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6．3 平面向量基本定理及坐标表示
6．3.1 平面向量基本定理
学习指导 核心素养
理解平面向量基本定理及其意义． 1.数学抽象：平面向量基本定理的含义及基底的含义． 2.逻辑推理：平面向量基本定理的推导及应用．
知识点一 平面向量基本定理
条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量
结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底 若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
(1)同一平面内基底有无数多个，只要两向量不共线即可．
(2)当基底确定后，任意向量的表示是唯一的，即λ1，λ2是唯一确定的．
(多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是( )
A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2
【解析】 选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，所以6e1－8e2与3e1－4e2共线，所以不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底．
【答案】 ACD
对基底的理解
(1)两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线，若共线，则不能作基底，反之，则可作基底；
(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2且y1＝y2.
[提醒] 一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，其线性表示是不同的．
1．(多选)设点O是 ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )
A．与 B．与
C．与 D．与
解析：选AC.寻找不共线的向量组即可，在 ABCD中，与不共线，与不共线；而∥，∥，故A，C选项可作为基底．
2．已知{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝________．
解析：因为{a，b}是一个基底，
所以a与b不共线，
由平面向量基本定理得
所以所以x－y＝3.
答案：3
知识点二 用基底表示向量
如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b，试用{a，b}为基底表示，.
【解】 因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点，
所以＝＝＝b.
＝＋＋
＝－－＋
＝－×b－a＋b＝b－a.
用基底表示向量的三个依据和两个“模型”
(1)依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则；
②向量减法的几何意义；
③数乘向量的几何意义．
(2)模型：
如图，在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试用＝e1，＝e2表示.
解：＝－＝e1－e2，
因为D，E，F依次是边AB的四等分点，
所以＝＝(e1－e2)，
所以＝＋＝e2＋(e1－e2)＝e1＋e2.
考点 平面向量基本定理的应用
如图，在平行四边形ABCD中，F是CD的中点，AF与BD交于点E，求证：E为线段BD的一个三等分点．
【证明】 设＝a，＝b，
则＝－＝b－a，
所以＝＋＝＋＝b＋a.
由题图知，点A，E，F共线，点B，D，E共线，
所以存在实数λ，μ，使＝λ，＝μ，
于是＝a＋λb，＝μb－μa.
由于＋＝，则(1－μ)a＋μb＝a＋λb.
因为a与b不共线，
所以解得
所以＝，
即E为线段BD(靠近点D)的一个三等分点．
平面向量基本定理在解决几何问题中的作用
(1)平面向量基本定理提供了向量的几何表示方法．
(2)由平面向量基本定理可知，任意向量都可以用同一个基底线性表示，而且这种表示是唯一的．因此，恰当选择基底是解决问题的关键．
[提醒] 常因不能恰当选择基底而找不到突破口，导致无从下手，造成失分．
如图所示，在平行四边形ABCD中，＝b，＝a，M为边AB的中点，N为BD靠近B的三等分点，求证：M，N，C三点共线．
证明：在△ABD中，＝－，
因为＝a，＝b，
所以＝b－a.
因为点N是BD的三等分点，
所以＝＝(b－a).
因为＝b，所以＝－＝(b－a)－b＝－a－b ①.
因为M为边AB的中点，
所以＝a，
所以＝－＝－(＋)＝－＝－a－b ②.
由①②可得＝.
由共线向量定理知∥.
又因为与有公共点C，
所以M，N，C三点共线．
1.若{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )
A．e1－e2，e2－e1
B．2e1－e2，e1－e2
C．2e2－3e1，6e1－4e2
D．4e1＋2e2，8e1－4e2
解析：选D.选项A，B，C中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底，D中的向量不共线，可以作为平面向量的基底．
2．(2022·新高考卷Ⅰ)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝( )
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
解析：选B.通解：因为BD＝2DA，所以＝3，所以＝＋＝＋3＝＋3(－)
＝－2＋3＝－2m＋3n.
光速解(作图法)：如图，利用平行四边形法则，合成出向量，由图易知(即向量m)的系数为负数，排除A，C，D，故选B.
3．设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，用m，n表示p的结果是________．
解析：设p＝x m＋y n，则3a＋2b＝x(2a－3b)＋y(4a－2b)＝(2x＋4y)a＋(－3x－2y)b.
由平面向量基本定理，
得解得
所以p＝－m＋n.
答案：p＝－m＋n
4.
如图，在平行四边形ABCD中，设对角线＝a，＝b，试用基底{a，b}表示，.
解：方法一：由题意知，
＝＝＝a，
＝＝＝b.
所以＝＋＝－＝a－b，
＝＋＝a＋b.
方法二：设＝x，＝y，则＝＝y，
又
则
所以x＝a－b，y＝a＋b，
即＝a－b，＝a＋b.
[A 基础达标]
1．如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形的格点上．若a＝λe1＋μe2，则λ＋μ＝( )
A．－1 B．3
C．1 D．－3
解析：选A.根据题中图象可知，a＝－2e1＋e2，所以λ＝－2，μ＝1，即λ＋μ＝－2＋1＝－1，故选A.
2．若点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是( )
A．， B．，
C．， D．，
解析：选B.由题图可知，与，与，与共线，不能作为基底，与不共线，可作为基底．
3．若O为 ABCD的对角线的交点，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1＝( )
A． B．
C． D．
解析：选B.因为3e2－2e1＝－
＝(＋)，
又＋＝＝2，
所以＝3e2－2e1.
4．在△ABC中，D是AB边上的一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝( )
A． B．
C．－ D．－
解析：选A.画出示意图如图所示，
由题意可得，A，B，D三点共线，C为 A，B，D所在直线外一点，
且＝＋λ，
则＋λ＝1，所以λ＝.
5．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E是边CD上的点，且CE＝CD.若记＝a，＝b，则＝( )
A．－a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
解析：选A.＝＋＝－＋(＋)＝－＋＋＝－＋＋＝－＋＝－a＋b.故选A.
6．(多选)已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，则下列结论正确的是( )
A．＝－a－b B．＝a＋b
C．＝－a＋b D．＝a
解析：选ABC.如图，＝＋＝－＋＝－b－a，A正确；＝＋＝a＋b，B正确；＝＋＝－b－a，＝＋＝b＋(－b－a)＝b－a，C正确；＝＝－a，D不正确．
7．已知向量a在基底{e1，e2}下可以表示为a＝2e1＋3e2，若a在基底{e1＋e2，e1－e2}下可表示为a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，则λ＝________，μ＝________．
解析：由条件可知解得
答案： －
8.
如图，在△MAB中，C是边AB上的一点，且AC＝5CB，设＝a，＝b，则＝________．(用a，b表示)
解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
答案：a＋b
9.
如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a，b表示＝________．
解析：由题意得EF＝BD，GE＝EF，
所以GE＝BD，则＝＋＋
＝a＋b＋＝a＋b＋b－a＝a＋b.
答案：a＋b
10．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：{a，b}可以作为一个基底；
(2)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
解：(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2).
由e1，e2不共线，得即
所以λ不存在，故a与b不共线，
{a，b}可以作为一个基底．
(2)由4e1－3e2＝λa＋μb，
得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
所以解得
故所求λ，μ的值分别为3和1.
[B 能力提升]
11．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是( )
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
解析：选A.由＝λ，得－＝λ(－)，即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y，所以消去λ，得x＋y＝2，即x＋y－2＝0.
12．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝( )
A．1 B．
C． D．
解析：选D.由题意知，在△ABD中，BD＝AB＝1，又BC＝3，所以BD＝BC，所以＝＋＝＋.因为O为AD的中点，所以＝＝＋.因为＝λ＋μ，与不共线，所以λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝.
13．(多选)已知四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2AD＝2DC，＝3，＝2，则下列表示正确的是( )
A．＝－＋
B．＝＋
C．＝－
D．＝－＋
解析：选BD.如图，
＝＋＋＝－＋＋＝＋，故选项A不正确；
＝＝(＋)
＝
＝＝＋，
故选项B正确；
＝＋＋＝－－＋＋＝－－，故选项C不正确；
＝－＝＋－＝－＋，故选项D正确．故选BD.
14.
如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，＝2，＝2.
(1)求CD的长；
(2)求·的值．
解：(1)因为＝2，
所以＝，
所以＝－＝－，
所以||＝
＝
＝＝，
即CD的长为.
(2)＝－＝－＋
＝－(－)＋
＝＋，
所以·＝·＝2＋·＝＋×2×3×＝.
[C 拓展冲刺]
15．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足＝＋，则△ABM与△ABC的面积之比为________．
解析：如图，由＝＋可知，M，B，C三点共线，
令＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，
因此，λ＝，
所以＝，即面积之比为1∶4.
答案：1∶4
16.
如图，已知△OCB中，A是CB的中点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.
(1)用a和b表示向量，；
(2)若＝λ，求实数λ的值．
解：(1)由题意知，A是BC的中点，
且＝，
由平行四边形法则，
得＋＝2，所以＝2－＝2a－b，
＝－＝(2a－b)－b＝2a－b.
(2)设＝x，
因为＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，
＝2a－b，
所以(2－λ)a－b＝x.
因为a与b不共线，由平面向量基本定理，
得解得故λ＝.
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6．3 平面向量基本定理及坐标表示
6．3.1 平面向量基本定理
学习指导 核心素养
理解平面向量基本定理及其意义． 1.数学抽象：平面向量基本定理的含义及基底的含义． 2.逻辑推理：平面向量基本定理的推导及应用．
知识点一 平面向量基本定理
条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量
结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底 若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
(1)同一平面内基底有无数多个，只要两向量不共线即可．
(2)当基底确定后，任意向量的表示是唯一的，即λ1，λ2是唯一确定的．
(多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是( )
A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2
对基底的理解
(1)两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线，若共线，则不能作基底，反之，则可作基底；
(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2且y1＝y2.
[提醒] 一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，其线性表示是不同的．
1．(多选)设点O是 ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )
A．与 B．与
C．与 D．与
2．已知{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝________．
知识点二 用基底表示向量
如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b，试用{a，b}为基底表示，.
用基底表示向量的三个依据和两个“模型”
(1)依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则；
②向量减法的几何意义；
③数乘向量的几何意义．
(2)模型：
如图，在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试用＝e1，＝e2表示.
考点 平面向量基本定理的应用
如图，在平行四边形ABCD中，F是CD的中点，AF与BD交于点E，求证：E为线段BD的一个三等分点．
平面向量基本定理在解决几何问题中的作用
(1)平面向量基本定理提供了向量的几何表示方法．
(2)由平面向量基本定理可知，任意向量都可以用同一个基底线性表示，而且这种表示是唯一的．因此，恰当选择基底是解决问题的关键．
[提醒] 常因不能恰当选择基底而找不到突破口，导致无从下手，造成失分．
如图所示，在平行四边形ABCD中，＝b，＝a，M为边AB的中点，N为BD靠近B的三等分点，求证：M，N，C三点共线．
1.若{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )
A．e1－e2，e2－e1
B．2e1－e2，e1－e2
C．2e2－3e1，6e1－4e2
D．4e1＋2e2，8e1－4e2
2．(2022·新高考卷Ⅰ)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝( )
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
3．设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，用m，n表示p的结果是________．
4.
如图，在平行四边形ABCD中，设对角线＝a，＝b，试用基底{a，b}表示，.
[A 基础达标]
1．如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形的格点上．若a＝λe1＋μe2，则λ＋μ＝( )
A．－1 B．3
C．1 D．－3
2．若点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是( )
A．， B．，
C．， D．，
3．若O为 ABCD的对角线的交点，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1＝( )
A． B．
C． D．
4．在△ABC中，D是AB边上的一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝( )
A． B．
C．－ D．－
5．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E是边CD上的点，且CE＝CD.若记＝a，＝b，则＝( )
A．－a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
6．(多选)已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，则下列结论正确的是( )
A．＝－a－b B．＝a＋b
C．＝－a＋b D．＝a
7．已知向量a在基底{e1，e2}下可以表示为a＝2e1＋3e2，若a在基底{e1＋e2，e1－e2}下可表示为a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，则λ＝________，μ＝________．
8.
如图，在△MAB中，C是边AB上的一点，且AC＝5CB，设＝a，＝b，则＝________．(用a，b表示)
9.
如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a，b表示＝________．
10．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：{a，b}可以作为一个基底；
(2)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
[B 能力提升]
11．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是( )
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
12．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝( )
A．1 B．
C． D．
13．(多选)已知四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2AD＝2DC，＝3，＝2，则下列表示正确的是( )
A．＝－＋
B．＝＋
C．＝－
D．＝－＋
14.
如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，＝2，＝2.
(1)求CD的长；
(2)求·的值．
[C 拓展冲刺]
15．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足＝＋，则△ABM与△ABC的面积之比为________．
16.
如图，已知△OCB中，A是CB的中点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.
(1)用a和b表示向量，；
(2)若＝λ，求实数λ的值．
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6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理
第六章 平面向量及其应用
学习指导 核心素养
理解平面向量基本定理及其意义． 1.数学抽象：平面向量基本定理的含义及基底的含义．
2.逻辑推理：平面向量基本定理的推导及应用．
01
必备知识 落实
知识点一 平面向量基本定理
条件 e1，e2是同一平面内的两个________向量
结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使__________________
基底 若e1，e2不共线，把_________________叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
不共线
a＝λ1e1＋λ2e2
{e1，e2}
(1)同一平面内基底有无数多个，只要两向量不共线即可．
(2)当基底确定后，任意向量的表示是唯一的，即λ1，λ2是唯一确定的．
(多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是( )
A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2
【解析】 选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，所以6e1－8e2与3e1－4e2共线，所以不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底．
√
√
√
对基底的理解
(1)两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线，若共线，则不能作基底，反之，则可作基底；
(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2且y1＝y2.
[提醒] 一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，其线性表示是不同的．
√
√
3
用基底表示向量的三个依据和两个“模型”
(1)依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则；
②向量减法的几何意义；
③数乘向量的几何意义．
(2)模型：
02
关键能力 提升
考点 平面向量基本定理的应用
如图，在平行四边形ABCD中，F是CD的中点，AF与BD交于点E，求证：E为线段BD的一个三等分点．
平面向量基本定理在解决几何问题中的作用
(1)平面向量基本定理提供了向量的几何表示方法．
(2)由平面向量基本定理可知，任意向量都可以用同一个基底线性表示，而且这种表示是唯一的．因此，恰当选择基底是解决问题的关键．
[提醒] 常因不能恰当选择基底而找不到突破口，导致无从下手，造成失分．
03
课堂巩固 自测
√
1.若{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )
A．e1－e2，e2－e1
B．2e1－e2，e1－ e2
C．2e2－3e1，6e1－4e2
D．4e1＋2e2，8e1－4e2
解析：选项A，B，C中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底，D中的向量不共线，可以作为平面向量的基底．
1
2
3
4
√
1
2
3
4
1
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3
4
1
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1
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04
课后达标 检测
6
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3
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[A 基础达标]
1．如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形的格点上．若a＝λe1＋μe2，则λ＋μ＝( )
A．－1 B．3
C．1 D．－3
解析：根据题中图象可知，a＝－2e1＋e2，所以λ＝－2，μ＝1，即λ＋μ＝－2＋1＝－1，故选A.
√
12
13
14
15
16
√
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