，则△ABC为锐角三角形
解析：选BC.A项，－＝，所以A不正确；B项，＋＋＝＋＝0，故B正确；C项，因为(＋)·(－)＝2－2＝0，所以2＝2，所以||＝||.即在△ABC中，AB＝AC，故△ABC为等腰三角形，故C正确；D项，·＝||||cos A>0，则A必为锐角，△ABC的形状不确定，故D不正确．
6．(多选)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论中正确的是( )
A．a为单位向量 B．b为单位向量
C．a⊥b D．(4a＋b)⊥
解析：选AD.因为等边三角形ABC的边长为2.＝2a.所以||＝2|a|＝2，所以|a|＝1，故A正确；因为＝＋＝2a＋＝2a＋b，所以＝b，所以|b|＝2，故B错误；由于＝2a，＝b，所以a与b的夹角为120°，故C错误；又因为(4a＋b)·＝4a·b＋|b|2＝4×1×2×＋4＝0.所以(4a＋b)⊥，故D正确．故选AD.
7．已知向量e1，e2的模分别为1，2，e1，e2的夹角为，则向量(e2－e1)·e2的值为________．
解析：由题意可知，(e2－e1)·e2＝e－e1·e2＝|e2|2－|e1||e2|cos ＝22－1×2×cos ＝3.
答案：3
8．(2022·高考全国卷甲)设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________．
解析：(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a|·|b|·cos ?a，b?＋|b|2＝2×1×3×＋32＝11.
答案：11
9．在△ABC中，若BC＝8，BC边上中线长为3，则·＝________．
解析：在△ABC中，设BC的中点为D，则＝－.
由题意知||＝4，||＝3.
则·＝(＋)·(＋)＝(－)·(＋)＝||2－||2＝9－16＝－7.
答案：－7
10．已知平面向量a，b，若|a|＝1，|b|＝2，且|a－b|＝.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)若c＝ta＋b，且a⊥c，求t的值及|c|.
解：(1)由|a－b|＝，
得a2－2a·b＋b2＝7，
所以1－2×1×2×cos θ＋4＝7，所以cos θ＝－.
又θ∈[0，π]，所以θ＝.
(2)因为a⊥c，所以a·(ta＋b)＝0，
所以ta2＋a·b＝0，所以t＋1×2×＝0，
所以t＝1，所以c＝a＋b，c2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×2×＋4＝3.
所以|c|＝.
[B 能力提升]
11．已知a，b为非零向量，若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a－b与b的夹角为( )
A． B．
C． D．
解析：选D.由|a＋b|＝|a－b|可得a·b＝0，由|a－b|＝2|a|，可得3a2＝b2，所以|b|＝|a|，设向量a－b与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－＝－，又θ∈[0，π]，所以θ＝.
12．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．正三角形 D．等腰直角三角形
解析：选A.因为(－)·(＋－2)＝0，
即·(＋)＝0，
又因为－＝，
所以(－)·(＋)＝0，
即||＝||，
所以△ABC是等腰三角形．
13．已知向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2，则向量a＋b在向量a上的投影向量是________．
解析：因为向量a，b的夹角为120°，
且|a|＝1，|b|＝2，
所以(a＋b)·a＝a2＋a·b＝12＋1×2×cos 120°＝0，
所以向量a＋b在向量a上的投影向量是0.
答案：0
14．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求|a＋b|；
(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影向量的模．
解：(1)(2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－3b2－4a·b
＝4×16－3×9－4a·b＝61，
解得a·b＝－6，
所以|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝16＋9－12＝13，
所以|a＋b|＝.
(2)设a与a＋b的夹角为θ，
因为a·(a＋b)＝a2＋a·b＝10，
所以cos θ＝＝，则a在a＋b方向上的投影向量的模为||a|cos θ|＝4×＝.
[C 拓展冲刺]
15．已知|a|＝3，|b|＝4，且(a－2b)·(2a＋b)≥4，则a与b的夹角θ的取值范围是________．
解析：(a－2b)·(2a＋b)＝2a2＋a·b－4a·b－2b2
＝2×9－3|a||b|cos θ－2×16
＝－14－3×3×4cos θ≥4，
所以cos θ≤－，所以θ∈.
答案：
16．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，＝2.
(1)若四边形ABCD是矩形，求·的值；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，且·＝6，求与夹角的余弦值．
解：(1)因为四边形ABCD是矩形，
所以⊥，即·＝0，
又AB＝9，BC＝6，＝2，
所以＝＋＝＋，
＝＋＝－.
所以·
＝·
＝2－·－2
＝62－×92＝18.
(2)设与的夹角为θ，由(1)得，
·＝·
＝2－·－2
＝62－×9×6×cos θ－×92＝6，
所以cos θ＝.
故与夹角的余弦值为.
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第2课时 向量的数量积(二)
知识点 向量数量积的运算律
已知向量a，b，c和实数λ，则
(1)交换律：a·b＝b·a；
(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
(1)向量的数量积不满足消除律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，得不到a＝b.
(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．
已知|a|＝3，|b|＝4，|c|＝5，向量a，b的夹角是120°，a，c的夹角是45°.求：
(1)(a－2b)·(3a＋b)；
(2)a·(a－4b＋c).
求向量的数量积的两个关键点
求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角．若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简．
1．已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，则(a＋2b)·(a＋3b)＝________
2．如图，在 ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，则·＝________．
考点一 向量模的有关计算
(1)已知平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝( )
A． B．2
C．4 D．12
(2)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a与b的夹角为60°，则|b|＝( )
A． B．
C． D．
求向量的模的常见思路及方法
(1)求模的问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a＋b|＝( )
A．6 B．4
C． D．
考点二 向量的夹角与垂直
(1)已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且(4a－b)·(a＋3b)＝2，则向量a，b的夹角θ为( )
A． B．
C． D．
(2)已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与ka－b互相垂直，则k的值为( )
A．－ B．
C．± D．1
(1)求向量夹角θ的基本步骤
(2)向量垂直问题的处理思路
解决与垂直相关问题的依据是a⊥b a·b＝0，利用数量积的运算公式，与向量的模、夹角相关的知识结合解题．
1．已知非零向量a，b，若|a|＝|b|，且a⊥(a－2b)，则a与b的夹角为( )
A． B．
C． D．
2．在△ABC中，·(＋)＝0，则△ABC的形状为( )
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
1.已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．0
2．已知a，b为非零向量，若a＋2b与a－2b互相垂直，则＝( )
A． B．4
C． D．2
3．已知正方形ABCD的边长为2，则·(＋)＝( )
A．2 B．3
C．4 D．3
4．已知|a|＝1，|b|＝.
(1)若a，b的夹角为60°，求|a＋b|；
(2)若a－b与a垂直，求a与b的夹角．
[A 基础达标]
1．已知|a|＝9，|b|＝6，a·b＝－54，则a与b的夹角θ为( )
A．45° B．135°
C．120° D．150°
2．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
3．已知平面向量a，b满足|a|＝，|b|＝2，a·b＝－3，则|a＋2b|＝( )
A．1 B．
C．4＋ D．2
4．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝( )
A．2 B．4
C．6 D．12
5．(多选)在△ABC中，下列命题正确的是( )
A．－＝
B．＋＋＝0
C．若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形
D．若·>0，则△ABC为锐角三角形
6．(多选)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论中正确的是( )
A．a为单位向量 B．b为单位向量
C．a⊥b D．(4a＋b)⊥
7．已知向量e1，e2的模分别为1，2，e1，e2的夹角为，则向量(e2－e1)·e2的值为________．
8．(2022·高考全国卷甲)设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________．
9．在△ABC中，若BC＝8，BC边上中线长为3，则·＝________．
10．已知平面向量a，b，若|a|＝1，|b|＝2，且|a－b|＝.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)若c＝ta＋b，且a⊥c，求t的值及|c|.
[B 能力提升]
11．已知a，b为非零向量，若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a－b与b的夹角为( )
A． B．
C． D．
12．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．正三角形 D．等腰直角三角形
13．已知向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2，则向量a＋b在向量a上的投影向量是________．
14．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求|a＋b|；
(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影向量的模．
[C 拓展冲刺]
15．已知|a|＝3，|b|＝4，且(a－2b)·(2a＋b)≥4，则a与b的夹角θ的取值范围是________．
16．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，＝2.
(1)若四边形ABCD是矩形，求·的值；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，且·＝6，求与夹角的余弦值．
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